Electricidad Y Magnetismo - Unal.edu.co

viÍNDICE GENERAL10.6. La intensidad de campo magnético . . . . . . . . . . . . . . 23710.7. Corrientes de magnetización . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23810.8. ¿Cómo se diseña un electroimán? . . . . . . . . . . . . . . . 24010.9. Los polos magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24310.10. Comportamiento de los materiales en un campo magnético 24510.11. Los materiales ferromagnéticos . . . . . . . . . . . . . . . 24810.12. Temas para discusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25210.13. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25310.14. Actividades prácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254A. Instrumentos matemáticosA.1. Introducción255. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255A.2. Los vectores y el álgebra de vectores . . . . . . . . . . . . . 256A.3. El vector área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259A.4. El producto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261A.5. El ángulo y el ángulo sólido . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263A.6. El producto vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265A.7. Las rotaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268A.8. El producto escalar triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270A.9. El producto vector triple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271A.10. El cálculo con vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272A.11. Las integrales de lı́nea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273A.12. Las integrales de lı́nea con vectores . . . . . . . . . . . . . 275A.13. Las integrales de superficie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277A.14. Las integrales de superficie con vectores . . . . . . . . . . 279A.15. Las integrales de volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280A.16. El gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281A.17. La divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286A.18. El laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

ÍNDICE GENERALviiA.19. El rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293A.20. El teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296A.21. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298A.22. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299B. Funciones de Green302B.1. Las funciones de Green para la ecuación de Poisson . . . . . 302B.2. La función de Green para la ecuación de onda . . . . . . . . 303C. Radiación y antenasC.1. Introducción307. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307C.2. El dipolo de Hertz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308C.3. Una antena receptora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311C.4. Comentarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

Índice de figuras2.1. Balanza de torsión de A. Coulomb . . . . . . . . . . . . . .92.2. Geometrı́a para la ley de Coulomb . . . . . . . . . . . . . .102.3. Lı́neas de campo eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . .152.4. Ejemplos de lı́neas de campo eléctrico . . . . . . . . . . . .162.5. La función aguja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .192.6. Sobre la ley de Gauss. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .222.7. Lı́neas del campo generado por un dipolo cerca y lejos . . .252.8. Cálculo del campo generado por una esfera de cargas . . . .282.9. Un electroscopio sencillo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .373.1. Acerca de la definición de potencial eléctrico . . . . . . . . .403.2. Ejemplos de potenciales y campos eléctricos . . . . . . . . .423.3. Cálculo del potencial generado por una esfera de carga . . .443.4. Sobre el potencial entre dos planos con carga uniforme . . .463.5. Sobre el potencial en el espacio entre dos planos conductores503.6. Acerca del potencial entre dos cilindros conductores . . . .503.7. Acerca del método de relajación. . . . . . . . . . . . . . .533.8. Una lente electrostática y el potencial entre electrodos . . .543.9. Un potencial (a) uniforme y (b) modificado . . . . . . . . .573.10. Una componente de un cañón electrónico . . . . . . . . . .59viii

ÍNDICE DE FIGURASix4.1. Sobre la regla de la mano derecha . . . . . . . . . . . . . . .684.2. Acerca de los experimentos de Ampère . . . . . . . . . . . .684.3. Sobre la definición de densidad de corriente . . . . . . . . .704.4. Sobre el cálculo de la fuerza entre dos circuitos de corriente714.5. Acerca del cálculo de la fuerza entre dos corrientes paralelas734.6. Sobre el campo generado por una corriente en un anillo . .774.7. La geometrı́a de las bobinas de Helmholtz . . . . . . . . . .784.8. La geometrı́a de un solenoide . . . . . . . . . . . . . . . . .794.9. Acerca de las fuerzas sobre un lazo de corriente . . . . . . .814.10. Acerca del experimento de J.J. Thompson . . . . . . . . . .854.11. Acerca de la integral de lı́nea del campo magnético . . . . .874.12. Dos lazos iguales con integral de lı́nea distinta . . . . . . . .874.13. Acerca de la Ley de Ampère en un solenoide largo . . . . .884.14. Ilustración de un alambre enrollado sobre un toroide . . . .894.15. Sobre el cálculo del campo con la Ley de Ampère . . . . . .904.16. Sobre la equivalencia de dos desplazamientos . . . . . . . .914.17. Sobre la integral de lı́nea cuando el camino de integraciónencierra al lazo de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . .924.18. Sobre la integral de lı́nea cuando el camino de integración noencierra al lazo de corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . .924.19. Acerca de la medición de campo aprovechando el efecto Hall994.20. Un motor eléctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.21. Geometrı́a para el ejercicio. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.22. Esquema de un espectrógrafo de masas . . . . . . . . . . . . 1044.23. Sobre el barrido de la pantalla en un monitor de televisión . 1044.24. Geometrı́a para el ejercicio. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.25. Diagrama de un posible experimento . . . . . . . . . . . . . 1065.1. El sı́mbolo convencional para una baterı́a . . . . . . . . . . 109

xÍNDICE DE FIGURAS5.2. La geometrı́a para la expresión de Faraday . . . . . . . . . . 1125.3. Sobre la regla de Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.4. Sobre un ejemplo de inducción magnética . . . . . . . . . . 1155.5. Sobre otro ejemplo de inducción magnética . . . . . . . . . 1155.6. Esquema de un generador elemental de corriente . . . . . . 1165.7. El generador, con un conmutador mecánico . . . . . . . . . 1175.8. El generador, con corrección del campo. . . . . . . . . . . 1185.9. Acerca del flujo de corriente en una superficie . . . . . . . . 1215.10. Acerca de una dificultad con la ley de Ampère. . . . . . . 1225.11. Esquema para un motor de inducción . . . . . . . . . . . . 1285.12. Geometrı́a para un tema de discusión . . . . . . . . . . . . . 1295.13. Geometrı́a para un ejemplo de inducción . . . . . . . . . . . 1295.14. Esquema para el segundo ejercicio . . . . . . . . . . . . . . 1305.15. Un experimento de inducción magnética . . . . . . . . . . . 1315.16. Esquema de una inducción en un electroimán . . . . . . . . 1325.17. Sobre un cálculo de inducción magnética . . . . . . . . . . . 1326.1. Sobre la estructura espacial de una onda plana . . . . . . . 1386.2. Sobre los campos emitidos por una carga en movimiento . . 1446.3. Sobre los campos emitidos por una carga en movimiento . . 1467.1. Sobre la adición de una capa de carga eléctrica . . . . . . . 1607.2. Sobre la relación entre campo e intensidad de corriente . . . 1647.3. La geometrı́a para un sensor de efecto Hall . . . . . . . . . 1677.4. Sobre las cargas y campos en un conductor . . . . . . . . . 1707.5. Acerca de la ley de Gauss dentro de un conductor . . . . . 1707.6. Sobre el campo eléctrico cerca de un conductor . . . . . . . 1717.7. Sobre el cálculo de los campos cerca de un conductor . . . . 1727.8. Sobre las condiciones de frontera . . . . . . . . . . . . . . . 175

ÍNDICE DE FIGURASxi7.9. La geometrı́a de un condensador de placas planas . . . . . . 1767.10. Acerca del proceso de carga de un condensador . . . . . . . 1807.11. Sobre la diferencia de potencial en un condensador que secarga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1817.12. La intensidad de corriente en un experimento fotoeléctrico . 1838.1. Sobre las lı́neas de campo que enlazan dos circuitos . . . . . 1868.2. Geometrı́a de un solenoide largo . . . . . . . . . . . . . . . 1888.3. Esquema de un circuito RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1898.4. La intensidad de la corriente como función del tiempo . . . 1908.5. La geometrı́a de dos solenoides acoplados . . . . . . . . . . 1918.6. La intensidad de corriente en un circuito . . . . . . . . . . . 1958.7. Sobre el flujo de Poynting en un circuito sencillo . . . . . . 2028.8. Sobre el cálculo del momentum electromagnético . . . . . . 2048.9. Dos lazos acoplados por el campo magnético . . . . . . . . . 2088.10. Un circuito con dos autoinductancias e inductancia mutua . 2099.1. Modelo elemental de un material en un campo eléctrico . . 2139.2. Sobre un condensador lleno de un material . . . . . . . . . . 2159.3. Geometrı́a para calcular las cargas de polarización . . . . . 2179.4. Sobre el cálculo de cargas superficiales . . . . . . . . . . . . 2199.5. Acerca de las condiciones de frontera entre dos dieléctricos . 2229.6. Sobre los mecanismos de polarización de un dieléctrico . . . 2239.7. Acerca de la polarizabilidad como función de la frecuencia . 2249.8. Sobre el comportamiento de algunos dieléctricos . . . . . . . 2269.9. Un condensador lleno con dos trozos de dieléctricos . . . . . 2299.10. Un condensador parcialmente lleno con un dieléctrico . . . 23010.1. Sobre el momento magnético de un electrón en órbita . . . 23410.2. Sobre la magnetización no uniforme . . . . . . . . . . . . . 236

xiiÍNDICE DE FIGURAS10.3. El cálculo del vector potencial para un dipolo magnético . 23810.4. Esquema del núcleo toroidal para un electroimán . . . . . . 24110.5. Acerca de una barra cilı́ndrica con magnetización uniforme24410.6. Esquema del aparato de Quincke . . . . . . . . . . . . . . . 24710.7. Sobre los comportamientos dia- y paramagnético . . . . . . 24810.8. Sobre un experimento con un núcleo magnético. . . . . . 24910.9. Forma general de las curvas de magnetización . . . . . . . 25010.10. Esquema de la transición de un dominio magnético a otro25110.11. Geometrı́a de un circuito magnético . . . . . . . . . . . . 25410.12. Una dependencia de magnetización e intensidad magnética 254A.1. Representación de vectores y su suma . . . . . . . . . . . . 257A.2. Una rotación de ejes coordenados . . . . . . . . . . . . . . . 258A.3. Acerca de la definición del vector área . . . . . . . . . . . . 260A.4. Sobre el producto escalar de dos vectores . . . . . . . . . . 262A.5. Sobre la definición de ángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . 263A.6. Sobre la definición de ángulo sólido . . . . . . . . . . . . . . 264A.7. Una regla de mano derecha para el producto vectorial . . . 266A.8. Acerca del vector área como producto vectorial . . . . . . . 267A.9. Acerca del producto vectorial en mecánica . . . . . . . . . . 267A.10. Dos resultados de las rotaciones de un dado . . . . . . . . . 268A.11. Sobre el resultado de rotaciones pequeñas . . . . . . . . . . 268A.12. Sobre el producto escalar de tres vectores . . . . . . . . . . 270A.13. Sobre la definición de integral de lı́nea . . . . . . . . . . . . 273A.14. Posibles caminos de integración . . . . . . . . . . . . . . . 273A.15. Otros dos caminos de integración . . . . . . . . . . . . . . 274A.16. Acerca del cálculo del volumen de agua en un estanque . . 277A.17. Una región de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278A.18. Acerca del flujo incompresible sobre dos superficies . . . . 280

ÍNDICE DE FIGURASxiiiA.19. Acerca de la posición del CM de un hemisferio . . . . . . . 280A.20. El gradiente en una dimensión . . . . . . . . . . . . . . . . 281A.21. Contornos de valor constante de una función . . . . . . . . 282A.22. Posibles isotermas en un horno . . . . . . . . . . . . . . . . 283A.23. El cálculo del flujo de campo en las caras de un volumen . 287A.24. Acerca del Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . 288A.25. Sobre la integral de superficie de un campo . . . . . . . . . 289A.26. Acerca de la curvatura de una función . . . . . . . . . . . . 292A.27. Un camino de integración para evaluar un rotacional. . . 294A.28. Tres lazos en planos perpendiculares y su equivalente . . . 295A.29. Acerca del teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

Electricidad y magnetismoFrente a la tradición debemos tener un comportamientoque la conserve en la conciencia, sin doblegarnos ante ella.La tradición debe ser protegida de la desaparición,pero debemos separarnos de su mı́tica autoridad.Th. W. Adorno, Tesis sobre la tradiciónPresentaciónEste es un curso sobre electricidad y magnetismo clásicos. Quien estudia yprofundiza la teorı́a tiene oportunidad de adquirir conocimientos muy finosy una gran claridad de conceptos. Un experimentador emplea la teorı́adel electromagnetismo clásico y conoce bastante de sus aproximaciones.Sabemos que la naturaleza, la materia, es mucho más complicada de lo quedescriben las teorı́as clásicas. Entonces, ¿para qué dedicarle tiempo a estas?Una buena justificación para el estudio de una teorı́a clásica es precisamenteque se puede considerar como un ejercicio en la construcción de una teorı́ay en las modificaciones que le introducen para poderla emplear en casosmás complejos; aunque no solo es un ejercicio, la teorı́a que nos va a ocupares eminentemente práctica.La fı́sica experimental emplea la teorı́a clásica de la electricidad y el magnetismo de muchas maneras; por ejemplo, se construyen y emplean electroimanes, también sistemas para formar haces de electrones o iones (llamadoscañones). Se han construido sistemas magnéticos y eléctricos para enfocaro desviar esos haces en lo que se llama óptica electrónica. En las universidades se ha trabajado en la construcción de fuentes de muy alta tensióny su aplicación en sistemas prácticos, incluido el estudio de la electricidadatmosférica. Se ha adquirido una vasta experiencia que puede servir a losnuevos estudiosos de la fı́sica. Nuestra sociedad moderna está basada enel dominio de la electricidad y el magnetismo y prácticamente lo damospor garantizado. Para ilustrarlo, basta recordar qué graves inconvenientesxv

xvi0. ELECTRICIDAD Y MAGNETISMOsurgen cuando se interrumpe el suministro de la energı́a eléctrica. El funcionamiento de los seres vivos muestra que los fenómenos eléctricos estánen la base de todo lo que percibimos.Una de las fallas que se puede encontrar en la enseñanza de la fı́sica y,claro está, en los textos empleados, es una actitud que podrı́amos llamar“ritualización”. La fı́sica, y para nuestro propósito el electromagnetismo, sepresenta como la verdad, como una serie de conocimientos seguros, matematizados e inconmovibles. Con este curso se intenta ofrecer una visión delelectromagnetismo como una representación viva de situaciones experimentales: es muy cierto que la matematización es esencial y, de hecho, el gradode abstracción logrado en nuestro tema es muy alto, pero no olvidemos susorı́genes.El presente texto no pretende responder todas las preguntas posibles: probablemente es imposible lograrlo. Sı́ se busca provocar preguntas pero, sobretodo, se trata de lograr que los estudiantes fortalezcan su capacidad para: Tomar y trabajar informaciones concretas. Representarse los órdenes de magnitud de las cantidades fı́sicastrabajadas. Formular argumentos adecuados. Comprender y criticar un discurso especializado. Juzgar y criticar los desarrollos y conocimientos de las ciencias naturales. Reconocer, observar y explicar fenómenos electromagnéticos en suentorno cotidiano. Aplicar sus conocimientos en la acción sobre su ambiente.Para el logro de estos objetivos proponemos actividades de reflexión, ejercicios y actividades prácticas en los diferentes capı́tulos.El electromagnetismo es, sin duda, muy rico en ecuaciones; es necesarioconocerlas y manejarlas y saber aplicarlas para resolver problemas. Perono es menos cierto que las bases experimentales están expresadas en esamatematización; tampoco es menos cierto que la verdad del electromagnetismo está aún ahora, a comienzos del siglo XXI, en debate y que podrı́amosestar muy cerca de un “cambio de paradigmas”, de acuerdo con la expresión de Kuhn1 . Una presentación viva de la teorı́a podrı́a muy bien ser1T. Kuhn, La estructura de las revoluciones cientı́ficas (1962) . Ver, por ejemplo,http://www.des.emory.edu/mfp/Kuhn.html para un resumen.

xviimás interesante para un estudiante: se está participando en un proceso deconstrucción y en una aventura intelectual de alcance global, en el mejorsentido del término. Se deberı́a lograr que la abundancia de ecuaciones yla destreza operacional necesaria para manejarlas no se conviertan en unoscurecimiento de la realidad palpable en las situaciones fı́sicas.Newton propuso una estructura para la construcción de una teorı́a fı́sica:a partir de situaciones experimentales se realiza un proceso de inducciónpara enunciar los axiomas de la teorı́a. Por supuesto, es imprescindible unaetapa previa de definición cuidadosa de los términos que se van a emplearen la teorı́a.Luego de las etapas anteriores, se buscan reglas para la clase de enunciadosy de razonamientos que se considerarán válidos en el desarrollo de la teorı́a,mediante el uso del lenguaje técnico para manejar los conceptos. Finalmente se podrán emplear los resultados deducidos de los axiomas, empleandolas reglas y el lenguaje, para compararlos con los resultados cualificadose interpretados de situaciones experimentales nuevas; por una parte, parabuscar apoyo y confirmación (o lo contrario) para la teorı́a; para predecirnuevos fenómenos o relaciones entre fenómenos. Importante en todo esteproceso es una “vocación práctica” de la teorı́a. No se desarrolla la teorı́a apartir de axiomas totalmente arbitrarios, se desarrolla la teorı́a y se desarrollan aplicaciones que pueden ser puestas a prueba por fı́sicos o técnicosen situaciones similares en cualquier otro lugar o momento.Tras mucho trabajo, la teorı́a del electromagnetismo clásico se ha basadoen cuatro ecuaciones que traducen en un lenguaje técnico, con las necesarias definiciones, los resultados de cuatro situaciones experimentales. Ellenguaje matemático que se emplea también ha cambiado bastante desdelos desarrollos originales. Una de las variantes más poderosas emplea el lenguaje de las ecuaciones diferenciales parciales con vectores. En este cursolo aplicaremos extensamente. El apéndice A se ocupa de una presentaciónbásica del tema2 .Es necesario mantener vigilancia sobre el uso del lenguaje empleado. Aunque la fı́sica y todas las ciencias naturales pretenden ser consistentes en eluso técnico de las palabras, el lenguaje esconde todavı́a muchas trampas.En muchas obras cientı́ficas y no cientı́ficas podemos encontrar trampassimilares.2Se encuentra una extensa colección de ejercicios elementales resueltos, en español,en la página www.selectividad.profes.net

xviii0. ELECTRICIDAD Y MAGNETISMOEn electromagnetismo hay palabras que no se han depurado de sus orı́genes.Es el caso de la palabra “fuerza” que se emplea en contextos diferentes aldefinido en mecánica; el caso de la palabra “inducción”, que tiene variossignificados diferentes. Quien se aproxima al estudio de esta rama de la fı́sicadebe tener simplemente precaución y, si es del caso, buscar la clarificacióndel significado de una palabra dentro de un contexto. Quienes trabajamosdesde hace algún tiempo en estos campos, también conservamos muchasde esas confusiones en nuestro lenguaje.

Electricidad y magnetismo c Germ an Arenas Sicard, Departamento de F ısica Facultad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia c Universidad Nacional de Colombia