ANALYSE DES ERREURS D'APPROXIMATION DANS LES PROBLÈMES . - Inria
Analyse des erreursd’approximationJean-Antoine DésidériELLIPTIQUELe problème type du laplacienLe laplacien en différences finiesDiscrétisation classiqueErreur de troncature, erreurd’approximationErreur itérative, complexité,multigrillesRetour aux Éléments Finis,coercivité, convergenceANALYSE DES ERREURSD’APPROXIMATION DANS LESPROBLÈMES CLASSIQUES D’ÉDPpour la Mécanique des milieux continusHYPERBOLIQUEIntroduction : Fluide parfaitcompressibleEquations d’Euler, propriétésgénérales : hyperbolicité,nonlinéaritéConvergence des schémas linéairesAnalyse de l’erreur par la techniquede l’équation modifiée/équivalenteThéorème d’équivalence de LaxJean-Antoine DésidériEquipe-Projet INRIA OPALECentre de Sophia Antipolis n fortes et faibles de lois deconservationSchémas nonlinéaires conservatifsNotion de consistance ennonlinéaireCas d’un écoulement constant enDFIntroduction aux volumes-finisCONCLUSIONSVérification des simulations numériques en Mécanique desmilieux continus. Notion de validation. Collège dePolytechnique, 9-10 Juin 20101 / 101
Analyse des erreursd’approximationOutlineJean-Antoine DésidériELLIPTIQUELe problème type du laplacienLe laplacien en différences finiesDiscrétisation classiqueErreur de troncature, erreurd’approximationErreur itérative, complexité,multigrillesRetour aux Éléments Finis,coercivité, convergenceHYPERBOLIQUEIntroduction : Fluide parfaitcompressibleEquations d’Euler, propriétésgénérales : hyperbolicité,nonlinéaritéConvergence des schémas linéairesAnalyse de l’erreur par la techniquede l’équation modifiée/équivalenteThéorème d’équivalence de LaxSolution fortes et faibles de lois deconservationSchémas nonlinéaires conservatifsNotion de consistance ennonlinéaireCas d’un écoulement constant enDFIntroduction aux volumes-finisCONCLUSIONS1 ELLIPTIQUELe problème type du laplacienLe laplacien en différences finiesDiscrétisation classiqueErreur de troncature, erreur d’approximationErreur itérative, complexité, multigrillesRetour aux Éléments Finis, coercivité, convergence2 HYPERBOLIQUEIntroduction : Fluide parfait compressibleEquations d’Euler, propriétés générales : hyperbolicité, nonlinéaritéConvergence des schémas linéairesAnalyse de l’erreur par la technique de l’équation modifiée/équivalenteThéorème d’équivalence de LaxSolution fortes et faibles de lois de conservationSchémas nonlinéaires conservatifsNotion de consistance en nonlinéaireCas d’un écoulement constant en DFIntroduction aux volumes-finis3 CONCLUSIONS2 / 101
Analyse des erreursd’approximationLe laplacien 1Jean-Antoine DésidériELLIPTIQUELe problème type du laplacienProblème de Poisson :Le laplacien en différences finiesDiscrétisation classiqueErreur de troncature, erreurd’approximationErreur itérative, complexité,multigrillesRetour aux Éléments Finis,coercivité, convergenceHYPERBOLIQUEIntroduction : Fluide parfaitcompressibleEquations d’Euler, propriétésgénérales : hyperbolicité,nonlinéaritéConvergence des schémas linéairesAnalyse de l’erreur par la techniquede l’équation modifiée/équivalenteThéorème d’équivalence de LaxSolution fortes et faibles de lois deconservationSchémas nonlinéaires conservatifs u f dans Ω Rd u u0 sur Γ0 6 0/ (Dirichlet) u u . n φ sur Γ (Neumann)n1Problèmes (stationnaires) d’« équilibre » sur domaine spatial bornéΩ de frontière Γ Ω Γ0 Γ1 , soumise à des conditions auxlimites.Exemples physiques Déplacement vertical u (x , y ) d’une membrane; bord fixé.Notion de consistance ennonlinéaireCas d’un écoulement constant enDFIntroduction aux volumes-finisCONCLUSIONS3 / 101
Analyse des erreursd’approximationLe laplacien 2Jean-Antoine DésidériELLIPTIQUELe problème type du laplacienLe laplacien en différences finiesDiscrétisation classiqueErreur de troncature, erreurd’approximationErreur itérative, complexité,multigrillesRetour aux Éléments Finis,coercivité, convergenceHYPERBOLIQUEIntroduction : Fluide parfaitcompressibleAutres exemples physiques Température (d’équilibre) dans Ω; bord isotherme ou soumis àune condition de flux de chaleur.Equations d’Euler, propriétésgénérales : hyperbolicité,nonlinéarité T 0Convergence des schémas linéairesAnalyse de l’erreur par la techniquede l’équation modifiée/équivalenteThéorème d’équivalence de LaxSolution fortes et faibles de lois deconservation En Mécanique des Fluides : potentiel des vitesses, ou fonctionde courant (écoulement plan et permanent de fluide parfaitincompressible irrotationnel)Schémas nonlinéaires conservatifsNotion de consistance ennonlinéaireCas d’un écoulement constant enDF V φ φ ψ 0Introduction aux volumes-finisCONCLUSIONS4 / 101
Analyse des erreursd’approximationJean-Antoine DésidériPropriétés fondamentales 1ELLIPTIQUELe problème type du laplacienLe laplacien en différences finiesFormulation variationnelleDiscrétisation classiqueErreur de troncature, erreurd’approximationErreur itérative, complexité,multigrillesRetour aux Éléments Finis,coercivité, convergenceTrouver u H01 tq v H01 :ZZ u . v ZZΩf .vΩHYPERBOLIQUEIntroduction : Fluide parfaitcompressibleEquations d’Euler, propriétésgénérales : hyperbolicité,nonlinéaritéConvergence des schémas linéairesAnalyse de l’erreur par la techniquede l’équation modifiée/équivalenteThéorème d’équivalence de LaxSolution fortes et faibles de lois deconservationSolution unique en vertu duThéorème (Lax-Milgram) : Etant donné un espace de Hilbert V(i.e. un espace vectoriel normé, complet), une forme bilinéaire acontinue et cœrcive (i.e. α 0 tq u , a(u , u ) α ku k2 ), uneforme linéaire continue L, le problèmeSchémas nonlinéaires conservatifsNotion de consistance ennonlinéairek Trouver u V tq v V , a(u , v ) L(v )Cas d’un écoulement constant enDFIntroduction aux volumes-finisCONCLUSIONSadmet une solution unique.Eléments Finis :P1-Lagrange ' H 15 / 101
Analyse des erreursd’approximationPropriétés fondamentales 2Jean-Antoine DésidériELLIPTIQUELe problème type du laplacienLe laplacien en différences finiesDiscrétisation classiqueErreur de troncature, erreurd’approximationErreur itérative, complexité,multigrillesRetour aux Éléments Finis,coercivité, convergenceHYPERBOLIQUEIntroduction : Fluide parfaitcompressibleThéorème (Principe du maximum)Soit Ω un ouvert borné de R2 de frontière Γ assez régulière. Soitu H 1 (Ω) telle que u 0 dans Ω et u 0 sur Γ; alors : u 0dans Ω.ConséquenceSupposons u solution de l’équation de Laplace :Equations d’Euler, propriétésgénérales : hyperbolicité,nonlinéarité( u 0 dans ΩConvergence des schémas linéairesu u0Analyse de l’erreur par la techniquede l’équation modifiée/équivalentesur Γ ΩThéorème d’équivalence de LaxSolution fortes et faibles de lois deconservationPosonsSchémas nonlinéaires conservatifsNotion de consistance ennonlinéaireCas d’un écoulement constant enDFm0 min u0 min u ,ΓM0 max u0 max uΓIntroduction aux volumes-finisCONCLUSIONSet appliquons le théorème aux fonctions u m0 et M0 u : m0 et M0 sont également le minimum et le maximum de lafonction u (x , y ) dans le domaine Ω en entier (et non pas seulementsur le bord).6 / 101
Analyse des erreursd’approximationOutlineJean-Antoine DésidériELLIPTIQUELe problème type du laplacienLe laplacien en différences finiesDiscrétisation classiqueErreur de troncature, erreurd’approximationErreur itérative, complexité,multigrillesRetour aux Éléments Finis,coercivité, convergenceHYPERBOLIQUEIntroduction : Fluide parfaitcompressibleEquations d’Euler, propriétésgénérales : hyperbolicité,nonlinéaritéConvergence des schémas linéairesAnalyse de l’erreur par la techniquede l’équation modifiée/équivalenteThéorème d’équivalence de LaxSolution fortes et faibles de lois deconservationSchémas nonlinéaires conservatifsNotion de consistance ennonlinéaireCas d’un écoulement constant enDFIntroduction aux volumes-finisCONCLUSIONS1 ELLIPTIQUELe problème type du laplacienLe laplacien en différences finiesDiscrétisation classiqueErreur de troncature, erreur d’approximationErreur itérative, complexité, multigrillesRetour aux Éléments Finis, coercivité, convergence2 HYPERBOLIQUEIntroduction : Fluide parfait compressibleEquations d’Euler, propriétés générales : hyperbolicité, nonlinéaritéConvergence des schémas linéairesAnalyse de l’erreur par la technique de l’équation modifiée/équivalenteThéorème d’équivalence de LaxSolution fortes et faibles de lois de conservationSchémas nonlinéaires conservatifsNotion de consistance en nonlinéaireCas d’un écoulement constant en DFIntroduction aux volumes-finis3 CONCLUSIONS7 / 101
Analyse des erreursd’approximationDiscrétisation classique 1Jean-Antoine DésidériELLIPTIQUEDimension 1 d’espace : uxx fLe problème type du laplacienLe laplacien en différences finiesDiscrétisation classiqueu (0) u (1) 0IndiçageErreur de troncature, erreurd’approximationErreur itérative, complexité,multigrilles x huj ' u (xj )xj jhfj f (xj )Retour aux Éléments Finis,coercivité, convergenceHYPERBOLIQUEIntroduction : Fluide parfaitcompressibleEquations d’Euler, propriétésgénérales : hyperbolicité,nonlinéaritéObservation de base : développement de Taylor àl’ordre 4Convergence des schémas linéairesAnalyse de l’erreur par la techniquede l’équation modifiée/équivalenteu (xj 1 ) u (xj h)Théorème d’équivalence de LaxSolution fortes et faibles de lois deconservationSchémas nonlinéaires conservatifs u (xj ) hux h2Notion de consistance ennonlinéaire2uxx h36uxxx Cas d’un écoulement constant enDFIntroduction aux volumes-finisCONCLUSIONS uxx (xj ) u (xj 1 ) 2u (xj ) u (xj 1 )h2 {z h224h4 ū24 xxxx (ūxxxx ūxxxx)concerne une fonction régulière quelconque}8 / 101
Analyse des erreursd’approximationDiscrétisation classique 2Jean-Antoine DésidériELLIPTIQUEDimension 1 d’espace : uxx fLe problème type du laplacienLe laplacien en différences finiesDiscrétisation classiqueu (0) u (1) 0Définition du schéma d’approximationErreur de troncature, erreurd’approximationuj 1 2uj uj 1Erreur itérative, complexité,multigrillesh2Retour aux Éléments Finis,coercivité, convergence fj(j 1, 2, ., N )HYPERBOLIQUEIntroduction : Fluide parfaitcompressibleEquations d’Euler, propriétésgénérales : hyperbolicité,nonlinéaritéAh uh fhSystème matriciel :Convergence des schémas linéairesAnalyse de l’erreur par la techniquede l’équation modifiée/équivalenteThéorème d’équivalence de Lax 2 1Solution fortes et faibles de lois deconservationSchémas nonlinéaires conservatifsNotion de consistance ennonlinéaireCas d’un écoulement constant enDF1 Ah 2 h Introduction aux volumes-finisCONCLUSIONS 1h2 12. 1. 1.2 1 1 TridN ( 1, 2, 1) (définie 0)diagonale dominante; kAh k 4.h22 uh u1u2.uN fh f1f2.fN u0 uN 1 0(Dirichlet hom.)9 / 101
Analyse des erreursd’approximationDiscrétisation classique 3Jean-Antoine DésidériELLIPTIQUEDimension 2 ou 3; conditions de Dirichlet homogènesLe problème type du laplacienLe laplacien en différences finiesDiscrétisation classiqueErreur de troncature, erreurd’approximationAh uh fhErreur itérative, complexité,multigrillesRetour aux Éléments Finis,coercivité, convergenceHYPERBOLIQUEIntroduction : Fluide parfaitcompressibleEn 2D; maillage tensorielEquations d’Euler, propriétésgénérales : hyperbolicité,nonlinéaritéuj 1,k 2uj ,k uj 1,khx2Convergence des schémas linéairesAnalyse de l’erreur par la techniquede l’équation modifiée/équivalenteThéorème d’équivalence de LaxSolution fortes et faibles de lois deconservationAh Schémas nonlinéaires conservatifs1hx2 TridNx ( 1, 2, 1) uj ,k 1 2uj ,k uj ,k 1hy21hy2 fj ,kTridNy ( 1, 2, 1) 1 22111 Penta ., 2 , ., 2 , 2 2 , 2 , ., 2 , .Notion de consistance ennonlinéaireCas d’un écoulement constant enDFhxhy hxhyhyhxIntroduction aux volumes-finisCONCLUSIONSEn 3D; maillage tensorielAh 1TridNx ( 1, 2, 1) h12 TridNy ( 1, 2, 1) h12 TridNz ( 1, 2, 1)hx2yz10 / 101
Analyse des erreursd’approximationErreur de troncature 1Jean-Antoine DésidériELLIPTIQUELe problème type du laplacienLe laplacien en différences finiesDiscrétisation classiqueErreur de troncature, erreurd’approximationDéfinitionC’est le résidu de l’équation aux différences lorsqu’on y injecte lediscrétisé de la solution de l’EDP :Erreur itérative, complexité,multigrillesRetour aux Éléments Finis,coercivité, convergenceE .T . Ah u fhHYPERBOLIQUEIntroduction : Fluide parfaitcompressibleEquations d’Euler, propriétésgénérales : hyperbolicité,nonlinéaritéConvergence des schémas linéairesAnalyse de l’erreur par la techniquede l’équation modifiée/équivalenteoù uxx f CL.Evaluation par développement de TaylorThéorème d’équivalence de LaxSolution fortes et faibles de lois deconservationPar exemple, en 1D :Schémas nonlinéaires conservatifsNotion de consistance ennonlinéaireCas d’un écoulement constant enDFE .T . u (xj 1 ) 2u (xj ) u (xj 1 )h2Introduction aux volumes-finisCONCLUSIONS uxx (xj ) h224h224 fj (ūxxxx ūxxxx) f (xj ) (ūxxxx ūxxxx) O (h 2 )11 / 101
Analyse des erreursd’approximationErreur de troncature 2Jean-Antoine DésidériELLIPTIQUELe problème type du laplacienLe laplacien en différences finiesDiscrétisation classiqueErreur de troncature, erreurd’approximationErreur itérative, complexité,multigrillesMajorationRetour aux Éléments Finis,coercivité, convergenceHYPERBOLIQUEIntroduction : Fluide parfaitcompressibleEquations d’Euler, propriétésgénérales : hyperbolicité,nonlinéaritékE .T .k µh212Convergence des schémas linéairesAnalyse de l’erreur par la techniquede l’équation modifiée/équivalenteThéorème d’équivalence de LaxSolution fortes et faibles de lois deconservationµ max uxxxx xSchémas nonlinéaires conservatifsNotion de consistance ennonlinéaireCas d’un écoulement constant enDFCette majoration prend en compte la régularité connue de lasolution u du problème continu.Introduction aux volumes-finisCONCLUSIONS12 / 101
Analyse des erreursd’approximation1Majoration de A h Jean-Antoine DésidériELLIPTIQUELe problème type du laplacienEn sommant les 1 premières équations :Le laplacien en différences finiesDiscrétisation classiqueErreur de troncature, erreurd’approximationErreur itérative, complexité,multigrillesRetour aux Éléments Finis,coercivité, convergenceHYPERBOLIQUEIntroduction : Fluide parfaitcompressibleEquations d’Euler, propriétésgénérales : hyperbolicité,nonlinéaritéConvergence des schémas linéairesu1 u 1 u h2 (f1 f2 . f 1 )u1 u1 u2 h2 (f1 )u1 u2 u3 h2 (f1 f2 ).u1 uj 1 uj h2 (f1 f2 . fj 1 )Analyse de l’erreur par la techniquede l’équation modifiée/équivalenteThéorème d’équivalence de LaxSolution fortes et faibles de lois deconservationPuis en sommant de 2 à j :Schémas nonlinéaires conservatifsNotion de consistance ennonlinéaireCas d’un écoulement constant enDFju1 uj h2 [(j 1)f1 (j 2)f2 . fj 1 ]Introduction aux volumes-finisCONCLUSIONSEt pour j N 1 :(N 1)u1 h2 [Nf1 (n 1)f2 . fN ]13 / 101
Analyse des erreursd’approximation1Majoration de A (suite)h Jean-Antoine DésidériELLIPTIQUELe problème type du laplacienIl vient :Le laplacien en différences finiesDiscrétisation classiqueErreur de troncature, erreurd’approximationErreur itérative, complexité,multigrillesRetour aux Éléments Finis,coercivité, convergenceHYPERBOLIQUEIntroduction : Fluide parfaitcompressibleEquations d’Euler, propriétésgénérales : hyperbolicité,nonlinéaritéConvergence des schémas linéaires h2 [Nf1 (n 1)f2 . fN ]u 1 N 1 N 1 j 2uj h [f1 2f2 . (j 1)fj 1 ] N 1 jh2 1 [(N 1 j )fj (N j )fj 1 . fN ] A h fh jN 1Analyse de l’erreur par la techniquede l’équation modifiée/équivalenteThéorème d’équivalence de LaxSolution fortes et faibles de lois deconservationEn conséquence :Schémas nonlinéaires conservatifsNotion de consistance ennonlinéaireCas d’un écoulement constant enDFIntroduction aux volumes-finis 1Ah 2 h maxN 1 jN 1j(1 2 . j 1)CONCLUSIONS jN 1 1(N 1 j ) (N j ) . 1 814 / 101
Analyse des erreursd’approximationErreur d’approximationJean-Antoine DésidériELLIPTIQUELe problème type du laplacienLe laplacien en différences finiesDiscrétisation classiqueErreur de troncature, erreurd’approximationDeux résultats ont été établis :1Erreur itérative, complexité,multigrillesRetour aux Éléments Finis,coercivité, convergence2kE .T .k kAh u fh k 1Ah µh2(µ maxx uxxxx );1218 , h.HYPERBOLIQUEIntroduction : Fluide parfaitcompressibleEquations d’Euler, propriétésgénérales : hyperbolicité,nonlinéaritéConvergence des schémas linéairesAnalyse de l’erreur par la techniquede l’équation modifiée/équivalenteErreur d’approximation : 11u uh A Ah u Ah uh A hh (E .T .) {z}fhThéorème d’équivalence de LaxSolution fortes et faibles de lois deconservationEn conséquence :Schémas nonlinéaires conservatifsNotion de consistance ennonlinéaireCas d’un écoulement constant enDFIntroduction aux volumes-finisCONCLUSIONSku uh k 18 µh212 µh296ON DIT QUE LE SCHÉMA D’APPROXIMATION EST PRÉCIS AUSECOND-ORDRE (OU DU SECOND ORDRE)15 / 101
Analyse des erreursd’approximationAnalyse de Fourier 1Jean-Antoine DésidériELLIPTIQUELe problème type du laplacienConditions de DirichletLe laplacien en différences finiesDiscrétisation classiqueErreur de troncature, erreurd’approximationErreur itérative, complexité,multigrillesRetour aux Éléments Finis,coercivité, convergence Problème continu(Au uxx λuu (0) u (1) 0( u (x ) s(m) (x ) C (m) sin(mπx )λ λ(m) (mπ)2 (m 1, 2, . )HYPERBOLIQUEIntroduction : Fluide parfaitcompressibleEquations d’Euler, propriétésgénérales : hyperbolicité,nonlinéaritéConvergence des schémas linéairesAnalyse de l’erreur par la techniquede l’équation modifiée/équivalenteThéorème d’équivalence de LaxSolution fortes et faibles de lois deconservation Problème discret (m )(m)(m )(m) uh sh ; sh j Ch sin(mπxj ) Ch sin(j θm ) Ah uh λh uh 2 2 cos(θm )4θm(m)2 λh λh sin22hh2Schémas nonlinéaires conservatifsNotion de consistance ennonlinéaire(m 1, 2, ., N )Cas d’un écoulement constant enDFIntroduction aux volumes-finisCONCLUSIONSθm mπN 1“paramètre de fréquence” (m 1, 2, ., N )16 / 101
Analyse des erreursd’approximationAnalyse de Fourier 2Jean-Antoine DésidériELLIPTIQUEIllustration des modes (N 7)Hautes Fréquences, θm π2Le problème type du laplacienLe laplacien en différences finiesDiscrétisation classiqueErreur de troncature, erreurd’approximationErreur itérative, complexité,multigrilles1Basses Fréquences, θm π20Retour aux Éléments Finis,coercivité, convergence1(4)shHYPERBOLIQUE0Introduction : Fluide parfaitcompressibleEquations d’Euler, propriétésgénérales : hyperbolicité,nonlinéaritéj sin(πxj )1(5)sh0Théorème d’équivalence de Laxj1 2 3 4 5 6 7j sin(5πxj )1 2 3 4 5 6 7j1 2 3 4 5 6 7j-1j1(2)sh1 2 3 4 5 6 7-1-1Analyse de l’erreur par la techniquede l’équation modifiée/équivalenteSchémas nonlinéaires conservatifs sin(4πxj )j0Convergence des schémas linéairesSolution fortes et faibles de lois deconservationjj1(1)sh1 2 3 4 5 6 71 2 3 4 5 6 7j sin(2πxj )-10Notion de consistance ennonlinéaire1(6)shCas d’un écoulement constant enDF01 2 3 4 5 6 7j sin(6πxj )-1jIntroduction aux volumes-finisCONCLUSIONS1(3)shj sin(3πxj )-10(7)shj sin(7πxj )-117 / 101
Analyse des erreursd’approximationAnalyse de Fourier 3Jean-Antoine DésidériELLIPTIQUELe problème type du laplacienLe laplacien en différences finiesDiscrétisation classiqueErreur de troncature, erreurd’approximationConditions de Dirichlet-NeumannErreur itérative, complexité,multigrillesRetour aux Éléments Finis,coercivité, convergenceu (0) 0(u0 0)u 0 (1) 0(uN 1 uN )HYPERBOLIQUEIntroduction : Fluide parfaitcompressibleEquations d’Euler, propriétésgénérales : hyperbolicité,nonlinéaritéConvergence des schémas linéairesAnalyse de l’erreur par la techniquede l’équation modifiée/équivalenteIdem, sauf définition :θm mπ2N 1(m 1, 2, ., N )Théorème d’équivalence de LaxSolution fortes et faibles de lois deconservationSchémas nonlinéaires conservatifsNotion de consistance ennonlinéaireCas d’un écoulement constant enDFIntroduction aux volumes-finisPropriétés spectrales des modèles continus et discretsModèles discrets et schémas itératifs - application aux algorithmesmultigrilles et multidomaines, J.A.D., Editions HERMES, Paris(1998); chapitre 2.CONCLUSIONS18 / 101
Analyse des erreursd’approximationAnalyse de Fourier 4Jean-Antoine DésidériELLIPTIQUELe problème type du laplacienLe laplacien en différences finiesDiscrétisation classiqueErreur de troncature, erreurd’approximationErreur itérative, complexité,multigrillesRetour aux Éléments Finis,coercivité, convergencePlus petite valeur propre (conditions de Dirichlet)HYPERBOLIQUEIntroduction : Fluide parfaitcompressibleEquations d’Euler, propriétésgénérales : hyperbolicité,nonlinéaritéConvergence des schémas linéairesAnalyse de l’erreur par la techniquede l’équation modifiée/équivalenteThéorème d’équivalence de LaxSolution fortes et faibles de lois deconservationSchémas nonlinéaires conservatifs(1) λhmin λh 4h2sin2 πh2 . π2 λ(1)La plus petite valeur propre du système discret est associée aumode de plus basse fréquence, pour lequel, par consistance de ladiscrétisation, l’action de Ah est, à une erreur de troncature près,identique que celle de l’opérateur différentiel.Notion de consistance ennonlinéaireCas d’un écoulement constant enDFIntroduction aux volumes-finisCONCLUSIONS19 / 101
Analyse des erreursd’approximationAnalyse de Fourier 5Jean-Antoine Désidéri1Retour sur la bornitude de A hELLIPTIQUELe problème type du laplacienLe laplacien en différences finiesEn résumé :(1) .λh λ(1)Discrétisation classiqueErreur de troncature, erreurd’approximationErreur itérative, complexité,multigrillesetRetour aux Éléments Finis,coercivité, convergence1λmax (A h ) HYPERBOLIQUEIntroduction : Fluide parfaitcompressibleEquations d’Euler, propriétésgénérales : hyperbolicité,nonlinéaritéConvergence des schémas linéairesAnalyse de l’erreur par la techniquede l’équation modifiée/équivalente 1(1)λh 1λ(1) const. (indépendamment de h)1, dans le modèle. Il est donc naturel de faire l’hypothèse qu’engénéral, et pas seulement pour ce modèle du laplacien en CL DD,il existe une constante B indépendante de h pour laquelle :π2Théorème d’équivalence de LaxSolution fortes et faibles de lois deconservation h :Schémas nonlinéaires conservatifsNotion de consistance ennonlinéaireCas d’un écoulement constant enDFIntroduction aux volumes-finisCONCLUSIONS1A BhOn en tire :ku uh k O (E .T .)Il est donc justifié de qualifier la précision d’un schéma numériquepar examen de l’ordre de l’erreur de troncature par rapport à h.20 / 101
Analyse des erreursd’approximationAnalyse de Fourier 6Jean-Antoine DésidériELLIPTIQUEConditionnementLe problème type du laplacienLe laplacien en différences finiesDiscrétisation classiqueErreur de troncature, erreurd’approximationErreur itérative, complexité,multigrillesPlus grande valeur propre (conditions de Dirichlet)Retour aux Éléments Finis,coercivité, convergenceHYPERBOLIQUEIntroduction : Fluide parfaitcompressibleEquations d’Euler, propriétésgénérales : hyperbolicité,nonlinéaritéConvergence des schémas linéairesN.π π (fréquence maximum) θN N 1 λ λh (N ) hmax2 2 cos(θN ) . 4 2 kAh k h2hAnalyse de l’erreur par la techniquede l’équation modifiée/équivalenteThéorème d’équivalence de LaxSolution fortes et faibles de lois deconservationNombre de conditionnementSchémas nonlinéaires conservatifsNotion de consistance ennonlinéaireCas d’un écoulement constant enDFIntroduction aux volumes-finisκ λhmax14N 2 λhminπ2tg2 ( θ21 )CONCLUSIONS21 / 101
Analyse des erreursd’approximationJean-Antoine DésidériRésolution des équations 1ELLIPTIQUELe problème type du laplacienLe laplacien en différences finiesDiscrétisation classiqueErreur de troncature, erreurd’approximationErreur itérative, complexité,multigrillesComment résoudre Ah uh fh ?Retour aux Éléments Finis,coercivité, convergenceHYPERBOLIQUEIntroduction : Fluide parfaitcompressibleEquations d’Euler, propriétésgénérales : hyperbolicité,nonlinéaritéConvergence des schémas linéairesAnalyse de l’erreur par la techniquede l’équation modifiée/équivalenteRésolution directe (Gauss)Irréaliste en raison du grand nombre d’inconnues (d.d.l.) :N Ndd : dimension d’espaceThéorème d’équivalence de LaxSolution fortes et faibles de lois deconservationSchémas nonlinéaires conservatifsNotion de consistance ennonlinéaireCas d’un écoulement constant enDFIntroduction aux volumes-finisCONCLUSIONSStockage naturel : temps calcul : N3 N 3d place mémoire : N2 N 2dStockage morse :des facteurs N en moins (place mémoire : N d N d 1 N2 /N)22 / 101
Analyse des erreursd’approximationJean-Antoine DésidériRésolution des équations 2ELLIPTIQUELe problème type du laplacienLe laplacien en différences finiesDiscrétisation classiqueErreur de troncature, erreurd’approximationErreur itérative, complexité,multigrillesRetour aux Éléments Finis,coercivité, convergenceHYPERBOLIQUEIntroduction : Fluide parfaitcompressibleEquations d’Euler, propriétésgénérales : hyperbolicité,nonlinéaritéMéthode itérative (Jacobi, Gauss-Seidel, etc)Jacobi : on construit {uhn }uhn 1 uhn τ (Ah uhn fh ) (I τAh ) uhn τfhNB : identique à Euler explicite appliqué à u h fh Ah uh , avec t τ. Généralisation : méthodes pseudo-instationnaires.Trm : Alors, si Ah 0, ce qui est le cas du laplacien discret, le choixConvergence des schémas linéairesAnalyse de l’erreur par la techniquede l’équation modifiée/équivalenteThéorème d’équivalence de LaxSolution fortes et faibles de lois deconservation τ λmax λmin2 1 τ Schémas nonlinéaires conservatifsNotion de consistance ennonlinéaireest optimal, et correspond à la valeur suivante du rayon spectral :Cas d’un écoulement constant enDFIntroduction aux volumes-finisCONCLUSIONSρ (I τ Ah ) ρ (h) κ 12 1 . 1 ch2 .κ 1κNB : log ρ (h) ( ch2 ).23 / 101
Analyse des erreursd’approximationRésolution des équations 3Jean-Antoine DésidériELLIPTIQUELe problème type du laplacienCritère d’arrêtLe laplacien en différences finiesDiscrétisation classiqueErreur de troncature, erreurd’approximationErreur itérative, complexité,multigrilleskuhn uh k {z }Retour aux Éléments Finis,coercivité, convergenceHYPERBOLIQUEIntroduction : Fluide parfaitcompressibleEquations d’Euler, propriétésgénérales : hyperbolicité,nonlinéaritéConvergence des schémas linéairesAnalyse de l’erreur par la techniquede l’équation modifiée/équivalentekuh u k {z }erreurerreuritératived’approximation(n ) (h 0)nCI ρ ( h ) CA h 2Il vient : n log ρ (h) log h et :Théorème d’équivalence de Laxn Solution fortes et faibles de lois deconservationSchémas nonlinéaires conservatifs log hh2 N 2 log NNotion de consistance ennonlinéaireCas d’un écoulement constant enDFCoût de résolutionIntroduction aux volumes-finisschéma local coût d’1 itération de Jacobi N N d :CONCLUSIONSCOÛTJacobi N d 2 log N N N 2 log N24 / 101
Analyse des erreursd’approximation“Nested Iteration”, ouenrichissement progressif demaillageJean-Antoine DésidériELLIPTIQUELe problème type du laplacienLe laplacien en différences finiesDiscrétisation classiqueErreur de troncature, erreurd’approximationKronsjö-Dahlquist (1971). BIT 12, 1972.Erreur itérative, complexité,multigrillesRetour aux Éléments Finis,coercivité, convergenceFinHYPERBOLIQUEIntroduction : Fluide parfaitcompressibleEquations d’Euler, propriétésgénérales : hyperbolicité,nonlinéaritéConvergence des schémas linéairesAnalyse de l’erreur par la techniquede l’équation modifiée/équivalenteThéorème d’équivalence de LaxSolution fortes et faibles de lois deconservationSchémas nonlinéaires conservatifsNotion de consistance ennonlinéaireCas d’un écoulement constant enDFIntroduction aux ssierMhRésoudreProlongerLisserProlonger Efficacité: dépend de la conception des éléments suivants : lisseurs adaptés aux propriétés spectrales du système discret, application rigoureuse de critères d’arrêt à chaque niveau, opérateurs de transfert (interpolations) suffisamment précis. Réduction du coût : seulement d’un facteur log N(i.e. nombre de niveaux de maillage) Bénéfice additionnel : la robustesse (en nonlinéaire)25 / 101
Analyse des erreursd’approximationAlgorithme idéaux bigrille etmultigrilleJean-Antoine DésidériELLIPTIQUELe problème type du laplacienLe laplacien en différences finiesDiscrétisation classiqueErreur de troncature, erreurd’approximationErreur itérative, complexité,multigrillesRetour aux Éléments Finis,coercivité, convergenceHYPERBOLIQUEIntroduction : Fluide parfaitcompressibleEquations d’Euler, propriétésgénérales : hyperbolicité,nonlinéaritéConvergence des schémas linéairesAnalyse de l’erreur par la techniquede l’équation modifiée/équivalenteThéorème d’équivalence de Lax Algorithme idéal bigrille : ρ B1 exemple: V-cycleGrille Fine Mh :Lissage seulGrille Fine Mh :Lissage seul&%Grille grossière M2h :Résolution complète Algorithme multigrille idéal : par extension : ρMG BSolution fortes et faibles de lois deconservationSchémas nonlinéaires conservatifsNotion de consistance ennonlinéaireρnMG h2 n log N Cas d’un écoulement constant enDFIntroduction aux volumes-finisCONCLUSIONSCOÛTMG N log N N d log N26 / 101
Analyse des erreursd’approximationMéthode Multigrille ComplèteJean-Antoine DésidériELLIPTIQUEFull Multi-Grid (FMG) MethodLe problème type du laplacienLe laplacien en différences finiesDiscrétisation classiqueErreur de troncature, erreurd’approximationErreur itérative, complexité,multigrillesCycle MG combiné à l’algo. d’enrichissement demaillageMh/4Fin%Retour aux Éléments Finis,coercivité, convergenceMh/2MoyenHYPERBOLIQUEIntroduction : Fluide parfaitcompressibleEquat
Analyse des erreurs d'approximation Jean-Antoine Désidéri ELLIPTIQUE Le problème type du laplacien Le laplacien en différences finies Discrétisation classique Erreur de troncature, erreur d'approximation Erreur itérative, complexité, multigrilles Retour aux Éléments Finis, coercivité, convergence HYPERBOLIQUE Introduction .
Erreurs de programmation .297 Erreurs de syntaxe . 298 Erreurs d'exécution . 299 Erreurs de logique . des pistes pour qu'ils puissent approfondir les sujets abordés dans ces pages ou bien explorer d'autres horizons plus complexes de la programmation sous Office. PourquoI APPrendre À ProgrAmmer offIce ? La première raison est productiviste. La programmation, même à un .
Traitement des données Chapitre 4 : Analyse factorielle des correspondances, rev 11/03 Chapitre 4 : Analyse factorielle des correspondances binaires Objet - L'analyse Factorielle des Correspondances ou AFC constitue une technique d'analyse statistique d'un ou de
2.1.2 Dans la prise des antécédents ou interrogatoire du patient 2.1.3 Dans l’examen clinique 2.1.4 Dans les examens complémentaires demandés 2.1.5 Dans l’interprétation des examens complémentaires 2.1.6 Erreurs de connaissance des bonnes pratiques 2.1.7 Autres Erreurs de gestion de soins du patient 2.2.1 Gestion d’un traitement .
An approximation scheme for problem X is a family of (1 ε)-approximation algorithms Aε (respectively, (1 ε)-approximation algorithms Aε) for problem X over all 0 ε 1. A polynomial time approximation scheme (PTAS) for problem X is an approximation scheme whose time complexity is polynomial in the input size.
Sources et co-auteurs - Patrick Joly: Analyse et approximation de modèles de propagation d'ondes.Partie 1 Ana- lyse mathématique. Cours de l'Ecole Polytechnique, Edition 2001. - Eliane Bécache, Patrick Joly: Analyse et approximation de modèles de propagation d'ondes. Analyse numérique Partie 2. Cours de l'Ecole Polytechnique, Majeure SIMS,
3.9. ANALYSE DES OUTILS PÉDAGOGIQUES MIS EN PLACE 3.9.a) Analyse sur la cohérence des échelles de mesure 3.9.b) Analyse intrinsèque des quatre outils 3.9.c) Analyse des liens potentiels entre notre définition de l'autonomie et les outils 3.9.d) Relation entre les résultats du groupe et les présences. AN
3. Collecte de données, analyse et rapport sur les postes de pesage 33 3.1. Introduction 33 3.2. Collecte, analyse et communication des données 34 3.3. Collecte, analyse et communication des données 36 3.4. Méthode de vérification et d'analyse des données 40 3.5. Présentation des rapports 41 3.6.
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