Curso De An Alisis Funcional - Unizar.es
Pedro J. Miana Curso de Análisis Funcional –Departamento de Matemáticas Universidad de Zaragoza–
Presentación Escribir un libro de texto de Análisis Funcional en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Zaragoza es un gran reto. La fama de este departamento tanto a nivel nacional como a nivel internacional nos hace ser exigentes con nosotros mismos. Presentamos este texto con humildad e ilusión. El Análisis Funcional es una asignatura de sı́ntesis y de abstracción, con gran cantidad de aplicaciones dentro del Análisis Matemático, en otras ramas de las Matemáticas e incluso en otras ciencias. Tiene una gran belleza intrı́nseca, aplicaciones variadas, y es el origen de importantes teorı́as matemáticas. Existen buenos libros, algunos verdaderas obras de arte y otros casi enciclopédias, del Análisis Funcional. A menudo están escritos para el profesor o para un alumno avanzado, tal vez estudiante de tercer ciclo. Nos proponemos presentar un texto base adecuado para el alumnado de segundo ciclo de los actuales planes de estudio. Este libro está pensado para una asignatura cuatrimestral de 7’5 créditos. El último capı́tulo sobre teorı́a espectral puede ser suprimido en asignaturas de menor duración. Cada capı́tulo incluye una sección de ejercicios y otra de notas históricas que permiten al lector comprender los resultados del Análisis Funcional de una forma más coherente. Quiero terminar esta presentación mostrando mi agradecimiento a todas las personas que me han ayudado a elaborar y mejorar este texto. Gracias a Raquel, José Luis, Bienve y a todos mis compañeros del área de Análisis Matemático de la Universidad de Zaragoza por su ayuda y apoyo. Deseo que la lectura de este libro sea interesante y satisfactoria. Zaragoza, 13 de enero de 2006 P.J.M.
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A Natalia
Breves apuntes históricos El origen del Análisis Funcional es múltiple. Hay quien lo sitúa en el problema de la cuerda y membrana vibrantes y los problemas de contorno de las ecuaciones diferenciales. Cercana se encuentra la Fı́sica newtoniana con sus numerosos problemas, a menudo inconexos en su formulación y que dieron origen, entre otras, a las teorı́as del cálculo de variaciones y de las ecuaciones integrales. Volterra al estudiar la variación del área encerrada por una curva cuando la curva varı́a, trabaja con aplicaciones que tienen por dominio de definición un conjunto de funciones. Hadamard les da el nombre de “funcionales” por lo que Levy propone el nombre de la teorı́a que la estudia como “Análisis Funcional”. Literalmente el término “Análisis Funcional” hace referencia a la idea de analizar espacios de funciones a través de funcionales actuando en estos espacios. Eligiendo hábilmente el espacio de funciones y los funcionales sobre él, se podrı́an resolver ecuaciones funcionales. En las primeras décadas del siglo XX, esta técnica fue empleada satisfactoriamente en diversas áreas como ecuaciones integrales, superficies minimales, ecuaciones en derivadas parciales, análisis armónico y problema de los momentos. Durante los años veinte la teorı́a espectral de operadores tuvo sorprendentes aplicaciones a problemas únicamente planteados en espacios de Hilbert. La aparición en 1932 del libro de John von Neumann “ Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik ” y de “ Linear Transformations in Hilbert Spaces and Applications in Analysis ” de Marshall Stone mostraron la aparición de la teorı́a de operadores (en espacios de Hilbert) como una parte propia pero ı́ntimamente relacionado con lo que se conoce ahora por Análisis Funcional Lineal. Por aquellos años el Análisis Funcional Lineal experimentó su primer gran desarrollo. Muchas de las ideas empleadas cristalizaron en principios generales que se formularon y demostraron. Varias técnicas evolucionaron para aplicarlas a problemas lineales más generales que los planteados en espacios de Hilbert. Tres principios básicos fueron pronto reconocidos.
12 Breves apuntes históricos El teorema de extensión de Hahn-Banach. Un funcional lineal y continuo en un subespacio vectorial de un espacio normado admite una extensión continua y lineal a todo espacio. El teorema de Banach-Steinhaus. Toda familia de operadores lineales y continuos entre espacios de Banach que esté puntualmente acotada en la bola unidad está uniformemente acotada. El teorema de la aplicación abierta. Un operador lineal, continuo y sobreyectivo entre dos espacios de Banach es abierto. En 1932 la traducción francesa “Opérations Linéaires” del libro de Stefan Banach apareció. En él, estos tres teoremas fueron presentados como los pilares fundamentales del Análisis Funcional. Después de formular cada principio en su forma más general, Banach proporcionaba una gran variedad de aplicaciones de cada principio. Habı́a asegurado el papel central de estos resultados en el estudio de problemas lineales. En los años treinta y principios de los cuarenta las fronteras del Análisis Funcional fueron continuamente extendidas (con el resultado lógico de cierta pérdida en la definición del Análisis Funcional). Cada resultado probado era obtenido mediante una rápida incursión en un territorio inexplorado. Las investigaciones de Gelfand en la estructura de álgebras de Banach conmutativas reunificaron la teorı́a general del Análisis Funcional Lineal con la teorı́a de operadores para dar lugar, entre otras cosas, a una demostración sorprendente del teorema espectral para operadores acotados normales. La teorı́a de Gelfand también fue usada para estudiar los grupos abelianos localmente compactos, una nueva prueba del resultado de dualidad de Pontryagin fue obtenida. El análisis de Fourier en grupos abelianos localmente compactos llegaba a ser un realidad factible y el Análisis Armónico habı́a nacido. Después de la Segunda Guerra Mundial la escuela francesa de Análisis Funcional continuó la labor que la escuela polaca habı́a iniciado y desarrolló una serie de investigaciones intensivas sobre la estructuras de los espacios vectoriales topológicos, especialmente sobre los espacios de funciones differenciables y sus duales. Laurent Schwartz fijó la teorı́a de distribuciones (una teorı́a anticipada por otros pero incuestionable a partir de la labor fructı́fera realizada por Schwartz). El escenario estaba montado para uno de los hitos alcanzados por el Análisis Funcional: el descubrimiento de Bernard Malgrange y Leon Ehrenpreis que toda ecuación en derivadas parciales homogénea con coeficientes constantes tiene solución distribucional fundamental. Su demostración es una vuelta de tuerca del teorema de Hahn-Banach. A principios de los sesenta las herramientas que un joven analista funcional necesitaba eran diversas como eran sus posibles aplicaciones. La teorı́a de Choquet unió el Análisis Funcional Lineal con la teorı́a de operadores; esto hizo que la teorı́a de la medida fue una valiosa aliada del Análisis Funcional. Técnicas y motivaciones probabilı́sticas invadieron el Análisis Funcional y la
Breves apuntes históricos 13 teorı́a de operadores; el análisis complejo proporcionó interesantes problemas que podı́an ser reformulados y solucionados en el contexto del Análisis Funcional. Prácticamente todas las áreas del Análisis trasladaron sus propios problemas, técnicas e intuiciones al Análisis Funcional para obtener nuevos resultados. Estos desarrollos dieron sus frutos. Largamente pero inapropiadamente considerados, problemas clásicos en espacios de Banach fueron atacados con espı́ritu renovado. Sólo unos pocos de los problemas planteados por Banach en su monografı́a permanecen sin resolver. Es más, aplicaciones de la teorı́a de estructura de espacios de Banach se han encontrado en Análisis Armónico, teorı́a de la probabilidad, teorı́a de interpolación, teorı́a de la aproximación y en la distribución de los valores propios de operadores en espacios de Hilbert. El estudio de operadores en un espacio de Hilbert ha experimentado también profundos desarrollos. El último de ellos ha unido la teorı́a de operadores con la K-teorı́a y ha resuelto diversas asuntos entre la geometrı́a diferencial y la topologı́a algebraica. Actualmente el término “Análisis Funcional” incluye una gran variedad de campos matemáticos. Como descripción general, suele decirse que el Análisis Funcional es el estudio de ciertas estructuras algebraico-topológicas y de los métodos por los que el conocimiento de estas estructuras puede ser aplicado a problemas de Análisis (Epstein).
Parte I Espacios de Banach En esta primera parte del curso nos centramos en el estudio de los espacios normados, que en el caso de ser completos se denominan espacios de Banach. Aunque dentro del Análisis Funcional existen ejemplos importantes de espacios vectorial topológicos que no son normados, el espacio normado es la estructura principal sobre la que se asienta esta memoria. Pretendemos dar una visión rica en ejemplos, resultados y aplicaciones de la teorı́a de Análisis Funcional en estos espacios. En el primer capı́tulo repasaremos algunos conocimientos que el alumno ya debe poseer, recordándole especialmente álgebra lineal y topologı́a elemental. También probaremos resultados nuevos para ellos que sirven para centrar ideas sobre los objetos a los que vamos a dedicar nuestro estudio, hablamos de los espacios vectoriales finito-dimensionales o del álgebra C([a, b]). En el segundo capı́tulo trabajaremos en los espacios Lp . Estos espacios son importantes tanto en el Análisis Matemático como en la Matemática Aplicada. Damos una presentación detallada que ayudará al estudiante a entenderlos y aplicar estos conocimientos en otras materias como por ejemplo, Análisis de Fourier, Ecuaciones en Derivadas Parciales, o Análisis Espectral. Señalamos además que es necesario poseer conocimientos previos de la asignatura de la Teorı́a de la Medida. Si éste no es el caso, es posible desarrollar esta capı́tulo en el contexto de la medida de Lebesgue y de los espacios de Lebesgue Lp (Ω) con Ω Rn . En el tercer y último capı́tulo nos centraremos en tres teoremas fundamentales sobre aplicaciones lineales y acotadas entre espacios normados. La impor-
16 tancia de estos resultados en el Análisis Funcional es sobradamente conocida y es ilustrada con varias aplicaciones.
1 Introducción a los espacios normados En este capı́tulo recordamos conceptos ya conocidos por el estudiante en cursos anteriores y fijamos la notación que usaremos a lo largo del curso. Partiendo de un contenido mı́nimo, es un capı́tulo que permite variar sus contenidos y el tiempo de dedicación a él dependiendo del nivel de los estudiantes, las perspectivas del curso y su orientación definitiva. Los espacios vectoriales normados son espacios intermedios entre los espacios vectoriales topológicos y los espacios pre-Hilbert y un contexto adecuado para el Análisis Funcional. La unión coherente del espacio vectorial y la topologı́a (proveniente de una norma) dota al espacio de un estructura rica y que permite un estudio en detalle. La dimensión del espacio vectorial es crucial en diversos resultados, por ejemplo, la estructura de los espacios vectoriales de dimensión finita está perfectamente determinada, véase sección 1.3. Las aplicaciones lineales y continuas pueden ser usadas para comparar un espacio normado con otro e identificarlos (sección 1.2). Si añadimos una segunda operación al espacio vectorial de forma adecuada se obtiene un álgebra normada. El teorema de Weierstrass es un resultado notable en el álgebra C([a, b]). Tanto ejemplos de espacios normados como de álgebras normadas son comentados en detalle en este capı́tulo, algunos conocidos para el estudiante y otros nuevos. Daremos como referencias básicas los libros [Co] y [MV] y con un nivel superior [BN], [R] y [RN]. 1.1 Espacios normados Comenzamos recuperando el concepto de espacio vectorial, estudiado en la asignatura de Álgebra Lineal. Sea K el cuerpo de los números reales R o complejos C y cuyos elementos llamamos escalares. Sobre un conjunto de elementos X (que denominaremos vectores) se definen dos operaciones: la suma de vectores , , operación interna en X y el producto de un vector por un escalar · K, λ · x , λ K,
18 Introducción a los espacios normados x X. Un espacio vectorial (X, , ·, K) está formado por el conjunto X, las dos operaciones anteriores, , · y el cuerpo de escalares K cumpliendo una serie de propiedades conocidas. Por ejemplo, la buena coexistencia de las dos operaciones se expresa a través de las propiedades distributivas. Definición 1.1 Sea (X, , ·K) un espacio vectorial. Se llama norma a un aplicación k · k : X R tal que (i) kxk 0 y kxk 0 si y solamente si x 0 con x X. (ii) kλxk λ kxk para λ K y x X. (iii) kx yk kxk kyk para x, y X. Al par (X, k · k) se le llama espacio normado. Una aplicación p : X [0, ) que cumpla sólo las condiciones (ii) y (iii) se llama seminorma. Nota. Es posible definir normas distintas sobre el mismo espacio vectorial X, como el alumno puede conocer en Rn y que recordaremos más adelante en el Ejemplo 1. Una norma en un espacio vectorial induce una métrica d : X X R, (invariante por traslaciones) definida mediante, d(x, y) : kx yk, x, y X. El espacio (X, d) es un espacio métrico. La métrica d induce una topologı́a τd en X siendo una base local (B(x, ε))ε 0 el conjunto de las bolas centradas en el vector x X: B(x, ε) : {y X kx yk ε} x B(0, ε), ε 0. Escribiremos BX (x, ε) si queremos hacer explı́cito el espacio de Banach X. La bola unidad cerrada se denota por D(0, 1), DX D(0, 1) B(0, 1) {x X ; kxk 1}. Análogamente se utilizan las bolas cerradas D(x, ε) con x X y ε 0. Aunque esta no es la notación estándar en el Análisis Funcional, preferimos seguirla para beneficio del alumnado. En asignaturas anteriores, en especial en Topologı́a y Geometrı́a Elemental, la bola unidad abierta centrada en el origen se denota por B(0, 1). Mantendremos esta notación y escribiremos para la bola unidad cerrada D(0, 1), señalando a nuestro alumnado que en textos de Análisis Funcional el concepto importante son las bolas cerradas y que se pueden encontrar la escritura BX para denotar la bola unidad cerrada del espacio X. El espacio (X, τd ) es un espacio topológico y permite hablar de clausura de un conjunto, A, o del interior, Int(A), con A X; de propiedades topológicas como densidad, separabilidad, compacidad; al ser espacio métricos, son espacios T2 o de Hausdorff, es decir, para todo x 6 y X, existen un entorno de
Espacios normados 19 x y un entorno de y disjuntos entre sı́. También recordaremos las definiciones de funciones continuas y de funciones abiertas. Un espacio topológico se dice localmente compacto si cada punto admite una base de entornos compactos. Todos estos conceptos se suponen conocidos por el estudiante y se comentarán brevemente cuando vayan a ser utilizados. Volviendo a espacios normados, las operaciones algebraicas y la norma de un espacio normado (x, y) 7 x y, (λ, x) 7 λx, x 7 kxk, son aplicaciones continuas. En espacios normados (como en cualquier espacio métrico) la continuidad de aplicaciones se puede probar a través de sucesiones. Definición 1.2 Sean (X, k · k) un espacio normado y (xn )n N X. (i) La sucesión (xn )n N se dice convergente a x X si para todo ε 0 existe n0 N tal que kxn xk ε para todo n n0 . (ii) La sucesión (xn )n N se dice de Cauchy si para todo ε 0 existe n0 N tal que kxm xn k ε para todo m, n n0 . Si (xn )n N converge a x se escribe limn xn x, xn x o limn kxn xk 0. Toda sucesión convergente es de Cauchy, pero en algunos espacios no toda sucesión de Cauchy es convergente. Definición 1.3 Un espacio de Banach X es un espacio normado tal que toda sucesión de Cauchy es convergente (es decir, X es un espacio completo). En espacios normados es posible definir P series de vectores. Sean X un espacio normado y (xn )n N X. La serie n 1 xn se dice convergente a x X si N X lim xn x, N P n 1 P y se escribe x n 1 xn . La serie Pn 1 xn es de Cauchy si la sucesión PN Cauchy. La serie n 1 xn se dice que converge absolu( n 1 xn )N N es de P tamente si la serie n 1 kxn k converge. La convergencia de las series absolutamente convergentes caracterizan a los espacios de Banach como probamos en la siguiente proposición y usaremos en varios resultados de este texto. Proposición 1.4 Sea X un espacio normado. Entonces X es un espacio de Banach si y solamente si toda serie absolutamente convergente es convergente. P Demostración. Sea X un espacio de Banach y n 1 xn una serie absolutamente convergente. Notemos que toda serie absolutamente convergente es una serie de Cauchy, y como X es un espacio de Banach, la serie es convergente. Recı́procamente, sea ahora una sucesión de Cauchy (xn )n N X. Nótese que la sucesión (xn )n N X es convergente si y sólo si la serie
20 Introducción a los espacios normados X (xn 1 xn ) n 0 es convergente, y ambos lı́mites coinciden si x0 0. Por ser la sucesión (xn )n N X de Cauchy, existen n1 n2 n3 . nk . de modo que 1 , m, n nk . 2k P Se definen yk xnk 1 xnk y la serie k 1 yk es absolutamente convergente y por hipótesis convergente a x X. Por tanto la sucesión (xnk )k converge a x xn1 . Al ser (xn ) una sucesión de Cauchy con una subsucesión convergente entonces (xn )n N es convergente. u t kxm xn k Sean X un espacio normado y k · k, k · k0 dos normas en X. Las normas k · k y k · k0 se dicen comparables si existe una constante a 0 tal que kxk0 akxk; y se dicen equivalentes si existen constantes 0 a b tales que akxk kxk0 bkxk, para todo x X. En este caso se indica que k · k k · k0 (es una relación de equivalencia). Nótese que dos normas son equivalentes si y sólo si inducen en X la misma topologı́a. El Teorema de los isomorfismos de Banach permite identificar normas equivalentes y normas comparables en espacios de Banach (ejercicio 3.4). Sea (X, k·k) un espacio normado e Y X un subespacio de X (recordamos que los subconjuntos Y X que heredan la estructura de espacio vectorial de X son los subespacios vectoriales de X). Entonces (Y, k · k) es un espacio normado. Además si X es Banach entonces Y es un espacio de Banach si y sólo si Y es cerrado en X. Sea Y un subespacio cerrado en un espacio vectorial normado X. El espacio vectorial cociente X/Y es un espacio normado con la norma cociente k · kX/Y dada por kx Y kX/Y : inf{kx yk ; y Y }. La norma cociente genera la topologı́a cociente, y si X es de Banach, entonces también lo es X/Y . Para terminar esta sección comentamos en detalle algunos ejemplos de espacios normados. Ejemplos (1) Espacios Kn . Sea X Kn con n N, 1 p y se define la norma k · kp : Rn R como à k(x1 , x2 , . . . xn )kp n X k 1 ! p1 xk p , 1 p ,
Espacios normados 21 y k(x1 , x2 , . . . xn )k max1 k n xk . Se cumple que k · kp es una norma y (Kn , k · kp ) es un espacio normado. La desigualdad triangular de la norma k·kp se llama a menudo desigualdad de Minkowski, à n X ! p1 xk yk p à k 1 n X ! p1 p xk à k 1 n X ! p1 yk p , k 1 y se prueba a partir de la desigualdad de Hölder: si 1 p y entonces ! q1 à n ! p1 à n n X X X q p yk , xk yk xk k 1 k 1 1 p 1 q 1, k 1 véase una prueba en ejercicio 1.1. Nótese que à k(x1 , x2 , . . . xn )k n X ! p1 1 xk p n p k(x1 , x2 , . . . xn )k k 1 y por tanto k · kp k · kq con 1 p, q . A partir de ahora consideraremos el espacio vectorial Kn dotado de la topologı́a usual, generada por cualquiera de las normas equivalentes k · kp con 1 p . (2) Espacios de sucesiones KN . Sea 1 p y el espacio vectorial p : {(xn ) n 1 K ; X xn p }. n 1 Se define la norma à k(xn )kp : X ! p1 p xn , n 1 y ( p , k · kp ) es un espacio de Banach. El espacio es definido como : {(xn ) n 1 K ; sup xn }, n y la norma k(xn )k : supn xn . El par ( , k · k ) es un espacio de Banach. Los subespacios c, c0 y c00 se definen como c : {(xn ) n 1 K ; (xn ) es convergente }, c0 : {(xn ) n 1 K ; lim xn 0}, n c00 : {(xn ) n 1 K ; existe n0 N tal que xn 0 para todo n n0 }. Nótese que c00 c0 c y que c0 , y c son subespacios cerrados de y por tanto (c0 , k · k ) y (c, k · k ) son espacios de Banach.
22 Introducción a los espacios normados El espacio (c00 , k · k ) es normado, pero no es completo. La clausura de c00 en ( , k · k ) es el subespacio (c0 , k · k ), mientras que la clausura de c00 en ( p , k · kp ) es el propio espacio ( p , k · kp ) con 1 p . (3) Espacios de funciones continuas. Sea K un conjunto compacto de un espacio topológico de Hausdorff. Sea el espacio vectorial C(K) definido por C(K) : {f : K K ; f continua}, y la norma kf k : maxs K f (s) . El par (C(K), k · k ) es un espacio de Banach y la convergencia en k · k se llama convergencia uniforme. El espacio C0 (Rn ) definido por C0 (Rn ) : {f : Rn K ; f continua, lim f (x) 0}, x con la norma kf k : sups Rn f (s) es un espacio de Banach. Por último sean n N y a, b R con a b y los espacios C (n) ([a, b]) definidos mediante C (n) ([a, b]) : {f : [a, b] K ; f continua, derivable n veces y f (n) continua}. Los espacios (C (n) ([a, b]), k · kn, ) son espacios de Banach con la norma kf kn, n X 1 (j) kf k . j! j 0 1.2 Aplicaciones entre espacios normados Las aplicaciones lineales son las aplicaciones que conservan la estructura de espacio vectorial. Sean X e Y dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K, una aplicación T : X Y se dice lineal si T (αx βy) αT (x) βT (y), α, β K, x, y X. Si T es biyectiva, T se dice isomorfismo algebraico. Se llaman funcionales lineales o formas a las aplicaciones lineales de un espacio vectorial sobre su cuerpo de escalares, f : X K. La continuidad en el origen de una aplicación lineal se transmite a todos los vectores y equivale a su continuidad uniforme. Proposición 1.5 Sean X e Y dos espacios normados, y T : X Y una aplicación lineal. Son equivalentes las siguientes afirmaciones. (i) T es continua. (ii) T es continua en 0. (iii)Existe C 0 tal que kT (x)k Ckxk para x X.
Aplicaciones entre espacios normados 23 Demostración. Es claro que (i) (ii). Probemos que (ii) (iii). Por continuidad en 0 existe δ 0 tal que kT (x)k 1 si kxk δ. Sea 0 δ 0 δ y x 6 0, entonces kxk x kxk kT (x)k 0 kT (δ 0 )k 0 . δ kxk δ (iii) (i) Sean x X y ε 0. Si tomamos y X con kx yk δ donde 0 δ ε/C entonces nótese que kT (x) T (y)k kT (x y)k Ckx yk Cδ ε. Con ello concluimos la demostración. u t Sea T un operador lineal y continuo entre espacios normados X e Y . Recordemos que la norma de T , kT k, se define mediante kT k : sup kT (x)k. kxk 1 Es fácil probar que si X 6 {0} entonces kT k sup kT (x)k sup x6 0 kxk 1 kT (x)k inf{C 0 ; kT (x)k Ckxk, x X}. kxk Denotaremos por L(X, Y ) el conjunto de aplicaciones lineales y continuas entre los espacios X e Y . La aplicación T 7 kT k es una norma en L(X, Y ), y por tanto (L(X, Y ), k · k) es un espacio normado. Teorema 1.6 Sean X e Y espacios normados. Si Y es un espacio de Banach entonces L(X, Y ) es también espacio de Banach. Demostración. Sea (Tn ) L(X, Y ) una sucesión de Cauchy. Fijado x X, es claro que (Tn (x)) Y es de Cauchy en Y y por tanto convergente. Se define T (x) : limn Tn (x). Es claro que T : X Y es lineal. Para probar la continuidad de T se tiene que kT (x)k k lim Tn (x)k lim kTn (x)k sup kTn (x)k sup(kTn k)kxk. n n n n Al ser (Tn ) una sucesión de Cauchy entonces supn (kTn k) y T L(X, Y ). Basta comprobar que Tn T en L(X, Y ). Sea ε 0; por ser (Tn ) una sucesión de Cauchy entonces existe n0 N tal que kTn Tm k ε para todo n, m n0 . Sean x X y n n0 , entonces kTm (x) Tn (x)k εkxk para todo m n0 . Como T (x) limm Tm (x) entonces kT (x) Tn (x)k k(T Tn )(x)k εkxk y kTn T k ε para n n0 . u t Nota. En el capı́tulo tercero probaremos (como consecuencia del teorema de Hahn-Banach) que la completitud de Y es una condición necesaria si L(X, Y ) es espacio de Banach (Teorema 3.5 (ii)).
24 Introducción a los espacios normados Dos espacios normados X e Y son isomorfos si existe T : X Y biyectiva, lineal, continua y de inversa continua. En este caso se escribe X ' Y y es equivalente a que existan m, M 0 tales que mkxk kT (x)k M kxk, x X. En el caso en que X e Y sean espacios de Banach toda aplicación biyectiva, lineal y continua entre ellos es un isomorfismo, (Corolario 3.25). Nótese que un mismo espacio vectorial X dotado con dos normas equivalentes puede ser considerado como dos espacios vectoriales isomorfos. Un isomorfismo isométrico es un isomorfismo T : X Y tal que kT (x)k kxk para x X. En este caso desde el punto de vista del Análisis Funcional es posible identificar los espacios. Definición 1.7 Sea X un espacio normado sobre K. Se llama espacio dual, X 0 , al espacio X 0 : L(X, K). Por el teorema anterior, si X es un espacio normado entonces X 0 es de Banach. Ejemplos. Podemos identificar los siguientes espacios duales (c0 )0 1 ; ( p )0 q , 1 1 1, 1 p ; p q ( 1 )0 , como sigue. Sea x (xn )n E c0 , p , con 1 p e y (yn )n E 0 . Entonces X y(x) xn yn . n 1 En la sección 2.5 probaremos versiones más generales de estos resultados. 1.3 Espacios de dimensión finita La condición de dimensión finita en los espacios vectoriales normados es muy exigente y provoca falta de variedad. Todos los espacios vectoriales ndimensional normados son isomorfos, las normas en un espacio vectorial finito dimensional son equivalentes y los conjuntos cerrados y acotados son compactos. Teorema 1.8 Toda aplicación lineal de Kn en cualquier espacio normado X es continua. Demostración. Sea T : Kn X una aplicación lineal. Si {ej }nj 1 es la base canónica de Kn , y (λ1 , · · · , λn ) Kn , tenemos que kT (λ1 , · · · , λn )k k n X j 1 λj T (ej )k n X j 1 λj kT (ej )k
Espacios de dimensión finita k(λ1 , · · · , λn )k2 25 n X kT (ej )k Ck(λ1 , · · · , λn )k2 j 1 donde C Pn j 1 kT (ej )k. Entonces T es continua por la Proposición 1.5. u t El siguiente teorema prueba que Kn es, salvo isomorfismos, el único espacio normado n-dimensional sobre K. Teorema 1.9 (Teorema de Tichonov) Sea X un espacio normado de dimensión n sobre K. Entonces toda biyección lineal de Kn en X es un isomorfismo. Demostración. Sea T : Kn X una biyección lineal. Por la proposición anterior existe C 0 tal que kT (x)k Ckxk, x Kn . Sea ahora Sn {x Kn ; kxk2 1} que al ser un compacto de Kn , entonces T (Sn ) es un compacto de X; al ser T inyectiva, entonces 0 6 T (Sn ). En particular T (Sn ) es un subconjunto cerrado de X que no contiene al cero. Por tanto existe ε 0 tal que D(0, ε) T (Sn ) . Además probaremos que D(0, ε) T (DKn (0, 1)). En caso contrario, sea z D(0, ε) \ T (DKn (0, 1)). Al ser T sobreyectiva existe x Kn tal que z T (x) y kxk2 1. Por tanto T (kxk 1 2 x) D(0, ε) T (Sn ) llegando a contradicción. En conclusión, T 1 (D(0, ε)) DKn (0, 1), y por tanto εkxk2 kT (x)k para x Kn , concluyendo que T es un isomorfismo. t u Corolario 1.10 Las siguientes afirmaciones son ciertas. (i) Si X es un espacio normado de dimensión finita, toda aplicación lineal de X en otro espacio normado Y es continua. (ii)Toda biyección lineal entre dos espacios normados de dimensión finita es un isomorfismo. En consecuencia, dos espacios normados de dimensión finita son isomorfos si, y sólo si, tienen la misma dimensión. (iii) Todas las normas sobre un mismo espacio vectorial de dimensión finita son equivalentes. (iv)Todo espacio normado de dimensión finita es un espacio de Banach. (v) Todo subespacio finito dimensional de un espacio normado es cerrado. (vi) Un subconjunto de un espacio normado de dimensión finita es compacto si y sólo si es cerrado y acotado (Teorema de Bolzano-Weierstrass). Demostración. (i) Sean X un espacio normado n-dimensional y T : X Y una aplicación lineal. Siempre se puede definir una biyección lineal T1 : Kn X. Por el teorema anterior T1 es un isomorfismo, y como T T1 : K n Y
26 Introducción a los espacios normados es lineal, por el Teorema 1.8 es continua. Por tanto T (T T1 ) T 1 es continua. (ii) Sean X e Y espacios normados. Si X e Y son isomorfos, entonces son algebraicamente isomorfos y por tanto tienen la misma dimensión. Recı́procamente, si X e Y tienen la misma dimensión finita, entonces existe una biyección lineal y por (i) es continua. (iii) Sean X un espacio de dimensión finita sobre K y k · k1 , k · k2 dos normas sobre X. Consideremos la aplicación identidad de IX : (X, k · k1 ) (X, k · k2 ), la cual es un isomorfismo y por tanto las normas son equivalentes. (iv) Sea X un espacio de dimensión finita n sobre K. Por el teorema anterior X es isomorfo a Kn , y como éste es completo, X es completo. (v) Sean X un espacio normado y M un subespacio-finito dimensional de X. Por el apartado (iv) M es completo y por tanto es cerrado. (vi) Sean X un espacio normado de dimensión finita n sobre K y A un subconjunto de X. Si A es compacto entonces es cerrado y acotado (esto es cierto en cualquier espacio métrico). Recı́procamente, sea A cerrado y acotado y sea T : X Kn un isomorfismo. Es claro que T (A) es cerrado y acotado en Kn , luego T (A) es compacto, y por la continuidad de T 1 se sigue que A T 1 (T (A)) es compacto en X. u t Las afirmaciones análogas a las anteriores en el caso de espacios vectoriales infinito dime
A principios de los sesenta las herramientas que un joven analista fun-cional necesitaba eran diversas como eran sus posibles aplicaciones. La teor ıa de Choquet uni o el An alisis Funcional Lineal con la teor ıa de operadores; esto hizo que la teor ıa de la medida fue una valiosa aliada del An alisis Funcional.
adentrando en la teor ıa m ınima necesaria para resolver multiples problemas del An alisis Funcional. . y los ejercicios propuestos no son simplemente ejercicios adicionales, . puesto que se originan en los ejercicios resueltos o los generalizan. 1.3 Sobre el enfoque global en el curso de An alisis Funcional Para el logro de valores .
Introducci on (‘p)0 ‘q, 1 p (c0)0 ‘1Criterio de continuidad de un funcional lineal (repaso) Proposici on Sea V un espacios normado complejo y sea f: V C un funcional lineal. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes. (a) fes Lipschitz continuo. (b) fes uniformemente continuo. (c) fes continuo. (d) fes continuo en el punto 0 V
trabajo de la fuerza funcional, la cual es la fuerza que involucra a todo el cuerpo y no a un grupo aislado de músculos. Se trata de la fuerza que se utiliza en los deportes y también en la vida cotidiana. Este Curso Superior en Entrenamiento Funcional le va a capacitar para realizar entrenamientos funcionales. A quién va dirigido Todos aquellos profesionales del ámbito deportivo .
Sistema de control DeltaV 7009 Curso básico 4.5 2-6 4-8 5-9 7017 Curso avanzado 4.5 16-20 18-22 2-6 7016 Curso batch 4,5 20-24 19-23 7018 Curso mantenimiento 4 23-26 8-11 16-19 7012 Curso operación 3 13-15 14-16 1-3 Sistema de Control Ovation OV-010 Curso de Operación 3 2-4 11-13 21-23 OV-100-WIN Curso de Ingenieria 4.5 23-27 22-26 26-30
Nº de créditos: 4.5 ECTS. Unidad Temporal: 4 curso -2 cuatrimestre. Profesores de la asignatura: Dr. Salvador Romero Arenas y Dra. Raquel Vaquero Cristóbal. Email: sromero@ucam.edu y rvaquero@ucam.edu Horario de atención a los alumnos/as: Lunes y miércoles de 9:00 a 10:00. Profesor/a coordinador de módulo, materia o curso: Dr. Pablo Jorge Marcos Pardo. Recuperación Funcional del .
que se basa sobre todo en el trabajo de la fuerza funcional, la cual es la fuerza que involucra a todo el cuerpo y no a un grupo aislado de músculos. Se trata de la fuerza que se utiliza en los deportes y también en la vida cotidiana. Este Master en Entrenamiento Funcional de Alto Rendimiento le va a capacitar para realizar entrenamientos funcionales, ejercer como entrenador deportivo y .
TEMA 5: ENCUADERNACIÓN FUNCIONAL INDICE 1.- Utilización de la encuadernación funcional 2.- Tipos de enc
Financial Accounting Working Papers, Robert F. Meigs, Jan R. Williams, Sue Haka, Susan F. Haka, Mark S Bettner, Jun 1, 2000, Business & Economics, 400 pages. . Accounting Chapters 1-14 The Basis for Business Decisions, Robert F. Meigs, Jan R. Williams, Sue Haka, Susan F. Haka, Mark S. Bettner, Sep 1, 1998, Business & Economics, . The Study Guide enables the students to measure their progress .
