Devetgodi[No Osnovno Obrazovanie

Dve mno estva A i V se ednakvi ako se sostaveni od isti elementi. Zapi{uvame: A V 10 5 Dali se ednakvi mno estvata A {1, 3, 5, 7} i B {1, 2, 5, 7}? Za dve mno estva A i V {to ne se ednakvi, pi{uvame: A V. no: {s, t, o, l} {l, o, s, t} Koi od slednive mno estva se ednakvi me u sebe: A {x x 5 i x 10}, B {8, 7, 6, 9}, C {5, 6, 7, 8, 9, 10}, D {6, 7, 8, 9}? 6 V 7 Razgledaj go crte ot! Elementi na mno estvoto M se rozi, a na mno estvoto S se crveni rozi. M S Dali sekoj element na mno estvoto S e element na mno estvoto M? Za mno estvoto S velime deka e podmno estvo na mno estvoto M, ako sekoj element na mno estvoto S e element na mno estvoto M. Zapi{uvame: S M. Ako mno estvoto S e podmno estvo na mno estvoto M i M ima elementi {to ne mu pripa aat na mno estvoto S, toga{ S se vika vistinsko podmno estvo na M. Zapi{uvame S M. 8 Mno estvoto Y e dadeno so Venov dijagram. Dali mno estvoto R e podmno estvo na mno estvoto Y? Obrazlo i go svojot odgovor! Dali mno estvoto K e vistinsko podmno estvo na mno estvoto Y? Obrazlo i! Koe od slednite tvrdewa e to no: P S; S S i S S? Y 1 3 2 R 5 K 4 6 7 Voo i! Sekoe mno estvo e podmno estvo samo na sebe. A A. Primer: {a, b, c} {a, b, c}, zatoa {to sekoj element od prvoto mno estvo e element na vtoroto mno estvo. Praznoto mno estvo e podmno estvo na sekoe mno estvo. A.

Treba da znae{ Proveri se! Da navede{ primeri za ednakvi, odnosno ekvivalentni mno estva; 11 Dadeno e mno estvoto P {5, 10, 15, 20}. Zapi{i mno estvo K ekvivalentno so mno estvoto R. da razlikuva{ ekvivalentni mno estva od ednakvi mno estva; Zapi{i mno estvo L ednakvo so mno estvoto R. da znae{ {to e podmno estvo i {to e vistinsko podmno estvo; Zapi{i dve podmno estva na mno estvoto R. da odredi{ podmno estvo od dadeno mno estvo. Zada i 1. Na crte ot gi voo uva{ mno estvata D i N. 7 3 2 eto u ili{te, R e mno estvoto u enici vo {esto oddelenie, K e mno estvoto u enici od tvojata u ilnica, a elementot y si ti, u eniku. So Venov dijagram pretstavi gi mno estvata U, P, K i elementot y. D 5 9 2. Neka U e mno estvoto u enici vo tvo- 1 6 8 4 10 N Zapi{i go mno estvoto D na tabelaren na in. 3. Ako y K i K R, toga{ y R. Dali e to no? Zo{to? 4. Zapi{i gi site podmno estva na mno estvoto A {a, b, c}. Zapi{i go mno estvoto N na opisen na in. Dali mno estvata D i N se ekvivalentni? Zo{to? [to e to no za D i N: D N ili N D? Zo{to? Dosetka I ova e matemaika! Vo edna prodavnica za metalni proizvodi, me u kupuva ot i prodava ot se vodel sledniot razgovor: "Kolku pari e eden?#, pra{al kupuva ot. "Deset denari#, odgovoril prodava ot. "Za kolku pari mo am da kupam dvanaeset?#, pra{al kupuva ot. "Dvaeset denari#, odgovoril prodava ot. "Dobro, dajte mi toga{ trista i dvanaeset#, ka al kupuva ot. "Toa }e ve ini, gospodine, trieset denari.# [to kupil kupuva ot?

4 12 PRESEK, UNIJA I RAZLIKA NA MNO@ESTVA Potseti se! A A 1 S Dadeni se mno estvata A {1, 2, 3, 4, 5} i B {3, 4, 5, 6}. V Pretstavi gi mno estvata A i V so Venov dijagram. Mno estvoto zaedni ki elementi na A i V ozna i go so S. Mno estvoto S pretstavi go na tabelaren na in. Spored crte ot A e mno estvo crveni figuri, V e mno estvo triagolnici, a S e mno estvo crveni triagolnici. Voo i go re{enieto. C {3, 4, 5}. C A Zo{to mno estvoto S e presek na mno estvata A i V? Mno estvoto S e presek na mno estvata A i V. B 1 3 2 4 5 6 Presek na dve mno estva A i V e mno estvoto S obrazuvano od elementite {to se zaedni ki za A i V. Zapi{uvame: C A V i itame: „S e ednakvo na A presek V“. x A V, zna i: x A i x V. 2 Neka A {1, 2, 3, 4}, B {2, 4, 5, 7} i C {1, 4, 5}. Opredeli gi mno estvata: A B, A C i B A. Dali mno estvata A B i B A se ekvivalentni? Dali se razli ni? Pretstavi gi mno estvata A, V i S so Venov dijagram, taka {to da mo e da se odredat elementite na nivnite preseci. B 3 Na crte ot se dadeni mno estvata A, V i D. Zapi{i gi mno estvata A, V i D na tabelaren na in. Mno estvoto D e unija na mno estvata A i V. D A V 1 3 2 6 5 7 4 10 9 8

Unija na mno estvata A i V e mno estvoto D obrazuvano od site elementi na tie mno estva. Zapi{uvame: D A V i itame: „D e ednakvo na A unija V”. x A V, zna i: x A ili x V. 4 Na crte ot se dadeni mno estvata A, V i C so Venov dijagram. Zapi{i gi na tabelaren na in mno estvata: V C A 1 A, V i C. 2 13 12 3 C B, C A i B A. 14 11 9 A , B C, B A i A C. V 5 13 Dadeni se mno estvata A {1, 2, 3, 4, 5} i V {2, 4, 6, 8}. Odredi gi mno estvata A V i V A. Dali mno estvata A V i V A se razli ni? Odredi gi mno estvata A V i V A. Dali mno estvata A V i V A se ednakvi? Voo uva{ deka: A V V A i A B B A Presekot na dve mno estva ima komutativno svojstvo. Unijata na dve mno estva ima komutativno svojstvo. 6 Poka i deka za presekot, odnosno za unijata, na mno estvata B i S od zada ata 4 va i komutativnoto svojstvo. Proveri go komutativnoto svojstvo za nivnata unija. 7 Voo i! Neka A {3, 6, 9}, B {2, 4, 6, 8} i C {1, 3, 5, 9}. Odredi A B, a potoa (A B) C. Odredi B C, a potoa A (B C). Dali (A B) C A (B C)? Proveri dali va i: (A B) C A (B C). Problem Unijata na tri mno estva ima asocijativno svojstvo. Presekot na tri mno estva ima asocijativno svojstvo. Izberi tri mno estva A, V i S i poka i deka (A V) S A (V S). Ako se znae deka x A B, dali x B? G 8 Razgledaj go crte ot. So Venov dijagram se pretstaveni mno estvata A i V. A 1 6 5 2 7 8 B 3 9 Zapi{i gi na tabelaren na in mno estvata A i V. Zapi{i go na tabelaren na in mno estvoto S ii elementi se onie elementi od mno estvoto A {to ne se elementi na mno estvoto V.

Mno estvoto S {1, 2, 5, 6} dobieno na vakov na in e razlika na mno estvoto A i mno estvoto V, odnosno S A \ V. 14 Mno estvoto S od elementite {to mu pripa aat na mno estvoto A, a ne mu pripa aat na mno estvoto V se vika razlika na mno estvoto A so mno estvoto V. Zapi{uvame: S A \ V i itame: „S e ednakvo na A minus V”. x A \ B zna i: x A i x B. 9 Neka A {1, 2, 3, 4}, B {1, 2, 3, 5, 7, 9} i C {3, 5, 7, 9, 11}. Zapi{i gi na tabelaren na in mno estvata: A \ B, B \ A, B \ C i A \ (B \ C). Dali A \ B B \ A? I E EDNAKVA NA {TO L E U NIV? M RAZLIKATA Proveri dali e to no: A \ (B \ C) (A \ B) \ C? Razlikata na mno estvata nema ni komutativno ni asocijativno svojstvo. 10 Neka M {x x e priroden broj i x 7}, S {5, 6, 7, 8, 9} i P {x x e priroden broj od prvata desetka}. Odredi: M Y. Y R. M (R \ Y). P \ M. Treba da znae{! Proveri se! Da odredi{ presek na dve mno estva; da odredi{ razlika na dve mno estva; da odredi{ unija na dve mno estva; deka presekot, odnosno unijata, ima komutativno i asocijativno svojstvo. Zada i 1. Na crte ot se dadeni mno estva so Venovi dijagrami pod a, b i v. Koi operacii se pretstaveni so oboenite delovi? Dadeni se mno estvata A {a, b, f, g}, B {b, c, e, f, 1, 2} i C {b, c, e, 1}. Zapi{i gi mno estvata: A B. B \ C. A B C. Odredi δA i δM. Zapi{i gi na tabelaren na in A M, M A i M \ A. Odredi: δ(A M), δ(A M) i δ(M \ A). 3. Neka R e mno estvoto parni broevi, a Y e mno estvoto neparni broevi od prvata desetka. a) b) 2. Dadeni se mno estvata v) A {m, n, p, k} i M {s, p, t, k, r} [to pretstavuva: a) unijata na R i Y; v) razlikata na R i Y; b) presekot na R i Y; g) razlikata na Y i R? Obrazlo i go svojot odgovor za sekoj od slu aite pod a, b, v i g.

5 PODREDEN PAR. DEKARTOV PROIZVOD Potseti se! Dadeni se mno estvata {2, 3} i {3, 2}. Tie se dvoelementni, t.e. se sostaveni od par elementi. Dali {2, 3} {3, 2}? Zo{to? No, vo nekoi slu ai, redosledot na elementite vo parot ima bitno zna ewe: par rakavici, par evli i dr. A 1 15 Na crte ot e pretstavena kino sala. Tretiot stol vo vtoriot red i vtoriot stol vo tretiot red se prazni. Redot i stolot pretstavuvaat eden par. Neka prviot broj od parot go ozna uva redot (2), a vtoriot broj go ozna uva stolot (3). Toa go zapi{uvame so (2, 3) i velime deka e podreden par. Dali podredenite parovi (2, 3) i (3, 2) ozna uvaat isto mesto vo salata? Tie ozna uvaat razli ni mesta vo salata. Parot (a, b) vo koj to no se znae koj element e prv, a koj element e vtor se vika podreden par. Vo podredeniot par (a, b), a e prva komponenta, dodeka b e vtora komponenta. Neka mno estvoto A {s, p, q}, a mno estvoto B {1, 2}. 2 Zapi{i gi site podredeni parovi ija prva komponenta e element na A, a vtorata komponenta e element na V. Zapi{i gi site podredeni parovi ija prva komponenta e element na V, a vtorata komponenta e element na A. Da zapomnam! Podredeniot par (a, b) e ednakov na podredeniot par (c, d) ako a c i b d i se zapi{uva (a, b) (c, d). Dali podredeniot par (s, 1) e ednakov so (1, s)? B 3 Neka A {1, 2} i B {a, b, c}. Formiraj go mno estvoto ii elementi se site podredeni parovi na koi prvata komponenta e od mno estvoto A, a vtorata komponenta e od mno estvoto V. Mno estvoto na koe elementi mu se site podredeni parovi ija prva komponenta e element od mno estvoto A, a vtorata komponenta od mno estvoto V se vika Dekartov proizvod na mno estvata A i V. Se ozna uva so A h V. Se ita A po V. A h V {(x, y) x A i y B}. 4 Dadeno e mno estvoto S {1, 2, 3} i Dekartoviot proizvod S x P {(1, a), (2, a), (3, a)}. Zapi{i go mno estvoto R na tabelaren na in.

16 5 Dadeno e mno estvoto A {a, b}. Odredi go Dekartoviot proizvod A x A. Voo i i zapomni A h A e Dekartov proizvod na mno estvoto A. Dekartoviot proizvod A h A se vika Dekartov kvadrat i se ozna uva so A2. Se ita: „A na kvadrat.” 6 Odredi go Dekartoviot kvadrat na mno estvoto M {5, p}. Treba da znae{! Proveri se! Da razlikuva{ dvoelementno mno estvo od podreden par; Dadeni se mno estvata A {a, b}, B {5, 55} da gi odredi{ site podredeni parovi za dve dadeni mno estva; {to e Dekartov proizvod; Zapi{i gi site podredeni parovi ija prva komponenta e element na mno estvoto A, a vtorata komponenta e element na mno estvoto S. da odredi{ prva i vtora komponenta na podreden par; Zapi{i go mno estvoto A h V na tabelaren na in. {to e Dekartov kvadrat. Zapi{i go mno estvoto V2. i C {m, n}. Zada i 1. Zapi{i gi podredenite parovi na koi prvata komponenta e od mno estvoto A {2, 5}, a vtorata komponenta od mno estvoto V {a, b, c}. 4. Dadeno e mno estvoto Y h R {(0, m), (1, m), (2, m)}. Odredi go mno estvoto Y. Odredi go mno estvoto R. Odredi go Dekartoviot kvadrat na 2. Koj broj treba da stoi na mestoto od za podredenite parovi da bidat ednakvi: a) (5, ) (5, 2); b) ( , 6) (8, 6); v) ( , 3) (7, )? 3. A e mno estvo imiwa: A {Jovan, Biljana, Dragan}. V e mno estvo glagoli: V {pee, spie, u i}. Odredi go Dekartoviot proizvod A h V. mno estvoto Y. Podredenite parovi }e mi bidat prosti re enici. Na primer: Jovan pee.

6 17 NIZA OD PRIRODNITE BROEVI Prirodni broevi! Potseti se! 1 2 3 4 5 . Kolku klupi ima vo tvojata u ilnica? Odredi go brojot na mom iwata vo tvojata paralelka. A 1 So cifri zapi{i gi broevite: Pro itaj gi broevite: 23, 1005, 207, 987 000. sto pedeset i {est; devetstotini i eden; So koi cifri e zapi{an brojot 813 265? Kolku cifri se koristat za zapi{uvawe na broevite? Koi se tie? eden milion. Za sekoj od tie broevi velime deka e priroden broj. Broevite: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ., 99, 100, 101, ., 9 999, 10 000, . se vikaat prirodni broevi, a taka naredeni eden po drug ja obrazuvaat nizata na prirodnite broevi. Mno estvoto prirodni broevi se ozna uva so N; N {1, 2, 3, 4, .}. Brojot 0 ne go smetame za priroden broj. Zatoa 0 N. Mno estvoto od site prirodni broevi i brojot 0 se ozna uva so N0; N0 {0, 1, 2, 3, 4, .} B 2 Na crte ot voo uva{ ulica i dva reda ku}i ozna eni so broevi. So koi broevi se ozna eni ku}ite od ednata strana na ulicata? So koi broevi se ozna eni ku}ite od drugata strana na ulicata? Broevite: 1, 3, 5, 7, . se neparni broevi, a 2, 4, 6, 8, 10 . se parni broevi. Koi od broevite: 36, 13, 1 111, 100 000, 99 se parni, a koi se neparni? 3 V a 4 Kako }e opredeli{ brojna prava? O A 0 1 O A S 0 1 2 a Raboti spored barawata i sledi go crte ot. Nacrtaj prava a. Na pravata a ozna i dve to ki O i A. Na to kata O pridru i go brojot 0, a na to kata A brojot 1. a

18 Otse kata OA ja zemame za edini na otse ka, t.e. OA 1. Na polupravata OA, od to kata A, prenesi ja edini nata otse ka OA. Krajnata to ka ozna i ja so S i pridru i ñ go brojot 2. Kako }e odredi{ to ka {to odgovara na brojot 3? Voo i i zapomni! Na ovoj na in e opredelena prava na koja mo e da se pretstavuvaat prirodnite broevi. Taa prava se vika brojna prava. Razgledaj go crte ot: 5 Koj broj e za 1 pomal od brojot 6? Koj broj e za 1 pogolem od brojot 6? 6 0 1 2 3 4 6 Brojot 5 e prethodnik, a brojot 7 e sledbenik na brojot 6. Koj e prethodnik, a koj e sledbenik na brojot 100? Kako se dobiva prethodnikot, a kako sledbenikot na eden broj? 7 Zapi{i eden mnogu golem priroden broj. Dodaj go brojot 1 na brojot {to si go zapi{al. Dali ima pogolem broj od brojot {to go dobi? Na koj bilo broj mo am da mu dodadam 1 i }e dobijam pogolem broj. Sekoj broj od nizata na prirodnite broevi, osven 1, se dobiva koga na negoviot prethodnik }e mu se dodade brojot 1. 2 1 1; 3 2 1; .; 100 99 1; .; 365 364 1; . Sekoj priroden broj ima sledbenik. Prirodnite broevi se podredeni po golemina: 1 2 3 . 56 57 . 1 008 . Ne postoi najgolem priroden broj. Ima beskone no mnogu prirodni broevi. Mno estvoto N od prirodnite broevi e beskone no mno estvo. Voo i drug primer za beskone no mno estvo. 8 Mno estvoto od prirodni broevi ija cifra na edinici e 1, t.e. {1, 11, 21, 31, .}. Koe od slednite mno estva e beskone no? Mno estvoto na parni broevi. Mno estvoto na neparni broevi. Brojot na itelite vo R. Makedonija. Brojot na zrnca pesok na edna pla a.

9 19 Zapi{i gi podredeni prirodnite broevi na tretata desetka vo pettata stotka. Treba da znae{! JA S SU M PR ET HO DN IK ! Da razlikuva{ {to e cifra, a {to broj; JA S SU M SL ED BE NI K! da odredi{ sledbenik i prethodnik na daden priroden broj; da pretstavuva{ prirodni broevi na brojna prava; da navede{ primeri za beskone no mno estvo. Proveri se! Dadeni se cifrite: 7, 4 i 0. Formiraj gi site tricifreni prirodni broevi so koristewe na dadenite cifri. Podredi gi broevite {to gi formira po nuvaj}i od najgolemiot broj. Zapi{i gi prethodnikot i sledbenikot na najgolemiot broj {to go formira. Navedi primer za beskone no mno estvo. Zada i 1. Na crte ot ima kniga so skinati stranici. 2. 0 Koi broevi na brojnata prava treba da se zapi{at na praznite mesta? 10 20 30 40 50 60 100 120 140 160 Zapi{i go so zborovi brojot ozna en so strelkata. 0 Zapi{i gi brevite na stranicite od knigata {to se skinati. So koi cifri se zapi{ani broevite na tie stranici? Zapi{i go mno estvoto A od parnite broevi na stranicite {to nedostasuvaat vo knigata. 10 20 30 40 50 60 70 80 3. Nacrtaj brojna prava i na nea pretstavi gi parnite broevi od 0 do 20. 4. Mno estvoto S {x x e neparen priroden broj}, zapi{i go na tabelaren na in. Koj element e najmal vo mno estvoto Y? Dali mno estvoto Y ima najgolem element? Kolku elementi ima mno estvoto Y?

7 20 DEKADEN BROEN SISTEM 3 1 2 0 4 56 7 8 9 Potseti se! Kolku desetki ima brojot 100? Kolku iljadi ima brojot 3 865? A Kolku edinici ima brojot 128 563? 1 Zapi{i go so cifri brojot pretstaven na pozicionata smetalka. Zapi{i go mno estvoto S od site cifri so koi se zapi{uvaat prirodnite broevi. Odredi go δS. SI 2 DI EI S D Ima deset cifri. Site prirodni broevi gi zapi{uvame so desette cifri: 0, 1, ., 9. Broevite gi zapi{uvame vo dekaden broen sistem. E Razgledaj ja tabelata vo koja e zapi{an brojot 7 143 528. Sekoja cifra na brojot e zapi{ana na odredena pozicija (mesto). Sekoja grupa od tri cifri, odej}i oddesno nalevo, e zapi{ana vo odredena klasa. KLASA MILIONI SM DM KLASA ILJADI KLASA EDINICI EM SI DI EI S D E 7 1 4 3 5 2 8 Vo klasata milioni na pozicijata edinici milioni e zapi{ana cifrata 7. Koja e nejzinata poziciona vrednost? Na koja pozicija e zapi{ana cifrata 2? Pozicionata vrednost na cifrata 4 vo brojot 7 143 528 e etirieset iljadi. Koja e pozicionata vrednost na cifrata 3, a koja na cifrata 8? Se potsetiv! 7 1 000 000 7 000 000. Vo zapisot na broevite, sekoja cifra poka uva broj na edinici ili broj na desetki ili broj na stotki itn., soodvetno na pozicijata (mestoto) na koe e zapi{ana.

3 21 Razgledaj ja tabelata so podatoci za brojot 34 509. Nie sme isti 34 509 Cifra Pozicija na Poziciona Klasa koja e zapi{ana vrednost na cifrata cifrata 3 Iljadi DI 30 000 4 Iljadi EI 4 000 5 Edinici S 500 0 Edinici D 0 9 Edinici E 9 Jas vredam pove}e 2 20 Sostavi tabela za brojot 2 628 i vo nea zapi{i gi podatocite za sekoja cifra. 4 Voo i! Za kolku pati se zgolemuva vrednosta na cifrata 3 po nuvaj}i od pozicijata na edinicite? EI S D E 3 3 3 3 Broevite 1, 10, 100, 1 000 itn. se vikaat dekadni edinici. Zapi{i gi site dekadni edinici do 10 000 000. 100 10 1 000 B 5 Zapi{i go brojot koj{to ja sodr i cifrata 1, a po nea se dopi{ani: a) 3 nuli; b) 6 nuli; v) 9 nuli; g) 12 nuli; d) 18 nuli. Kako se vika brojot zapi{an pod a), a kako se vika brojot pod b)? Zapomni! Znam za a) i b). Kako li se vikaat drugite broevi?! 6 Brojot, zapi{an: 1 000 000 000, se vika milijarda; 1 000 000 000 000, se vika bilion; 1 000 000 000 000 000 000, se vika trilion. Zapi{i go so cifri brojot †Pedeset milijardi osumstotini milioni i dveste iljadi”. Koja e pozicionata vrednost na cifrite: 5; 8; 2 vo brojot 50 800 200 000?

22 Treba da znae{! Da odredi{ klasi na pove}ecifren broj; da ja odredi{ pozicionata vrednost na sekoja cifra vo daden broj; deka cifrite se znaci za zapi{uvawe na broevite. Proveri se! Razgledaj go crte ot! Pro itaj go brojot pretstaven na pozicionata smetalka i zapi{i go so cifri. Koja cifra ja zapi{a na pozicijata desetki iljadi i koja e nejzinata poziciona vrednost? EM SI DI EI S D E Zada i 3. Zapi{i go so cifri brojot †osum 1. Daden e brojot 5 203 478. Za sekoja od cifrite 5; 2; 7; 0 odredi: bilioni trista i dve milijardi {eeset milioni etiristotini iljadi i petstotini”. a) vo koja klasa se nao a; b) koja e nejzinata pozicija; v) koja e nejzinata poziciona vrednost. 4. Koj broj }e dobie{ ako na eden trilion ja izbri{e{ sekoja vtora nula? 5. Kako se ita brojot 5, a kako 2. Sostavi tabela od klasi i pozicii vo koja }e gi zapi{e{ cifrite na brojot 7 405 906. cifrata 5? 6. Kako se vika brojot {to ima milion milioni? Problem Sedumcifren broj po nuva so cifrata 7. Kako i da gi razmesti{ cifrite na toj broj, brojot ne se menuva. Koj e toj broj?

8 ITAWE I ZAOKRU@UVAWE NA PRIRODNI BROEVI Potseti se! A Zapi{i go so zborovi brojot: 16; 23; 45; 125; 50; 200. 1 23 Zapi{i go so zborovi brojot a) 157; b) 216; v) 350. Sporedi g

NAUM CELAKOSKI. Drag u eniku! Ti si ve}e vo {esto oddelenie i si navlezen vo tajnite na matematikata. So matematikata se sre}ava{ sekojdnevno: na u ili{te, doma, pa duri i vo tvoite igri. So ovaa kniga }e nau i{ novi interesni sodr ini od broevite. ]e stekne{ novi soz-nanija od geometrijata. Vo temata Merewe }e gi izu i{ mernite edinici za pove}e