M Etodos Computacionais Para Infer Encia Estat Stica
Métodos Computacionais para Inferência Estatı́sticaCapı́tulo 6 - Tópicos Adicionais - Clonagem de DadosPaulo Justiniano Ribeiro Jr.Wagner Hugo BonatElias Teixeira KrainskiWalmes Marques ZevianiLEG: Laboratório de Estatı́stica e GeoinformaçãoUniversidade Federal do Paraná20o SINAPE , 30-31/07/2012Bonat et. al (LEG/UFPR)MCIE20o SINAPE , 30-31/07/20121/1
Clonagem de dadosMotivaçãoClonagem de dados (data cloning)Lele (2007) e Lele (2010)(Outras referências)Implementação: algoritmos MCMCPacote R: clone (Sólymos, 2010)utiliza JAGS, BUGS ou OpenBUGSBonat et. al (LEG/UFPR)MCIE20o SINAPE , 30-31/07/20122/1
Clonagem de dadosIntuiçãoClonagem de dados (data cloning)Busca conciliar obtenção da verossimilhança com flexibilidade dosalgoritmos de Inf. Bayesiana (MCMC)Dados ”abundantes” dominam a prioriPosteriori reflete a verossimilhançaProposta: Clonar dados (K vezes): preserva informação essencialMédia da posteriori: converge para EMVK vezes a variância de posteriori: converge para variância assintóticado MLEEspecificacão de modelos e identificabilidadeBonat et. al (LEG/UFPR)MCIE20o SINAPE , 30-31/07/20123/1
Clonagem de dadosConstrução - GenéricaModelo hierárquico (Bayesiano)1[Y b, X ] f (µ, φ)2g (µ) X β Z b3b NMV (0, Σ).4priori: [β, Σ, φ].Posteriori informa sobre verossimilhança clonada LK (β, Σ, φ)R[ fi (yi β, Σ, φ)f (bi Σ)dbi ]K π(β)π(Σ)π(φ)Kπ (β, Σ, φ yij ) C (K ; yij )Z ZC (K ; yij ) [ fi (yi β, Σ, φ)f (bi Σ)dbi ]K π(β)π(Σ)π(φ)dβdΣdφBonat et. al (LEG/UFPR)MCIE20o SINAPE , 30-31/07/20124/1
Clonagem de dadosPassosEspecificar modelo completo (Bayesiano)Clonar dados (K vezes)MCMC em dados clonadosRepetir para diferentes KVerificar comportamentoResumos da posteriori informam sobre:LK (·)L(·) (assintoticamente)Bonat et. al (LEG/UFPR)MCIE20o SINAPE , 30-31/07/20125/1
Clonagem de dadosAlgoritmo12Dados K -clonado Y k (Y , Y , . . . , Y )Gerar amostras (MCMC) da posteriori [β, Σ,φ] utilizando dadosclonados Y kGere estado atual (β, Σ,φ) de [β, Σ,φ]Gere K valores dos efeitos aleatórios b, digamos b1 , b2 , . . . ,bK de[b θ ].Calcule q f (y b1 ,φ )f (y b2 ,φ ), . . . , f (y bK ,φ ) e faça q1 q Repita (a) e (b) obtendo novos valores (β, Σ,φ)@ e q @ .@Gere uma U(0,1) e calcule p min(1, qq1 ). Se U p(β, Σ,φ)j 1 (β, Σ, φ)j caso contrário (β, Σ,φ)j 1 (β, Σ,φ)@ .Repita (d) e (e) muitas vezes.3Calcule as médias e as variâncias amostrais para (θ,φ)j .Bonat et. al (LEG/UFPR)MCIE20o SINAPE , 30-31/07/20126/1
Clonagem de dadosIdentificabilidade1Estudar a identificabilidade de modelos em geral é não trivial.2Por vezes modelos são ajustados como se fossem identificáveis.3A atribuição de priori’s pode tornar um modelo ’identificável’.Sob clonagem dos dados:1Parâmetros são não-estimáveis: posteriori converge para a prioritruncada no espaço de não-identificabilidade dos parâmetros quandoaumenta-se o número de clones2Maior autovalor da matriz de variância-covariância a posteriori nãoconverge para 0.3Se a variância à posteriori de um parâmetro converge para 0 quandoaumentamos o número de clones, ele é estimável.Bonat et. al (LEG/UFPR)MCIE20o SINAPE , 30-31/07/20127/1
Clonagem de dadosExemplo I: Poisson com efeito aleatório1Modelo:Yij bi P(λi )log (λi ) β0 bibi N(0, 1/τ 2 )τ 2 G (1; 0,1)2Códigomod.poisson - function(){for(j in 1:n.ua){for(i in 1:n.rep){Y[j,i] dpois(lambda[j,i])log(lambda[j,i]) - beta0 b[j]}b[j] dnorm(0,tau)}beta0 dnorm(0, 0.001)tau dgamma(1, 0.01)}Bonat et. al (LEG/UFPR)MCIE20o SINAPE , 30-31/07/20128/1
Clonagem de dadosExemplo I: Poisson com efeito aleatório (cont)dados.list - list(Y t(matrix(dados y, 10, 10)), n.ua 10, n.rep 10)clone -dc.fit(data dados.list, model mod.poisson, params c("beta0","tau"),n.clones c(1,5,10,20,30,40,50), multiply "n.ua", unchanged "n.rep",n.iter 10000, n.adapt 500, n.update 500, thin 5) 1.8xx xx xx xx xxx τ2x 602.0x70β0x x xxxx xxxx4050101.0x xx00.8x15102030Number of clones405015102030Number of clonesβ0τ0 2 log(Scaled Variance) 3 2 1 log(Scaled Variance) 5 4 3 2 1 6 1Bonat et. al (LEG/UFPR)510Number of clones2030R.hat 1.1R.hat 1.1 40R.hat 1.1R.hat 1.1x201.2Estimate1.4 1.6Estimate30 40 50 50MCIE 1510Number of cloneso20305020 SINAPE , 30-31/07/20129/1
Clonagem de dadosExemplo II: Normal sem replicações1Modelo:Yi N(µi , 1/σ 2 )log (µi ) β0 bibi N(0, 1/τ 2 )σ 2 G (0,5; 0,5) ; τ 2 G (0,5; 0,5)2Códigomodel.normal - function(){for(i in 1:n){Y[i] dnorm(mu[i], 1/sigma2)mu[i] - b0 b[i]b[i] dnorm(0, 1/tau2)}b0 dnorm(0, 0.01)sigma2 dgamma(0.5, 0.5)tau2 dgamma(0.5, 0.5)soma - sigma2 tau2}Bonat et. al (LEG/UFPR)MCIE20o SINAPE , 30-31/07/201210 / 1
Clonagem de dadosExemplo II: Normal sem replicações (cont)k - c(1,5,10,20,30,40,50)Gclone1 - dc.fit(data dat.gauss, params c("b0","tau2", "sigma2"),model model.normal, n.clones k, multiply "n",n.iter 5000, n.adapt 1000, n.update 100, thin 5)Gclone2 - dc.fit(data dat.gauss, params c("soma"),model model.normal, n.clones k, multiply "n",n.iter 5000, n.adapt 1000, n.update 100, thin 5)φ σ2 τ 2 xxx 0.0xx1510 20 30 40Number of clones50xx15x R.hat 1.1R.hat 1.1 1510 20Number of clonesBonat et. al (LEG/UFPR)40 log(Scaled Variance) 0.8 0.40.0 xx x xx15 xxxxx10 20 30 40Number of clonesσ2x R.hat 1.1R.hat 1.1 510 20Number of clones40 MCIExx x xR.hat 1.1R.hat 1.1xxx xxxxx501510 20 30 40Number of clones50τ2 σ2 R.hat 1.1 R.hat 1.1 1 xτ2 1R.hat 1.1xxxR.hat 1.1 50 1.2 x10 20 30 40Number of clonesβ0log(Scaled Variance) 3 2 10 x2.22.0 xEstimate1.6 1.8 2.0 xx1.4xR.hat 1.1xR.hatx 1.1x510 20Number of cloneslog(Scaled Variance) 3 2 10x Estimate1.01.5 xxx0.5 xxxτ2 σ2τ2 x0.0 xσ2x0.5xR.hat 1.1R.hat 1.1log(Scaled Variance) 1.0 0.6 0.2 Estimate1.01.5Estimate4.8 4.9 5.0 5.1 5.2 R.hat 1.1R.hat 1.1 4β0x401510 20Number of clones 4020o SINAPE , 30-31/07/201211 / 1
Clonagem de dadosExemplo II: Normal sem replicações (cont)Cadeias MCMC:Density of b004.9254.96105.0015205.04Trace of b01000200030004000500060004.955.005.05Density of sigma20.00.51.01.50.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Trace of ty of tau20.00.20.50.41.00.61.50.8Trace of tau21000200030004000500060000.00.51.01.52.0Density of soma01.55241.6568101.75Trace of soma100020003000Bonat et. al 20o SINAPE , 30-31/07/201212 / 1
Clonagem de dadosExemplo III: Normal com replicações1Modelo:Yij N(µi , 1/σ 2 )log (µi ) β0 bibi N(0, 1/τ 2 )σ 2 G (1; 0,01) ; τ 2 G (1; 0.01)2Códigomod.gauss.rep - function(){for(j in 1:n.ua){for(i in 1:n.rep){Y[j,i] dnorm(mu[j,i], sigma2)mu[j,i] - beta0 b[j]}b[j] dnorm(0,tau2)}beta0 dnorm(0,0.01)tau2 dgamma(1,0.01)sigma2 dgamma(1,0.01)}Bonat et. al (LEG/UFPR)MCIE20o SINAPE , 30-31/07/201213 / 1
Clonagem de dadosExemplo III: Normal com replicações (cont)GcloneR - dc.fit(data dados.list, params c("beta0","tau2", "sigma2"),model mod.gauss.rep, n.clones c(1,5,10,20,30,40,50),multiply "n.ua", unchanged "n.rep",n.iter 5000, n.adapt 1000, n.update 100, thin 5)σ2 x xxxx xxxx x xx xxxx5x102030Number of clones405015102030Number of clonesβ040x x x5015 x4050τ2 510Number of clones2030 50Bonat et. al (LEG/UFPR) 4 1510Number of clones2030R.hat 1.1R.hat 1.1 1 3.5 1.5log(Scaled Variance) 2.5 1.5 0.5log(Scaled Variance) 3 2 1log(Scaled Variance) 1.0 0.5 x x x x102030Number of clonesσ0x xx2 R.hat 1.1R.hat 1.1x 0.5x1 x1.0x0.0x xx4.5xx 3.01.6xEstimate1.5 2.0 2.5Estimate5.0xEstimate1.21.45.5x τ2x1.06.0β0x50MCIE 1510Number of clones20305020o SINAPE , 30-31/07/201214 / 1
Clonagem de dadosExemplo III: Normal com replicações (cont)Cadeias MCMC8Density of beta002.523.544.565.5Trace of beta010002000Iterations3.03.54.04.55.0N 1000 Bandwidth 0.01103Trace of sigma23000400050002.5Density of sigma25.5021.20461.251.308 101.3500100020003000400050001.151.201.251.301.35N 1000 Bandwidth 0.00642IterationsDensity of tau200.210.621.0341.4Trace of tau201000200030004000IterationsBonat et. al (LEG/UFPR)MCIE50000.20.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4N 1000 Bandwidth 0.0192620o SINAPE , 30-31/07/201215 / 1
Clonagem de dadosExemplo III: Normal com replicação (cont)Cuidado com as interpretações das saı́das!summary(GcloneR)Iterations 105:5100Thinning interval 5Number of chains 3Sample size per chain 1000Number of clones 501. Empirical mean and standard deviation for each variable,plus standard error of the mean:MeanSD DC SD Naive SE Time-series SEbeta0 5.231 0.22414 1.5849 0.00409220.0165402sigma2 1.263 0.03004 0.2124 0.00054840.0005426tau21.108 0.13144 0.9294 0.00239980.0075793R hat1.0071.0001.0002. Quantiles for each variable:2.5%25%50%75% 97.5%beta0 5.1332 5.220 5.254 5.289 5.354sigma2 1.2046 1.242 1.263 1.282 1.322tau20.9265 1.055 1.117 1.176 1.301Bonat et. al (LEG/UFPR)MCIE20o SINAPE , 30-31/07/201216 / 1
Clonagem de dadosExemplo IV: Regressão Beta com efeitos aleatóriosBonat et. al (LEG/UFPR)MCIE20o SINAPE , 30-31/07/201217 / 1
Clonagem de dadosBibliografiaLele, S.; Dennis, B. ; Lutscher, F.Data cloning: easy maximum likelihood estimation for complexecological models using Bayesian Markov chain Monte Carlo methods.Ecology Letter 10: 551-563 (2007)Solymos, P.dclone: Data Cloning in R.The R Journal 2: 29-37 (2010)Lele, S. ; Nadeem, K. ; Schmuland, B.Estimability and Likelihood Inference for Generalized Linear MixedModels Using data Cloning.Journal of the American Statistical Association 105:1617-1625 (2010)Bonat et. al (LEG/UFPR)MCIE20o SINAPE , 30-31/07/201218 / 1
Pacote R: clone (S olymos, 2010) utiliza JAGS, BUGS ou OpenBUGS Bonat et. al (LEG/UFPR) MCIE 20oSINAPE, 30-31/07/2012 2 / 1. Clonagem de dados Intuic ao Clonagem de dados (data cloning) Busca conciliar obtenc ao da verossimilhanca com exibilidade dos algoritmos de
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