Wiskunde Voor - Pearson
Wiskundevooreconomiedrs. H.J.OtsHellevoetsluis
15-2-2004, Wiskunde voor economie, ISBN 90-70619-05-9,drs. H.J. Ots, www.webecon.nlWiskunde voor economieDrs. H.J. OtsISBN 90-70619-05-9 Webecon, Hellevoetsluis, 2000Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd,opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enigevorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën,opnamen, of enige andere manier zonder voorafgaande schriftelijke toestemming vande auteur/uitgever.Het is toegestaan een kopie/print te maken voor persoonlijk studiegebruik.Bij de uitgave en samenstelling van dit electronische studieboek is de uiterste zorgnagestreefd. Toch is het mogelijk dat er onjuistheden, (druk)fouten en/ofonvolkomenheden in de tekst en figuren zijn geslopen. Voor de gevolgen hiervanaanvaarden auteur en uitgever geen enkele aansprakelijkheid. Als u dit risico nietwilt nemen, moet u de publicatie niet (verder) lezen en gebruiken.Onvolkomenheden en fouten komen in de beste studieboeken voor.2
15-2-2004, Wiskunde voor economie, ISBN 90-70619-05-9, drs. H.J. Ots, www.webecon.nlStudiewijzerDoel van het studieboekDit boek is geschreven voor eerstejaarsstudenten, die wiskunde moeten toepassen bijhun economie-studie in het hoger onderwijs. De meeste wiskundeboeken vooreconomie zijn veel te technisch en uitgebreid; enkele honderden pagina’s is heelgewoon. In deze boeken worden tal van onderwerpen behandeld die voor een goedbegrip van economie niet nodig zijn. De onderwerpen die wel van belang zijnworden veel te uitgebreid behandeld, bijvoorbeeld het differentiëren van functies. Indit boek wordt alleen de wiskunde die noodzakelijk is voor het oplossen van economievraagstukken behandeld. Alle ballast is geschrapt. Men zal in dit boek ook geenbewijzen van stellingen aantreffen. De wiskunderegels worden echter welaannemelijk gemaakt.Na zorgvuldige bestudering van het boek heeft u voldoende basiskennis envaardigheid om de benodigde wiskunde bij de economische vakken toe te passen.InhoudHet boek bestaat uit drie hoofdstukken:Hoofdstuk 1Het begrip differentiaalquotiëntHoofdstuk 2Extreme waarden van functiesHoofdstuk 3Grafieken van functies, die niet van de eerste graad zijnStructuurElk hoofdstuk is op dezelfde wijze opgebouwd: de behandeling van de leerstof in een aantal korte, kernachtige paragrafen,waarin u vertrouwd wordt gemaakt met de verschillende wiskunderegels aan het eind van een paragraaf staan de te maken opgavenStudie-aanwijzingenBestudeer de theorie van een paragraaf en vergeet niet dat u de leerstof slechts kuntverwerken als u actief met de leerstof bezig bent. Dit betekent dat u de theorie nietalleen moet lezen, maar dat u de cijfervoorbeelden ook moet 'doorrekenen'. U kuntslechts wiskunde leren door veel te oefenen en door te controleren of u de leerstofbegrijpt. Verder moet u goed controleren of u de leerstof kunt reproduceren.Maak vervolgens de opgaven. Dit is van groot belang om u de leerstof eigen temaken. Evenals economie is wiskunde een ‘doe-vak’, dat men slechts onder de kniekrijgt door de theorie toe te passen. Door het maken van de opgaven kan wordengecontroleerd of het behandelde is begrepen. Het uitwerken van vraagstukken is ookessentieel om u goed voor te bereiden op een tentamen of examen.3
15-2-2004, Wiskunde voor economie, ISBN 90-70619-05-9,drs. H.J. Ots, www.webecon.nlIn mijn boek Bedrijfsrekenen voor het hoger onderwijs (Pearson educationNederland), heb ik de volgende elementaire leerstofonderdelen behandeld: Bewerkingen met getallenRijenVergelijkingen en ongelijkhedenGrafieken van eerstegraadsfunctiesEventueel kunt u eerst deze onderwerpen bestuderen, alvorens aan Wiskunde voorEconomie te beginnen.Drs. H.J. Ots4
15-2-2004, Wiskunde voor economie, ISBN 90-70619-05-9, drs. H.J. Ots, www.webecon.nlInhoudHoofdstuk 11.11.21.31.41.5Helling van een rechte lijnHelling van een krommeContinuïteit, differentieerbaarheidEen toepassingDifferentiërenHoofdstuk 22.12.2Extreme waarden van functiesGedrag van een functie en zijn eerste afgeleideBepaling van extreme waarden en buigpunten met behulp van hettekenverloop van de afgeleideHoofdstuk 33.13.23.33.43.53.6Het begrip differentiaalquotiëntGrafieken van functies, die niet van de eerste graad zijnParabolenBerekening van snijpunten en eken van jst van gebruikte tekens5
15-2-2004, Wiskunde voor economie, ISBN 90-70619-05-9,drs. H.J. Ots, www.webecon.nlLijst van symbolen y f(x) y x y xdy f '(x)dxd2y f"(x)dx2is gelijk aanis niet gelijk aanis kleiner danis groter danis groter dan of gelijk aanis kleiner dan of gelijk aany is een functie van xverandering van yverandering van xdifferentiequotiënteerste afgeleide van y f(x)tweede afgeleide van y f(x)6
15-2-2004, Wiskunde voor economie, ISBN 90-70619-05-9, drs. H.J. Ots, www.webecon.nl1 Het begrip differentiaalquotiënt1.1 Helling van een rechte lijnWe kunnen de helling of mate van steilheid van lijnstuk AC in fig. 1.1.1 meten doorΔyBC de breukABΔxWe spreken dit uit als: delta y delta x. y is de verandering van y en x is de verandering van x.fig. 1.1.1De helling van AC in fig. 1.1.1 geeft aan hoe y reageert op een verandering van x.Omdat van een rechte de helling overal even steil is, moet de verandering van y tenopzichte van de verandering van x steeds gelijk zijn. Het quotiënt van deveranderingen,Δydat we differentiequotiënt noemen, moet dus constant zijn. WeΔxzullen dit nu controleren met een berekening.7
15-2-2004, Wiskunde voor economie, ISBN 90-70619-05-9,drs. H.J. Ots, www.webecon.nlDe coördinaten van punt C moeten voldoen aan y ax b. Dus:y1 y a(x1 x) b y ax1 a x b - (ax1 b) y a xΔy aΔxAls we in fig. 1.1.1 de afstand AB steeds kleiner nemen, wordt de afstand BC ooksteeds kleiner. Het quotiënt van AB en BC blijft gelijk aan a. We noemen a derichtingscoefficiënt van y. Hoe groter deze coefficiënt, hoe steiler de rechte metvergelijking y ax b. Zie fig. 1.1.2.fig. 1.1.21.2 Helling van een krommeDe helling van een kromme is niet in elk punt van de kromme gelijk. Zie fig. 1.2.1 en2, waarin een kromme lijn is getekend.8
15-2-2004, Wiskunde voor economie, ISBN 90-70619-05-9, drs. H.J. Ots, www.webecon.nlfig. 1.2.1fig. 1.2.2De helling van boog AB is te benaderen doorΔy, de helling van het rechteΔxstippellijnstuk AB (zie fig. 1.2.2), mits AB niet te groot is.9
15-2-2004, Wiskunde voor economie, ISBN 90-70619-05-9,drs. H.J. Ots, www.webecon.nlAls we punt B langs de kromme tot punt A laten naderen, zullen de differenties yen x steeds kleiner worden. Als x nadert tot 0, zal het differentiequotiëntΔynaderen tot de richtingscoefficiënt van de raaklijn aan de kromme in punt A.ΔxDeze richtingscoëfficiënt is gedefinieerd als f’(x1) ofdyvoor (x x1). Dit sprekendxwe uit als: dé y dé x.dynoemen we differentiaalquotiën. Dit quotiënt is het symbool van dedxrichtingscoefficiënt van de raaklijn aan de grafiek van y f(x) in punt A.dyheeft uitsluitend symbolische betekenis en mag in tegenstellingDe schrijfwijzedxtot het differentiequotiënt niet als een gewoon quotiënt worden opgevat. Dedyis de notatie van het quotiënt van y en x als x nadert tot 0.schrijfwijzedxDe helling van een grafiek in een bepaald punt is gelijk aan de richtingscoefficiëntvan de raaklijn in dat punt aan de grafiek.1.3 Continuïteit, differentieerbaarheidDe grafiek van een continue functie is een doorlopende lijn, zonder sprongen of gaten. In fig. 1.3.1 is de grafiek van een discontinue functie getekend.fig. 1.3.110
15-2-2004, Wiskunde voor economie, ISBN 90-70619-05-9, drs. H.J. Ots, www.webecon.nlfig. 1.3.2Als y f(x) een differentiaalquotiënt heeft voor alle waarden van x, waarvoor y gedefinieerd is, noemen we y een differentieerbare functie.Een differentieerbare functie moet continu zijn. Het omgekeerde hoeft niet te gelden;niet elke continue functie is differentieerbaar. In fig. 1.3.2 is de grafiek getekend vaneen continue functie p f(q). Men noemt dit de geknikte vraaglijn. De functie is nietdifferentieerbaar voor q ql. In punt A kunnen we geen raaklijn trekken aan degrafiek.We zullen ons verder beperken tot differentieerbare functies, tenzij het tegendeelvermeld wordt.1.4 Een toepassingIn fig. 1.4.1 zijn twee prijs-afzetgrafieken getekend, die elkaar raken in punt C. Zoalsgebruikelijk in economieboeken is de p-as vertikaal en de q-as horizontaal getekend.11
15-2-2004, Wiskunde voor economie, ISBN 90-70619-05-9,drs. H.J. Ots, www.webecon.nlfig. 1.4.1De prijselasticiteit van de gevraagde hoeveelheid van een artikel is gedefinieerd alsEpv dq p.dp q(*)waarin p en q respectievelijk de prijs en de gevraagde hoeveelheid zijn van hetartikel.In punt C geldt:het differentiaalquotiëntdq- AB dpACp AC en q OAAls we dit substitueren in (*) krijgen we:Epv - AB AC.ACOA Epv - ABOAIn de economie noemt men dit het Marshall-criterium.1.5 DifferentiërenDifferentiequotiënt12
15-2-2004, Wiskunde voor economie, ISBN 90-70619-05-9, drs. H.J. Ots, www.webecon.nlWe bepalen eerst het differentiequotiënt van y f(x) x2 voor een willekeurigewaarde van x. Hiertoe laten we deze x -waarde willekeurig veranderen met x. Dedaardoor veroorzaakte verandering van y noemen we yNu geldt:y y (x x)2 y (x x)2 - y y (x x)2 - x2 y x2 2x x x2 - x2Δy 2xDx Dx2 DxΔxΔy 2x xΔxDifferentiaalquotiëntWe gaan nu over naar het differentiaalquotiënt:dy f'(x) 2xdxHet differentiaalquotiënt is blijkbaar ook een functie van x. We noemen deze functiede afgeleide functie van y of korter de afgeleide.dyen f’(x) schrijft men de afgeleide ook wel als y’.Behalve alsdxAls x nadert tot nul, nadert 2x x tot 2x. DusOp dezelfde wijze als voor y x2 kunnen we berekenen:y f(x) 2x2 dy f'(x) 4x 2 . 2x2 - 1dxy f(x) 3x2 dy f'(x) 6x 2 . 3x2 - 1dxy f(x) 4x2 dy f'(x) 8x 2 . 4x2 - 1dxy f(x) ax2 dy f'(x) 2ax 2 . ax2 - 1dx(a is een bekend getal)y f(x) axn dy f'(x) n . axn - 1dx13
15-2-2004, Wiskunde voor economie, ISBN 90-70619-05-9,drs. H.J. Ots, www.webecon.nln mag ook een (negatieve) breuk zijn. Hieruit volgt:Als y f(x) ax0, dan isAls y f(x) a, dan isdy1 f'(x) 0 . a0 - 1 0 . 0, dusdxady f'(x) 0dxAls y f(x) ax l, dan isAls y f(x) ax, dan isdy f'(x) 1 . ax l - 1 ax 0 a . 1 a,dxdy f'(x) adxNog enkele toepassingen:Toepassing 1:y f(x) 1 2x2 dy1 f'(x) 2 . x2 - 1 xl xdx2 dp f'(q) 2 . 3q2 - 1 6qdq dk f'(a) 4 . 2a4 - 1 8a3daToepassing 2:p f(q) 3q2Toepassing 3:k f(a) 2a4Toepassing 4:1 1/4p4dy11 11 f’(p) . p1/4 - 1 p- 3/4 dp4 41616p3/4y f(p) 1416 p314
15-2-2004, Wiskunde voor economie, ISBN 90-70619-05-9, drs. H.J. Ots, www.webecon.nlToepassing 5:1 2x2y f(x) 1/22xEerst vereenvoudigen: y 1 3/2x4dy3 1 3/2 - 1 3 1/2 3 f’(x) . .x x xdx2 488De somregelAls u, v en w functies van x zijn eny u v - w dan geldtdydudvdw dxdxdxdxOm een veelterm te differentiëren neemt men elke term afzonderlijk.Toepassing 6:y f (x) ax2 bx cdy f '(x) 2ax bdx(a, b en c zijn bekende getallen)Toepassing 7:p f(q) 2q2 -1q 22 dp1 f’(q) 4q dq2Tweede afgeleideAls we een functie y f(x) gedifferentieerd hebben en daardoor een afgeleide functieontstaan is, kunnen we deze nieuwe functie ook weer differentiëren. De afgeleide vande afgeleide van y wordt de tweede afgeleide van y genoemd.d2yMen schrijft de tweede afgeleide als f"(x) of als 2dxVoorbeeld:y f(x) x415
15-2-2004, Wiskunde voor economie, ISBN 90-70619-05-9,drs. H.J. Ots, www.webecon.nldy f’(x) 4x3dxend2y f’’(x) 12x2dx2OpgavenDifferentieer de volgende vergelijkingen naar x of q.(a, b en c zijn bekende getallen)1y 6q22y 4q2 q3y 7q4 - 6q2 4y 2(q - 2)2 65y ax2 bx c6y (6x2)(4x 1)7y (6x2)(4x - 3)8y ax - 29y 2x410y 1 2 4q - q q43211q - y 3q2 2y123y - q2 131y 2q14y 1q 421y-q27q16
15-2-2004, Wiskunde voor economie, ISBN 90-70619-05-9, drs. H.J. Ots, www.webecon.nl15q 13y16k 2 4x2x17k 4q 22q18q 191q 4 x20p 5q - 121p q 7q22Differentieer p - 2q 1 naar p.23Differentieer q - a2 12 naar a.3x 41x2xDifferentieer de volgende vergelijkingen naar q of a.24p - 2q 125p - q2 4q26q 1 1/3a227k 1 3q - 2q2 8q328TK 2q3 -1 2q 7q 1217
15-2-2004, Wiskunde voor economie, ISBN 90-70619-05-9,drs. H.J. Ots, www.webecon.nl2 Extreme waarden van functies2.1 Gedrag van een functie en zijn eerste afgeleideIn fig. 2.1.1 is een stijgende grafiek getekend. De raaklijn aan de grafiek heeft eendyis in het raakpunt dus positief.positieve richtingscoëfficiënt. De afgeleidedxVoor de waarden van x, waarvoor de afgeleide positief is, stijgt de grafiek van y f(x) (en omgekeerd)In fig. 2.1.2 is een dalende grafiek getekend. De raaklijn aan de grafiek heeft eendyis in het raakpunt dus negatief.negatieve richtingscoëfficiënt. De afgeleidedxVoor de waarden van x, waarvoor de afgeleide negatief is, daalt de grafiek van y f(x) (en omgekeerd)fig. 2.1.118
15-2-2004, Wiskunde voor economie, ISBN 90-70619-05-9, drs. H.J. Ots, www.webecon.nlfig. 2.1.22.2Bepaling van extreme waarden en buigpunten metbehulp van het tekenverloop van de afgeleideVoor de bepaling van extreme waarden (maximum/minimum) moeten we letten ophet tekenverloop van de afgeleide functie. Het tekenverloop van de afgeleide kunnenwe snel bepalen door waarden van x te substitueren in f'(x). We beschouwen nu fig.2.2.1:19
15-2-2004, Wiskunde voor economie, ISBN 90-70619-05-9,drs. H.J. Ots, www.webecon.nlfig. 2.2.1Voor x xl is f‘(x) positief en f(x) stijgendVoor x xl is f‘(x) 0 en f(x) maximaalVoor x xl is f‘(x) negatief en f(x) dalendDe grafiek van de eerste afgeleide is dalend, dus de tweede afgeleide is negatief.Voor de waarde(n) van x, waarvoor geldt:eerste afgeleide 0 en tweede afgeleide 0, is f(x) maximaalVervolgens beschouwen we fig. 2.2.2.20
15-2-2004, Wiskunde voor economie, ISBN 90-70619-05-9, drs. H.J. Ots, www.webecon.nlfig. 2.2.2Voor x x2 is f‘(x) negatief en y f(x) dalendVoor x x2 is f‘(x) 0 en y f(x) minimaalVoor x x2 is f‘(x) positief en y f(x) stijgendDe grafiek van de eerste afgeleide is stijgend, dus de tweede afgeleide is positief.Voor de waarde(n) van x, waarvoor geldt:eerste afgeleide 0 en tweede afgeleide 0, is f(x) minimaalHet is ook mogelijk dat de afgeleide over zijn nulwaarde niet van teken wisselt. Degrafiek van y f(x) heeft dan een buigpunt met horizontale raaklijn. De raaklijn inzo'n punt gaat door de grafiek heen. Zie fig. 2.2.3 en 4.21
15-2-2004, Wiskunde voor economie, ISBN 90-70619-05-9,drs. H.J. Ots, www.webecon.nlfig 2.2.322
15-2-2004, Wiskunde voor economie, ISBN 90-70619-05-9, drs. H.J. Ots, www.webecon.nlfig. 2.2.4Een buigpunt met schuine raaklijn is ook mogelijk. De afgeleide neemt in dat punteen maximale waarde aan. De raaklijn is in een schuin buigpunt het steilst. Zie fig.2.2.5.23
15-2-2004, Wiskunde voor economie, ISBN 90-70619-05-9,drs. H.J. Ots, www.webecon.nlfig. 2.2.5Als voor een waarde van x de eerste - en tweede afgeleide beide gelijk aan 0 zijn, ishet mogelijk dat f(x) voor die waarde van x een extreme waarde heeft, maar het isook mogelijk dat de grafiek van f(x) voor die waarde van x een horizontaal buigpuntheeft. De methode van het tekenverloop van de afgeleiden is veiliger.24
15-2-2004, Wiskunde voor economie, ISBN 90-70619-05-9, drs. H.J. Ots, www.webecon.nl3 Grafieken van functies, die nietvan de eerste graad zijnVoor het schetsen van een kromme letten we op:- het definitiegebied- het minimum en/of maximum- het buigpunt- nulpunt(en)- snijpunt met de vertikale asWe komen verder een heel eind door het bepalen van een aantal willekeurige punten.Hoe nauwkeuriger de tekening moet worden, hoe meer functiewaarden we moetenberekenen.3.1 ParabolenASchets een diagram van y f(x) 2x2 - 12x 10.Uitwerking:We berekenen enkele functiewaarden:f(- 3)f(- 2)f(- l)f(0)f(l)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)f(8)f(9) 2(- 3)2 2(- 2)2 2(- 1)2 2(0)2 2(1)2 2(2)2 2(3)2 2(4)2 2(5)2 2(6)2 2(7)2 2(8)2 2(9)2- 12(- 3)- 12(- 2)- 12(- 1)- 12(0)- 12(1)- 12(2)- 12(3)- 12(4)- 12(5)- 12(6)- 12(7)- 12(8)- 12(9) 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 64 42 24 10 0 -6 -8 -6 0 10 24 42 6425
15-2-2004, Wiskunde voor economie, ISBN 90-70619-05-9,drs. H.J. Ots, www.webecon.nlHet diagram, een dalparabool, is geschetst in fig. 3.1.1. De top is punt C(3, - 8). Derechte, die we beschrijven met x 3 en door de top gaat, noemen we de symmetrieas.fig. 3.1.1BSchets een diagram van y f(x) - 2x2 8xUitwerking:We berekenen weer enkele functiewaarden:f(- 1)f(0)f(l)f(2)f(3)f(4)f(5) - 2(- 1)2 8(- 1) 10 - 2(0)2 8(0) 0 - 2(1)2 8(1) 6 - 2(2)2 8(2) 8 - 2(3)2 8(3) 62 - 2(4) 8(4) 0 - 2(5)2 8(5) - 10Het diagram, een bergparabool, is geschetst in fig. 3.1.2. De top is punt B(2, 8). Derechte, die behoort bij x 2 en door de top gaat, is de symmetrie - as.26
15-2-2004, Wiskunde voor economie, ISBN 90-70619-05-9, drs. H.J. Ots, www.webecon.nlfig. 3.1.2COnderzoek van y f(x) ax2 bx c. De getallen a, b en c zijn bekend(a 0)Uitwerking:Om de parabool te kunnen tekenen, bepalen we de volgende karakteristieke punten.Extreme waarde:f'(x) 2ax b en f’’(x) 2aEr zijn nu twee mogelijkheden:- Als a een positief getal is, dan is de grafiek van f(x) een dalparabool; er is immerseen minimum, omdat f’’(x) 0.- Als a een negatief getal is, dan is de grafiek van f(x) een bergparabool; er is nu eenmaximum, omdat f’’(x) 0.Snijpunt met de y-as:Het snijpunt van de parabool met de y - as is te vinden door x gelijk aan nul te stellen. We krijgen dan:y a . 02 b . 0 cy c. Dus punt (0, c).27
15-2-2004, Wiskunde voor economie, ISBN 90-70619-05-9,drs. H.J. Ots, www.webecon.nlNulpunten:De snijpunten van de parabool met de x - as noemen we nulpunten. Deze zijn te vinden door y gelijk aan nul te stellen. We krijgen dan:0 ax2 bx c.Dit is een tweedegraadsvergelijking. Er zijn drie mogelijkheden:I De discriminant D b2 - 4ac is kleiner dan nul. Er zijn dan geen reële wortels. Deparabool snijdt de x - as niet.II De discriminant is gelijk aan nul. Er is dan één wortel. De parabool raakt de xas.III De discriminant is groter dan nul. Er zijn nu twee verschillende wortels. Deparabool snijdt de x - as in twee punten.Overzicht:D Schets de kromme, behorende bij y 2q2 - 12q 10.Uitwerking:We bepalen eerst de karakteristieke punten.28
15-2-2004, Wiskunde voor economie, ISBN 90-70619-05-9, drs. H.J. Ots, www.webecon.nlExtreme waarde:f’(q) 4q - 12 0, als q 3y is minimaal 2(3)2 - 12(3) 10 - 8,Snijpunt met de y - as: als q 0y 2(0)2 - 12(0) 10Nulpunten:als y 0 2q2 - 12q 10 0 (q - 1)(q - 5) 0, als q 1 of q 5. y 10.q2 - 6q 5 0Eventueel kunnen we nog een paar extra punten berekenen. Het diagram is geschetstin fig. 3.1.1.OpgavenSchets de parabolen, die beschreven worden door:1y -1 2x 6x23y 4x2 - 6x 22y - 5x2 60x4y 1 2x - 2x 643.2 Berekening van snijpunten en raakpuntenBreak-evenafzetBedrijfseconomen berekenen vaak de zogenaamde break-evenafzet. Dit is de afzetwaarbij de kosten precies gedekt zijn door de opbrengst ( omzet).Voorbeeld:Voor welke waarde(n) van q geldt datde totale geldopbrengst TO - 2q2 12q gelijk is aande totale kosten TK 2q 8?q aantal eenheden verkochte aantal geproduceerde goederen(0 q 6)29
15-2-2004, Wiskunde voor economie, ISBN 90-70619-05-9,drs. H.J. Ots, www.webecon.nlOplossing:We moeten TO gelijk stellen aan TK:- 2q2 12q 2q 8 - 2q2 12q - 2q - 8 0q2 - 5q 4 0 (q - 4)(q - l) 0 Zie fig.3.2.1.q 4 of q l.fig.3.2.1Marginale- en gemiddelde kostenEen totale-kostenfunctie luidt: TK f(q) 1 3q - 3q2 6q2(q aantal eenheden product; 0 q 6).Bereken de snijpunten van de grafiek van de gemid
In mijn boek Bedrijfsrekenen voor het hoger onderwijs (Pearson education Nederland), heb ik de volgende elementaire leerstofonderdelen behandeld: Bewerkingen met getallen Rijen Vergelijkingen en ongelijkheden Grafieken van eerstegraadsfuncties Eventueel kunt u eerst deze onderwerpen bestuderen, alvorens aan Wiskunde voor
Wiskunde voor bedrijfseconomen is bestemd voor gebruik bij het vak wiskunde in het universitair economisch onderwijs. Dit boek brengt de economiestudent niet alleen wiskunde bij als basiskennis, maar laat ook toepassingen zien. Onderwerpen als consumentengedrag, voorraadmanagement, optimalisatie portfolioselectie worden vanuit een
Peiling wiskunde 2018 s.o. 1A 2 wiskundige docent wiskunde in het hoger onderwijs serviceonderwijs wiskunde in economische en biomedische bacheloropleidingen vakdidactiek wiskunde in lerarenopleiding voor masters betrokken bij de peiling feedback bij het opstellen van de toetsen deelgenomen aan het resonantiegesprek met leerlingen,
De serie Wiskunde voor het hoger onderwijs De nieuwe serie Wiskunde voor het hoger onderwijs is opgebouwd uit de delen A en B. Deel A is bestemd voor de overgang van havo/mbo naar het hbo en bevat elementaire wiskundige kennis en vaardigheden die nodig zijn om met succes aan een studie op het hbo te beginnen. Deel B biedt, naast een uitbreiding .
voor taal (Inspectie van het Onderwijs, 2007b) en één voor rekenen-wiskunde. Het voorliggende rapport betreft het onderzoek naar rekenen-wiskunde. De drie centrale vragen van het onderzoeksprogramma voor 2007 zijn als volgt geformuleerd: 1. Hoe presteren Nederlandse scholen voor basisonderwijs, voortgezet onderwijs
voor het vakgebied wiskunde, digitale competentie en STEM hoofdzakelijk inzetbaar voor op-drachten in het secundair onderwijs en aanvullend in andere onderwijsstructuren Oproepdatum: 5 maart 2020 . hoger onderwijs met onderwijsbevoegdheid voor wiskunde (zie https://onderwijs.vlaande-
wiskunde vmbo syllabus centraal examen 2018 Versie 2, april 2016 pagina 3 van 35 Inhoud Voorwoord 6 1 Syllabus wiskunde BB 7 1a. Verdeling examinering CE/SE 7 1b. Specificatie van de globale eindtermen voor het CE 8 1c. Toelichting en voorbeelden 12 2 Syllabus wiskunde KB 15 2a. Verdeling examinering CE/SE 15 2b.
remediëring meer tijd voor algemene vorming bv. talen, wiskunde meer ruimte voor verdieping . doorstroming die je voorbereidt voor het hoger onderwijs. PROFIEL 3. Lessentabel 1 A uur algemene vorming 2 godsdienst 4 Nederlands 1 Engels 3 Frans 4 wiskunde 2 aardrijkskunde 1 geschiedenis
ALIENS 3 a Cap. 9. Acts 48 of 1964 25 of UBI. THE ALIENS ACT [28zh February, 1946.1 S. 11. PART 1. Preliminary 1. This Act may be cited as the Aliens Act. Short title lntcrpreta- tim. 2. In this Act- “embark” includes departure by any form of conveyance; “Hedth Officer” means any registered medical piactitioner
