MATEMATIKA - Елфак

UNIVERZITET U NIŠUELEKTRONSKI FAKULTETMarjan M. MatejiæLidija V. StefanoviæBranislav M. RanðeloviæIgor . MilovanoviæMATEMATIKAKOMPLETI ZADATAKA ZA PRIJEMNI ISPIT2011.Edicija: Pomoæni ud benici

Marjan Matejić, Lidija Stefanović,Branislav Rand̄elović, Igor MilovanovićMATEMATIKA–KOMPLETI ZADATAKA ZA PRIJEMNI ISPITII izdanje, 2011.Recenzenti: Prof. dr Milan Kovačević, Doc. dr Slad̄ana MarinkovićIzdavač: Elektronski fakultet u Nišu, P. fah 73, 18 000 Niš, Srbija,http://www.elfak.ni.ac.rsGlavni i odgovorni urednik: Prof. dr Zoran H. PerićTehnička obrada: mr Marjan Matejić, dr Lidija Stefanović,mr Branislav Rand̄elovićOdlukom Nastavno–naučnog veća Elektronskog fakulteta u Nišu,br. 07/05–008/10–003 od 6.5.2010. god.,rukopis je odobren za štampu kao pomoćni udžbenik.ISBN 978–86–6125–027–9CIP – Katalogizacija u publikacijiNarodna biblioteka Srbije, Beograd51(079.1)MATEMATIKA: kompleti zadataka za prijemni ispit/Marjan M. Matejić . [et al.]. –2. izd. – Niš: Elektronski fakultet, 2011 (Niš: Unigraf). –V, 150 str.: graf. prikazi; 24 cm. –(Edicija Pomoćni udžbenici/ [Elektronski fakultet, Niš])Na vrhu nasl. str.: Univerzitet u Nišu. –Tiraž 300. – Bibliografija: str. 149–150.ISBN 978–86–6125–027–91. Mateji , Marjan M., 1977 – [autor]a) Matematika – ZadaciCOBISS.SR–ID 183010060Štampa: Unigraf – NišTiraž: 300 primerakaBilo kakvo umnožavanje ove knjige ili njenih delova nije dozvoljeno bezpisanog odobrenja izdavača.

PREDGOVOR PRVOG IZDANJAOva zbirka sadrži zadatke iz onih oblasti elementarne matematike koje suobuhvaćene programom prijemnog ispita na tehničkim i prirodno–matematičkim fakultetima. Cilj zbirke je da čitalac, rešavajući testove, obnovi gradivoiz ovih oblasti i da se na taj način pripremi za uspešno polaganje prijemnogispita iz matematike.U prvom delu zbirke je dat kratak pregled teorije, neposredno vezane zazadatke. Teorijske činjenice koje su izostavljene, a potrebne su za rešavanje zadataka, navedene su ili izvedene u okviru rešenja. Drugi deo sadržitekstove zadataka. Svi zadaci su pažljivo odabrani, prilagod̄eni namenizbirke i grupisani u komplete kakvi se polažu na ispitu. Prilikom odabira zadataka, osim navedene literature, korišćeni su i časopisi ”Rozhledy”(Češka), ”Gazeta Matematica” (Rumunija), ”Elemente der Mathematik”(Švajcarska), ”Matematika v škole” (Rusija), ”Tangenta” (Novi Sad) i ”Triangle” (Sarajevo). Rešenja zadataka se nalaze u trećem delu zbirke.Poslednji deo zbirke obuhvata tekstove zadataka sa ranijih prijemnih ispitaiz matematike na Elektronskom fakultetu u Nišu, u periodu od 1989. do2009. godine. Rešenja ovih zadataka mogu se naći u [14].”MATEMATIKA – kompleti zadataka za prijemni ispit” je prvenstvenonamenjena kandidatima koji se pripremaju za polaganje prijemnog ispita naElektronskom fakultetu u Nišu, ali bi mogla da bude od koristi i kandidatimaza ostale tehničke i prirodno–matematičke fakultete na kojima se u okviruprijemnog ispita polaže matematika.Zahvaljujemo se recenzentima, prof. dr Milanu Kovačeviću i doc. dr Slad̄ani Marinković, na korisnim sugestijama pri izradi zbirke.Niš, 2010. g.Autoriiii

ivPREDGOVOR DRUGOG IZDANJAU odnosu na I izdanje, II izdanje je neznatno izmenjeno u smislu ispravkepostojećih grešaka ili nekorektnosti, kao i zamene jednog zadatka u celini.Autori se zahvaljuju saradnicima dr Lidiji Rančić, dr Dušanu Miloševićui dr Vojkanu Davidoviću, kao i studentima, koji su učestvovali u uočavanjui otklanjanju grešaka.Niš, 2011. g.Autori

SADRŽAJPodsetnik iz teorije1Tekstovi zadataka13Rešenja zadataka43Kompleti zadataka sa ranijih ispita125Literatura149v

PODSETNIKIZ TEORIJE

1. Oznake brojnih skupovaN - skup prirodnih brojeva (N0 N {0}),Z - skup celih brojeva,Q - skup racionalnih brojeva,I - skup iracionalnih brojeva, R - skup realnih brojeva (R - skup pozitivnih realnih brojeva, R 0 R {0}),C - skup kompleksnih brojeva.2. Apsolutna vrednost realnog brojaNeka su x, y, a i b realni brojevi. Tada je x x2½ max{x, x} x, x 0, x, x 0,11gde je max{x, y} (x y x y ), min{x, y} (x y x y ).22Osnovne osobine: x 0; x 0 x 0; x x ; x 2 x2 ; x x x ; x a a x a; xy x y ; x x ; y y x y x2 y 2 ; x y x y ; x y x y ; x y x y .3. Stepen realnog brojaStepen realnog broja am (a R, m N) definiše se saa0 1,a1 a,am a · am 1 , (a 6 0).Osnovne osobine (a 6 0, b 6 0):am1am · an am n ; am n ;(am )n amn ;a m m ;ana³ m³ mamab m ;0m 0;00 nije definisano.(ab)m am bm ;bba4. Koren realnog brojaNeka je x, y R i n, m N. Aritmetički n-ti koren broja x je jedinstveno pozitivno rešenje jednačine tn x. Označava se sa x1/n ili n x.Osnovne osobine:µ ¶m m¡ m1 mm111nn mnx x n (x n ) x;0 0; x n ; 11n mxxn(x n )mr ppn 1xx nm nnnmnmnnx y xy; n;x x mn x x;1 1; n yy(a Ra, ako je n neparan broj, n n a a , ako je n paran broj.3

45. Celi racionalni izrazi i racionalizacija imenioca(x y)2 x2 2xy y 2 ;(x y)2 x2 2xy y 2 ;(x y)3 x3 3x2 y 3xy 2 y 3 ;(x y)3 x3 3x2 y 3xy 2 y 3 ;x2 y 2 (x y)(x y);x2 y 2 (x y 3322x y (x y)(x xy y ); 2 x y ( 3 x 3 y)( 3 x 3 xy 3 y 2 ); x y ( x y)( x y). x yx; yy 31 x 3yx2n y 2n x n y n 1x ; n yy 3 2x 3 xy 3 y 2x y³xn y n p2xy)(x y x y1; x yx y 3 2x 3 xy 3 y 21 ; 3x 3yx y ³xn y n 2xn y np2xy);x3 y 3 (x y)(x2 xy y 2 ); 2 x y ( 3 x 3 y)( 3 x 3 xy 3 y 2 );1 x y;p x yx y; p2xn y n ;¡ x2n y 2n (x y) x2n 1 x2n 2 y · · · xy 2n 2 y 2n 1 ;¡ ¡ x2n 1 y 2n 1 (x y) x2n 2 x2n 3 y · · · xy 2n 3 y 2n 2 ;x2n 1 y 2n 1 (x y) x2n 2 x2n 3 y · · · xy 2n 3 y 2n 2 ;(x y z)2 x2 y 2 z 2 2xy 2xz 2yz.6. LogaritamLogaritam broja x za osnovu a je jedinstveno rešenje jednačine x at . Označava sesa loga x t. Uslovi egzistencije logaritma su x 0, a 0 i a 6 1. Ako je a 10, to jedekadni logaritam (log10 x log x). Ako je a e (e 2.71.), to je prirodni logaritam(loge x ln x).Osnovne osobine:1logb xaloga x x; loga a 1; loga xp p loga x; loga x ; loga x ;logx alogb a 1p1logap x loga x; logaq xp loga x; loga n x loga x; loga 1 0;pqn³ xloga (xy) loga x loga y; loga loga x loga y.y7. Proporcije. Kamatni računaje vrednost razmere.bAko razmere a : b i c : d imaju istu vrednost, onda se kaže da čine proporcijuKoličnik veličina a i b, b 6 0, je razmera, a broj a : b, tj.a : b c : d,

5a veličine a, b, c i d su članovi proporcije. Članovi a i d su spoljašnji, a b i c unutrašnji.Veličine a i b su direktno proporcionalne ako jeb ka,k 0,a obrnuto proporcionalne ako je1b k ,aa 6 0,k 0.Osnovne osobine proporcije su:acc ad bc a b ,bdda: b c: d d: b c: a a: c b: d.Ako je a : b c : d i k 6 0, tada jea: b c: d (ak) : (bk) c : d,(a : k) : (b : k) c : d,(ak) : b (ck) : d,(a : k) : b (c : k) : d.Ako je a : b c : d i ako su m, n, p i q brojevi različiti od nule, onda je(a b) : (c d) a : c b : d,(a b) : (c d) (a b) : (c d),(ma nb) : (mc nd) (pa qb) : (pc qd).Ako jea1 : b1 c1 : d1 ,a2 : b2 c2 : d2 ,.an : b n cn : d n ,tada je(a1 a2 · · · an ) : (b1 b2 · · · bn ) (c1 c2 · · · cn ) : (d1 d2 · · · dn ).Ako jea : b b : c,tada jeb ac.Ako jea1 : a2 : · · · : an b1 : b2 : · · · : bn

6i k1 , k2 , . . . , kn brojevi različiti od nule, tada jea1a2ana1 a2 · · · an ··· b1 b2 · · · bnb1b2bnia2ank1 a1 k2 a2 · · · kn ana1 ··· .k1 b1 k2 b2 · · · kn bnb1b2bnProporcijaa : x x : (a x),a x,naziva se zlatni presek.Neka je G glavnica, p procenat i q procentni iznos. Tada jeG : q 100 : p,tj.q Gp.100Neka je G glavnica, p procenat, v vreme (u godinama ili danima) i I dobit (interes).Tada je- za godineGpvI ;100- za daneI Gpv.360008. Kompleksan brojSkup kompleksnih brojeva, u oznaci C, je skup ured̄enih parova (x, y), x R, y R,u kome su definisane operacije sabiranje i množenje · na sledeći način:(x1 , y1 ) (x2 , y2 ) (x1 x2 , y1 y2 ),(x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) (x1 x2 y1 y2 , x1 y2 x2 y1 ).U skupu C je 0 (0, 0) kompleksna nula, 1 (1, 0) kompleksna jedinica, a i (0, 1)imaginarna jedinica.1 z ( x, y) je suprotan broj broju z (x, y);2 1 z 1 z³x2x y, y 2 x2 y 2 je inverzan broj broju z (x, y), (z 6 (0, 0));3 z̄ (x, y) je konjugovani broj broju z (x, y).Oduzimanje kompl. brojeva: z1 z2 (x1 , y1 ) (x2 , y2 ) (x1 x2 , y1 y2 ).z11 z1 · z1 · z2 1 Deljenje kompl. brojeva:z2z2µx1 x2 y1 y2 x2 y1 x1 y2,x22 y22x22 y22¶.Kompleksan broj z (x, y) u normalnom obliku je z x iy, gde je x Re(z) realandeo kompleksnog broja z, a y Im(z) imaginaran deo kompleksnog broja z. Pri tome jez zz z;Im(z) .z x iy;Re(z) 22i

7Za dva kompleksna broja z1 x1 iy1 i z2 x2 iy2 važiz1 z2 x1 x2 y1 y2 ,a rezultati računskih operacija nad njima su:z1 z2 (x1 x2 ) i(y1 y2 );z1 z2 (x1 x2 ) i(y1 y2 );z1 · z2 (x1 x2 y1 y2 ) i(x1 y2 x2 y1 );z1x1 x2 y1 y2x2 y1 x1 y2 i;z2x22 y22x22 y22³(z) z;z1 z2 z1 z2 ;z 0 1,z1 · z2 z1 · z2 ;z m z · z m 1 ,z m 1,zmz1z2 z1;z2zz x2 y 2 ; i, n 4k 1, in 1, n 4k 2, i, n 4k 3, 1, n 4k.Trigonometrijski oblik kompleksnog brojapje z r(cos ϕ i sin ϕ), a eksponencijalni (Eu-x2 y 2 moduo (modul) kompleksnog broja, alerov) oblik je z reiϕ , gde je r z ϕ arg(z) argument kompleksnog broja, pri čemu je yarctan , x 0, y 6 0, x y π arctan , x 0, y 0, x y π arctan x , x 0, y 0,ϕ arg(z) 0,x 0, y 0,π,π,2π ,2x 0, y 0,x 0, y 0,x 0, y 0.Za konjugovani broj broja z važi z̄ r(cos ϕ i sin ϕ) re iϕ . Osobine modula: z 0; z 0 x 0 y 0; z1 z2 z1 z2 ; z1 z1 ; z z 22 z z̄ ; z 2 z z̄; z1 z2 z1 z2 ; z1 z2 z1 z2 ; z1 z2 z1 z2 .Operacije sa kompleksnim brojevima u trigonometrijskom ili eksponencijalnom obliku:z1 z2 r1 r2 (cos(ϕ1 ϕ2 ) i sin(ϕ1 ϕ2 )) r1 r2 ei(ϕ1 ϕ2 ) ;z1r1r1 i(ϕ1 ϕ2 ) (cos(ϕ1 ϕ2 ) i sin(ϕ1 ϕ2 )) e;z2r2r2z n rn (cos nϕ i sin nϕ) rn einϕ .Moavrova formula (cos ϕ i sin ϕ)n cos nϕ i sin nϕ einϕ ;

8 n³ ϕ 2kπϕ 2kπϕ 2kπnr cos sin n rei n , k 0, 1, ., n 1;nn 2kπ2kπn1 cos i sin, k 0, 1, ., n 1;nn (2k 1)π(2k 1)πn 1 cos i sin, k 0, 1, ., n 1;nn (4k 1)π(4k 1)πni cos i sin, k 0, 1, ., n 1.2n2nz 9. Kvadratna jednačinaKvadratna jednačina je ax2 bx c 0, a 6 0, a, b, c R. Diskriminanta kvadratnejednačine je D b2 4ac. U zavisnosti od znaka diskriminante, mogući su sledećislučajevi: b b2 4acD 0 rešenja su realna i različita, x1,2 ,2a bD 0 rešenja su realna i jednaka, x1,2 ,2a b4ac b2D 0 rešenja su konjugovano–kompleksna, x1,2 i.2a2acbVietove formule za kvadratnu jednačinu: x1 x2 , x1 x2 .aaFaktorizacija kvadratne jednačine: ax2 bx c a(x x1 )(x x2 ).Kanonički oblik kvadratne funkcije: ax2 bx c a(x α)2 β, gde je tačka (α, β)Dbteme kvadratne funkcije i α , β .2a4a10. Faktorijeli i binomni koeficijenti(1,n 0,n! n(n 1)(n 2) · · · 2 · 1;n! ³ nkn · (n 1)!, n 1; 0,k n,1,k 0 ili k n,³ n k n(n 1) · · · (n k 1) , n, k N (ostali slučajevi);³ ³ k! ³ ³ ³ nk 1(a b)n ³ n0nkan ³ (a b)n n0Važe jednakosti:n 1k nk 1;³ n1³ an 1 b · · · nnbn n1n ³ Xnk 0kn kk 1n ³ Xnk 0³ an ³ nnan 1 b · · · ( 1)n 2n inXk 0bn nk 0.an k bk ;nXk 0³ ( 1)kknkn!;k!(n k)!³ ( 1)knkan k bk .