ZBIRKA REˇSENIH ZADATAKA IZ MATEMATIKE 2

Mr VENE T. BOGOSLAVOVZBIRKA REŠENIHZADATAKAIZ MATEMATIKE 235. ispravljeno izdanjeZAVOD ZA UDŽBENIKEBEOGRAD

Redaktor i recenzentDOBRILO TOŠIĆUrednikMILOLJUB ALBIJANIĆOdgovorni urednikMILORAD MARJANOVIĆZa izdavačaMILOLJUB ALBIJANIĆdirektor i glavni urednikMinistar prosvete Republike Srbije, svojim rešenjem broj650-02-00278/2008-06, od 21.07.2008. godine, odobrio jeovu ZBIRKU REŠENIH ZADATAKA IZ MATEMATIKEza izdavanje i upotrebu u drugom razredu gimnazija.CIP- Katalogizacija u publikacijiNarodna biblioteka Srbije, Beograd37.016 : 51(075.3)(076)BOGOSLAVOV, Vene T., 1932Zbirka rešenih zadataka iz matematike 2/Vene Bogoslavov - 35. ispravljeno izd.- Beograd: Zavod za udžbenike, 2011 (Beograd:Cicero). - 407 str. : graf. prikazi, tabele; 20 cmTiraž 10.000. - Str. 4: Predgovor/ Dobrilo Tošić,Miloljub Albiijanic. - Beleška o autoru: str.406-407. Bibliografija 404-405.ISBN 978-86-17-17461-1COBISS.SR-ID 184374028c ZAVOD ZA UDŽBENIKE, Beograd (2008–2011)Ovo delo se ne sme umnožavati i na bilo koji način reprodukovati, u celini nitiu delovima, bez pismenog odobrenja izdavača.

S ljubavljusnahi Sonji i sinu Draganu

PREDGOVOROvo je trideset peto izdanje. Prvo izdanje je publikovano januara1971. godine. Do sada je ukupan tiraž bio blizu 370 000 primeraka, štoje svojevrsan rekord!! Većina autora u svakom novom izdanju dodajunove sadržaje. To je slučaj i sa ovom knjigom. Broj zadataka se stalnopovećavao, pri čemu je zanemarivana provera ili poboljšavanje postojećihzadataka. Zbog toga je proizašla potreba da se knjiga sistematski i detaljno pregleda.Na inicijativu Zavoda ovo izdanje je kardinalno ispravljeno. Ovogmukotrpnog i dugotrajnog posla prihvatio se prvo potpisani. Svaki zadatak je detaljno rešen i mnogi rezultati su provereni na računaru. Pritome je primećen i otklonjen veliki broj štamparskih i još veći brojstvarnih grešaka. Naravno, teško je ispraviti sve greške, pogotovo kada ihima mnogo. Kao uteha, često se kaže da nisu dobre one knjige u kojimanema grešaka.Do navedene inicijative je došlo i zbog saznanja da ova značajna knjigaima veliku odgovornost i ulogu u procesu matematičkog obrazovanja uSrbiji, s obzirom da se decenijama preporučuje velikom broju učenika.Interesantno je da većina učenika srednjih škola gradivo iz matematikesavlad-uju isključivom upotrebom zbirki zadataka. Dakle, matematika seuči rešavanjem zadataka. Mnogi nisu nikada otvorili udžbenik, ili zanjega nisu čuli da postoji. Izgleda da je i nastavnicima lakše da takorade, zaboravljajući da je dobra teorija najbolja praksa. To je dovelodo toga da se prosek nivoa znanja matematike svake godine smanjuje.U zadnjih nekoliko godina osvojeno je dosta medalja na matematičkimolimpijadama–svake godine sve više i više. Med-utim, sredina je sveslabija i slabija. To se najbolje vidi kada se pogledaju tekstovi zadatakaiz matematike sa prijemnih ispita na fakultetima.Ova knjiga sadrži pored jednostavnih i veliki broj težih ali lepih zadataka. Upravo je to bio razlog da se otklone greške i mnogi nedostaci.Nadamo se da će ovako osvežena knjiga doživeti još dosta izdanja.Beograd, maja 2011.Dobrilo TošicMiloljub Albijanić

S A D R Ž A JI GLAVA1.STEPENOVANJE I KORENOVANJE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1. Stepen čiji je izložilac ceo broj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2. Koren; stepen čiji je izložilac racionalan broj.Osnovne operacije sa stepenima i korenima . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3. Kompleksni brojevi i osnovne operacije sa njima . . . . . . . . . . . 50(Rešenja)(190)(190)(191)(207)II GLAVA2.KVADRATNA JEDNAČINA I KVADRATNA FUNKCIJA 542.1. Kvadratna jednačina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.2. Vietove formule. Rastavljanje kvadratnog trinomana linearne činioce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.3. Neke jednačine koje se svode na kvadratne . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3.1. Bikvadratna jednačina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.3.2. Binomne jednačine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.3.3. Trinomne jednačine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.3.4. Simetrične (recipročne) jednačine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.4. Kvadratna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.5. Kvadratna nejednačina. Znak kvadratnog trinoma . . . . . . . . . 832.6. Sistem od jedne linearne i jedne ili dve kvadratne jednačinesa dve nepoznate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.7. Iracionalne jednačine i nejednačine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4)(240)(250)III GLAVA3.3.1.3.2.3.3.EKSPONENCIJALNA I LOGARITAMSKA FUNKCIJA . 100Eksponencijalna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100Eksponencijalne jednačine i nejednačine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Logaritamska funkcija. Osnovna pravila logaritmovanja.Dekadni logaritmi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053.4. Logaritamske jednačine i nejednačine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1143.5. Sistem logaritamskih jednačina sa dve nepoznate . . . . . . . . . . 117(256)(256)(259)(265)(272)(278)IV GLAVA4.TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.1. Definicije trigonometrijskih funkcija ma kog ugla . . . . . . . . . . 1194.2. Svod-enje trigonometrijskih funkcija ma kog uglana trigonometrijske funkcije oštrog ugla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.3. Adicione formule. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1284.3.1. Trigonometrijske funkcije zbira i razlike uglova. . . . . . . .128(279)(279)(286)(287)(287)

6Sadržaj4.3.2. Trigonometrijske funkcije dvostrukih uglova . . . . . . . . . . 1304.3.3. Trigonometrijske funkcije poluglova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.3.4. Transformacija zbira i razlike trigonometrijskihfunkcija u proizvod i obrnuto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1334.3.5. Kombinovani zadaci iz adicionih formula. . . . . . . . . . . . . .1344.4. Trigonometrijske jednačine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1474.5. Trigonometrijske nejednačine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1574.6. Grafici trigonometrijskih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1614.7. Sinusna i kosinusna teorema sa primenama . . . . . . . . . . . . . . . . 169(288)(289)(291)(291)(323)(355)(361)(378)V GLAVA5.RAZNI ZADACI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .176 (388)LITERATURA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404BELEŠKA O AUTORU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

IZ DREVNE ISTORIJE ALGEBREIsečak iz Ahmesovog papirusa. Ova stara knjiga čuva se sada u Britanskom muzeju u Londonu.U XVII veku pre naše ere egipatski sveštenik Ahmes, po ugledu naneki još stariji rukopis, napisao je pomenuti papirus u kome je sakupiouglavnom sva dotadašnja znanja iz geometrije i algebre. Papirus sadržiosamdeset zadataka iz algebre, svaki sa sopstvenim rešenjem. Mnogi odtih zadataka bili su “Odredi broj”. Ovako je glasio jedan Ahmesov zadatak: “Gomila, njene dve trećine, jedna polovina i tri sedmine, sabranezajedno daju 33. Odrediti gomilu”. Neki su bili očigledno samo zazabavu, na primer: “Ima 7 kuća, u svakoj kući ima po sedam mačaka,svaka mačka ubija sedam miševa, svaki miš pojede po sedam klasovapšenice. Svaki klas pšenice će dati 7 hektara zrna. Koliko je žita spaseno?”Većina zadataka je vezana za svakodnevni život (za hleb, pivo, hranjenjestoke, itd.). . .

ZADACII GLAVA1. STEPENOVANJE I KORENOVANJE1.1. Stepen čiji je izložilac ceo brojAko je a R a 6 0 i n N, onda:defdef 11 a0 1; 2 . a n n .aAko su a, b R a 6 0 b 6 0) i m, n N, onda:1 am · an am m ; 2 am : an am n ; 3 (am )n amn ; a nan4 (ab)n an · bn ; 5 n.bb1. Izračunati: 11a) 50 3 2 ·; b) (a b)0 0, 1 2 · 10 1 (a 6 b);9! 3 2 1 1111 2 2c) · 2 ; d)1 2.2432. Izračunati:a) 0, 1 4 0, 01 3 0, 001 2 0, 0001 1 0, 00001 0;b) (x y)0 0, 25 1 ( 0, 5) 2 (0, 0010 ) 4 (x y 6 0).3. Izračunati: 2 1 ! 1153 4 4 4a) 2 ·; b) 2 · 0, 1 ; c) ;425 0 213! 2 32 2 53 2 224d) 3 · 2 3. 2 ; e) 1 ; f)3213 2 35

101. Stepenovanje i korenovanje4. Izračunati:a) 0, 5 1 0, 25 2 0, 125 3 0, 0625 4;b) 1 1 2 2 3 3 ( 1) 1 ( 2) 2 ( 3) 3 ; 31· 1050, 25 2 · 1, 75 30, 1 2 (0, 4)010c) ; d); e) 3 3 1 .230, 75 · 1, 252121· 1000 52 10003 335. Uprostiti izraz: 2( 12) 3· 75 1 · ( 4)01 1 2 2;b)A .a) A 2(25 1 )4 · 66 · 1042 1 2 4 · 5 0, 530, 000 000 00043 · 8 100 000 000.0, 000 000 124 4 2 21357. Ako je a 53 ··, b 103 ·, izračunati a · b 1 .4236. Izračunati broj v ako je: v 2 8. Masa atoma vodonika iznosi 1, 65 · 10 24 g. Koliko nula ima ovajdecimalan broj ako se računa i nula ispred decimalnog zareza?9. Date izraze transformisati u identično jednake izraze u kojima nefigurišu stepeni sa negativnim izložiocima:a) x 4 ; b) a2 b 2 ; c) 9x8 · 3 2 x 8 ; d) 4a 2 b 3 c · 3a 5 b2 c 1 .10. Osloboditi se razlomaka:2a1xab;;;;b 2a3 b 2a n bm(a b)372;. 32(a b)a x(x y) 32(a b)2;(a b) 1 2x 1x 1Uprostiti izraze (11–14):27x 2 y 3a 3 ab 2x 5 2x2 x;b);c);32 x 4 y 22 4 a3 b 3x 3 2 3 1 3 3 2 2yxaad):;e):.x 2y2b 3b311. a) 3;

1.1. Stepen čiji je izložilac ceo broj1112. a) (50x 30x 18x) · (5x 3x ); b) (25x 20x 16x ) · (5x 4x );a b 1b 1ab 1 a 1 bc) ; d) 2. 1a c(bc 1)abc a ca 2a 1 b 1 b 2 2 x 2 x2 2 x2 2 x ;13. a)22x 4 25y 2 2b) 2· x y(y 5x2 ) 1 ;x 5y 1 2 1a 4 9b 2 (b 3a2 ) 1a 2 b 2a b2c) 2·;d)·.a 3b 1a 2 b 1a 1 b 1ab 5 2 1 3 !5xy14. a)·: 10x2 y 3 ; 22y5x 1 2 3 2 2 !3a9a bb7:·;b) 34b412a 11 3 3 2 2 ! 63x9xx yc):·;5y 25y 315 2 4 2 3 !4a12ad):·. 3 33ab3b12a5 b 2ab 2 · (a 1 b2 )4 · (ab 1 )2, i izračunati njegovua 2 b · (a2 b 1 )3 · a 1 bvrednost za a 10 3 , b 10 2 .16. Ako je15. Uprostiti izraz A a 2 b 2,a 1 b 1 a 1b 1B · (a 1 b 1 ) · (a 2 b 2 ) 1 ,a 1 b 1a 1 b 1A dokazati da je A B 1 .17. a) Proizvod 0, 2 · 0, 008 napisati u obliku A · 10 5 , gde je A konstantakoju treba odrediti.b) Proizvod 0, 04 · 0, 006 napisati u obliku B · 10 6 , gde je B konstantakoju treba odrediti.

121. Stepenovanje i korenovanje11· 10 3 · 10 42218. Ako je 10x , odrediti x.55 · 10 719.* Dokazati da je vrednost izraza 1 ! 2 2 ! ba 1 1 1 (a b) 3 (a b) 1 ,1 1 abpozitivna za svako ab 6 0 i a 6 b.20.* Dokazati da sledeći izrazi:a) a x (ax 1) 1 2(a2x 1) 1 a x (ax 1) 1 ;111b) ,2(1 ax ) 2(1 a x ) a 2x 1 3a x2a xaxa x :c)1 a x1 a xa2x 1ax a xxne zavise od a i x ako je a 6 1.21.* Utvrditi istinitosnu vrednost implikacije 2x a a 2x ax a xax 1xa) (a 6 0 a 6 1) : ;ax a x1 a xax n a a n 1an a n1nb) (a 6 0 a 6 1) n n;an a 2na a n 2a 1 x 1a a 2xc) (a 6 0 ax 6 1) 2a x 1x 2xa a (a x 1) · (ax a x 1) 1 2; 2xa 2a x 31 a x4a 2x1 a x x1 a xa 2x 1 4.d) (a 6 0 ax 6 1) 1 a x1 aa2x1 x 2xaa 1 n 2 2 1 xx y n22.* a) x0 (1 x) 2 ;b)1 ;1 2x 1x n y n 1a a 1 b2c) 1: bn (a b) 1 bn (a b) 1; 12a a b 2 2d) 2(ax a x ) 1 2(ax a x ) 1.