Fonctions Eulériennes
Fonctions eulériennes1. La fonction Γ.2. Formules de Gauss et de Weiertrass.3. Formule de Stirling.4. Les fonctions B et .5. Applications à des équivalents.6. Formule d’Euler.7. Formule des compléments d’Euler.8. Formule de multiplication de Legendre-Gauss.9. Théorie de H. Bohr & Mollerup.10. Prolongements réels.11. Prolongements complexes.12. Applications.Pierre-Jean Hormière« Une humeur toujours égale, une gaieté douce et naturelle, unecertaine causticité mêlée de bonhomie, une manière de raconter naïve etplaisante, rendaient sa conversation aussi agréable que recherchée. »Nicolas Fuss, à propos d’EulerDe premières tentatives pour définir n ! pour des valeurs nonentières remontent à Stirling et Daniel Bernoulli. Dans une lettreà Christian Goldbach du 13 octobre 1729, Euler (1707-1783)découvre (ou invente ?) une fonction de variable réelleprolongeant de manière naturelle la fonction n!. D’abordintroduite comme limite de produits, cette fonction fut plus tardprésentée sous forme intégrale et reliée à des fonctions voisines.Les fonctions eulériennes sont les plus importantes « fonctionsspéciales » de l’analyse classique, réelle et complexe. Legendre(1752-1833) les a nommées, classifiées et étudiées. Elles ontaussi été étudiées par Gauss, Binet, Plana, Malmsten, Raabe, Weierstrass, Hankel, H. Bohr,Mollerup, Artin. Elles sont ici présentées de manière progressive.Il y a bien des façons de prolonger la fonction n! au domaine réel, même en se limitant aux fonctions continues. Une idée naturelle est de partir de la formule n! intégrale de la factorielle suggère de considérer la fonction F(x) t n.e t.dt . Cette forme0 0t x.e t.dt . Cette fonction,définie sur ] 1, [, prolonge intelligemment la factorielle, en ce sens qu’elle possède des propriétés nombreuses et cohérentes. Par commodité, on considère plutôt Γ(x) 0t x 1.e t.dt .Nous allons commencer par étudier successivement les trois intégrales eulériennes :Γ(x) 0t x 1.e t.dt1B(x, y) y 1 t x 1.(1 t) .dt0 (r, s) 0u r 1.du(1 u)set étudierons au passage les fonctions Ω(x) ln Γ(x) et Ψ(x) Ω’(x) Γ'(x) .Γ(x)
1. La fonction Gamma.1.1. Expression intégrale de n! 1Il est facile de vérifier que l’intégrale 0t n.e t.dt converge, et a pour valeur n !.xPour montrer cela, commençons par calculer les intégrales Fn(x) t .e .dt . x tn0n xOn a F0(x) 1 – e . Une intégration par parties donne : Fn(x) – x e n.Fn 1(x) (*).On peut en déduire de proche en proche Fn(x), mais il est plus élégant de faire apparaître une loi dexnFn (x)F (x) n 1 .e x .n!(n 1)! n!simplification en divisant (*) par n!. Il vient :Additionnant ces relations, il vient :Fn(x) n! n! eLorsqu’on fait tendre x vers , il vient : x[1 x 2x²! . xn].n! t n.e t.dt n!.0Cette formule s’écrit aussi bien n N n! 0t n.e t.dt , car a b b a !Cependant, entre ces deux énoncés, il y a une différence de point de vue : le premier donnel’intégrale d’une exponentielle-polynôme, le second exprime n! sous forme intégrale.Montrons avec Laplace comment on peut exprimer n ! sous forme intégrale, sans trop d’a priori.Supposons qu’il existe un intervalle I (a, b) et une fonction f suffisamment régulière sur I, tels que nIntégrons par parties : n! n! t n.f(t).dt I t .f(t).dt .nI If(t).d(t n 1n 1) [ f(t).t ] ba 1 t n 1.f'(t).dtn 1n 1 I1 t n 1.[f'(t) f(t)].dt [ f(t).tn 1 ] ba .n 1 ICela s’écritn 1Si l’on peut trouver une fonction f telle que f’ f 0 et f(t).ts’annule en a et b, alors c’est tgagné. Or la fonction f(t) e et l’intervalle I [0, [ conviennent.Remarque : Cette idée inductive est générale. Certes, une suite quelconque n’est pas toujours la suite desmoments d’une fonction sur un intervalle, mais la plupart des suites rencontrées en analyse et en combinatoiresont de ce type. Ainsi, le nombre tn des involutions de {1, 2, , n} vérifie t1 1, t2 2, et tn tn 1 (n 1).tn 2pour n 3 et l’on peut l’exprimer sous forme intégrale.L’expression intégrale n! F(x) 0 0t n.e t.dt suggère de considérer la fonction de variable réellet x.e t.dt , ou, ce qui revient au même, la fonction Γ(x) 0t x 1.e t.dt .1.2. La fonction Γ.2Exercice 1 : Étudier les variations des fonctions fx(t) e t.tx 1 pour différentes valeurs du paramètre x 0. Etudier les positions relatives et les déformations des graphes lorsque x augmente.Quel est le lieu des extrema locaux ? Equation différentielle de cette famille de fonctions with(plots):f: (x,t)- t (x-1)*exp(-t);p: x- plot(f(x,t),t 0.5,0.5,color COLOR(RGB, rand()/10 12,rand()/10 12,rand()/10 12),thickness 2);q: plot(t t/exp(t),t 0.5,color red):1La notation n!, universellement utilisée, fut créée en 1808 par un mathématicien peu connu, Christian Kramp,dans un texte algébrique. Avant lui, Euler notait [n], et Gauss π(n), la fonction factorielle.2 Notation due à Legendre.2
);Proposition 1 : i) La fonction Γ(x) 0t x 1.e t.dt est définie pour x 0 ;ii) On a Γ(1) 1 et Γ(x 1) x.Γ(x) pour tout x 0 ;iii) On a Γ(x n) Γ(x).x.(x 1) . (x n 1) pour tout x 0 et tout n 1 ;iv) En particulier Γ(n) (n 1)! pour tout entier n 1.Preuve : i) La fonction fx(t) e t.tx 1 est continue positive sur ]0, [.2Pour tout x, elle est intégrable sur [1, [, car 0 fx(t) e t/2 ou 1/t pour t assez grand.Au voisinage de 0 , fx(t) 11 x , donc fx est intégrable ssi 1– x 1, i.e. x 0.tNotons en passant que si x 1, l’intégrale est faussement impropre en 0 (cf. figure ci-dessus).ii) Γ(1) 0Γ(x 1) e t.dt 1, Γ(x 1) x.Γ(x) se montre par intégration par parties : 0t x.e t.dt 0t x.d( e t) e t.tx 1 0 x t x 1.e t.dt x.Γ(x).0En toute rigueur, il faudrait intégrer par partiesA ε t .e .dt , puis faire ε 0 et A .x tiii) se montre par récurrence sur n, et iv) s’en déduit en faisant x 1.Ainsi, la fonction Gamma prolonge ou interpole (à translation près) la fonction n (n 1)!.Proposition 2 : La fonction Γ est de classe C sur R* , et vérifie :( n 0)( x 0)Γ(n)(x) Preuve : f(x, t) e t.tx 1 et ses dérivées partielles(H 1) Pour tout n , et tout x 0,car O(e t/2 0ln n t.t x 1.e t.dt . n f2(x, t) e t tx 1 lnn t sont continues sur R* x n n f(x, .) e t tx 1 lnn t est réglée intégrable. x n) au V( ) et tx 1 lnn t O(tx/2 1 ) au V(0 ) ;(H 2) Pour tout n , et tout t 0, n f( . , t) e t tx 1 lnn t est continue. x n(H 3) Majorantes intégrables.Leur recherche demande un peu de soin, et oblige à séparer t 1 et t 1. Soit 0 a A, x [a, A].3
n f(x, t) e t.ta 1. lnn t si t 1 x n e t.tA 1. lnn t si t 1 .La majorante ainsi trouvée ϕn(t), est intégrable sur ]0, [ en vertu des arguments donnés en (H 1).On conclut par applications répétées du théorème de dérivation des intégrales impropres à paramètres.Exercice 2 : Retrouver ce résultat en considérant la suite de fonctions Γn(x) nt x 1.e t.dt .1/ nIndication : Ces fonctions sont C sur R* en vertu du théorème de dérivation des intégrales à(p)paramètres sur les segments, et, pour tout p, Γn (x) nt x 1.ln pt.e t.dt . Il reste à montrer que ces1/ ndérivées obéissent au théorème de dérivation des suites de fonctions, c’est-à-dire convergent vers 0t x 1.ln pt.e t.dt uniformément sur tout segment [a, b], 0 a b.Corollaire 1 : Γ(x) 1 au V(0 ) .xPreuve : En effet Γ(x) 1 Γ(1 x) 1 [ Γ(1) o(1) ] 1 o( 1 ) quand x 0 , par continuitéxxxxde Γ en 1. Γ admet même en 0 le développement asymptotique d’origine taylorienne :x1xnΓ(x) 1 Γ'(1) Γ''(1). . Γ(n 1)(1). O(xn 1) .x1!n!Corollaire 2 : Γ est strictement convexe. Il existe c ]1, 2[ tel que Γ soit décroissante sur ]0, c], etcroissante sur [c, [, et Γ tend vers en 0 et .Preuve : Γ''(x) 0ln 2 t.t x 1.e t.dt 0 (intégrale d’une fonction continue positive et non nulle),donc Γ' est croissante, et Γ est strictement convexe.Comme Γ(1) Γ(2) 1, le théorème de Rolle affirme l’existence de c ]1, 2[ tel que Γ'(c) 0.Remarques : 1) La convexité de Γ peut s’établir directement en notant que, pour tout t 0, lafonction x e t.tx 1 est convexe (calculer sa dérivée seconde), puis en intégrant l’inégalité deconvexité correspondante.2) Maple donne c 1,462 et Γ(c) 0,886. c: fsolve(D(GAMMA)(x) 0,x);GAMMA(c);c : 1.461632145.8856031944Γ(x)Corollaire 3 : Γ(x) ettendent vers quand x tend vers .xPreuve : C’est immédiat si x tend vers l’infini par valeurs entières.Si x est réel, conclure par croissance de Γ sur [c, [ et encadrement.(n 1)! Γ(x) n! .nn 1xΓ(x) x 1Γ(x)Ou bien .Γ(x 1) Γ(x 1) . Plus généralement k .xxx2 n x n 1 (n 1) ! Γ(x) n! etExercice 3 : Retrouver ce résultat en montrant que A 0 x 0 Γ(x) e AAx.x with(plots):alias(G GAMMA):p: plot(G(x),x 0.5,0.7,numpoints 700,color blue,thickness 2):v: k- plot([k,t,t 0.G(k)]):h: k- plot([t,(k-1)!,t 0.k]):display({p,seq(v(k),k 1.4),seq(h(k),k 2.4)});4
2Proposition 3 : ( x 0) Γ'(x) Γ(x).Γ''(x). La fonction Ω ln Γ est convexe.Preuve : Il s’agit d’établir que ( 0 lnt.t x 1.e t.dt )2 ( 0 t x 1.e t.dt )( 0 ln 2 t.t x 1.e t.dt ) .Appliquons l’inégalité de Cauchy-Schwarz : ( 0 f(t)g(t).dt )2 ( 0 f(t)2.dt ) ( 0 g(t)2.dt )aux deux fonctions de carré intégrablex 1x 1f(t) t 2 .e t / 2 et g(t) t 2 .e t / 2 ln t.2La fonction Ω ln Γ est C comme composée etΩ’(x) Γ'(x)Γ''(x).Γ(x) Γ'(x)², Ω’’(x) 0.Γ(x)Γ(x)²Donc Ω ln Γ est convexe, décroissante sur ]0, c], croissantesur [c, [.Remarque : Harald Bohr et Mollerup ont démontré en 1922 quela fonction Γ est la seule fonction R* R* telle que :(i) Γ(1) 1(ii) Γ(x 1) x.Γ(x) pour tout x 0(iii) ln Γ est convexe.Nous reviendrons sur ce sujet au § 9.Proposition 4 : La fonction Γ est analytique sur ]0, [ .Preuve : Il s’agit de montrer qu’elle est développable en série entière en tout point x0 0.Ecrivons : Γ(x) 0e t tx0 1 tx x0 .dt n 00 Formellement : Γ(x) e t.t x0 1 0(x x0)n.lnnt.dt .n!n 0 e t tx0 1 (x x0)n.lnnt.dt n! n 00 ( e t.t x0 1lnnt.dt).(x x0)n.n!Il reste à justifier l’interversion des sommations à l’aide du théorème d’intégration des séries. tnOr ce théorème s’applique pour x – x0 x0 . Notons en effet un(t) e ln t t x0 1 n 0 0 u (t).dt un(t).dt n0 0n 0e tt x0 1ex x0 .ln t(x x0)n.n!.dt pour x – x0 x0 .Le premier échange de sommation découle d’un argument d’associativité de bornes supérieures.Remarque : ce résultat est plus fort que celui de la prop. 2, et il l’implique.Métamorphoses de Γ. Les intégrales suivantes se ramènent facilement à la fonction Γ :1) ( x 0) Γ(x) 1 ln x 11.dt t01 0( lnt)x 1.dt 1ln x 1u.du .u² t be .dt Γ( 1 1 ) . Cas où b 2 ?b ct bΓ(a /b)3) Plus généralement, e t a 1.dt est définie ssi a 0 et c 0, et vaut.0bb .c a / b2) Pour tout b 0, 014) Nature et calcul éventuel de5) ( x 0) Γ(x) 0 0u a.( lnu)b.du .t x 1.(t x).e t.lnt.dt .6) ( x 0) Γ(x) exp(xt et ).dt .5
2. Formules de Gauss et de Weierstrass.Introduction.Soit x un réel 0 fixé. Cherchons un équivalent de la suite Pn ( x 1 )( x 2 ) ( x n ) quandnnk 1k 1 ln(1 kx) ( kxn . Passons au logarithme : ln Pn n! O( 1 ))k² x.( ln n γ 1 ) somme partielle d’une série absolument convergente.xBref, ln Pn x.ln n A o(1) , doncAAPn n .n!.e , où e est une constante dépendant de x,n!donc une fonction de x. Nous trouverons au § 3 un équivalent de n!.ANous allons montrer ici, avec Gauss, que e 1 .3Γ(x 1)kC’est facile à vérifier si x k N, car k!.Pn ( k n )! n!.( n 1 ) ( n k ) n .n!.2.1. Formule de Gauss.n x.n!( formule de Gauss ).x(x 1).(x n)Γ(x) limn Théorème 1 : Pour tout x 0,Preuve :L’idée est que Γ(x) limn In(x) où In(x) Ecrivons en effet : In(x) 0n (1 nt )n.tx 1.dt .0fn (t).dt , oùn x 1fn(t) ( 1 t ) tsi 0 t n , 0 si t n.n t x 1Or, pour tout t fn(t) e tet, pour tout t : 0 fn(t) ecar ln(1 u) u.Le théorème de convergence dominée s’applique, et conclut.Or par changement de variable et I.P.P.In(x) nJn(x) x1 (1 u)n.ux 1.du0ux1tx n Jn(x)1 (1 u)n.d( x ) nx (1 u)n 1 ux.du0 t x 10n(n 1).1 n Jn 1(x 1) .xx(x 1).(x n) t x 1Remarques : 1) On peut montrer que fn(t) e t , la convergence étant uniforme sur tout segment[a, b], 0 a b. Il y a donc convergence dominée du pauvre.2) Le chgt de var t nu évite un problème. Une i.p.p. ramènece qui est gênant. Mieux vaut alors considérer3) En fait In(x) nx1 (1 u)n.ux 1.du n0xnn00 (1 nt )n.tx 1.dt à (1 nt )n 1.tx.dta (1 at )n.tx 1.dt .0B(x, n 1) et le caclul fait anticipe sur le § 2.1 4) On a In(x) n e n(u ln(1 u))du , et la méthode de Laplace donne un développement asymptotique à0tous ordres de In(x).nExercice 5 : On note gn(t) ( 1 t ) si 0 t n , 0 si t n.n t1) Montrer que t 0 0 e gn(t) t².e t ( se placer sur [0, n [, [ n , n], [n, [ )n3On pourrait partir de cette formule pour définir la fonction Γ.6
2) Retrouver que In(x) Γ(x) sans convergence dominée.Corollaire 1 : Pour tout x 0, x( x 1 ) ( x n ) nx.n!quand n tend vers .Γ(x)Preuve : ce n’est qu’une autre formulation de Gauss. Exercice : Soient a et b 0. Discuter la nature de la série n 0a(a 1).(a n).b(b 1).(b n) Corollaire 2 : Pour 0 x 1,Preuve :1 x (1 x² ) .Γ(x).Γ(1 x)n²n 1x(x 1).(x n)(1 x)(2 x).(n 1 x)1 limn Γ(x).Γ(1 x)n.(n!)² limn x(x 1).(x n)(1 x)(2 x).(n x) n 1 x limn x n 1 xnn(n!)²n (1 kx²²) .k 1Remarque : ce résultat annonce la formule des compléments.Corollaire 3 : Γ( 1 ) 2π , Γ( 1 n ) 1.3.(2n n 1) π (22nn)! π .22 .n !2Preuve : Si l’on fait x ½ dans la formule de Gauss, il vient :n1/ 2.n!.2n 1n1/ 2.n!.22n 1 limn 21.3.5.(2n 1)(2n 1).(2n)!par l’équivalent de Stirling, ou par celui de Wallis. Les Γ( 1 n ) s’en2Γ( 1 ) limn πdéduisent.2.2. Formule de Weierstrass.La formule de Weierstrass, qui se déduit aisément de celle de Gauss,présente Γ(x) sous forme d’un produit infini. Elle a permis à Weierstrassde prolonger Γ à la variable complexe.Proposition 2 : Pour tout x 0,1 x eγxΓ(x) en 1 xn( 1 x ) ( formule de Weierstrass )nPreuve : Il découle de la formule de Gauss que :ln Γ(x) limn x ln n – ln x limn x ( ln n n ln(1 kx)k 1nnk 1k 1 1k ) – ln x (kx ln(1 kx)) γx – ln x (kx ln(1 kx))k 12La série converge car son terme général est O(1/k ).2.3. Les fonctions Ω et Ψ .Définition 1 : On note Ω et Ψ les fonctions définies par Ω(x) ln Γ(x) et Ψ(x) Ω’(x) Proposition 3 : La fonction Ω : ]0, [ R vérifie :i) Ω(1) 0 ;ii) x 0 Ω(x 1) Ω(x) ln x ; Γ'(x).Γ(x)iii) Ω est convexe.Elle est de classe C et est donnée par :7
Ω(x) limn x.ln n ln x n k 1ln(1 x ) ln x γx k (k 1x ln(1 x) ) .nnPreuve : Tout cela récapitule des résultats antérieurs.( x 0) Ψ(x) 1 γ Proposition 4 : La fonction Ψ vérifiex (1n n 11 ).x n (nx ln(1 nx)) .Preuve : Il s’agit de dériver terme à terme la sériek 1 (1nOr la série dérivée n 11 ) x n n(nx x)Corollaire 1 : γ Γ'(1) 1 Γ'(2) Preuve : Γ'(1) 0converge normalement sur tout segment [0, a].n 1 0e t.lnt.dt .e t.lnt.dt découle de l’expression de Γ'(x).Γ'(1) Ψ(1) 1 γ (1nn 1 1 ) γ , car la série est télescopique.n 1Enfin Γ'(x 1) x.Γ'(x) Γ(x) fournit Γ'(2), et de proche en proche Γ'(3), Γ'(4), en fonction de γ.( 1)k (k 1)!.(x n)kn 0kCorollaire 2 : Pour tout x 0, et tout k 1, D ( Γ' )(x) ΓApplication : Développement limité et en série de Γ au V(1).111111 γ h π 2 γ 2 h 2 ζ( 3 ) π 2 γ γ 3 h 3 2 126 3 121111 π 4 ζ ( 3 ) γ π 2 γ 2 γ 4 h 4 32424 160 1 ζ( 5 ) 1 π 4 γ 1 ζ ( 3 ) π 2 1 ζ( 3 ) γ 2 1 π 2 γ 3 1 γ 5 h 5 61 π 6 16036672120 5 12096011 4 2 1111 2 41 6 ζ( 5 ) γ π γ ζ ( 3 ) 2 ζ( 3 ) π 2 γ ζ ( 3 ) γ 3 π γ γ 5320183618288720 h 6 O( h 7 )(p)Exercice : 1) Quelle est la forme générale des Γ (1) ?2) Justifier ces observations en partant de la formule Γ’ Γ.Ψ.2.4. Quelques représentations intégrales de Ψ et Ω.Proposition 5 : ( x 0) Ψ(x) γ 1 x1Preuve : L’intégrale1 01 t.dt 1 tx1 0 01 01 t x.dt γ 1 1 tx1 01 (1 u)x.dt .u1 t x.dt est faussement impropre en 1. Ecrivons :1 t(1 t . t n 1 1 t x . t n 1 x t n t x n).dt 1 tn(1 1 ) k 1 k k x1 01 t x n.t .dt .1 tOr cette dernière intégrale tend vers 0 par convergence dominée ou par les gendarmes.Corollaire : ( x 0)Ψ(x) γ 1 x x ( 1)n 2n 1x(x 1).(x n 1)(formule de Stern)n .n !8
1 (1 u)x.dt en série à l’aide de la formule du binôme de Newton.u1 Preuve : Développer0S’assurer ensuite que l’on peut intervertir intégration et sommation.Proposition 6 : ( x 0) Ψ(x) γ 0e t e xt.dt .1 e t tPreuve : Simple corollaire de la prop. 5. Le chgt de var. u e donne : 0e t e xt.dt 1 e t1 u x 1.du 1 u1 0Proposition 7 : ( x 0) Ω(x) 1 u x.du 1 u1 0 01 0u x u x 1.du Ψ(x) γ 1 1 .1 uxxe t e xt1[(x 1).e t 1 e t ].dtt(formule de Plana)Preuve : Observons d’abord que le second membre est bien défini. L’intégrale est faussementimpropre en 0, et convergente en . Cette formule s’établit par dérivation sous .Proposition 8 : (formule de Cauchy-Binet).Ω(x) ( x 1 ) ln x x 1 ln(2π) ( x 0)22 01 ( 1 1 1 ).e xt .dt .t2t 1 e tPreuve : Si l’on dérive deux fois les deux membres, il vient, après justifications aisées :Ω’’(x) Ψ’(x) t.e xt.dt . Or cela découle de la prop. 6.1 e t 0Par conséquent Ψ(x) 1 ln x 2x 0(1 1 1 ).e xt .dt a.1 e tt2Comme Ψ(x) ln x o(1) au V( ), a 0.D’où Ω(x) ( x 1 ).ln x x 1 ln(2π) 22 01 ( 1 1 1 ).e xt.dt b.t2t 1 e tEn vertu de Stirling, b 0 (cf. § 3) 4.Proposition 9 : x 0 x 1xΩ(t).dt x ( ln x – 1 ) 1 ln(2π). (intégrale de Raabe).2Preuve : Les deux membres ont même dérivée, car Ω(x 1) Ω(x) ln x.Il reste à montrer qu’ils ont même valeur en un point. On peut procéder par deux méthodes.1ère méthode : faire tendre x vers .Il découle de la prop. 8, par convergence dominée ou par les gendarmes, que :Ω(x) ( x 1 ) ln x x 1 ln(2π) o(1) au V( ).22Par intégration de relations de comparaison, on en déduit que :x 1x 1Ω(t).dt ((t 1).lnt t ln(2π)).dt o(1) x.ln x – x 1 ln(2π) o(1) au V( ).xx222 La constante cherchée est donc nulle.2ème méthode : faire tendre x vers 0 .1 Tout d’abord Ω(x) ln x au V(0 ) ( pourquoi ? ), donc l’intégrale Ω(t).dt converge.0En 3.2, on reprendra cette formule pour pousser plus avant le développement asymptotique de Ω(x). Il n’y adonc pas pétition de principe.49
1 Comme Ω(x) est décroissante sur ]0, 1], par encadrement0Ω(t).dt limn 1nn Ω(kn) .k 1Or la formule de multiplication de Legendre-Gauss (cf. § 7) montre que :1nn Ω(kn) k 1n 1 ln(2π) 1 lnn . On en déduit que2n2 n1 0Ω(t).dt 1 ln(2π). Cqfd.23. Formule de Stirling.Nous allons étudier le comportement de Γ(x) en , par des méthodes intégrales gravitant autour de2 la méthode de Laplace. Rappelons que Γ(½) 1 0e t².dt π .3.1. Formule de Stirling.Théorème 5 :xΓ(x 1) ( x ) 2πx quand x (formule de Stirling).e1) Preuve heuristique.Notons pour commencer que Γ(x 1) t x.e t.dt 0 0e t xlnt.dt .La fonction t t x ln t est croissante sur ]0, x], décroissante sur [x, [.Les changements de variable t xs, puis v s – 1 donnent Γ(x 1) xx 1 e x 1ex(v ln(1 v)).dv .Ils ont pour effet de placer le pic en 0.Γ(x 1) xx 1 e x F(x) , où F(x) 1ex.h(v).dv , avec h(v) v ln(1 v).La fonction h(v) est croissante sur ] 1 , 0], décroissante sur [0, [A mesure que x augmente, F(x) 0 par convergence dominée, mais surtout la masse se concentreau V(0), de sorte que l’on peut remplacer h(v) par son équivalent en 0.On pressent que F(x) 2π , après changement de variable t v x .2xe xv² / 2.dv with(pl
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