ANALISIS RIIL I - Taufik's Weblog
ANALISIS RIIL IDisusun olehBambang Hendriya Guswanto, S.Si., M.Si.Siti Rahmah Nurshiami, S.Si., M.Si.PROGRAM STUDI MATEMATIKAJURUSAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAMFAKULTAS SAINS DAN TEKNIKUNIVERSITAS JENDERAL SOEDIRMANPURWOKERTO2006
KATA PENGANTARBuku ini ditulis dalam rangka pengadaan buku ajar mata kuliah Analisis I, yangmerupakan mata kuliah wajib. Buku ini berisi materi yang diperuntukan bagimahasiswa yang telah mengambil mata Kalkulus I dan Kalkulus II. Topik-topikdalam buku ini sebenarnya sudah dikenal oleh mahasiswa yang telah mengambilkedua mata kuliah tersebut. Hanya saja, materi pada buku ini lebih abstrak,teoritis, dan mendalam. Materi pada buku ini merupakan materi dasar analisisreal. Analisis real merupakan alat yang esensial, baik di dalam berbagai cabangdari matematika maupun bidang ilmu-ilmu lain, seperti fisika, kimia, dan ekonomi.Mata kuliah Analisis I adalah gerbang menuju mata kuliah yang lebih lanjut, baikdi dalam maupun di luar jurusan Matematika. Jika mata kuliah ini dapat dipahamidengan baik maka mahasiswa mempunyai modal yang sangat berharga untukmemahami mata kuliah lain. Diharapkan, setelah mempelajari materi pada bukuini, mahasiswa mempunyai kedewasaan dalam bermatematika, yang meliputiantara lain kemampuan berpikir secara deduktif, logis, dan runtut, serta memilikikemampuan menganalisis masalah dan mengomunikasikan penyelesaiannyasecara akurat dan rigorous.Buku ini terdiri dari lima bab. Bab I membahas tentang himpunan bilangan real.Di dalamnya, dibicarakan tentang sifat aljabar (lapangan), sifat terurut, dan sifatkelengkapan dari himpunan bilangan real. Kemudian, dibahas tentang himpunanbagian dari himpunan bilangan real yang dikonstruksi berdasarkan sifatterurutnya, yang disebut sebagai interval. Dijelaskan pula tentang representasidesimal dari bilangan real dan menggunakannya untuk membuktikan TeoremaCantor. Selanjutnya, bab II berisi tentang barisan bilangan real, yang meliputidefinisi dan sifat-sifat barisan, Teorema Bolzano-Weierstrass, kriteria Cauchy,barisan divergen, dan sekilas tentang deret tak hingga. Kemudian, bab IIImendiskusikan tentang definisi limit fungsi (termasuk limit sepihak, limit di takhingga, dan limit tak hingga) dan sifat-sifatnya. Lalu, bab IV membahaskekontinuan fungsi, yang meliputi definisi fungsi kontinu dan sifat-sifatnya, fungsikontinu pada interval, kekontinuan seragam, serta fungsi monoton dan fungsiinvers.
Buku ini masih dalam proses pengembangan dan tentunya masih jauh darisempurna. Untuk itu, penulis membuka diri terhadap saran dan kritik daripembaca, demi semakin baiknya buku ini sebagai buku ajar mata kuliah wajibAnalisis I.Purwokerto, 29 Juli 2006Penulis,Bambang Hendriya Guswanto, S.Si., M.Si.Siti Rahmah Nurshiami, S.Si., M.Si.
DAFTAR ISIKATA PENGANTARDAFTAR ISIBAB I HIMPUNAN BILANGAN REAL1.1Sifat Aljabar dari R1.2Sifat Terurut dari R1.3. Sifat Kelengkapan dari R1.4. Interval1.5Representasi Desimal dari Bilangan RealBAB II BARISAN BILANGAN REAL2.1Definisi Barisan Bilangan real2.2Sifat-Sifat Barisan Bilangan Real2.3Teorema Bolzano-Weierstrass2.4Kriteria Cauchy2.5Barisan Divergen2.6Deret Tak HinggaBAB III LIMIT FUNGSI3.1Titik Timbun3.2Definisi Limit Fungsi3.2Sifat-Sifat Limit FungsiBAB IV KEKONTINUAN FUNGSI4.1Definisi Fungsi Kontinu4.2Sifat-Sifat Fungsi Kontinu4.3Fungsi Kontinu pada Interval4.4Kekontinuan Seragam4.5Fungsi Monoton4.6Fungsi InversDAFTAR PUSTAKA
BAB IHIMPUNAN BILANGAN REALBab ini menjelaskan tentang hal-hal yang berkaitan dengan dengan sistembilangan real sebagai suatu sistem matematika yang memiliki sifat-sifat sebagaisuatu lapangan yang terurut dan lengkap. Yang dimaksud dengan sistembilangan real sebagai suatu lapangan di sini adalah bahwa pada himpunansemua bilangan real R yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan danperkalian berlaku sifat-sifat aljabar dari lapangan. Sifat terurut dari R berkaitandengan konsep kepositifan dan ketidaksamaan antara dua bilangan real,sedangkan sifatnya yang lengkap berkaitan dengan konsep supremum ataubatas atas terkecil. Teorema-teorema dasar dalam kalkulus elementer, sepertiTeorema Eksistensi Titik Maksimum dan Minimum, Teorema Nilai Tengah,Teorema Rolle, Teorema Nilai Rata-Rata, dan sebagainya, didasarkan atas sifatkelengkapan dari R ini. Sifat ini berkaitan erat dengan konsep limit dankekontinuan. Dapat dikatakan bahwa sifat kelengkapan dari R mempunyaiperan yang sangat besar di dalam analisis real.Bab ini terdiri dari beberapa sub bab. Sub bab 1.1 membahas sifat lapangan dariR . Sub bab 1.2 menjelaskan sifat terurut dari R , dan di dalamnya dibahas jugatentang konsep nilai mutlak. Pada sub bab 1.3 didiskusikan tentang sifatkelengkapan dari R . Pada sub bab ini dibahas mengenai sifat Archimedean dansifat kerapatan dari himpunan bilangan rasional. Selanjutnya, sub bab 1.4,menjelaskan tentang interval, sebagai suatu himpunan bagian dari R yangdikonstruksi berdasarkan sifat terurut dari R . Yang terakhir, sub bab 1.5membahas tentang representasi desimal dari bilangan real. Pada sub bab rdenganmenggunakan konsep representasi desimal dari bilangan real ini. TeoremaCantor mengatakan bahwa himpunan R merupakan himpunan yang takterhitung (uncountable).1.1Sifat Aljabar dari R
Sifat 1.1 (Sifat Aljabar dari R ). Pada himpunan bilangan real R yangdilengkapi operasi penjumlahan ( ) dan operasi perkalian ( ) berlaku sifat-sifat,terhadap operasi penjumlahan :T1.a b b a untuk setiap a, b RT2.( a b ) c a ( b c)untuk setiap a, b, c RT3. Terdapat elemen 0 R sedemikian sehingga 0 a a 0 a untuk setiapa RT4. Terdapat elemen a R sedemikian sehingga a a a ( a ) 0 untuksetiap a Rterhadap operasi perkalian :K1.a b b a untuk setiap a, b RK2.( a b ) c a (b c)untuk setiap a, b, c RK3. Terdapat elemen 1 R sedemikian sehingga 1 a a 1 a untuk setiapa K4. Terdapat elemen 1 / a R sedemikian sehingga(1/ a ) a a (1/ a ) 1untuk setiap a R ,danD.a ( b c ) a b a c dan ( b c ) a b a c a untuk setiap a, b, c R .Sifat T1 dan K1 merupakan sifat komutatif, sifat T2 dan K2 merupakan sifatasosiatif, sifat T3 dan K3 menunjukkan eksistensi elemen identitas, dan sifat T4dan K4 menunjukkan eksistensi elemen invers, berturut-turut masing-masingterhadap operasi penjumlahan dan perkalian. Yang terakhir, sifat D merupakansifat distributif perkalian atas penjumlahan. Sifat T1-T4, K1-K4, dan D yangdipenuhi oleh semua elemen di R , menjadikan R dipandang sebagai suatulapangan.Terkait dengan elemen identitas 0 (terhadap operasi penjumlahan) dan 1(terhadap operasi perkalian), kita memiliki fakta bahwa kedua elemen inimerupakan elemen yang unik atau tunggal. Selain itu, perkalian setiap elemen di
R dengan elemen 0 hasilnya adalah 0. Fakta-fakta ini, secara formal matematis,dapat direpresentasikan dalam teorema berikut ini.Teorema 1.2.a. Jika z, a R dan z a a maka z 0 .b. Jika u b b dengan u, b R dan b 0 maka u 1.c. a 0 0 untuk setiap a R .Bukti.a. Berdasarkan sifat T3, T4, T2, dan hipotesis z a a ,z z 0 z ( a ( a ) ) ( z a ) ( a ) a ( a ) 0 .b. Berdasarkan sifat K1, K2, K3, dan hipotesis u b b , b 0 ,u u 1 u ( b (1/ b ) ) ( u b ) (1/ b ) b (1/ b ) 1.c. Berdasarkan sifat K3, D, dan T3,a a 0 a 1 a 0 a (1 0) a 1 a .Berdasarkan a., diperoleh bahwa a 0 0 . Selain fakta di atas, kita juga memiliki fakta berikut ini.Teorema 1.3.a. Jika a, b R , a 0 , dan a b 1 maka b 1/ a .b. Jika a b 0 maka a 0 atau b 0 .Bukti.a. Berdasarkan sifat K3, K4, K2, dan hipotesis a 0 , dan a b 1 ,b b 1 b ( a (1/ a ) ) ( b a ) (1/ a ) 1 (1/ a ) 1/ a .b. Andaikan a 0 dan b 0 . Akibatnya,( a b ) (1/ ( a b ) ) 1 .Berdasarkanhipotesis, yaitu a b 0 , dan Teorema 1.2.c., kita memiliki bahwa( a b ) (1/ ( a b ) ) 0 (1/ ( a b ) ) 0 ,()Terjadi kontradiksi di sini, yaitu antara pernyataan ( a b ) 1/ ( a b ) 1 dan( a b ) (1/ ( a b ) ) 0 . Dengan demikian, haruslah bahwaa 0 atau b 0 .
Teorema 1.3.a. mengatakan bahwa eksistensi invers dari suatu elemen di Radalah unik. Sedangkan Teorema 1.3.b. mengandung arti bahwa perkalian duaelemen tak nol di R tidaklah mungkin menghasilkan elemen nol.Di dalam himpunan bilangan real R dikenal pula operasi lain, yaitu operasipengurangan ( ) dan pembagian ( : ). Jika a, b R maka operasi pengurangandidefinisikandengana b : a ( b )sedangkanoperasipembagiandidefinisikan dengan a : b : a (1/ b ) , b 0 .1.2SIFAT TERURUT DARI RSeperti yang telah disinggung pada pendahuluan bab ini, sifat terurut dari Rberkaitan dengan konsep kepositifan dan ketidaksamaan antara dua bilanganreal. Seperti apa kedua konsep tersebut? Di sini, kita akan membahasnya.Terlebih dahulu kita akan membahas konsep kepositifannya.Sifat 1.4 (Sifat Kepositifan). Terdapat himpunan bagian tak kosong dari R ,yang dinamakan himpunan bilangan real positif R , yang memenuhi sifat-sifat :a. Jika a, b R maka a b R .b. Jika a, b R maka a b R .c. Jika a R maka salah satu diantara tiga hal, yaitu a R , a 0 , dan a R , pasti terpenuhi.Sifat 1.4.c. disebut juga sebagai sifat Trichotomy. Sifat ini mengatakan bahwa Rdibangun oleh tiga buah himpunan yang disjoin. Tiga buah himpunan tersebut{}adalah himpunan a : a R yang merupakan himpunan bilangan real negatif,{himpunan {0} , dan himpunan bilangan real positif R . Himpunan a : a R }bisa juga dituliskan dengan R . Jika a R maka a 0 dan a dikatakansebagai bilangan real positif. Jika a R U {0} maka a 0 dan a dikatakan
sebagai bilangan real nonnegatif. Jika a R maka a 0 dan a dikatakansebagai bilangan real negatif. Jika a R U {0} maka a 0 dan a dikatakansebagai bilangan real nonpositif.Penjumlahan k buah suku elemen 1 menghasilkan bilangan k . Himpunanbilangan k yang dikonstruksi dengan cara demikian disebut sebagai himpunanbilangan asli, dinotasikan dengan N . Himpunan N ini merupakan himpunanbagian dari himpunan R . Himpunan ini memiliki sifat fundamental, yakni bahwasetiap himpunan bagian tak kosong dari N memiliki elemen terkecil. Sifat yangdemikian disebut sebagai sifat well-ordering dari N .Selanjutnya, jika kita ambil sembarang k N maka k N . Gabunganhimpunan N , {0} , dan { k : k N} membentuk suatu himpunan yang disebutsebagai himpunan bilangan bulat, dinotasikan dengan Z . Himpunan bilanganasli N disebut juga sebagai himpunan bilangan bulat positif, dinotasikan denganZ , sedangkan himpunan { k : k Z} disebut juga himpunan bilangan bulatnegatif, dinotasikan dengan Z .Dari himpunan Z , kita bisa mengonstruksi bilangan dalam bentuk m / n , dengann 0 . Bilangan real yang dapat direpresentasikan dalam bentuk yang demikiandisebut sebagai bilangan rasional. Sebaliknya, bilangan real yang tidak dapatdirepresentasikan dalam bentuk itu disebut sebagai bilangan irasional. Himpunanbilangan rasional dinotasikan dengan Q . Dapat dikatakan bahwa himpunanbilangan real R merupakan gabungan dua himpunan disjoin, himpunan bilanganrasional dan himpunan bilangan irasional. Bilangan 2 dan 0 merupakan contohbilangan-bilangan rasional, dan dapat ditunjukkan bahwa2 , akar daripersamaan x 2 2 , merupakan contoh bilangan irasional (lihat Bartle-Sherbert[1]).
Sekarang, kita sampai kepada penjelasan tentang konsep ketidaksamaan antaradua bilangan real, sebagai salah satu konsep yang berkaitan dengan sifat terurutdari R .Definisi 1.5. Misalkan a, b R .a. Jika a b R maka a b atau b a .b. Jika a b R U {0} maka a b atau b a .Sifat Trichotomy dari R mengakibatkan bahwa untuk sembarang a, b Rberlaku salah satu dari a b , a b , atau a b . Selain itu, dapat ditunjukkanbahwa jika a b dan a b maka a b . Dari sifat terurut, dapat juga diperolehfakta-fakta berikut ini.Teorema 1.6. Misalkan a, b, c R .a. Jika a b dan b c maka a c .b. Jika a b maka a c b c .c. Jika a b dan c 0 maka ac bc . Jika a b dan c 0 maka ac bc .d. Jika ab 0 maka a 0 dan b 0 , atau a 0 dan b 0 .e. Jika ab 0 maka a 0 dan b 0 , atau a 0 dan b 0 .Bukti Teorema 1.6.a-1.6.b menggunakan definisi 1.5 dan Teorema 1.6.d-1.6.emenggunakan sifat Trichotomy. Bukti Teorema tersebut ditinggalkan sebagailatihan bagi para pembaca.Jika kita mengambil sembarang a 0 maka12a 0 dan 0 12 a a . Hal inimengandung arti setiap kita mengambil bilangan positif pasti selalu didapatbilangan positif lain yang lebih kecil daripadanya. Dengan kata lain, tidak terdapatbilangan positif yang terkecil. Pernyataan ini merupakan maksud dari teoremaberikut ini.
Teorema 1.7. Jika a R dan 0 a ε untuk setiap ε 0 maka a 0 .Bukti. Andaikan a 0 . Pilih ε 12 a . Kita peroleh 0 ε a . Pernyataan inikontradiksi dengan hipotesis bahwa0 a ε untuk setiap ε 0 . Dengandemikian, haruslah bahwa a 0 . Sebelumnya kita telah dikenalkan dengan bilangan real nonnegatif, yaitu elemendari himpunan R U {0}. Jika a 0 atau a 0 maka jelas bahwa a R U {0} .Jika a 0 tentunya a 0 , sehingga a R U {0} . Berdasarkan hal tersebut,akan didefinisikan apa yang disebut sebagai nilai mutlak dari suatu bilangan real.Nilai mutlak ini akan “me-nonnegatif-kan” bilangan-bilangan real.Definisi 1.8 (Nilai Mutlak). Nilai mutlak dari bilangan real a , dinotasikan dengana , didefinisikan dengan a, a 0a : a , a 0.Dari Definisi 1.8 tersebut tampak bahwa a 0 atau a adalah bilangannonnegatif untuk setiap bilangan real a . Sebagai contoh, 1 1 , 0 0 , dan2 2.Nilai mutlak dari bilangan-bilangan real ini memiliki sifat-sifat tertentu, diantaranya seperti yang tertuang dalam fakta berikut ini.Teorema 1.9.a.ab a b untuk setiap a, b R .b. Misalkan c 0 dan a R , a c jika dan hanya jika c a c .c. Misalkan c 0 dan a R , a c jika dan hanya jika a c atau a c .Bukti.
a. Jika a 0 atau b 0 maka ab 0 0 dan a b 0 . Jika a, b 0 makaab 0 , a a , dan b b , sehingga ab ab dan a b ab . Jika a 0dan b 0 maka ab 0 , a a , dan b b , sehingga ab ab dana b a ( b ) ab . Untuk kasus a 0 dan b 0 , penyelesaiannya serupadengan kasus sebelumnya.b. Misalkan a c . Untuk a 0 , kita peroleh a a c , sehingga didapat0 a c . Untuk a 0 , kita peroleh a a c atau a c , sehinggadidapat c a 0 . Dengan menggabungkan hasil dari kedua kasus tersebut,kita peroleh c a c .Untuk sebaliknya, misalkan c a c . Hal tersebut mengandung arti c adan a c . Dengan kata lain, a c dan a c . Lebih sederhana, yangdemikian dapat dituliskan sebagai a c .c. Misalkan a c . Untuk a 0 , kita peroleh a a c . Untuk a 0 , kitaperoleh a a c atau a c . Dengan menggabungkan hasil dari keduakasus tersebut, kita peroleh a c atau a c .Untuk sebaliknya, jika a c atau a c maka a c atau a c . Dengankata lain, a c . Perhatikan kembali sifat nilai mutlak yang terdapat pada Teorema 1.9. Untuk2yang bagian a., jika a b maka a a a a 2 . Untuk bagian b., jika c amaka a a a .Selanjutnya, kita sampai kepada sifat nilai mutlak yang lain, yang dinamakandengan Ketidaksamaan Segitiga. Ketidaksamaan ini mempunyai kegunaan yangsangat luas di dalam matematika, khususnya di dalam kajian analisis dan aljabar.
Teorema 1.10 (Ketidaksamaan Segitiga). Jika a, b R maka a b a bdan kesamaan terjadi atau a b a b jika a kb , dengan k 0 .Bukti. Seperti yang telah dibahas sebelumnya, jika a, b R maka dapatdiperoleh bahwa a a a dan b b b . Jika kedua ketidaksamaan ini()kita jumlahkan maka a b a b a b atau a b a b . Bukti untukpernyataan berikutnya ditinggalkan sebagai latihan bagi para pembaca. Lebih jauh, sebagai konsekuensi dari Teorema 1.10, kita memiliki akibat berikutini.Akibat 1.11. Jika a, b R maka a b a b dan a b a b .Bukti. Perhatikan bahwa a a b b . Dengan menggunakan ketidaksamaansegitiga, a ( a b ) b a b b atau a b a b . Dengan cara yangserupa dapat kita peroleh bahwa b ( b a ) a a b a . Akibatnya,b a a b atau a b a b . Akhirnya, kita memiliki a b a b a b atau a b a b .Selanjutnya,perhatikanbahwaa b a ( b ) a b a bberdasarkan ketidaksamaan segitiga., Selanjutnya, kita akan melihat bagaimana konsep terurut dari R ini diaplikasikanuntuk menyelesaikan masalah-masalah ketidaksamaan.Contoh 1.12. Tentukan himpunan penyelesaian dari ketidaksamaan 4x 2 6 .Penyelesaian. Perhatikan bahwa4x 2 4x ( 2) 6 4 x ( 2) 2 6 2 4 x 8 x 2 .Tampakbahwax {x : x 2} .ketidaksamaan4x 2 6dipenuhiolehsemua
Contoh 1.13. Cari semua penyelesaian dari ketidaksamaan x 2 x 6 .Penyelesaian. Perhatikan bahwax 2 x 6 x 2 x 6 0 ( x 2 )( x 3) 0 .Darinya kita peroleh bahwa x 2 0 dan x 3 0 , atau x 2 0 dan x 3 0 .Untuk kasus yang pertama kita dapatkan x 2 dan x 3 , atau dengan katalain 2 x 3 . Untuk kasus yang kedua kita peroleh bahwa x 2 dan x 3 .Perhatikan bahwa pada kasus kedua tersebut tidak ada nilaix yangmemenuhinya. Dengan demikian, ketidaksamaan x 2 x 6 dipenuhi olehsemua x {x R : 2 x 3}. Contoh 1.14. Selidiki apakah ketidaksamaanx 2 22x 3memiliki penyelesaian.Penyelesaian. Perhatikan bahwax 2 2 ( 2x 3)x 2 3x 8 2 0 0.2x 32x 32x 3Yang demikian berarti 3x 8 0 dan 2x 3 0 , atau 3x 8 0 dan2x 3 0 . Untuk kasus yang pertama kita peroleh x 8 / 3 dan x 3 / 2 .Namun hal itu tidak mungkin terjadi, artinya tidak ada x yang memenuhi. Untukkasus yang kedua kita peroleh x 8 / 3 dan x 3/ 2 , atau dengan kata lain 8 / 3 x 3 / 2 . Jadi ketidaksamaanx 2 22x nya{x R : 8 / 3 x 3 / 2} .Contoh 1.15. Cari himpunan penyelesaian dari 2 x 1 5 .adalah
Penyelesaian. Berdasarkan Teorema 1.9.b., 5 2 x 1 5 atau 6 2 x 4 .Darinya kita peroleh 3 x 2 . Jadi himpunan penyelesaiannya adalah{x R : 3 x 2}Bisa juga ketidaksamaan tersebut diselesaikan dengan cara lain. Perhatikanbahwa2 x 1, jika x 1/ 2 2x 1 ( 2 x 1) , jika x 1/ 2.Penyelesaiannya dibagi menjadi dua kasus, yaitu :Kasus I, x 1 / 2 .Kita peroleh 2 x 1 2 x 1 5 . Akibatnya, 2 x 4 atau x 2 . Pada kasus ini,himpunan penyelesaian dari 2 x 1 5 adalah{x R : x 1 / 2}I {x R : x 2} {x R : 1 / 2 x 2}l.Kasus II, x 1 / 2 .Kita peroleh 2 x 1 ( 2 x 1) 2 x 1 5 . Akibatnya, 2 x 6 atau x 3 .Pada kasus ini, himpunan penyelesaian dari 2 x 1 5 adalah{x R : x 1 / 2}I {x R : x 3} {x R : 3 x 1 / 2}.Penyelesaian seluruhnya dari 2 x 1 5 adalah himpunan penyelesaian kasus Idigabung dengan himpunan penyelesaian kasus II. Akibatnya, kita dapatkanhimpunanpenyelesaiankeseluruhan2x 1 5dari{x R : 3 x 2}.adalah Contoh 1.17. Tentukan himpunan penyelesaian dari x x 1 2 ikanketidaksamaan tersebut, perhatikan bahwa x, jika x 0x x, jika x 0danx 1, jika x 1 x 1 ( x 1) , jika x 1.Penyelesaiannya kita bagi menjadi tiga kasus terlebih dahulu, yaitu :
Kasus I, x 1 .Kitaperolehx xx 1 ( x 1) x 1dan.Akibatnya,x x 1 x ( x 1) 2 atau 2 x 3 atau x 3 / 2 . Pada kasus ini,himpunan penyelesaian dari x x 1 2 adalah{x R : x 3 / 2} I {x R : x 1} {x R : 3 / 2 x 1}.Kasus II, 1 x 0 .Kita peroleh x x dan x 1 x 1 . Akibatnya, x x 1 x ( x 1) 2atau 1 2 . Ketidaksamaan 1 2 dipenuhi oleh semua x R . Untuk kasus II,himpunan penyelesaian dari x x 1 2 adalah{x R : 1 x 0}I {x R} {x R : 1 x 0}.Kasus III, x 0 .Kita perol
bilangan real R merupakan gabungan dua himpunan disjoin, himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional. Bilangan 2 dan 0 merupakan contoh bilangan-bilangan rasional, dan dapat ditunjukkan bahwa 2, akar dari persa
Texts of Wow Rosh Hashana II 5780 - Congregation Shearith Israel, Atlanta Georgia Wow ׳ג ׳א:׳א תישארב (א) ׃ץרֶָֽאָּהָּ תאֵֵ֥וְּ םִימִַׁ֖שַָּה תאֵֵ֥ םיקִִ֑לֹאֱ ארָָּ֣ Îָּ תישִִׁ֖ארֵ Îְּ(ב) חַורְָּ֣ו ם
kinerja keuangan ada beberapa analisis rasio keuangan yang digunakan yaitu: analisis likuiditas perusahaan, analisis struktur keuangan, analisis penilaian pasar, analisis kesehatan keuangan perusahaan, dan analisis dengan metode EVA. 1. Analisis Likuiditas Rasio likuiditas menggambarkan kemampuan p
ANÁLISIS TEXTUAL Y EXEGÉTICO DE LA PRIMERA VISIÓN (Ap 1,9-20) PRESENTACIÓN DE CRISTO A SU IGLESIA 158 I ANÁLISIS EXEGÉTICO 158 1. Texto griego y traducción 159 2. Análisis del versículo 9 161 3 Análisis del versículo 10 176 4. Análisis del versículo 11 182 5. Análisis del versículo 12 189 6. Análisis del versículo 13 196 7.
Estructura económico‐financiera del balance de situación. Técnicas para el análisis. Análisis patrimonial. Análisis a corto plazo. Análisis a largo plazo. Caso práctico de análisis. Tema 3.Análisis de costes para la toma de decisiones directivas. Introducción a la contabilidad y análisis de costes. Definición y clasificación de .
Practical Design of Buck Converter PECON 2008, Johor Bahru, Malaysia Taufik Page 2 Tutorial Outline Brief Review of DC-DC Converter Design Equations Loss Considerations Layout Considerations Efficiency Improvement Synchronous Buck Resonant Buc
analisis SWOT. Penelitian ini merupakan penelitian deskriptif dengan dukungan data kualitatif. Teknik pengumpulan data yang diperoleh melalui wawancara mendalam dengan serta data riil dari field.Internal dan eksternal hasil yang diperoleh dengan menggunakan analisis SWOT 13 alternatif strartegi: (1) Menggunakan
2. Kepala sekolah memberikan arahan teknis tentang analisis butir soal kepada TPK sekolah dan guru/MGMP sekolah, antara lain mencakup: a. Dasar dan acuan pelaksanaan analisis butir soal b. Tujuan yang ingin dicapai dalam pelaksanaan analisis butir soal c. Manfaat analisis butir soal d. Hasil yang diharapkan dari analisis butir soal e.
a central part of the Revolution’s narrative, the American Revolution would have never occurred nor followed the course that we know now without the ideas, dreams, and blood spilled by American patriots whose names are not recorded alongside Washington, Jefferson, and Adams in history books. The Road to the War for American Independence By the time the first shots were fired in the American .
