OLIMPIADE SAINS NASIONAL MATEMATIKA SMA/MA
PPPG Matematika YogyakartaKode Dok.: F-PRO-016Revisi No .:0OLIMPIADE SAINS NASIONALMATEMATIKA SMA/MADisajikan padaPelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMAJenjang Dasar28 Oktober – 9 November 2007OlehWiworo, S.Si., M.M.Departemen Pendidikan NasionalDirektorat Jenderal Peningkatan Mutu Pendidik dan Tenaga KependidikanPusat Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidikdan Tenaga Kependidikan MatematikaYogyakarta20071 Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007
CONTOH SOALOLIMPIADE MATEMATIKA SMA/MA1. Suatu bilangan bulat p 2 merupakan bilangan prima jika faktornya hanyalah p dan 1. Misalkan Mmenyatakan perkalian 100 bilangan prima yang pertama. Berapa banyakkah angka 0 di akhir bilangan M?(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2003)1112. Misalkan p 10(9!) 2 , q 9(10!) 2 dan r (11!) 2 , dengan n! 1 2 3 (n 1) n . Bagaimanapengurutan yang benar dari ketiga bilangan ini?(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2003)3. Misalkan a dan b bilangan real yang berbeda sehinggaa a 10b 2b b 10aTentukan nilaiab(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2003)4. Berapakah jumlah digit-digit bilangan 21999 5 2000 ?(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2003)5. Bilangan bulat positif p 2 disebut bilangan prima jika ia hanya mempunyai faktor 1 dan p. Tentukannilai penjumlahan semua bilangan prima di antara 1 dan 100 yang sekaligus bersifat satu lebihnya darisuatu bilangan kelipatan 5 dan satu kurangnya dari suatu bilangan kelipatan 6.(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2003)6. Bilangan real 2,525252 adalah bilangan rasional sehingga dapat ditulis dalam bentukm, di mana m,nn bilangan-bilangan bulat, n 0 . Jika dipilih m dan n yang relatif prima, berapakah m n ?(Seleksi Tingkat Provinsi – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2003, 10 Juni 2002)7. Misalkan M dan m berturut-turut menyatakan bilangan terbesar dan bilangan terkecil di antara semuabilangan 4 angka yang jumlah keempat angkanya adalah 9. Berapakah faktor prima terbesar dariM m?(Seleksi Tingkat Provinsi – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2003, 10 Juni 2002)8. Tentukan semua solusi dari sistem persamaan x y z 222 x y z x3 y3 z 3 6 12 24(Olimpiade Sains Nasional I 2002, Matematika SMA, Yogyakarta, 10 September 2002)2 Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007
9. Ada berapa banyak bilangan 4 angka yang semua angkanya genap dan bukan merupakan kelipatan2003 ?(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2004)10. Jika a dan b bilangan bulat sedemikian sehingga a 2 b 2 2003 , maka berapakah nilai a 2 b 2 ?(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2004)11. Untuk setiap bilangan real , kita definisikan sebagai bilangan bulat terbesar yang kurang dari atausama dengan . Sebagai contoh, 4,9 4 dan 7 7 . Jika x dan y bilangan real sehingga x 9 dan y 12 , maka nilai terkecil yang mungkin dicapai oleh y x adalah .(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2004)12. Jika x 0 dan x 2 11 7 , maka x 5 5 2xx(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2005, 28 April 2004)13. Jika f suatu fungsi yang memenuhi f (1) 4 dan f ( x 1) 2 f ( x) maka f (2004) (Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2005, 28 April 2004)14. Dua lingkaran pada bidang mempunyai titik pusat yang sama. Jari-jari lingkaran besar adalah tiga kali jarijari lingkaran kecil. Jika luas daerah di antara kedua lingkaran ini adalah 8, maka luas daerah lingkarankecil adalah .(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2005, 28 April 2004)15. Nilai dari1 1 111 adalah .2 6 12 2010100(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2005, 28 April 2004)16. Diberikan persegipanjang PQRS. Titik O terletak di dalam PQRS demikian rupa sehingga OP 3 cm,OQ 12 cm dan OS 11 cm. Maka OR .(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2005, 28 April 2004)17. Titik (a, b) disebut titik letis jika a dan b keduanya adalah bilangan bulat. Banyaknya titik letis padalingkaran yang berpusat di O dan berjari-jari 5 adalah .(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2006, 11 Juni 2005)18. Tentukan semua solusi persamaan x 1 x 4 2 .(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2006, 11 Juni 2005)19. Tentukan banyaknya pasangan bilangan bulat positif (m, n) yang merupakan solusi dari persamaan4 2 1.m n(Seleksi Tingkat Kabupaten/Kota – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2006, 11 Juni 2005)20. Sebuah kelompok terdiri dari 2005 anggota. Setiap anggota memegang tepat satu rahasia. Setiapanggota dapat mengirim surat kepada anggota lain manapun untuk menyampaikan seluruh rahasia yang3 Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007
dipegangnya. Banyaknya surat yang perlu dikirim agar semua anggota kelompok mengetahui seluruhrahasia adalah .(Seleksi Tingkat Provinsi – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2006, 18 Juli 2005)21. Banyaknya pasangan bilangan bulat (x, y) yang memenuhi persamaan 2 xy 5x y 55 adalah .(Seleksi Tingkat Provinsi – Tim Olimpiade Matematika Indonesia 2006, 18 Juli 2005)22. Find all pairs of integers (x, y) such that1 1 1 .x y 3(South East Asian Mathematics Olympiad III, Penang – Malaysia, First Day – Individual Contest – 17 May 2005)23. How many integers from 1 to 2005 have the sum of their digits divisible by 5 ?(South East Asian Mathematics Olympiad III, Penang – Malaysia, First Day – Individual Contest – 17 May 2005)24. Let a, b, c be a real numbers such that a b c 80 and a 2 b 2 c 2 2390 . Find the value ofab bc ca .(South East Asian Mathematics Olympiad III, Penang – Malaysia, First Day – Individual Contest – 17 May 2005)25. How many pairs of integers (x, y) such that x y 0 satisfy( x y ) ( x y ) xy x 2005y(South East Asian Mathematics Olympiad III, Penang – Malaysia, First Day – Individual Contest – 17 May 2005)26. Let N be the set of all positive integers. Let f : N N be a function such that f ( x 1) f ( x) x forx N and f (1) 5 . Find the value of f (2005 ) .(South East Asian Mathematics Olympiad III, Penang – Malaysia, First Day – Individual Contest – 17 May 2005)27. Buktikan bahwa a 9 a habis dibagi 6 untuk semua bilangan bulat a.(Olimpiade Sains Nasional II 2003, Matematika SMA, Hari I – Balikpapan, 16 September 2003)28. Buktikan untuk setiap bilangan real a, b dan c berlaku ketaksamaan5a 2 5b 2 5c 2 4ab 4bc 4cadan tentukan kapan kesamaan berlaku.(Olimpiade Sains Nasional II 2003, Matematika SMA, Hari II – Balikpapan, 17 September 2003)29. Tentukan banyaknya pembagi genap dan pembagi ganjil dari 5 6 1(Olimpiade Sains Nasional III 2004, Matematika SMA, Hari I – Pekanbaru, 25 Agustus 2004)30. Untuk sebarang bilangan real x, notasi x menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atausama dengan x. Buktikan bahwa ada tepat satu bilangan bulat m yang memenuhi persamaan m m 2005 . 2005 (Olimpiade Sains Nasional VI 2005, Matematika SMA, Hari II – DKI Jakarta, 7 September 2005)4 Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007
LATIHAN 131. Tampilan suatu jam digital mempunyai format Bulan : Tanggal : Jam : Menit. Jangkauanbilangan-bilangan pada tampilan jam tersebut adalah sebagai berikut: Bulan, dari 01 sampai 12 Tanggal, dari 01 sampai 31 Jam, dari 00 sampai 23 Menit, dari 00 sampai 59Berapa kali pada tahun 2007, tampilan jam digital tersebut menunjukkan suatu palindrom ?(Palindrom adalah suatu bilangan yang sama jika dibaca dari depan maupun dari belakang. Contoh,12 : 31 : 13 : 21 dan 01 : 02 : 20 : 10)32. Tiga pola susunan pengubinan berikut tersusun dari ubin putih dan ubin hitam. Selanjutnyasuatu susunan pengubinan yang lebih besar dibuat mengikuti pola yang sama dan tersusun dari58 ubin hitam. Hitunglah banyaknya ubin putih pada susunan pengubinan yang tersusun dari 58ubin hitam tersebut.33. Berapa banyak bilangan tiga angka n sedemikian hingga jika s merupakan jumlah angka-angkadari n, makadan n habis dibagi s ?34. Misalkan. Berapa kali angka 1 muncul pada n ?35. Jika, berapakah36. Pada trapezium berikut ini, DC.sejajar AB,dan?. Carilah37. Pada gambar berikut, ABCD adalah trapesium. AF dan BE tegak lurus terhadap CD, dengandan. Carilah nilai.38. Diketahui bahwa. Tentukan nilai A agar.5 Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007
39. Untuk setiap pasangan bilangan asli a dan b, kita definisikan. Bilangan asli xdikatakan penyusun bilangan asli n jika terdapat bilangan asli y yang memenuhi.Sebagai contoh, 2 adalah penyusun 6 karena terdapat bilangan asli 4 sehingga. Tentukan semua penyusun 2005.40. Carilah hasil dariLATIHAN 21. Buktikan pernyataan-pernyataan berikut:a. Jumlah dua bilangan genap adalah bilangan genapb. Jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan genapc. Jumlah bilangan genap dan bilangan ganjil adalah bilangan ganjil.2. Buktikan bahwa pada bentuk bintang berikut ini3. Buktikan a b 4 abjika a 0 , b 0 dan a b .a b4. Buktikan jika ABCD persegipanjang dan titik E adalah titik sebarang di luar persegipanjangABCD seperti pada gambar berikut, maka akan berlaku hubungan.Perhatikan bahwa A, B, C, D, E adalah titik-titik yang koplanar (sebidang).EDACB5. Buktikan bahwa n 3 (n 1) 3 (n 2) 3 selalu habis dibagi 9 untuk setiap bilangan asli n.6. Jika a, b, c, d dan e adalah bilangan-bilangan sedemikian hinggaa b c db c d ec d e ad e a b6 Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007
buktikan bahwa bilangan terbesar adalah a dan bilangan terkecil adalah b.7. Pada segilima ABCDE, segitiga-segitiga ABC, BCD, CDE, DEA dan EAB semuanya mempunyailuas yang sama. Garis AC dan AD memotong BE pada titik M dan N. Buktikan bahwa.8. Buktikan bahwa 1n 8 n 3n 6 n selalu habis dibagi 10 untuk setiap bilangan bulat positif n.9. Buktikan bahwa jumlah kuadrat dua bilangan asli berurutan tidak akan sama dengan jumlahpangkat empat dua bilangan asli berurutan.10. Buktikan bahwa sistem persamaanx y z 01 1 1 0x y ztidak mempunyai solusi bilangan real.7 Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007
CONTOH SOLUSI DARI SISWAYANG MEMILIKI KEMAHIRAN MATEMATIKA CUKUP BAIKPengantar:Berikut ini diberikan beberapa contoh soal dan jawaban siswa untuk Tugas Mingguan Pembinaan KelasVII dan VIII untuk OSN Matematika SMP serta Tugas Mingguan Pembinaan Veteran Kelas VIIIdan IX untuk OSN Matematika SMA, yang dilakukan siswa selama mengikuti Pembinaan TimOlimpiade Matematika SMPN 8 Yogyakarta. Jawaban siswa diketikkan apa adanya seperti yangmereka tulis di lembar jawaban dan tidak ada yang ditambah-tambahi. Memang masih ada kesalahanpada beberapa langkah jawaban ataupun langkah pembuktian. Terlepas dari itu semua, yang harusdicermati adalah keberanian siswa untuk berpikir kreatif, sistematis, logis dan rasional sertakeberanian mereka untuk mengungkapkan gagasan yang ada dalam pikiran ke dalam bahasa tulisdengan cukup terstruktur. Hal ini merupakan contoh langkah awal penguasaan siswa terhadap limahal yang disyaratkan untuk menjadi mahir dalam matematika, yaitu:1. Conceptual Understanding2. Procedural Fluency3. Strategic Competence4. Adaptive Reasoning5. Productive DispositionDiperlukan waktu dua tahun lebih untuk membimbing dan membiasakan siswa-siswa tersebut sehinggadapat mencapai kemampuan seperti ini. Proses pembimbingan ini masih berlangsung terus sampaisekarang.1. Prove that the system of equationsx y z 01 1 1 0x y zhas no real solutions.(The 55th Leningrad Mathematical Olympiad 1989, Grade 8)Bukti: (dibuktikan oleh Nurvirta Monarizqa, kelas IX – 5 SMPN 8 Yogyakarta)Misalx y z 0 .(1)1 1 1 0 .(2)x y zDari (2) maka1 1 1 0kedua ruas dikali xyzx y z xy xz yz 0 .(3)Dari (1) makakedua ruas dikuadratkan( x y z) 02 ( x y z) 0 x 2 y 2 z 2 2 xy 2 xz 2 yz 0 .(4)8 Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007
Persamaan (4) dikurangi persamaan (3) diperolehkedua ruas dikali 2x 2 y 2 z 2 xy xz yz 0222 2 x 2 y 2 z 2 xy 2 xz 2 yz 0Kemampuan x 2 2 xy y 2 x 2 2 xz z 2 y 2 2 yz z 2 0mengkonstruksi ( x y) 2 ( x z ) 2 ( y z ) 2 0 .(5)Andaikan x, y dan z adalah sembarang bilangan real, maka x y , y z dan x z juga merupakanbilangan real. Perhatikan bahwa kuadrat sembarang bilangan real selalu nonnegatif, maka penjumlahanketiga bilangan real kuadrat juga pasti nonnegatif.Pada persamaan (5) penjumlahan ketiga sembarang kuadrat bilangan real sama dengan nol, akibatnya( x y ) 2 , ( x z ) 2 dan ( y z ) 2 juga harus sama dengan 0. sehinggax y y z x z 0kedua ruas dikurangi yx y y z x zkedua ruas dikurangi zy z x z y xPembuktian denganMaka x y z .kontradiksi.Perhatikan caraSehingga jika x y z disubstitusikan ke persamaan (5)menyusun kalimat( x y) 2 ( y z) 2 ( x z) 2 0( z z) ( z z) ( z z) 022(2 z ) (2 z ) (2 z )224z 4z 4z212 zz222222kalimatnya. 0 0 0 0z 0z 0 x y.Kembalikan ke persamaan (2) dengan mensubstitusikan x y z 0 .1 1 1 0x y z1 1 1 00 0 0Perhatikan bahwa bilangan pada penyebut tidak boleh nol karena hasilnya tidak terdefinisi, bukan nol.Kontradiksi, maka pengandaian salah. Jadi terbukti bahwa sistem persamaanx y z 01 1 1 0x y ztidak mempunyai solusi real.9 Prestasi Nurvirta Monarizqa: Juara 3 Matematika SMP Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN IV 2005 Juara 3 Matematika SMP Seleksi Tingkat Provinsi DIY OSN IV 2005 Medali Perak Matematika SMP Olimpiade Sains Nasional IV 2005 DKI Jakarta Peringkat 12 Matematika SMA Seleksi Tingkat Provinsi DIY OSN V 2006 Juara 1 Matematika SMP Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN V 2006 Juara 2 Matematika SMP Seleksi Tingkat Provinsi DIY OSN V 2006 Medali Perunggu Matematika SMP Olimpiade Sains Nasional V 2006 Semarang Juara 1 Matematika SMA Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN VI 2007 SSi,PeringkatMatematika Instruktur/PengembangSMA Seleksi Tingkat Provinsi MatematikaDIY OSN VI 2007WiworoMM,8 PelatihanSMA 2007
2. Prove that n 3 (n 1) 3 (n 2) 3 is divisible by 9 for all natural numbers n.Bukti 1: (dibuktikan oleh Gabriela Kasih Mawarni, kelas IX – 4 SMPN 8 Yogyakarta)Untuk n 113 (1 1) 3 (1 2) 2 13 2 3 33 1 8 27 3636 habis dibagi 9. Terbukti.Ada sedikit kesalahan dalamAndaikan rumus benar untuk n k .menuliskan langkah induksi.333k (k 1) (k 2) 9a dengan a sembarang bilangan bulat.Harus dibuktikan rumus benar untuk n k 1.(k 1) 3 (k 2) 3 (k 3) 3 9a k 3 (k 3) 3 9a (k 3) 3 k 3 9a (k 3 k ) (k 3) 2 (k 3)k k 2 9a 3 k 2 6k 9 k 2 3k k 2 9a 3 3k 2 9k 9 9a 3 3 k 2 3k 3 9a 9 k 2 3k 3 9 a k 2 3k 3 Jadi terbukti bahwa n 3 (n 1) 3 (n 2) 3 habis dibagi 9 untuk sembarang bilangan asli n.Prestasi Gabriela Kasih Mawarni: Peringkat 14 Matematika SMP Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN IV 2005 Juara 4 Matematika SMP Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN V 2006 Juara 2 Matematika SMA Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN VI 2007 Juara 1 Matematika SMA Seleksi Tingkat Provinsi DIY OSN VI 2007Bukti 2: (dibuktikan oleh Ikhsan Permadi Kusumah, kelas IX – 4 SMPN 8 Yogyakarta)Kasus I untuk n 9k , maka(9k ) 3 (9k 1) 3 (9k 2) 3 729 k 3 243k 2 27 k 1 729 k 3 729 k 3 486 k 2 108 k 8 2187 k 3 729 k 2 135 k 9 9 243k 3 81k 2 15k 1 Terbukti habis dibagi 9.Kasus II untuk n 9k 1 , makaKemauan untuk bekerja33332keras karena berani(9k 1) (9k 2) (9k 3) 2187 k 1458 k 378 k 36membagi masalah dalam 9 243k 3 162 k 2 42k 4 kasus per kasus dandiselesaikan satu perTerbukti habis dibagi 9.satuKasus III untuk n 9k 2 , maka(9k 2) 3 (9k 3) 3 (9k 4) 3 2187 k 3 2187 k 2 783k 99 9 243k 3 243k 2 87 k 11 10 Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007
Terbukti habis dibagi 9.Kasus IV untuk n 9k 3 , maka(9k 3) 3 (9k 4) 3 (9k 5) 3 2187 k 3 2916 k 2 1350 k 153 9 243k 3 324 k 2 150 k 17 Terbukti habis dibagi 9.Kasus V untuk n 9k 4 , maka(9k 4) 3 (9k 5) 3 (9k 6) 3 2187 k 3 3645 k 2 2079 k 405 Terbukti habis dibagi 9.Kasus VI untuk n 9k 5 , maka(9k 5) 3 (9k 6) 3 (9k 7) 3 2187 k 3 4374 k 2 2970 k 684 Terbukti habis dibagi 9.Kasus VII untuk n 9k 6 , maka(9k 6) 3 (9k 7) 3 (9k 8) 39 243k 3 405 k 2 231k 45 9 243k 3 486 k 2 330 k 76 2187 k 3 5103 k 2 6534 k 1071 9 243k 3 567 k 2 726 k 119 Terbukti habis dibagi 9.Kasus VIII untuk n 9k 7 , maka9k 9 dapat ditulis 9m(9k 7) 3 (9k 8) 3 (9k 9) 3 (9m 7) 3 (9m 8) 3 (9m) 3 2187 m 3 3645 m 3 5562 m 855 9 243m 3 405 m 2 618 m 95 Terbukti habis dibagi 9.Kasus IX untuk n 9k 8 , maka(9k 8) 3 (9k 9) 3 (9k 10) 3 (9m 8) 3 (9m) 3 (9m 1) 3 2187 m 3 2187 m 2 4266 m 513 9 243m 3 243m 2 476 m 57 Terbukti habis dibagi 9.Karena terbukti untuk seluruh n bilangan asli, maka terbukti n 3 (n 1) 3 (n 2) 3 habis dibagi 9.Prestasi Ikhsan Permadi Kusumah: Juara 2 Matematika SMP Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN IV 2005 Juara 2 Matematika SMP Seleksi Tingkat Provinsi DIY OSN IV 2005 Medali Perak Matematika SMP Olimpiade Sains Nasional IV 2005 DKI Jakarta Peringkat 17 Matematika SMA Seleksi Tingkat Provinsi DIY OSN V 2006 Juara 5 Matematika SMP Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN V 2006 Juara 3 Matematika SMA Seleksi Tingkat Kota Yogyakarta OSN VI 2007 Peringkat 9 Matematika SMA Seleksi Tingkat Provinsi DIY OSN VI 2007Bukti 3: (dibuktikan oleh Nurvirta Monarizqa, kelas IX – 5 SMPN 8 Yogyakarta)Perhatikan bahwa untuk n bilangan asli, n, n 1 dan n 2 merupakan 3 bilangan asli berurutan. Padahalsetiap 3 bilangan asli berurutan pasti memuat 1 buah bilangan yang merupakan kelipatan 3. Sehinggadiperoleh 3 kemungkinan.Jika n merupakan kelipatan 3, maka ambil sembarang k bilangan real positif sedemikian hingga n 3k ,n 1 3k 1 dan n 2 3k 2 . Maka11 Wiworo SSi, MM, Pelatihan Instruktur/Pengembang Matematika SMA 2007
n 3 (n 1) 3 (n 2) 3 (3k ) 3 (3k 1) 3 (3k 2) 3 27 k 3 27 k 3 27 k 2 9k 1 27 k 3 54k 2 72k 8 3 27 k 3 27 k 2 54k 2 81k 9 9 9k 3 9k 2 9k 1 Merupakan kelipatan 9.Jika n 1 merupakan kelipatan 3, maka ambil sembarang k bilangan real positif sedemikian hinggan 3k 1, n 1 3k dan n 2 3k 1 . Makan 3 (n 1) 3 (n 2) 3 (3k 1) 3 (3k ) 3 (3k 1) 3 27 k 3 27 k 2 9k 1 27 k 3 27 k 3 27 k 2 9k 1 27 k 3 3 18k 9 9k 3 2k Merupakan kelipatan 9.Jika n 2 merupakan kelipatan 3, maka ambil sembarang k bilangan real positif sedemikian hinggan 3k 2 , n 1 3k 1 dan n 2 3k . Makan 3 (n 1) 3 (n 2) 3 (3k 2) 3 (3k 1) 3 (3k ) 3 27 k 3 54 k 2 72 k 8 27 k 3 27 k 2 9k 1 27 k 3 3 27 k 3 81k 2 81k 9 9 9k 3 9k 2 9k 1 Merupakan kelipatan 9.Maka dari kemungkinan tersebut terbukti bahwa n 3 (n 1) 3 (n 2) 3 habis dibagi 9 untuksembarang bilangan asli n.3. Two integers are called equivalent, written x y, if they are divisible by the same prime numbers. So 2 2 4, 3 27 but 2 3.a. Show that 10 80, but 10 90.b. Prove that if x y, then x2 y2.(Canadian Mathematical Society Prize Exam, 26 April 1999)Bukti: (dibuktikan oleh Robertus Sonny Prakoso, kelas IX – 1 SMPN 8 Yogyakarta)a. 10 2 5 .80 2 4 5 .90 2 32 5 .10 dan 80 mempunyai faktor prima y
(Olimpiade Sains Nasional II 2003, Matematika SMA, Hari I – Balikpapan, 16 September 2003) 28. Buktikan untuk setiap bilangan real a, b dan c berlaku ketaksamaan 5a 5b 5c2 t 4ab 4bc 4ca dan tentukan kapan kesamaan berlaku. (Olimpiade Sains Nasional II 2003, Matematika S
OLIMPIADE SAINS KABUPATEN/KOTA SMA 2018 OSK Matematika SMA (Olimpiade Sains Kabupaten/Kota Matematika SMA) Disusun oleh: Pak Anang . Pembahasan Soal OSK SMA 2018 OLIMPIADE SAINS KABUPATEN/KOTA SMA 2018 OSK Matematika SMA (Olimpiade
Panduan pelaksanaan Olimpiade Sains Nasional ini merupakan acuan bagi panitia Olimpiade Sains Kabupaten/Kota (OSK), Olimpiade Sains Provinsi (OSP), Olimpiade Sains Nasional (OSN), sekolah
PANDUAN OLIMPIADE SAINS NASIONAL MATEMATIKA SMA/MA . Seperti umumnya kompetisi matematika yang serius, Olimpiade Sains Nasional Matematika SMA/MA mengukur secara langsung tiga aspek berikut: pemecahan masalah (roblem solvingp), penalaran (reasoning), dan komunikasi tertulis. Oleh karena
akan dilaksanakan melalui bidang sains pada Olimpiade Sains Nasional 2018. Olimpiade Sains Nasional (OSN) tingkat SMP diadakan sejak tahun 2003. Ini menjadi agenda tahunan yang dilaksanakan di setiap satuan pendidikan mulai dari sekolah, kecamatan
controller, sma cluster controller, sma com gateway, sma inverter manager, sma bluetooth repeater, sma connection unit, sma ct meter, sma dc-combiner, sma energy meter, sma rapid shutdown system, sma ready rack, sma webconnect, cloud connect advanced, ts4-r, gateway, grid-connect-box, mc-box, na-box, smartformer, sma energy system – business .
Wardaya College Departemen Matematika 021-29336036 / 0816950875 1 www.antonwardaya.com SOLUSI SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Persiapan Olimpiade Sains Provinsi dan Nasional Tingkat SMA Departemen Matematika - Wardaya College MMXVIII-VII 1. 111 1 2 x 2 111 1x 2 1 111x ( Kua
Kimia dan Informatika/Komputer. Pada tahun 2003 kegiatan OSN ini dikembangkan sampai ke jenjang SD/MI (Matematika dan IPA) serta SMP/MTs (Matematika, Fisika dan Biologi). Kemudian pada tahun 2004 juga telah dimulai Olimpiade Astronomi Nasional untuk jenjang SMP/MTs dan SMA/MA. B. TUJUAN Tujuan diadakannya Olimpiade Sains Nasional adalah: 1.
counselling skills within a formative context of learning. Examples of this will include the completion of a reflective log throughout the course, short group presentations, and submitted coursework that will allow you review your learning. Your progression on Module 1 will not be formally assessed and you will gain automatic entry into Module 2, subject to attendance and conduct. References .
