STATI COERENTI IN MECCANICA QUANTISTICA

nn Ι,(18)n 0che consente di scrivere il generico stato come combinazione lineare di stati stazionari: ψ n nψ.(19)n 0La definizione (4) e (5) degli operatori di creazione e distruzione consente diesprimere x e p in funzione di essi:q (ha a 2mωp i),mhωa a 2()(19).(20)Dalle relazioni (15) e (16) si osserva che, in virtù dell’ortonormalità degli statistazionari, gli elementi di matrice diagonali degli operatori posizione e impulso sononulli nella rappresentazione dell’energia, il che significa che i valori di attesa diposizione e impulso su qualsiasi stato stazionario sono nulli istante per istante.1.2 Stati coerenti dell’oscillatore: definizione e proprietà fondamentaliGli stati stazionari appena analizzati sono caratterizzati da distribuzioni diprobabilità rispetto alla posizione costanti nel tempo; i valori di attesa della posizione edell’impulso sono nulli in ogni istante: questo aspetto costituisce una fondamentaledifferenza con gli stati dell’oscillatore classico, per i quali, una volta definita l’energia(purché diversa da zero), le osservabili posizione e impulso si evolvono nel temposecondo funzioni sinusoidali e sono sempre in quadratura di fase tra loro. Inoltre, se sicalcolano le incertezze su posizione e impulso per uno stato stazionario ad n fotoni, siottiene la relazione di indeterminazione [5]1 ΔxΔp n h2 ;(21)è dunque possibile ottenere la minimizzazione del prodotto delle incertezze su impulso e10

posizione, che rappresenta la massima similitudine con la meccanica classica(grandezze misurabili con precisione arbitraria, solo nel caso del ground state, la cuifunzione d’onda è una gaussiana centrata sull’origine:mωmω 2 h q 2eφ0 ( q ) πh4;(22)come tutti i pacchetti d’onda gaussiani, la (22) verifica la relazioneΔxΔp h2.(23)Uno stato che sia quanto più possibile simile al caso classico deve dunquepresentare le seguenti caratteristiche:L’evoluzione nel tempo dei valori di aspettazione di posizione e impulso deve1essere di tipo periodico semplice, con rapporto di fase costante tra posizione eimpulso;Le funzioni d’onda devono essere quanto più strette possibile intorno al valore2medio della posizione, in modo che la distribuzione di probabilità rispetto allaposizione possa tendere, variando opportuni parametri, ad una funzione delta diDirac;Il prodotto delle incertezze sulla posizione e sull’impulso deve essere minimo.3Gli stati coerenti, ricercati inizialmente da Schrödinger per soddisfare le suddetteproprietà, si possono definire come gli stati α (t ) per i quali sono valide le condizioni[1]: α (t ) x α (t ) xcl (t )(24) α (t ) H α (t ) Ecl(25)La prima condizione impone che il valore di attesa della posizione sia una funzionetemporale che ha la stessa forma della posizione di un oscillatore classico:xcl (t ) Ce iωt C *eiωt;(26)ponendo11

x0 h2mω(27)e α C / x0 , è opportuno eseguire sulla (26) una fattorizzazione, la cui utilità sarà chiarain seguito:(xcl (t ) x0 αe iωt α *eiωt).(28)La seconda condizione impone che l’energia si conservi, secondo la definizionequantomeccanica, e corrisponda al valore classicoEcl 1 212mx&cl (t ) mω 2 xcl2 (t ) 2mωx02 α .22(29)Nel seguito della trattazione, si assume per comodità di calcolo che l’energia siamisurata a partire dal ground state, cioè sottraendo la quantità hω / 2 dall’hamiltoniana[1]; come si è visto in precedenza, l’utilizzo delle formule (4) e (5) rende possibileesprimere x come prodotto di una costante per la somma degli operatori di creazione edistruzione:x h(a a ) x0 (a a )2mω.(30)La suddetta espressione, unita all’applicazione del propagatore dell’equazione diSchrödingerα (t ) ei Hthin cui αα e iωt (a a ) α ,(31)rappresenta il vettore di stato del sistema all’istante t 0 , consente discrivere la condizione (24) comexcl (t ) x0 α eiωta a(a a )e iωta aα;(32)il secondo membro può essere semplificato utilizzando l’identità operatoriale [1] eξa a f (a, a )e ξa a f (ae ξ , a eξ )(33)valida per funzioni f espandibili in serie di potenze; le (32) e (33) consentono indefinitiva di scrivere la condizione (24) come:()(x0 α a α e iωt α a α e iωt x0 αe iωt α *e iωt);questa uguaglianza porta ad individuare una prima proprietà dello stato α :12(34)

α a α α .(35)Si introducono a questo punto due operatori a ' e a' così definiti,a' a α ,(36)a ' a α * ,(37)che verificano banalmente le stesse proprietà di commutazione degli operatori dicreazione e distruzione, e possono essere da essi ottenuti applicando un operatoreunitario, di cui sarà in seguito determinata l’espressione [1]:a' D (α )aD(α ) ,(38)a' D (α )a D(α ) ,(39)D(α ) D (α ) D (α ) D(α ) Ι .(40)Una volta definitoα ' D (α ) α(41)è possibile ricavareα ' a' α ' α D(α )a' D (α ) α α a α α,(42)da cui segue, per la proprietà (35),α ' a α ' α a ' α α 0 .(43)Poiché la suddetta proprietà è verificata, tra l’altro, da tutti gli stati stazionari, lacondizione (24) non è sufficiente a determinare in maniera univoca lo stato coerente; aquesto scopo occorre applicare, facendo uso dei risultati ottenuti e definendoH ' D (α ) HD(α ) , la condizione sul valor medio dell’energia; il valore calcolato suuno stato α (t ) risultaα (t ) H α (t ) α (t ) D(α ) H ' D α (t ) α ' (t ) H ' α ' (t ) hω α ' (t ) (a α * )(a α ) α ' (t ) hω α α ' H α ' hωα α ' a α ' hωα * α ' a α ' ;2(44)il terzo e il quarto addendo all’ultimo membro sono nulli per la (43), mentre il primoaddendo corrisponde al valore Ecl : la condizione (25) è dunque soddisfatta se e solo se13

α ' H α ' hω α ' Nˆ α ' 0 ;(45)l’unico vettore di stato che verifica questa proprietà è il ground state dell’oscillatore;l’unicità di α ' implica l’unicità di α , che si ottiene dall’equazione (41):α D(α ) 0 ,(46) α (t ) e iωa a D(α ) 0 .(47)Resta ora da definire la forma dell’operatore D, per poter esprimere in manieraesplicita lo stato coerente; si ricorre alla proprietà degli operatori unitari, per i qualiesiste sempre un operatore hermitiano h tale cheD(α ) eih (α );(48)data questa proprietà, le (36) e (37) si riducono ae ih (α ) aeih (α ) a α ,(49)e ih (α ) a e ih (α ) a α * ,(50)che usando l’identità di Baker-Haussdorf diventanoa i[h(α ), a ] . a α ,[(51)]a i h(α ), a . a α * .(52)Le equazioni (51) e (52) sono soddisfatte se[h(α ), a] iα ,[h(α ), a ] iα *(53);(54)un operatore che soddisfa queste ultime condizioni è h(α ) i (αa α *a ) , quindil’operatore D ha l’espressione.D(α ) eαa α *a.(55)Partendo da una definizione analoga a quella di Schrödinger, è stato quindi possibileprovare la seguente proprietà (P1): gli stati coerenti si ottengono applicando al groundstate dell’oscillatore armonico l’operatore definito dalla (55), che sarà da questo puntoin poi indicato come “operatore di spostamento”.Combinando le equazioni (46), (36) e (38) e considerando la (10) si ottiene unaulteriore proprietà (P2):14

a α aD(α ) 0 D(α )(a α ) 0 α α(56)gli stati coerenti sono autostati dell’operatore di distruzione dell’oscillatore armonicocorrispondenti ad un autovalore α, in genere complesso; questa proprietà è statautilizzata da Glauber come definizione di stati coerenti. La P1 può essere dimostrataanche risolvendo l’equazione agli autovalori (56); in generale è possibile partire siadalla definizione di Schrödinger sia da una tra P1 e P2 per ottenere le stesse proprietàdegli stati coerenti, che saranno nel seguito della trattazione enunciate e dimostrate.Utilizzando la P1 e l’identità operatoriale e A B e Ae B e [ A,B ]/ 2 , valida quando ilcommutatore tra A e B è un numero, si ottieneα e α22eαa α *a0 ee α22 eα a 0 ,(57)in cui l’ultimo passaggio è giustificato da e α a 0 0 , essendo a 0 0 [5].*Considerando lo sviluppo in serie dell’operatore α n eαa a n 0 n! ( )n(58)e tenendo presente la (17), è possibile esprimere lo stato coerente nella base degli statistazionari:α e α22 αn nn! n 0 .(59)Gli stati ottenuti in questo modo sono già normalizzati, essendo prodottidall’applicazione di un operatore unitario al ground state normalizzato dell’oscillatore.Dall’espressione nella base dell’energia si può immediatamente ricavare una proprietàfisica degli stati coerenti: la distribuzione di probabilità associata al numero di fotoni diuno stato coerente èPα (n) n α2 e α2α2nn!,(60)cioè una distribuzione poissoniana con media [6]15

2N α Nˆ α α(61)e varianza (che in questo caso assume il significato di incertezza sulla misura di n)uguale alla radice quadrata del valor medio.1.3Proprietà algebriche degli stati coerentiData l’espressione (57) di un generico stato coerente nella rappresentazionedell’energia, risulta immediato ricavare alcuni aspetti matematici [1]: Due distinti stati coerenti non sono vettori ortogonali dello spazio di Hilbertdegli stati dell’oscillatore armonico.La dimostrazione segue dalla (57):α β e α22e β22 α βn ,m 0*nmn m en!m! α2 β2 α * β 22 e α β22,(62)quindi il prodotto scalare tra due stati coerenti non è mai nullo; inoltre è unafunzione continua di due variabili complesse. L’insieme dei ket relativi agli stati coerenti è un insieme di vettori linearmentedipendenti; ciò implica che uno stato coerente può essere espresso comecombinazione lineare degli altri.Per dimostrare la proprietà si considera la sovrapposizione lineare di stati coerentiα su tutto il piano complesso con coefficienti α m [1], dove m è un intero positivonon nullo; scrivendo α reiθ e d 2α rdrdθ , la sovrapposizione risulta: α mα d α 2n 0n rn! n m 1e0 r222πdr e i (m n )θ dθ;(63)0l’integrale in dr è sempre limitato, mentre l’integrale sull’angolo si riduce a 2πδ m, n ,ed è sempre nullo essendo sia m sia n non negativi. Si è ottenuta quindi unasovrapposizione lineare nulla utilizzando coefficienti non nulli, quindi il set deivettori di stato coerente è linearmente dipendente. Ogni insieme finito di vettori di stato coerente è un insieme di vettorilinearmente indipendenti.16

Si consideri una sovrapposizione lineare nulla di un numero finito di stati α i concoefficienti ci :k cii 1αi 0 .(64)Moltiplicando scalarmente per un vettore bra di stato coerente α si ottienek cii 1α αi 0,(65)uguaglianza verificata, come volevasi dimostrare, se e solo se i coefficienti ci dellacombinazione lineare sono tutti nulli, poiché i prodotti scalari tra stati coerenti sonolinearmente indipendenti. L’insieme dei vettori di stato coerente è completo, e la relazione di completezzaassume la forma1π αα d 2α Ι .(66)CPer verificare l’enunciato occorre provare che per ogni coppia generica di vettori distato, si ha1ψπ α α ϕ d 2α ψ ϕ;(67)Cutilizzando la (59) e scrivendo α re iθ e d 2α rdrdθ , l’integrale al primomembro diventa 1π r n m 1 r 2 2π i (n m )θ e dr edθ n ϕ ψ n n ϕ ψ ϕn 00 0 n!m! ψ m n ,m 0,(68)come volevasi dimostrare, essendo l’integrale sull’angolo uguale a 2πδ mn ed usando r2n r 2edr 2 n! nella risoluzione dell’integrale sul raggio. Questa proprietà,0associata alla dipendenza lineare di ogni stato coerente dagli altri, è dettasovracompletezza, e può essere interpretata come esistenza di più stati coerenti diquanti sarebbero necessari per esprimere un ket generico nella loro base.17

Date le suddette proprietà, è possibile espandere un generico stato nella basedegli stati coerenti:ψ 1π αα ψ d 2α(69)e in particolare espandere nella stessa base uno stato coerente, in virtù della appenacitata sovracompletezza:β 1π α α β dα 21π αe α22 β22 α * βd 2α.(70)Particolare rilievo assume l’espressione di uno stato stazionario nella base degli staticoerenti:n 1απ α ndα 2 α *n eα n! 1π α22d 2α ;(71)ciò consente di esprimere i coefficienti dell’espansione (69) come α ψ α n nψ en 0 poiché n 0nψ2 α22 n 0 α *n en ψ n! α22fψ (α * ) ;(72) ψ ψ 1 , la fψ (α * ) è assolutamente convergente in qualsiasiregione finita del piano complesso, è cioè una funzione intera; la base degli staticoerenti consente quindi di associare ad ogni stato dello spazio di Hilbertdell’oscillatore armonico una funzione intera sul piano complesso.1.4 Definizione equivalente di Glauber. Proprietà fisiche degli staticoerenti: osservabili e funzioni d’ondaNella definizione di Schrödinger utilizzata nel paragrafo 1.2 per caratterizzaregli stati coerenti, si impone che il valore atteso della posizione dell’oscillatore in unostato coerente conservi in ogni istante l’uguaglianza con il valore classico dellacoordinata, e che al tempo stesso l’energia sia conservata. Gli stati α (t ) così definitirisultano per ogni t autostati dell’operatore di distruzione. Si può provare, come erastato anticipato, che utilizzando la definizione, dovuta a Glauber, di stato coerente come18

autostato dell’operatore a [7], lo stato ottenuto soddisfa le proprietà fisiche (24) e (25) ele altre richieste di corrispondenza con il caso classico; un autostato normalizzato di a èespresso nella rappresentazione dell’energia dalla formula (59).Innanzi tutto è possibile dimostrare che, dato un autostato dell’operatore didistruzione, esso resta autostato dello stesso operatore, cioè stato coerente, in ogniistante successivo; l’evoluzione dello stato nel tempo si ottiene applicando allo statoα , in cui si assume che il sistema si trovi a t 0 , il propagatore U (t ) ei Hth(sitrascura ancora il termine costante nell’hamiltoniana):ψ (t ) ei Hthα eαi Ht h22e n 0 e αe iωt22 n 0(αe ) i ωt nn!αnn!n e α22 n 0αnn!e inωt n n αe iωt α (t ) .(73)Un autostato normalizzato di a relativo all’autovalore α evolve nel tempo restandoautostato normalizzato con autovalore αe iωt : la caratteristica di stato coerente simantiene quindi invariata nell’evoluzione del sistema.I valori attesi delle osservabili fisiche posizione e impulso sugli stati coerenti sipossono ottenere applicando le (19) e (20):x t α (t ) x α (t ) ()2hhα (t ) α (t ) α (t ) α * (t ) α (t ) α (t ) Re α (t ) ,2mωmωp t α (t ) p α (t ) hα (t ) a a α (t ) 2 mω(74)1 mhωα (t ) a a α (t ) i21 mh ωα (t ) α (t ) α (t ) α * (t ) α (t ) α (t ) 2mhω Im α (t ) ;2i()(75)se ora si considera la forma trigonometrica α α e iθ , le precedenti espressioni possonoessere riscritte, ponendo A 2hα , come [8]mω19

xt []2h2hRe α e i (θ ωt ) α cos(θ ωt ) A cos(θ ωt ) ,mωmω[]p t 2mhω Im α ei (θ ωt ) 2mhω α sin (θ ωt ) mωA sin (θ ωt ) ;(76)(77)il valor medio dell’energia è inoltreE t hω α 21mω 2 A2 .2(78)Appare a questo punto evidente come l’evoluzione temporale delle coordinatecanoniche di un oscillatore quantistico in uno stato coerente corrisponda ad un motoarmonico classico con ampiezza A, che cresce linearmente con il modulodell’autovalore dell’operatore di distruzione; la posizione e l’impulso sono funzioniperiodiche del tempo con pulsazione identica, e inoltre sono sempre in una relazione difase ben definita: i valori medi delle due osservabili sono sempre in quadratura tra loro.In definitiva, posizione e impulso verificano il teorema di Ehrenfest: la relazione tra iloro valori di aspettazione è la stessa che sussiste tra le variabili classiche;p t mdxdtt.(79)Un ulteriore requisito che lo stato deve soddisfare per stabilire la massimacorrispondenza con il moto classico è che la distribuzione di probabilità di trovare laparticella in una data posizione sia sufficientemente “stretta” intorno al valor medio di x,in modo che la particella si trovi con alta probabilità in un suo intorno; occorre quindideterminare la funzione d’onda dello stato coerente; l’equazione agli autovaloria α α αdiventa nella rappresentazione delle coordinate [8], usando la (4) echiamando ψ α (x) la funzione d’onda dello stato coerente mωh ψ α ( x) αψ α ( x) ,x 2h 2mω x che, con il cambio di variabile y (80)mωx , si semplifica in questo modo:h1 y ψ α ( y ) αψ α ( y ) . y 2 (81)L’integrale generale dell’equazione differenziale (81) è del tipo20

ψ α ( y ) Ce1 y 2 2αy2;(82)con alcuni passaggi algebrici e il cambio della costante di normalizzazione, si ottiene (y ψ α ( y ) C ' e 212 Reα)2ei2 y Imα,(83) 1 mω 2h x Reα h mω mω2ψ α ( x) ψ α (x) C ' eh2ie2 mωx Imαh.(84)La costante di normalizzazione presente nella (84), che rappresenta un pacchetto d’ondegaussiano, è4mω; considerando α come l’autovalore di a nell’istante iniziale eπhricordando quindi chemωRe α x2h02mhω Im α p0e(85),(86)la funzione d’onda dello stato coerenteψ α ( x) 4(1 mωx xhmω 2eπh0)2iehp0x(87)rappresenta un pacchetto d’onde gaussiano centrato sul valor medio della posizione chesi sposta con impulso medio pari al valore di attesa di p. La (87) può esseregeneralizzata ad un istante di tempo qualsiasi:ψ α ( x, t ) 41 mω( x A cos (ϑ ωt ))2hmω 2eπhiehmωxA sin (ϑ ωt );(88)la corrispondente distribuzione di probabilitàψ α ( x, t ) 2mω eπhmω( x A cos (ϑ ωt ))2h(89)è una gaussiana con larghezza invariante nel tempo σ 2 h, centrata istante per2mωistante sul valore atteso della posizione; è qui evidente come possa essere effettuato ilpassaggio al limite classico: aumentando la massa dell’oscillatore, ossia rendendol’oscillatore un oggetto macroscopico, la larghezza della gaussiana tende ad annullarsi,in modo che la distribuzione di probabilità possa essere considerata una delta di Dirac,21

che rappresenta una particella localizzata nel valore di attesa della posizione, cioè nellasua coordinata classica.1.5 Relazione di indeterminazione. Generalizzazione degli stati di minimaincertezza: stati coerenti e stati compressiDa stati rappresentati da funzioni d’onda gaussiane ci si aspetta che il prodottodelle incertezze sulla posizione e sull’impulso corrisponda al minimo ammesso dallarelazione di indeterminazione ΔxΔp h. Il calcolo dei valori di attesa dei quadrati della2posizione e dell’impulso fornisce [8]x2p2tt[],(90)[],(91) h(2 Re α (t ) )2 12mω mωh(2 Im α (t ) )2 12che, uniti alle (74) e (75), consentono il calcolo delle incertezze:(Δx )t2 x2 x(Δp )t2 p2 ptt2 t2th σ 2 ,2mω mωhh2 24σ 2(92).(93)Questi risultati coincidono con quanto è previsto per una funzione d’onda gaussiana lacui corrispondente larghezza della distribuzione di probabilità sia σ 2 , e portano allarelazione ΔxΔp h. Si può osservare che tra gli stati stazionari l’unico che verifica la2stessa minimizzazione è il ground state, che è a sua volta rappresentato da una funzioned’onda di tipo gaussiano.Gli stati coerenti e lo stato fondamentale dell’oscillatore armonico appartengonoad una particolare classe di vettori di stato, detti minimum uncertainty states, cheverificano durante tutta la loro evoluzione la minimizzazione del prodotto tra leincertezze su posizione e impulso; si è visto che per gli stati coerenti e il ground state leincertezze sono costanti nel tempo; esiste invece una ulteriore classe di stati, detti22

compressi, per i quali il prodotto delle incertezze è costante e minimo, ma le singoleincertezze variano nel tempo in maniera periodica, con frequenza angolare pari a 2ω , inmodo che se un dato istante l’incertezza sulla posizione è massima, quella sull’impulsosia minima, e viceversa: ciò corrisponde ad una variazione della larghezza dei pacchettid’onda. Da un punto di vista formale, gli stati compressi soddisfano l’equazione agliautovalori [9]bβ β β,(94)in cui b è una combinazion

meccanica quantistica: la ricerca di una corrispondenza tra la nuova teoria, ideata per l’analisi dei sistemi microscopici, e la fisica classica, ancora del tutto valida per la descrizione del mondo macroscopico. La nozione di stat