Povijest Rje Savanja Algebarskih Jednad Zbi

Metoda kojom su rješavali probleme prethodno navedenog oblika ilustrirat će se sljedećim primjerom.Primjer 1.7 Zbroj dva broja je 20, a njihov umnožak 96. Koji su to brojevi?Babilonci su ovaj problem riješili jednostavno pretpostavivši da su i jedan i drugibroj jednaki 10, što je logična pretpostavka obzirom da njihov zbroj mora biti jednak 20.Medutim, jasno je kako to ipak nije točno rješenje jer bi u tom slučaju njihov umnožakbio 100, a on treba biti 96. Nadalje, oduzeli su od 100 točan umnožak 96 te dobili 4.Zatim su odredili kvadratni korijen iz 4 i dodali ga prvom broju (10), te time dobili daje vrijednost prvog broja 12. Isti taj broj 2 oduzeli su zatim od drugog broja, i time dobili da je vrijednost drugog broja 8. To su očito točna rješenja jer je 12 8 20 i 12·8 96.Babilonci su time dali metodu, odnosno retorički algoritam za rješavanje problemanavedenog oblika, a on glasi:1. Podijeli zbroj dva broja s 2;2. Kvadriraj rezultat iz 1;3. Oduzmi umnožak brojeva od rezultata dobivenog u 2;4. Izvadi kvadratni korijen iz rezultata dobivenog u 3;5. Dodaj rješenje iz 4 rješenju iz 1, a time se dobije vrijednost prve nepoznanice;6. Oduzmi rješenje iz 4 rješenju iz 1, a time se dobije vrijednost druge nepoznanice.Ovaj se algoritam naziva babilonski algoritam. Često se koristio za odredivanje duljinastranica pravokutnika (x i y) ako je zadana njegova površina (c) i poluopseg (b).Geometrijsko opravdanje algoritma ilustrirano je sljedećom slikom:12

Slika 2. Geometrijsko opravdanje babilonskog algoritma.Kvadrat stranice duljine 2b ima željeni poluopseg b. Površina kvadrata stranice 2b je 2veća od željene površine za 2b c, što je površina bijelog kvadrata stranice z u lijevomgornjem uglu. Preostali obojeni dio može se ponovno sastaviti u pravokutnik kako jeilustrirano na gornjoj slici. Duljine stranica tog pravokutnika susbb2x c,24iby 2sb2 c.4Opisani postupak je zapravo izvodenje kvadratne formule, jer je jednadžba čije rješenjetražimo oblika x2 bx c 0. Kako je babilonska matematika, poput egipatske bila retorička, koraci prilikom rješavanja problema nisu zapisivani simbolima nego opisno, takoda se otkriće eksplicitne formule za rješavanje kvadratnih jednadžbi pripisuje indijskommatematičaru Brahmagupti, o komu će više spomena biti u trećem poglavlju rada.Opisanim postupkom, odnosno postupkom vrlo sličnim njemu, rješavali su vrlo sličanproblem — odredivanja duljina stranica pravokutnika, ako je poznata razlika tih duljinai površina pravokutnika, odnosno rješavali su kvadratnu jednadžbu oblika x2 bx c.13

Primjer 1.8 Duljina jedne stranice pravokutnika veća je od druge za 10. Površina je600. Kolike su stranice pravokutnika?Problem su riješili tako da su razliku duljina stranica pravokutnika podijelili s 2, štokao rezultat daje 5, zatim su kvadrirali 5 i dodali ga površini danog pravokutnika, te dobili625. Iz tako dobivenoga broja izvadili su kvadratni korijen, te su zatim tom korijenu prvododali 5 kako bi dobili duljinu jedne stranice (25 5 30), a potom oduzeli 5 kako bidobili duljinu druge stranice pravokutnika (25 5 20).U babilonskim tekstovima može se naći na stotine primjera problema vezanih uz pravokutnik, koji se svode na rješavanje kvadratnih jednadžbi. Neki od tih problema su samopostavljeni, a neki su i riješeni.U slučaju složenijih zadataka; kao što je odredivanje duljina stranica pravokutnikakada je zadana njihova razlika, te razlika površine danog pravokutnika i kvadrata razlikeduljina stranica; prvi korak je svodenje problema na jedan od dva prethodno navedenaprimjera, te zatim rješavanje već opisanim postupkom.Prvu opsežniju analizu na temu rješavanja kvadratnih jednadžbi u Babilonu napisaoje Solomon Gandz 1937. u svom djelu Osiris. U tom djelu daje klasifikaciju kvadratnihjednadžbi koje se javljaju u babilonskim tekstovima, te tako razlikuje devet tipova istih,od kojih su dva najjednostavnija tipa navedena u primjeru 1.7 i primjeru 1.8. Gandztakoder razmatra i način na koji su Babilonci došli do navedenog algoritma za rješavanjekvadratnih jednadžbi.Za kraj ovog poglavlja bit će navedena još dva zadatka iz babilonskih tekstova:Primjer 1.9 Dodamo li površini kvadrata dvije trećine duljine njegove stranice dobitćemo 0; 35 ( 35u seksagezimalnom brojevnom sustavu). Kolika je duljina stranice danog60kvadrata?Zapisano modernom notacijom, potrebno je riješiti jednadžbu oblika235x2 x .36014

Primjer 1.10 Broj je za sedam veći od svoje recipročne vrijednosti. O kojem se brojuradi?Bitno je napomenuti kako nisu imali oznaku za nulu, pa zapis nije jedinstven, te stoga,broj recipročan broju x može biti x1 ,60 3600, xxili bilo koja potencija broja 60 podijeljena sx. Babilonci su u ovom slučaju za recipročan broj uzeli60.xTako da problem zapisan umodernoj notaciji izgledax 60 7,xiz čega slijedix2 7x 60.Navedenim algoritmom Babilonci su odredili jedno rješenje ove jednadžbe x 12, tenjegovu recipročnu vrijednost 5. Drugo rješenje jednadžbe je 5, no kao što je već rečenoBabilonci su prihvaćali samo pozitivne brojeve za rješenja.15

Poglavlje 2Razvoj algebre u Grčkoj2.1Grčka geometrijska algebraRazvoj matematike u antičkoj Grčkoj započinje pod utjecajem Babilona i Egipta, te isprvabiva usmjeren na geometriju i teoriju brojeva, dok će se algebra sve do postklasičnograzdoblja razvijati u okviru geometrije.Do uspostave veze izmedu geometrije i algebre dolazi u Pitagorejskoj školi 1 u šestomstoljeću prije Krista. Jedna od temeljnih postavki škole je vjerovanje da je sve broj, tj.da se sve može shvatiti preko prirodnih brojeva i njihovih omjera, što za posljedicu imaočekivanje da je (ako je zadana jedinična dužina) svaka dužina cjelobrojna ili racionalna,odnosno: sve dužine su sumjerljive2 jediničnoj. U skladu s tim, umnožak dva brojainterpretiraju kao površinu pravokutnika, a umnožak tri broja kao volumen uspravnečetverostrane prizme. Zbog takvog geometrijskog shvaćanja operacija s brojevima pripisuju im se zasluge za utemeljenje geometrijske algebre, premda je i ranije bilaprisutna u Mezopotamiji i Egiptu.Geometrijska algebra karakteristična je za čitavo razdoblje klasične grčke matematike.Osnovna ideja je da dva poligona imaju jednaku površinu —1jednaki su” — ako se”Filozofsko-religiozna škola čiji je osnivač Pitagora sa Samosa. Osnovana je oko 518 pr. Kr. u južnojItaliji.2Dvije dužine su sumjerljive ako im je omjer racionalan broj.16

jedan može rastaviti na trokute od kojih se može sastaviti drugi.Linearne i kvadratne jednadžbe rješavali su geometrijski, odnosno konstruktivnimmetodama, pri čemu je rješenje postavljenog problema dužina čija duljina odgovara nepoznatoj (traženoj) vrijednosti. Prilikom konstruktivnog rješavanja jednadžbi vodili su sepravilom da se sve geometrijske konstrukcije moraju izvesti isključivo ravnalom i šestarom.Slijedi primjer geometrijskog rješavanja algebarske jednadžbe.Primjer 2.1 Geometrijskom algebrom riješimo jednadžbu ax b2 .Slika 3. Geometrijsko rješenje jednadžbe ax b2 .Rješenje ove jednadžbe dano je gornjom slikom. Budući da dijagonala raspolavlja pravokutnik, a očiti su parovi sukladnih trokuta, slijedi jednakost kvadrata b2 i pravokutnikaax, tj. x je tražena duljina.Veliki dio pitagorejskih rezultata, pa tako i oni vezani uz geometrijsku algebru, nalazise u Euklidovim Elementima. Od 13 knjiga koje čine Elemente čak je njih 7 temeljeno napitagorejskim rezultatima. Za ovaj rad je osobito značajna druga knjiga Elemenata kojasadrži 14 propozicija geometrijske algebre. Neke od tih propozicija, korištene prilikomrješavanja kvadratnih jednadžbi oblikax(x a) b2 ,x(x a) b2 ,x(a x) b2 ,bit će spomenute u nastavku.Propozicija 5. Geometrijski dokaz formule (x y)(x y) x2 y 2 , točnije njoj ekvi22valentne ( a b) ( a b) ab. Drugim riječima propozicija kaže da je pravokutnik ab22jednak razlici kvadrata (gnomonu) sa stranicama17a b2ia b2(Slika 4.).

Slika 4. Propozicija 5. druge knjige Euklidovih Elemenata.Ovu propoziciju Grci koriste prilikom rješavanja problema sljedećeg oblika:Pronadite dva broja, x i y, ako je poznata vrijednost njihovog zbroja b i njihovog umnoškac2 .Problem se zapravo svodi na rješavanje kvadratne jednadžbex(b x) c2 ,odnosnox2 c2 bx.Slika 5.Ako b predstavlja duljinu dužine AC (Slika 5.), a x AB i y BC , prvi uvjetx y b je ispunjen. Propozicija kaže da je umnožak xy jednak razlici površina kvadratanad stranicama SC (duljine 2b ) i EF , odnosno b 22 EF 2 c2 .18

Prema Pitagorinom teoremu, odnosno Propoziciji 47 prve knjige Euklidovih Elemenata, EF je duljina katete pravokutnog trokuta s hipotenuzom duljineb2i drugom kate-tom duljine c. Iz toga slijedix b 2s b 22 c2 ,y b 2s b 22 c2 .Geometrijskom algebrom to se rješenje dobije konstrukcijom prikazanom na sljedećojslici.Slika 6. Konstrukcija rješenja jednadžbe x2 c2 bx.Osim prethodne, prilikom rješavanja kvadratnih jednadžbi koristila se i sljedeća propozicija.Propozicija 6. Označi li se sa b duljina dužine AB, sa x AD, te sa y BD (Slika 7). Tadaje x y b. Propozicija kaže da je površina pravokutnika sa stranicama duljine x i yjednaka razlici površina dvaju kvadrata, većeg sa stranicom duljine x 2b i manjeg čija jestranica 2b .Slika 7. Propozicija 6. druge knjige Euklidovih Elemenata.19

Ovu propoziciju Grci koriste za rješavanje sljedećeg tipa problema:Pronadite dva broja, x i y, ako je poznata vrijednost njihove razlike b i njihovog umnoškac2 .Problem se zapravo svodi na rješavanje kvadratne jednadžbex(x b) c2 ,odnosnox2 bx c2 .Prema propoziciji vrijedi b 2 b 2c2 x ,22pa je prema Pitagorinom teoremu x katete duljineb2b2duljina hipotenuze pravokutnog trokuta čije sui c. Na temelju toga slijedi da je:bx 2s b 22by 2 c2 ,s b 22 c2 .Grci su do tog rješenja dolazili konstrukcijom koja je prikazana na sljedećoj slici.Slika 8. Konstrukcija rješenja jednadžbe x2 bx c2 .Možemo uočiti kako Euklid ovim propozicijama daje rješenja problema koje su uspješno rješavali još i Babilonci, a jedina je razlika u pristupu.Jedan od povijesno najpoznatijih problema geometrijske algebre je konstrukcija dijeljenja dužine u omjeru zlatnog reza, o kojoj govori Propozicija 11 druge knjige EE.20

Propozicija 11. Na zadanoj dužini duljine a potrebno je odrediti točku tako da se cijeladužina odnosi prema većem od dobivena dva dijela dužine (x) kao taj dio prema manjemdijelu (a x), tj.a : x x : (a x)Suvremenim zapisom vidimo da se radi o rješavanju kvadratne jednadžbex2 ax a2 0čija su rješenjax1,2 a 5a2 1 5 a.22Od ta dva rješenja samo pozitivno rješenje x a5 1.2ima geometrijski smisao. Geometrijskom algebrom, to se rješenje dobiva sljedećom konstrukcijom:Slika 8. Dijeljenje dužine u omjeru zlatnog reza.Algebra, koja je u to doba, pa sve do kraja 18. stoljeća bila sinonim za algebarskejednadžbe, nije pobudivala osobiti interes kod Grka. Vidljivo je to i iz činjenice da usvom radu nisu znatnije odmakli od već poznatih babilonskih rezultata. Jedan od rijetkihgrčkih matematičara koji se njome intenzivnije bavio bio je Diofant Aleksandrijski kojemuje posvećena sljedeća točka ovog poglavlja.21

2.2Diofant AleksandrijskiDiofant Aleksandrijski (3. st. n. e.) najveći je matematičar postklasičnog razdoblja iposljednji veliki europski matematičar prije Fibonaccija. Kroz njegov rad dolazi do emancipacije algebre od geometrije, stoga ga neki povjesničari matematike nazivaju i otac al”gebre”. O Diofantovom privatnom životu ne zna se gotovo ništa, postoje tek pretpostavkeizvedene iz njegovih djela i djela matematičara koji se pozivaju na njegov rad (vidi Prilog1.).Prije Diofanta algebra je bila retorička, odnosno problemi i njihova rješenja opisivanisu riječima. Diofant će na tom planu donijeti napredak, premda će do pojave modernematematičke notacije3 proći još dosta vremena. Diofant je kao i mnogi njegovi suvremenici koristio alfabetsku notaciju, no veliki je njegov doprinos u njenom proširenju kojiomogućuje simbolički zapis algebarskih izraza. Sljedeća tablica daje pregled Diofantovihoznaka različitih potencija varijable:suvremena oznaka Diofantova oznakax0 1Moxζx2 Υx3KΥx4 Υ x5 K Υx6K ΥKx 1ζxx 2 ΥxDiofant nema oznake za zbrajanje, nego ga bilježi nadopisivanjem. Za oduzimanjekoristi vertikalno prekriženi Λ. Još jedna bitna karakteristika njegovog sustava notacijeje zapisivanje koeficijenta uz odredenu potenciju iza nepoznanice.3Za modernizaciju matematičke notacije najzaslužniji je René Descartes (1596. 1650.).22

Najznačajnije Diofantovo djelo je Arithmetica koja se može opisati kao prva raspravaposvećena algebri. Arithmetica se u originalu sastoji od 13 knjiga. Dugo se vjerovalokako je samo 6 od 13 knjiga opstalo, te da su ostale izgubljene nedugo nakon što sunapisane. Postoje mnogi arapski prevodi Arithmeticae, no u njim se spominje samo prvihšest njezinih knjiga. Godine 1968. u knjižnici Astan Quds u Meshedu (Iran) pronadeni surukopisi Qusta ibn Luqa, koji su prijevodi knjiga IV do VII. Neki povjesničari tvrde kakose radi o prijevodu nečijih komentara (možda Hipatijinih) tih knjiga. Poput Rhindovapapirusa i Arithmetica predstavlja zbirku raznih problema, ukupno njih 130 zajedno sarješenjima. Cilj ovog djela bio je prikazati metode kojima je moguće pronaći racionalanbroj koji zadovoljava odredene uvjete. Neke od jednadžbi i sustava jednadžbi iz Arithmeticae su neodredeni i imaju nejedinstvena rješenja. Ono što mi danas nazivamo diofantskimjednadžbama podrazumijeva algebarske jednadžbe s više nepoznanica s cjelobrojnim koeficijentima kojima se traže cjelobrojna rješenja.Diofant je, kao i njegovi prethodnici, kao rješenja problema prihvaćao samo pozitivneracionalne brojeve. Kao dokaz toga možemo navesti problem pete knjige gdje Diofantpromatra jednadžbu 4x 20 4, te zaključuje kako ona nije rješiva.Diofant promatra tri tipa kvadratnih jednadžbi:ax2 bx c,ax2 bx c,ax2 c bx.Razlog zašto su za Diofanta to tri različita tipa je već spomenuto prihvaćanje samo pozitivnih brojeva.Naravno, Diofant se bavio i mnogim drugim problemima, kao što je npr. rješavanjesustava:y z 10,yz 9.Problem svodi na kvadratnu jednadžbu po x na slijedeći način: uzme da je 2x y z,tako da zbrajanjem y z 10 i y z 2x dobije y 5 x, a njihovo oduzimanje daje23

z 5 x. Nadalje,9 yz (5 x)(5 x),x2 16,x 4.Iz čega slijedi y 9, z 1.U nastavku će biti navedeni neki problemi iz Arithmeticae zapisani modernom notacijom:Primjer 2.2 (Knjiga 1, Zadatak 17.) Pronadite četiri broja takva da je zbroj bilo kojatri od njih jednak jednom od brojeva: 20, 22, 24, 27.Označimo sa x zbroj sva četiri broja. Tada su brojevi koje tražimo oblika x 20, x 22,x 24, x 27, iz čega slijedix (x 20) (x 22) (x 24) (x 27)3x 93x 31Znači da su traženi brojevi: 11, 9, 7, 4.Primjer 2.3 (Knjiga 2, Zadatak 8.) Za zadani broj a treba odrediti racionalne brojevex i y takve da je x2 y 2 a2 .Ako je (x0 , y0 ) neko konkretno rješenje, onda (x0 t, y0 kt) za racionalan k uvrštavanjemu jednadžbu daje kvadratnu jednadžbu za t i time mogućnost konstrukcije novog rješenja.Recimo da je a 4, tj. jednadžba x2 y 2 16. Uzmimo x0 0 i y0 4. Tada zax t i y kt 4 imamo x2 y 2 (k 2 1)t2 8kt 16 16, tj. t 8kk2 1pa dobivamobeskonačno mnogo novih racionalnih rješenja. Bitno je naglasiti kako je Diofant dao samojedno rješenje te jednadžbe.Primjer 2.4 (Knjiga 2, Zadatak 9.) Za zadane brojeve a i b treba odrediti racionalnebrojeve x i y takve da je x2 y 2 a2 b2 .24

Uzmimo npr. a 2 i b 3. Uvedemo li supstituciju x x a i y mx b, dobivamo(x 2)2 (mx 3)2 13, odnosno (m2 1)x2 (4 6m)x 0. Odabirom različitih mdobivamo različite x, tj. različita rješenja (x, y). Uzmemo li da je m 2 dobijemo x 18,5y 15 . Kao i u prethodnom primjeru, Diofant je i ovome dao samo jedno rješenje, premdaih očito ima beskonačno mnogo.Zanimljivo je da iza mnogih Diofantovih rješenja stoje razna algebarska pravila kojaon najvjerojatnije nije poznavao. Tako u zadatku 19 treće knjige uočava da je 65 zbrojdva kvadrata na dva načina, jer je on umnožak brojeva 13 i 5 koji su i sami zbrojevi dvakvadrata. Iz toga se može zaključiti da je znao kako je umnožak dva cijela broja, od kojihje svaki zbroj dva kvadrata, i sam zbroj dva kvadrata i to na dva načina. No izraz kojegu modernoj notaciji zapisujemo kao(a2 b2 )(c2 d2 ) (ac bd)2 (ad bc)2prvi put se spominje u radu Abu Jafar al-Khazina (950.) i kasnije u Fibonaccijevom djeluLiber quadratorum (1225.).Diofantov rad nije pretjerano utjecao na daljnji razvoj grčke algebre, no u 9. stoljećukada je Arithmetica prevedena na arapski, njen utjecaj na razvoj algebre postaje punosnažniji.25

Poglavlje 3Rješavanje algebarskih jednadžbi uKini i Indiji3.1Indijska algebraU indijskoj matematici će, za razliku od prethodno spominjane grčke, puno izrazitija bitiaritmetičko-algebarska nego li geometrijska dostignuća. U skladu s tim, mnogi indijskimatematički tekstovi opisuju algoritme za računanje i pravila za rješavanje odredenihzadataka s primjerima, no nema skica, formula niti dokaza. Više pažnje pridaje se razvojuraznih tehnika računanja, dok je znanstveni doprinos manji.Neki od najvećih doprinosa indijske matematike su: razvoj aritmetike, odnosno pravila za provodenje aritmetičkih operacija na temelju dekadskog sustava, uvodenje prvogpozicijskog brojevnog sustava, te uvodenje i pravilno interpretiranje negativnih brojeva.Uočili su postojanje pozitivnog i negativnog kvadratnog korijena, te nemogućnost vadenjakvadratnog korijena iz negativnog broja.Razvili su i neke od prvih algebarskih oznaka. Za većinu simbola koriste se prvislogovi odgovarajućih riječi iz sanskrta. Zbrajanje je, slično kao i kod Diofanta, zapisivanonadopisivanjem; oduzimanje stavljanjem točke ispred umanjitelja; množenje s bha štodolazi od bhavita što znači umnožak. Kvadratni korijen su označavali s ka od riječi26

karana, što znači iracionalno. Za razliku od Diofanta, imali su oznake za više nepoznanica.Prvu nepoznanicu su označavali ya što dolazi od riječi yavat-tavat (koliko-toliko), a ostalenazivaju po bojama, pa tako postoje crna, plava, žuta, crvena i zelena nepoznanica.Indijci su nadišli Diofantova dostignuća time što su uočili da kvadratna jednadžba imadva rješenja. Neki izvori tvrde da se u indijskom rješavanju algebarskih jednadžbi osjetiutjecaj Diofantove Arithmeticae. No bez obzira jesu li ili nisu imali doticaja s grčkimizvorima, Indijci zaslužuju priznanje za poboljšanje i generalizaciju postupaka rješavanjalinearnih i kvadratnih jednadžbi. Kada govorimo o jednadžbama višeg stupnja, Indijci suimali uspjeha samo u rješavanju nekih specijalnih slučajeva.Veliki napredak na području rješavanja odredenih jednadžbi postigli su proučavanjemneodredenih jednadžbi. Indijsko proučavanje neodredenih jednadžbi ne razlikuje se odgrčkog samo u metodi nego i u cilju, a njihov cilj je bio pronaći sva moguća cjelobrojnarješenja. S druge strane, Grci su bili zadovoljni sa samo jednim rješenjem koje nije nužnobilo cjelobrojno, nego se moglo raditi i o racionalnom broju.Prvi veliki indijs

Svi problemi su vrlo jednostavni i svode se na rje savanje linearnih jednad zbi s jednom 1 Napisan je oko 1650: pr. Kr., naziv je dobio prema skotskom egiptologu Alexanderu Henryu Rhindu. 2 Potje ce iz oko 1850 :pr. Kr