1 Sustavi Linearnih Jednad Zbi
1Sustavi linearnih jednadžbi Razmotrimo primjer linearne jednadžbe s dvije nepoznanice, recimo2x 3y 8.Rješenje takve jednadžbe su parovi brojeva (x, y), za koje jednakost vrijedi. Lako vidimo da je u ovom konkretnom slučaju (1, 2) jedno takvorješenje, jer 2 · 1 3 · 2 8. Sustavan pristup rješavanju ove linearnejednadžbe može biti uvrštavanje proizvoljnih vrijednosti za nepoznanicux u izraz y (8 2x)/3 i računanje pripadnih vrijednosti nepoznanice y. Time dobivamo da su cjelobrojna rješenja takoder ( 2, 4), (4, 0),(7, 2), (10, 4) itd. Slično, u slučaju jednadžbe x 2y 3 nademoda su rješenja parovi . . . , ( 1, 1), (1, 2), (3, 3), . . .Želimo li riješiti dvije jednadžbea11 x a12 y b1a21 x a22 y b2(1)simultano, rješenja će biti oni parovi (x, y) koji zadovoljavaju jednu idrugu jednadžbu. Kao primjer takvog sustava linearnih jednadžbi uzmimo dvije jednadžbe iz prethodnog razmatranja,2x 3y 8 x 2y 3.(2)Odmah vidimo, iz tog razmatranja, da postoji par brojeva koji zadovoljava obje jednadžbe. Prema tome, taj sustav dvije jednadžbe s dvijenepoznanice ima jedno rješenje i to je (1, 2). Imajući u vidu da je graf linearne funkcije pravac, sustav (1) možemointerpretirati geometrijski. Pritom, ukoliko sustav ima rješenje, pravcidefinirani jednadžbama u sustavu se sijeku i rješenje sustava je njihovosjecište. Ako sustav nema rješenja, znači da su pravci paralelni tj. takvetočke nema. Beskonačno mnogo rješenja korespondira identičnim pravcima. Primjerice, sustav (2) odreduje pravce p1 i p2 koji su prikazani naslici 1. Sustav x 2y 3 x 2y 0očigledno nema rješenja - zaista, pripadni pravci su paralelni, pri čemupravac kojeg predstavlja druga jednadžba prolazi kroz ishodište. Jasnoje da će jednadžbe a1 x a2 y b i ka1 x ka2 y kb, gdje je k realan
Slika 1: Pravci koji se sijeku u točki (1, 2).broj, imati ista rješenja. Primjer sustava s beskonačno mnogo rješenjaje recimo x 2y 3 3x 6y 9(gdje su u koordinatnom sustavu pravci tog sustava?).1.1Gaussova metoda eliminacije Način na koji smo riješili sustav (2) nije pogodan za veće sustave, kojibroje značajan broj jednadžbi odnosno nepoznanica. Kako ćemo učinkovitoriješiti primjerice sustav od tri jednadžbe s tri nepoznanice, odnosnoopćenito sustav s m jednadžbi i n nepoznanica? Najpoznatija metodaza to je Gaussova metoda eliminacije čiji naziv sugerira rješavanje sustava na način postupnog eliminiranja nepoznanica. Ilustrirajmo osnovutog pristupa na našem primjeru iz prethodnog razmatranja. Trivijalnosvojstvo sustava je(1) irelevantnost redosljeda kojim su jednadžbe zapisane (navodimo kaosvojstvo jer je dobro to naglasiti u kontekstu matrične reprezentacijesustava).Već smo obrazložili da2
(2) množenje jednadžbe proizvoljnom konstantom ne utječe na rješenjate jednadžbe.Prema tome, sustav (2) možemo zapisati kao x 2y 32x 3y 8Nadalje, po svojstvu (2) ovaj sustav je ekvivalentan (ima ista rješenja)sustavu 2x 4y 62x 3y 8.Sada ćemo primijeniti esencijalno svojstvo sustava linearnih jednadžbi:(3) pribrajanje neke jednadžbe sustava drugoj ne utječe na rješenja sustava.(kasnije ćemo dokazati to svojstvo). Prema tome, početni sustav (2) jeekvivalentan sustavu 2x 4y 67y 14.Konačno, iz druge jednadžbe dobivamo y 2 i zatim supstitucijom uprvu jednadžbu x (8 6)/2 1. Napomenimo da smo u prvom korakuovog rješenja jednadžbe zamijenili samo zbog praktičnosti. Mogli smoostaviti isti redosljed, sljedeći ekvivalentan sustav formirati dijeljenjemprve jednadžbe brojem 2 i zatim je pribrojiti drugoj, s ciljem eliminacije nepoznanice x. Isto tako, mogli smo ostaviti isti redosljed, sljedećiekvivalentan sustav formirati množenjem druge jednadžbe brojem 2 izatim je pribrojiti prvoj, s ciljem eliminacije nepoznanice x. Slično, dasmo za cilj imali eliminaciju nepoznanice y, mogli smo drugu jednadžbusustava (2) pomnožiti brojem 3, zatim prvu jednadžbu brojem 2 te jepribrojiti drugoj. Tada bismo, nakon eliminacije nepoznanice y iz drugejednadžbe, dobili x 1. Naposljetku, supstitucijom te vrijednosti uprvu jednadžbu dobivamo y 2. Preostaje nam dokazati svojstvo (3) sustava linearnih jednadžbi, štoćemo najprije učiniti za slučaj sustava dvije jednadžbe s dvije nepoznanice. Tvrdimo dakle, da su sustavi (1) ia11 x a12 y b1(a11 a21 )x (a12 a22 )y b1 b23(3)
ekvivalentni. Naime, ako je (α1 , α2 ) rješenje sustava (1) onda uvrštavanjemtih vrijednosti u (1) i zbrajanjem jednadžbi dobivamo(a11 a21 )α1 (a12 a22 )α2 b1 b2(4)tj. dobivamo da je (α1 , α2 ) ujedno i rješenje sustava (3). Obrnuto, akoje (α1 , α2 ) rješenje sustava (3) onda iz jednakosti (4) slijedi(a11 α1 a12 α2 ) (a21 α1 a22 α2 ) b1 b2 .Imajući u vidu da je a11 α1 a12 α2 b1 , konačno slijedia11 α1 a12 α2 b1 ia21 α1 a22 α2 b2tj. (α1 , α2 ) su rješenja sustava (1). Poopćenje ovog argumenta na sustav s m jednadžbi i n nepoznanicaa11 x1 a12 x2 · · · a1n xn b1a21 x1 a22 x2 · · · a2n xn b2·········am1 x1 am2 x2 · · · amn xn bm(5)dokazuje sljedeću propoziciju.Propozicija 1. Konačnim brojem transformacija (1)-(3) linearan sustav s mjednadžbi i n nepoznanica prelazi u sustav koji mu je ekvivalentan.Dokaz. Sustav (5) zapišimo na načinnXaij xj bi , i 1, . . . , m.j 1Sada i-toj jednadžbi dodajmo k-tu jednadžbu, k 1, . . . , m. Time sustav (5)prelazi u sustavnXa0ij xj b0i , i 1, . . . , m.j 1koji zadržava sve jednadžbe iste osim i-te koja sada glasinX(aij akj )xj bi bk .j 14(6)
Ako je n-torka (α1 , α2 , . . . , αn ) rješenje sustava (5) ondanX(aij akj )αj nXj 1aij αj j 1nXakj αjj 1 bi bk .tj. onda je ona i rješenje sustava (6).Obratno, ako je (α1 , α2 , . . . , αn ) rješenje novog sustava, to znači da vrijedinX(aij akj )αj bi bk .(7)j 1Budući da k-ta jednadžba u novom sustavu nije promijenjena, oduzimanjemnXakj αj bkj 1od (7) dobivamonXaij αj bi .j 1Vrijedi napomenuti da su od posebnog interesa sustavi kod kojih je m n. Praktično je koeficijente sustava (1) zapisati matrično, a11 a12A a21 a22kao i slobodne članove, bb 1 .b2te formirati augmentiranu matricu A b koja predstavlja takav sutav, a11 a12 b1A b .a21 a22 b2Za naš ogledni primjer linearnog sustava dvije jednadžbe s dvije nepoznanice (2), matrica koeficijenata je 2 3A , 1 25
matrica slobodnih članova 8b .3te augmentirana matrica A b koja predstavlja taj sutav 2 3 8A b . 1 2 3Riješimo sustav (2) Gaussovom eliminacijom koristeći notaciju pomoćumatrica, 2 3 82 3 8A b . 1 2 30 7/2 7Sada, iz (7y)/2 7 slijedi y 2 a supstitucijom u prvi redak x 1.Takoder smo mogli nastaviti s postupkom i ”izravno” odrediti nepoznanice: 2 3 82 3 82 3 82 0 2A b 0 7 140 1 20 1 20 7/2 7te konačno 1 0 1A b .0 1 2 Dakle, sustav linearnih jednadžbi prikazan augmentiranom matricomrješavamo tako da ga postupkom eliminicije svedemo na trokutasti sustava zatim uvrštavanjem unatrag odredimo nepoznanice. Pritom je mogućeda ”trokut” nije najveći mogući tj. moguće je da postupak rezultira retkom u kojem su svi elementi nule. U nastavku ćemo sresti i primjeretakvih sustava.Primjer 1. Potrebno je riješiti sustav linearnih jednadžbix y z 2 x 2y 2z 12x y z 1.(8)Augmentirana matrica ovog sustava je 1112A b 1 2 2 1 .2 1 1 1Metodom eliminacije dobivamo 11121 1121 1 12A b 1 2 2 1 0 3 1 1 0 3 1 1 .2 1 1 10 3 1 30 0 2 46
Sada iz 2z 4 slijedi z 2. Supstitucijom te vrijednosti u drugi redak,3y 1 2 dobivamo y 1. Naposljetku, poznavanjem vrijednosti za z i y izprvog retka dobivamo x 1.Odnosno, 1 1 121 1 121 1 003 A b 0 3 1 1 0 3 1 1 0 3 00 0 2 40 0 1 20 0 1 2i nadalje 1 1 0 01 0 0 1A b 0 1 0 1 0 1 0 1 .0 0 1 20 0 1 2 Linearni sustav s tri jednadžbe i tri nepoznanice definira tri ravnine uprostoru (slika 2). Prema tome, rješenje sustava je presjek te tri ravnine.Nepraznan presjek tih ravnina korespondira postojanju rješenja sustava.Ako sustav nema rješenja ravnine su paralelne.Slika 2: Linearni sustav kao presjek tri ravnine.7
1.2Matrična reprezentacija sustava jednadžbi Sustav linearnih jednadžbi možemo interpretirati i na drugi način, osimkao dva pravca u ravnini. Desne strane jednakosti u sustavu (1) interpretiramo kao koordinate vektora b1b2što znači da lijeve strane predstavljaju linearnu kombinaciju vektora a11 xa12 y ,a21 xa22 yobzirom da su vektori jednaki ako su im koordinate jednake, tj. a11abx y 12 1 .a21a22b2(9)Nadalje, po definiciji množenja matrica ovu vektorsku jednadžbu možemozapisati na način a11 a12xb 1a21 a22yb2(10)(Možemo takoder reći da prikaz (9) motivira takvu definiciju množenjamatrica.) Sustav linearnih jednadžbi (5) možemo zapisati u formi gdje vektor čijesu koordinate slobodni članovi prikazujemo kao linearnu kombinacijuvektora čije su koordinate koeficijenti sustava, a11a12a1nb1 a21 a22 a2n b2 x1 . x2 . · · · xn . . . . . . . am1am2amnbmSukladno tome, linearni sustav m jednadžbi s n nepoznanica (5) u matričnoj formi prikazujemo kao jednadžbuAx b(11)gdje je A matrica koeficijenata, x vektor nepoznanica i b vektor poznatihvrijednosti.8
Naš ogledni primjer (2) u takvoj notaciji glasi 238x y 123(12)odnosno 2 3 1 2 x8 .y3(13)Napomenimo da se ovdje ne radi tek o konciznijem zapisu linearnogsustava jednadžbi već o novom objektu. Konkretno, relacijom (13) definirana je linearna transformacija iz ravnine u ravninu koja vektor (1, 2)preslika u vektor (8, 3).Čitatelj može za vježbu prikazati sustav (8) u matričnoj formi. Reprezentacija sustava linearnih jednadžbi u matričnoj formi sugerira jošjednu geometrijsku interpretaciju takvog sustava. Vidimo da je sustavekvivalentan vektorskoj jednadžbi u kojoj su nepoznanice sustava skalariu linearnoj kombinaciji kojom je izražen vektor b.Primjerice, nacrtamo li vektore (2, 1), (3, 2) i (8, 3) u ravnini, lakouočimo da zbroj vektora (2, 1) i 2(3, 2) daje vektor (8, 3) (slika 3).Prema tome, skalari u linearnoj kombinaciji (2, 1) 2(3, 2) su rješenjenašeg oglednog sustava. Isto tako, rješenje (x, y) (1, 2) tog sustavaimplicira (2, 1) 2(3, 2) (8, 3).Slika 3: Linearni sustav kao linearna kombinacija vektora.9
Primjer 2. Potrebno je odrediti cjelobrojna rješenja sustava y z 02x 4y 2z 44x 4z 8.Interpretirajmo sustav po stupcima, 0 110 x 2 y 4 z 2 4 4048i nacrtajmo te vektore u prostoru (slika 4). Tada odmah opažamo da je jednorješenje ovog sustava trojka (2, 0, 0) - jer je b (0, 4, 8) 2(0, 2, 4). U matričnom zapisu sustava to znači 0 1 120 2 4 2 0 4 .4 0408Pitanje je ima li ovaj sustav više rješenja ili je ovo rješenje jedinstveno?Daljnom analizom slike možemo uočiti još jednu linearnu kombinaciju vektorav1 (0, 2, 4), v2 ( 1, 4, 0) i v3 (1, 2, 4) koja daje vektor b,v1 v2 v3 b.Pokazuje se da su rješenja ovog sustava u formi(x, y, z) (2 q, q, q)gdje je q proizvoljni broj. Prvo spomenuto rješenje korespondira parametruq 0 a drugo q 1. Uvjerimo se da su to sva rješenja postupkom eliminacije.Augmentirana matrica ovog sustava je 0 1 1 0A b 2 4 2 4 .4 04 8Sada vrijedi 2 4 2 42 4 2 41 2 1 24 8 0 8 8 0 0 1 1 0 .A b 4 00 1 1 00 1 1 00 00 0Znači y z 0, iz čega slijedi y z. Uzmemo li da su te nepoznanicejednake parametru q, y z q, uvrštavanjem u prvi redak dobivamo x 2 2q q 2 q.10
Slika 4: Sustav s beskonačno mnogo rješenja.1.3Linearna nezavisnost i egzistencija rješenja Interpretacija sustava linearnih jednadžbi po stupcima pomoći će nampronaći kriterij za egzistenciju rješenja sustava. Vidjeli smo da je sustavtri jednadžbe s tri nepoznanice u prethodnom primjeru rješiv i pomoćuGaussove metode pronašli rješenja. No, je li sustav reprezentiran vektorima na slici 5 takoder rješiv? Možemo li to ustanoviti i bez primjenesustavnog postupka? Kao prvo, odmah vidimo sa slike da taj sustavnema rješenja. To zaključujemo ovako. Geometrijski gledano, budući davektori v1 , v2 i v3 leže u istoj ravnini a vektor b nije u toj ravnini, nepostoji linearna kombinacija tih vektora koja bi rezultirala vektorom b.Drugim riječima, ne postoje skalari α, β, γ takvi da αv1 βv2 γv3rezultira vektorom izvan x-y ravnine jer v1 (x1 , y1 , 0), v2 (x2 , y2 , 0),v3 (x3 , y3 , 0). Pitanje može li se neki vektor prikazati kao linearna kombinacija drugihvodi do pojma linearne zavisnosti i linearne nezavisnosti. Kažemo daje skup vektora linearno zavisan ako se barem jedan od vektora možeprikazati kao linearna kombinacija ostalih. Na prethodnoj slici, skupvektora {v1 , v2 , v3 } je linearno zavisan, jer svaki od ta tri vektora možemov,prikazati kao linearnu kombinaciju preostala dva. Npr. v2 54 v1 1312 3513jer (5/2, 2, 0) 4 (2, 1, 0) 12 (0, 3, 0). No, izuzmemo li iz tog skupa bilo11
Slika 5: Tri komplanarna vektora.koji vektor, dobivamo skup linearno nezavisnih vektora. Npr. {v1 , v3 }je skup linearno nezavisnih vektora - jer ne postoji skalar kojim bismopomnožili jedan od ovih vektora i dobili drugi već će dobiveni vektor bitina istom pravcu kao izvorni vektor (opet, vidimo po kordinatama vektorada nije moguće prikazati vektor (0, 3, 0) kao umnožak nekog skalara ivektora (2, 1, 0), ni obrnuto). Daljnom sličnom analizom možemo se uvjeriti da je maksimalni broj linearno nezavisnih vektora u skupu {v1 , v2 , v3 } dva dok je za skup {v1 , v2 , v3 , b}taj broj tri. Naime, ovaj promatrani sustav je dovoljno mali da gamožemo sagledavati bez sofisticiranijih koncepata (kao što su rang matrice, metoda eliminacije). Na osnovu ovih primjera intuitivno naslućujemoda pojmovi linearne zavisnosi i nezavisnosti korespondiraju odredenimgeometrijskim konceptima. Tako dva vektora odreduju ravninu ako neleže na istom pravcu (linearno nezavisni su). Kako smo već objasnili uprvom poglavlju, svaki vektor u ravnini možemo prikazati kao linearnukombinaciju takva dva vektora. Tri vektora odreduju prostor ako ne ležesva tri u istoj ravnini (linearno nezavisni su). Na osnovu toga, cijeluprethodnu analizu mogli smo očitati sa slike 5. Dakle, činjenica da linearan sustav ima rješenje korespondira činjenicida se vektor b može prikazati kao linearna kombinacija vektora koji suodredeni matricom koeficijenata A. Obzirom da stupce matrice interpretiramo kao vektore, pojam linearne nezavisnosti proširujemo na matricu. U toj terminologiji, sustav će imati rješenje ako je broj linearno12
nezavisnih stupaca matrice A isti kao augmentirane matrice A b. Dokaztog kriterija za egzistenciju rješenja linearnog sustava formaliziramo usljedećojLema 1. Neka je Ax b sustav linearnih jednadžbi u matričnoj formi. Tajsustav je rješiv ako i samo ako matrica koeficijenata A i augmentirana matricaA b imaju isti broj linearno nezavisnih stupaca.Dokaz. Neka je vektor c [cj ] rješenje sustava Ax b,Ac b.To znači da elemente vektora b [bj ] možemo prikazati kao linearne kombinacijenXaij cj bij 1za i 1, . . . , m pa je proširena matrica sustava jednaka Pa11 · · · a1nj a1j cj .A b . .Pam1 · · · amnj amj cjZadnji stupac te matrice je linearna kombinacija prethodnih stupaca pa njegovo dodavanje u matricu A ne mijenja broj linearno nezavisnih stupaca.Dakle, ako sustav ima rješenje onda A i A b imaju isti broj linearno nezavisnih stupaca.Sada treba dokazati da jednak broj linearno nezavisnih stupaca matriceA i A b implicira rješivost sustava. Pretpostavimo da matrica A ima r nlinearno nezavisnih stupaca, kao i matrica A b. Bez smanjenja općenitostimožemo smatrati da je to upravo prvih r stupaca u matrici. To znači da jezadnji stupac u A b linearna kombinacija prvih r stupaca tj. postoje skalaric1 , . . . , cr takvi da vrijediai1 c1 ai2 c2 · · · air cr biza i 1, . . . , m. Drugim riječima, postoji vektor c [cj ] koji zadovoljavamatričnu jednadžbu sustava, Ac b. Ilustrirajmo prethodnu lemu na još jednom primjeru. Na početku našegrazmatranja linearnih sustava, naveli smo sustav2x 3y 8 x 2y 313
kao primjer onog koji ima jedinstveno rješenje, sustav x 2y 3 x 2y 0koji ima beskonačno mnogo rješenja i sustav x 2y 3 x 2y 0koji nema rješenja (slika 6). Sustav koji nije rješiv reprezentira par kolinearnih vektora koji nisu na pravcu vektora b. Drugim riječima, vektorb se ne može prikazati kao linearna kombinacija tog para vektora. Sukladno tome, broj linearno nezavisnih stupaca u augmentiranoj matriciće biti za jedan veći nego u matrici A.Slika 6: Par kolinearnih vektora. Kasnije ćemo kriterij za egzistenciju rješenja izraziti pomoću ranga matrice koeficijenata sustava. O tome nam govori Kronecker-Capellijevteorem.1.4Napomene U geometriji, za vektore koji leže na istom pravcu kažemo da su kolinearni (točnije, imajući u vidu definiciju vektora kao klase ekvivalencijeorijentiranih dužina, kolinearni su kada su paralelni). Neka su v1 i v214
kolinearni vektori. Tada postoji i jednoznačno je odreden realan broj λtakav da je v1 λv2 (zašto?). Nul-vektor (0, 0) smatramo paralelnim sasvakim vektorom. Ako su vektori v1 i v2 u ravnini nekolinearni onda zasvaki vektor v3 u toj ravnini postoje i jednoznačno su odredeni skalariλ1 i λ2 takvi da je v3 λ1 v1 λ2 v2 .Za vektore koji leže u istoj ravnini kažemo da su komplanarni. Neka suv1 , v2 , v3 tri nekomplanarna vektora. Tada za svaki vektor v4 u prostorupostoje jedinstveni skalari α, β, γ takvi da vrijedi v4 αv1 βv2 γv3 .im15
1 Sustavi linearnih jednad zbi Razmotrimo primjer linearne jednad zbe s dvije nepoznanice, recimo 2x 3y 8: Rje senje takve jednad zbe su parovi brojeva (x;y), za koje jednakost vri-jedi. Lako vidimo da je u ovom konkretnom slu caju (1;2) jedno takvo rje senje, jer
Linearne diferencijalne jednad zbe Sustavi diferencijalnih jednad zbi Teorem Op ce rje senje svake linearne diferencijalne jednad zbe je zbroj op ceg rje senja y H pripadne homogene jednad zbe i jednog partikularnog rje senja y P polazne jednad zbe (koje je nulfunkcija ako je polazna jednad
Sustavi linearnih jednad zbi 1.1 Linearne jednad zbe De nicija 1 (Linearna jednad zba s jednom nepoznanicom). Linearna jednad zba s jednom nepoznanicom xje jednad zba koja se mo ze zapisati u obliku ax b gdje su ai bzadani brojevi. Rje senje jednad zbe je svaki broj cije uvr stavanje u jednad
Uz pojam linearne jednad zbe vezan je i pojam sustava linearnih jednad zbi. Sustav linearnih jednad zbi uz odredene uvjete mogu ce je svesti na rje savanje linearne jednad zbe s jednom nepoznanicom. Promatrajmo op cenitiji oblik
jednad bi i nejednad bi Rjeaavati jednad be i nejednad be s apsolutnim vrijednostima Modelirati situacije rabei brojeve Linearne jednad be i problemi prvog stupnja. Sustav linearnih jednad bi. Ure aj u skupu realnih brojeva. Linearne nejednad be i sustav linearnih nejednad bi s jednom nepoznanicom. Apsolut
Svi problemi su vrlo jednostavni i svode se na rje savanje linearnih jednad zbi s jednom 1 Napisan je oko 1650: pr. Kr., naziv je dobio prema skotskom egiptologu Alexanderu Henryu Rhindu. 2 Potje ce iz oko 1850 :pr. Kr
Linearne jednad zbe Koja je razlika izmedu f(x) 2x 5 i 2x 5 0? De nicija Linearna jednad zba s jednom nepoznanicom x je jednad zba koja se mo ze zapisati u obliku ax b, gdje su a i b zadani brojevi. Rje senje takve jednad zbe je svaki broj cije uvr stavanje u jednad zb
Linearne nejednad zbe Linearna jednad zba Znamo da jednad zba ax b ima jedinstveno rje senje x b a uz uvjet da je a 6 0 . Takvu jednad zbu zovemo linearna jednad zba s jednom nepoznanicom. U slu caju da je a 0 i b 6
April S. McGrath Sustainable Fashion Spring 2012 1 Fashioning Sustainability: How the Clothes we wear can support Environmental and Human Well -being . April Shannon McGrath . ABSTRACT . Attempts to promote sustainability in the clothing industry have focused on eco-materials using and more resource efficient production, however the scale of production and has consumption increased to levels .
