Traitement De Signal TS Corrigé Des Exercices
Haute Ecole d’Ingéniérie et de Gestion ducanton de Vaud (HEIG-Vd)Département de la formation en emploiFilière ElectricitéFilière Télécommunications (RS et IT)Traitement de Signal(TS)Corrigé des exercicesin s t i t u t d 'Automatisationin d u s t r i e l l eProf. Michel ETIQUE, janvier 2006,Yverdon-les-Bains
HEIG-VdCorrigé des exercices, v 1.14Traitement de Signal (TS)2MEE \co ts.tex\5 avril 2006
HEIG-VdTraitement de Signal (TS)Table des matières1 Analyse des signaux périodiques1.1 Corrigé des exercices . . . . . .1.1.1 Exercice SF 1 . . . . . .1.1.2 Exercice SF 2 . . . . . .1.1.3 Exercice SF 3 . . . . . .1.1.4 Exercice SF 4 . . . . . .1.1.5 Exercice SF 5 . . . . . .1.1.6 Exercice SF 6 . . . . . .1.1.7 Exercice SF 7 . . . . . .1.1.8 Exercice SF 8 . . . . . .1.1.9 Exercice SF 15 . . . . .1.1.10 Exercice SF 16 . . . . .1.1.11 Exercice SF 17 . . . . .1.1.12 Exercice SF 21 . . . . .2 Analyse des signaux non2.1 Corrigé des exercices .2.1.1 Exercice TF 1 .2.1.2 Exercice TF 2 .2.1.3 Exercice TF 3 .2.1.4 Exercice TF 4 .2.1.5 Exercice TF 5 .2.1.6 Exercice TF 6 .2.1.7 Exercice TF 7 .2.1.8 Exercice TF 8 .2.1.9 Exercice TF 92.1.10 Exercice TF 102.1.11 Exercice TF 112.1.12 Exercice TF 122.1.13 Exercice TF 132.1.14 Exercice TF 142.1.15 Exercice TF 152.1.16 Exercice TF 16Corrigé des exercices, v 1.14.périodiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666676868686970MEE \co ts.tex\5 avril 2006
HEIG-VdTraitement de Signal ExerciceTF 17TF 18TF 19TF 20TF 21TF 22TF 23TF 24TF 25Corr 1Corr 2.3 Echantillonnage des signaux3.1 Corrigé des exercices . . .3.1.1 Exercice ECH 1 . .3.1.2 Exercice ECH 2 . .3.1.3 Exercice ECH 3 . .3.1.4 Exercice ECH 4 . .3.1.5 Exercice ECH 5 . .3.1.6 Exercice ECH 6 . .3.1.7 Exercice ECH 7 . .3.1.8 Exercice ECH 8 . .3.1.9 Exercice ECH 9 .3.1.10 Exercice ECH 10 .3.1.11 Exercice ECH 11 .3.1.12 Exercice ECH 12 .3.1.13 Exercice ECH 13 .3.1.14 Exercice ECH 14 .3.1.15 Exercice ECH 15 .3.1.16 Exercice ECH 16 .3.1.17 Exercice ECH 17 .3.1.18 Exercice ECH 18 .Corrigé des exercices, v 1.14.7173737474747575767680analogiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81818182828383838486878788888889898990904.MEE \co ts.tex\5 avril 2006
HEIG-VdTraitement de Signal (TS)Chapitre 1Analyse des signaux périodiques1.1Corrigé des exercices1.1.1Exercice SF 1Considérant les 2 signaux suivants pour lesquels f0 1 [kHz]x1 (t) 6 2 · cos (2 · π · f0 · t) 3 · sin (2 · π · f0 · t)x2 (t) 4 1.8 · cos 2 · π · f0 · t π3 0.8 · sin (6 · π · f0 · t)1. dessinez leurs spectres d’amplitude et de phase unilatéraux et bilatéraux ;2. écrivez x1 (t) et x2 (t) sous forme de série de Fourier complexe.Corrigéx1 (t) 6 2 · cos (2 · π · f0 · t) 3 · sin (2 · π · f0 · t) :Pour x1 (t), en comparant à la relation générale du développement en sériede Fourier, Xa0 Xx (t) ak · cos (2 · π · k · f0 · t) bk · sin (2 · π · k · f0 · t) (1.1)2k 1k 1on a :1. Une composante continuea02 122 62. Une harmonique 1 (fondamental) à f0 1 [kHz], avec a1 2 etb1 3Pour la représentation des spectres unilatéraux et bilatéraux, il faut calculerla série de Fourier en cosinus ainsi que la série de Fourier complexe. On atout d’abord pour la série en cosinus :Corrigé des exercices, v 1.145MEE \co ts.tex\5 avril 2006
HEIG-VdTraitement de Signal (TS)Signal temporel10x(t)864200.51Spectre unilatéral1.52temps644Ak X(jk) 6200100020003000400010 0.5 14 3x 100k f050000k f050000.5/X(jk) / π0.533.5Spectre bilatéral20 50005000k f01αk / π2.50 0.501000200030004000 1 50005000k f0f ex SF 1 1 1.epsFig. 1.1 – Spectres unilatéral et bilatéral de x1 (t) (fichier source).a012 622qpA1 a21 b21 ( 2)2 32 3.6056 b1 3α1 arctan arctan 2.1588 [rad] 123.6901 [ ]a1 2A0 On peut donc écrire :x1 (t) 6 2 · cos (2 · π · f0 · t) 3 · sin (2 · π · f0 · t) A0 A1 · cos (2 · π · f0 · t α1 ) 6 3.6056 · cos (2 · π · f0 · t 2.1588) x2 (t) 4 1.8 · cos 2 · π · f0 · t π3 0.8 · sin (6 · π · f0 · t) :Pour x2 (t), on a en se référant au développement en série de Fourier (1.1 ) :1. Une composante continueCorrigé des exercices, v 1.14a02 682 4MEE \co ts.tex\5 avril 2006
HEIG-VdTraitement de Signal (TS)2. Des harmoniques à f0 1 [kHz] et 3 · f0 3 [kHz], avec a1 et b1 àcalculer, a3 0, b3 0.8Pour la représentation des spectres unilatéraux et bilatéraux, il faut calculerla série de Fourier en cosinus ainsi que la série de Fourier complexe. On apour la série en cosinus :a0 42 q22A1 1.8 a1 b1A0 α1 π3q a23 b23 02 0.82 0.8 b3 0.8πα3 arctan arctan a302A3 On peut donc écrire :π 0.8 · sin (6 · π · f0 · t)x2 (t) 4 1.8 · cos 2 · π · f0 · t 3 π π 0.8 · cos 6 · π · f0 · t 4 1.8 · cos 2 · π · f0 · t 32 A0 A1 · cos (2 · π · f0 · t α1 ) A3 · cos (6 · π · f0 · t α3 ) Dans le cas général, il aurait fallu calculer a1 et b1 selon les relations :2ak ·TZ2bk ·TZ T2x (t) · cos (2 · π · k · f0 · t) · dtk 0x (t) · sin (2 · π · k · f0 · t) · dtk 1 T2 T2 T2En tenant compte des identités trigonométriques1· cos (α β) 21sin (α) · cos (β) · sin (α β) 2cos (α) · cos (β) Corrigé des exercices, v 1.1471· cos (α β)21· cos (α β)2MEE \co ts.tex\5 avril 2006
HEIG-VdTraitement de Signal (TS)Signal temporel8x(t)64200.51Spectre unilatéral1.52temps4433210010002000300040004 3x 1020 50005000k f01/X(jk) / π0.50 0.5 133.5Spectre bilatéral11αk / π2.5 X(jk) Ak00k f050000k f050000.50 0.501000200030004000 1 50005000k f0f ex SF 1 2 1.epsFig. 1.2 – Spectres unilatéral et bilatéral de x2 (t) (fichier source).Corrigé des exercices, v 1.148MEE \co ts.tex\5 avril 2006
HEIG-VdTraitement de Signal (TS)on a donc :2a1 ·TZ T2 π · cos (2 · π · 1 · f0 · t) · dt1.8 · cos 2 · π · f0 · t 3 T2Z T π 221π 1 · 1.8 ·· cos 4 · π · f0 · t · cos· dtT2323 T2 π 12 T[t] T2 · 1.8 · · cosT232 0.92b1 ·TZ T2 π 1.8 · cos 2 · π · f0 · t · sin (2 · π · 1 · f0 · t) · dt3 T2Z T π 2π 121· sin 4 · π · f0 · t · sin · 1.8 ·· dtT2323 T2 π 12 T[t] T2 · 1.8 · · sinT32 2 0.9 · 3On vérifie que l’on a bien :r 2a21 b21 0.92 0.9 · 3 1.8 ! b10.9 · 3πα1 arctan arctan 1.047 a10.93A1 qCorrigé des exercices, v 1.149MEE \co ts.tex\5 avril 2006
HEIG-VdCorrigé des exercices, v 1.14Pour x1 (t) :x1 (t) A0 A1 · cos (2 · π · f0 · t α1 ) A1· e j·(2·π·f0 ·t α1 ) e j·(2·π·f0 ·t α1 ) A0 2 A1 A0 · e j·2·π·f0 ·t · e j·α1 e j·2·π·f0 ·t · e j·α12 X1 (j · 0) X2 (j · 1) ·ej·2·π·f0 ·t X2 ( j · 1) ·e j·2·π·f0 ·t {z } {z } {z }A0A1 j·α1·e2A1 j·α1·e2Pour x2 (t) :10A0A1 j·α1·e2A1 j·α1·e2A3 j·α3·e2A3 j·α3·e2MEE \co ts.tex\5 avril 2006Traitement de Signal (TS)x2 (t) A0 A1 · cos (2 · π · f0 · t α1 ) A3 · cos (6 · π · f0 · t α3 ) A3 A1 A0 · e j·(2·π·f0 ·t α1 ) e j·(2·π·f0 ·t α1 ) · e j·(6·π·f0 ·t α1 ) e j·(6·π·f0 ·t α1 )22 A3 A1 A0 · e j·2·π·f0 ·t · e j·α1 e j·2·π·f0 ·t · e j·α1 · e j·6·π·f0 ·t · e j·α3 e j·6·π·f0 ·t · e j·α322j·2·π·f0 ·t j·2·π·f0 ·t X1 (j · 0) X2 (j · 1) ·e X2 ( j · 1) ·e X2 (j · 3) ·ej·6·π·f0 ·t X2 ( j · 3) ·e j·6·π·f0 ·t {z } {z } {z } {z } {z }
HEIG-Vd1.1.2Traitement de Signal (TS)Exercice SF 2Utilisez les formules d’Euler pour montrer que la série de Fourier du signal suivant π x (t) 1 cos 2 · π · f0 · t · cos (10 · π · f0 · t)6est décrite par les harmoniques 4, 5 et 6. Pour ce faire :1. remplacez chaque fonction cosinus par deux phaseurs ; effectuez le produit ;2. écrivez x (t) sous la forme d’une somme de phaseurs ;3. que valent les coefficients X (j · k) non-nuls ?4. dessinez les spectres bilatéraux et unilatéraux d’amplitude et de phase.Corrigé des exercices, v 1.1411MEE \co ts.tex\5 avril 2006
HEIG-VdCorrigé des exercices, v 1.14Corrigé12π · cos (10 · π · f0 · t)x (t) 1 cos 2 · π · f0 · t 6 ππ 1 0.5 · ej·(0.5·π·f0 ·t 6 ) e j·(2·π·f0 ·t 6 ) · 0.5 · ej·10·π·f0 ·t e j·10·π·f0 ·t ππ 0.5 · ej·10·π·f0 ·t e j·10·π·f0 ·t 0.5 · ej·(2·π·f0 ·t 6 ) e j·(2·π·f0 ·t 6 ) · 0.5 · ej·10·π·f0 ·t e j·10·π·f0 ·t ππ 0.5 · ej·10·π·f0 ·t e j·10·π·f0 ·t 0.25 · ej·(2·π·f0 ·t 6 ) e j·(2·π·f0 ·t 6 ) · ej·10·π·f0 ·t e j·10·π·f0 ·t 0.5 · ej·10·π·f0 ·t e j·10·π·f0 ·t ππππ 0.25 · ej·(2·π·f0 ·t 6 ) · ej·10·π·f0 ·t ej·(2·π·f0 ·t 6 ) · e j·10·π·f0 ·t e j·(2·π·f0 ·t 6 ) · ej·10·π·f0 ·t e j·(2·π·f0 ·t 6 ) · e j·10·π·f0 ·t ππππ 0.5 · ej·10·π·f0 ·t e j·10·π·f0 ·t 0.25 · ej·(12·π·f0 ·t 6 ) ej·( 8·π·f0 ·t 6 ) ej·(8·π·f0 ·t 6 ) e j·(12·π·f0 ·t 6 ) X(j·4)·ej·8·π·f0 ·t X( j·4)·e j·8·π·f0 ·t X(j·5)·ej·10·π·f0 ·t X( j·5)·e j·10·π·f0 ·t X(j·6)·ej·12·π·f0 ·t X( j·6)·e j·12·π·f0 ·tavecπMEE \co ts.tex\5 avril 2006X( j · 4) 0.25 · ej· 6X(j · 5) 0.5X( j · 5) 0.5πX(j · 6) 0.25 · ej· 6πX( j · 6) 0.25 · e j· 6Traitement de Signal (TS)πX(j · 4) 0.25 · e j· 6
HEIG-VdTraitement de Signal (TS)Signal temporel2x(t)10 1 200.51Spectre unilatéral1.52temps0.500214k f06 50k f05 50k f051/X(jk) / παk / π40.5080.50 0.5 133.5Spectre bilatéral1 X(jk) Ak12.50.50 0.5024k f06 18f ex SF 2 1.epsFig. 1.3 – Spectres unilatéral et bilatéral de x(t) (fichier source).Corrigé des exercices, v 1.1413MEE \co ts.tex\5 avril 2006
HEIG-Vd1.1.3Traitement de Signal (TS)Exercice SF 3Considérant un signal périodique de période T 20 [ms] décrit par son spectrebilatéral X (j · k) :kX (j · k) X 6 X02 1 3 j · 2 2 1 j · 3retrouvez sa description temporelle en cosinus après avoir rempli les cases libresdu tableau.CorrigékX (j · k) X 6 X0220 1 3 j · 232 22 3.6056 2.5536 [rad] 146.3099 [ ] 2 1 j · 312 32 3.16236 1.2490 [rad] 71.5651 [ ]x (t) A0 A1 · cos (2 · π · f0 · t α1 ) A2 · cos (4 · π · f0 · t α2 ) X(j · 0) X(j · 1) ·ej·2·π·f0 ·t X( j · 1) ·e j·2·π·f0 ·t X(j · 2) ·ej·4·π·f0 ·t X( j · 2) ·e j·4·π·f0 ·t {z } {z } {z } {z } {z }A0A1 j·α1·e2A1 j·α1·e2A2 j·α2·e2A2 j·α2·e2On en déduitA0 X(j · 0) 2A1 2 · X(j · 1) 2 · 3.6056 7.2111A2 2 · X(j · 2) 2 · 3.16236 6.3246α0 0 [rad]α1 2.5536 [rad]α2 1.2490 [rad]et finalement :x (t) A0 A1 · cos (2 · π · f0 · t α1 ) A2 · cos (4 · π · f0 · t α2 ) 2 7.2111 · cos (2 · π · 50 [Hz] · t 2.5536) 6.3246 · cos (4 · π · 50 [Hz] · t 1.2490)1.1.4Exercice SF 4À partir des spectres d’amplitude et de phase d’une SIR vus au cours,1. calculez les spectres complexes des deux signaux de la figure 1.4 page cicontre ;2. esquissez leurs spectres bilatéraux d’amplitude et de phase.Corrigé des exercices, v 1.1414MEE \co ts.tex\5 avril 2006
HEIG-VdTraitement de Signal (TS)Ex. SF4101x (t) [V]8642002468101214161802468t [ms]10121416186x2(t) [V]420 2 4f exgraphes 7.epsFig. 1.4 – Exercice SF 4 (fichier source).CorrigéLe premier signal est une SIR d’amplitude A 10 de période T f10 1 [ms]. On en10 [ms], de largeur t 2 [ms], retardée d’une durée td t2déduit : t sin (k · π · f0 · t) j·2·π·k·f0 ·td··eTk · π · f0 · t2 sin (k · π · 100 [Hz] · 2 [ms]) j·2·π·k·100 [Hz]·1 [ms] 10 ···e10k · π · 100 [Hz] · 2 [ms]sin (k · π · 0.2) j·2·π·k·100 [Hz]·1 [ms] 2··ek · π · 0.2 sin k · π · 15 2··e j·2·π·k·100 [Hz]·1 [ms]k · π · 15 {z}X (j · k) A ·0 pour k 5, 10, 15, . . .i.e. pourf 500 [Hz], 1000 [Hz], 1500 [Hz], . . .Les résultats (spectres bilatéraux d’amplitude et de phase) sont donnés sur lafigure 1.5 page 17. Sur la même figure, on trouve la synthèse de x(t) basée sur lesCorrigé des exercices, v 1.1415MEE \co ts.tex\5 avril 2006
HEIG-VdTraitement de Signal (TS)N 10 premiers termes X(j · k) du développement en série de Fourier complexe :x10 (t) 10XX(j · k) · e j·2·π·k·f0 ·tk 10Corrigé des exercices, v 1.1416MEE \co ts.tex\5 avril 2006
HEIG-VdTraitement de Signal (TS)21.5 X(j · k) 10.50 1000 5000500100050010000.0150.02f [Hz]10.5arg{X(j·k)}π0 0.5 1 1000 5000f [Hz]1086xN (t), x(t) 42000.0050.01t [s]Fig. 1.5 – xN (t) est la synthèse du signal x(t) baséepremiersP sur les N 10 j·2·π·k·f0 ·ttermes de la série de Fourier complexe : x10 (t) 10X(j·k)·e.k 10On remarque bien sûr la très forte ressemblance avec x(t) tel qu’il apparaît surle haut de la figure 1.4 .Corrigé des exercices, v 1.1417MEE \co ts.tex\5 avril 2006
HEIG-VdTraitement de Signal (TS)Le second signal est une SIR d’amplitude A 9 de période T f10 10 [ms],de largeur t T2 5 [ms], retardée d’une durée td t 2.5 [ms] à laquelle on2a soustrait un offset de 3. On en déduit : t sin (k · π · f0 · t) j·2·π·k·f0 ·td··eTk · π · f0 · t5 [ms] sin (k · π · 100 [Hz] · 5 [ms]) j·2·π·k·100 [Hz]·2.5 [ms] 9···e10 [ms]k · π · 100 [Hz] · 5 [ms]X (j · k) A ·ce à quoi il faut soustraire l’offset de 3 pour k 0.Les résultats (spectres bilatéraux d’amplitude et de phase) sont donnés sur lafigure 1.6 page ci-contre. Sur la même figure, on trouve la synthèse de x(t) baséesur les N 10 premiers termes X(j · k) du développement en série de Fouriercomplexe : 10Xx10 (t) X(j · k) · e j·2·π·k·f0 ·tk 10Un code MATLAB permettant de calculer X2 (j · k) et tracer les spectres bilatéraux de gain et de phase est donné ci-dessous.(fichier source)%I n i t i a l i s a t i o nclc ; clear a l l ; close a l l ;%ParametresA 9;T 10 e 3;d e l t a t 5 e 3;td 2.5 e 3;%numeros d e s harmoniques a c a l c u l e rN 10;k [ N:N ] ;%k 0X A d e l t a t /T s i n c ( k / 2 ) . exp( j k pi / 2 ) ;%k 0X(8) 3 A d e l t a t /T ;%Tracagefiguresubplot ( 2 1 1 )stem ( k/T, abs (X) )xlabel ( ’ kf 0 [ Hz ] ’ )ylabel ( ’ X 2( j k ) ’ )gridsubplot ( 2 1 2 )stem ( k/T, angle (X) / pi )xlabel ( ’ kf 0 [ Hz ] ’ )ylabel ( ’ a r g {X 2( j k ) } ’ )gridCorrigé des exercices, v 1.1418MEE \co ts.tex\5 avril 2006
HEIG-VdTraitement de Signal (TS)32 X(j · k) 10 1000 5000500100050010000.0150.02f [Hz]10.5arg{X(j·k)}π0 0.5 1 1000 5000f [Hz]642xN (t), x(t)0 2 400.0050.01t [s]Fig. 1.6 – xN (t) est la synthèse du signal x(t) baséepremiersP sur les N 10 j·2·π·k·f0 ·ttermes de la série de Fourier complexe : x10 (t) 10X(j·k)·e.k 10On remarque bien sûr la très forte ressemblance avec x(t) tel qu’il apparaît surle bas de la figure 1.4 (fichier source).Corrigé des exercices, v 1.1419MEE \co ts.tex\5 avril 2006
HEIG-VdTraitement de Signal (TS)Ex. SF554Ak [V]32100120123453450.60.4αk / π0.20 0.2 0.4f [kHz]f exgraphes 6.epsFig. 1.7 – Exercice SF 5 (fichier source).1.1.5Exercice SF 5Considérant les spectres unilatéraux (figure 1.7) d’un signal x (t) :1. donnez l’expression de x (t) ;2. dessinez son spectre bilatéral ;3. calculez sa puissance et sa valeur efficace.Corrigé1. Au spectre unilatéral est associé directement le développement en série encosinus. On a donc :x(t) 4 4·cos(2·π·1 [kHz]·t) 2·cos(2·π·3 [kHz]·t 0.2·π) 1·cos(2·π·5 [kHz]·t 0.45·π)2. Les spectres d’amplitude et de phase sont représentés sur la figure 1.8.3. 1 X 242 22 122P ·Ak 4 26.5 [V2 ]2 k 1222 Xeff P 26.5 5.15 [V]A20Corrigé des exercices, v 1.1420MEE \co ts.tex\5 avril 2006
HEIG-VdTraitement de Signal (TS)43 X(j · k) 210 4000 200002000400020004000f [Hz]10.5arg{X(j·k)}π0 0.5 1 4000 20000f [Hz]Fig. 1.8 – Ex SF 5.Corrigé des exercices, v 1.1421MEE \co ts.tex\5 avril 2006
HEIG-VdTraitement de Signal (TS)x1 (t)x2 (t)x3 (t)kakbkkAkαkkX (j · k)0 2010051 5 413 π3 14 j·32-2 3200 203 1–132 π2 3 2 j400400 40Tab. 1.1 – Exercice SF 6.1.1.6Exercice SF 6Considérant les trois signaux x1 (t), x2 (t), x3 (t) de période T 1 [ms] décritspar leurs spectres respectifs (tableau 1.1) :1. donnez l’expression temporelle des trois signaux ;2. écrivez ces expressions à l’aide de cosinus seulement ;3. dessinez leurs spectres d’amplitude et de phase uni- et bilatéraux.Corrigé des exercices, v 1.1422MEE \co ts.tex\5 avril 2006
HEIG-VdCorrigé des exercices, v 1.14Corrigé1. Expressions temporelles de x1 (t), x2 (t) et x3 (t) : Xa0 Xx1 (t) ak · cos (2 · π · k · f0 · t) bk · sin (2 · π · k · f0 · t)2k 1k 12 5 · cos (2 · π · 1 · f0 · t) 4 · sin (2 · π · 1 · f0 · t) 2 · cos (2 · π · 2 · f0 · t) 3 · sin (2 · π · 2 · f0 · t)2 1 · cos (2 · π · 3 · f0 · t) 1 · sin (2 · π · 3 · f0 · t) 1 5 · cos (2 · π · f0 · t) 4 · sin (2 · π · f0 · t) 2 · cos (4 · π · f0 · t) 3 · sin (4 · π · f0 · t) 1 · cos (6 · π · f0 · t) 1 · sin (6 · π · f0 · t) 23Ak · cos (2 · π · k · f0 · t αk )k 1 π π 1 3 · cos 2 · π · 1 · f0 · t 2 · cos 2 · π · 3 · f0 · t 32Traitement de Signal (TS)MEE \co ts.tex\5 avril 2006x2 (t) A0 X
X(j · k) · ej·2·π·k·f0 ·tk X( j · 3) · e j·2·π·3·f0 ·t X( j · 1) · e j·2·π·1·f0 ·t X(j · 0) · ej·2·π·0·f0 ·t X(j · 1) · ej·2·π·1·f0 ·t X(j · 3) · ej·2·π·3·f0 ·tHEIG-VdCorrigé des exercices, v 1.14x3 (t) X24 ( 2 j) · e j·2·π·3·f0 ·t (4 j · 3) · e j·2·π·1·f0 ·t 5 (4 j · 3) · ej·2·π·1·f0 ·t ( 2 j) · ej·2·π·3·f0 ·tpp 1 3 ( 2)2 ( 1)2 · ej·arctan ( 2 ) · e j·2·π·3·f0 ·t 42 ( 3)2 · ej·arctan ( 4 ) · ej·2·π·1·f0 ·tp 31 5 42 32 · ej·arctan ( 4 ) · ej·2·π·1·f0 ·t ( 2)2 12 · ej·arctan ( 2 ) · ej·2·π·3·f0 ·t 1 331 5 · ej·arctan ( 2 ) · e j·2·π·3·f0 ·t 25 · ej·arctan ( 4 ) · e j·2·π·1·f0 ·t 5 25 · ej·arctan ( 4 ) · ej·2·π·1·f0 ·t 5 · ej·arctan ( 2 ) · ej·2·π·3·f0 ·t 5 · e j·2.6779 · e j·2·π·3·f0 ·t 5 · e j·0.6435 · e j·2·π·1·f0 ·t 5 5 · ej·0.6435 · ej·2·π·1·f0 ·t 5 · ej·2.6779 · ej·2·π·3·f0 ·t ej·2.6779 · ej·2·π·3·f0 ·t e j·2.6779 · e j·2·π·3·f0 ·tej·0.6435 · ej·2·π·1·f0 ·t e j·0.6435 · e j·2·π·1·f0 ·t 2·5· 5 2· 5·22 5 2 · 5 · cos (2 · π · 3 · f0 · t 2.6779) 10 · cos (2 · π · 1 · f0 · t 0.6435)2. Expressions de x1 (t), x2 (t) et x3 (t) à l’aide de cosinus seulement. partant des résultats ci-dessus, on a :Traitement de Signal (TS)MEE \co ts.tex\5 avril 2006x1 (t) 1 5 · cos (2 · π · f0 · t) 4 · sin (2 · π · f0 · t) 2 · cos (4 · π · f0 · t) 3 · sin (4 · π · f0 · t) 1 · cos (6 · π · f0 · t) 1 · sin (6 · π · f0 · t) p 4 3 1 52 42 · cos 2 · π · f0 · t arctan ( 2)2 32 · cos 4 · π · f0 · t arctan5 2 p ( 1) 12 ( 1)2 · cos 6 · π · f0 · t arctan1 π 1 41 · cos (2 · π · f0 · t 0.675) 13 · cos (4 · π · f0 · t 2.16) 2 · cos 6 · π · f0 · t 4 A0 A1 · cos (2 · π · 1 · f0 · t α1 ) A2 · cos (2 · π · 1 · f0 · t α2 ) A3 · cos (2 · π · 1 · f0 · t α3 )
XHEIG-VdCorrigé des exercices, v 1.14x2 (t) A0 Ak · cos (2 · π · k · f0 · t αk )k 1 π π 1 3 · cos 2 · π · 1 · f0 · t 2 · cos 2 · π · 3 ·
HEIG-Vd Traitement de Signal (TS) 2. Des harmoniques à f 0 1[kHz] et 3 ·f 0 3[kHz], avec a 1 et b 1 à calculer, a 3 0, b 3 0.8 Pour la représentation des spectres unilatéraux et bilatéraux, il faut calculer la série de Fourier en cosinus ainsi que la série de Fourier complexe. On a pour la série en cosinus : A 0 a 0 2 4 A 1 .
le traitement du signal 2D, c’est- a-dire le traitement d’image. Les outils expos es pour le traitement du signal 1D sont fondamentaux d es qu’on s’int eresse au cas bidimen-sionnel. Nous donnons en quelques pages des pistes pour la g en eralisation de ces outils. Orl eans, le 18 mars 2014.
Traitement du Signal Imprimé le 19/07/11 33 Université Paris-Sud ORSAY Département Mesures Physiques Année 2003-04 Cours de Traitement du Signal Partie 2 Transformation Signal continu Signal échantillonné Corrélation, modulation, détection, Laplace Roger REYNAUD temps fréquences e 2πj ν t δ(f-ν) Réel Imaginaire Réel Imaginaire
pée par la numérisation du signal. Pour la diminuer on utilisera du codage source. 1.3 Outils de traitement du signal à numériser Les principaux outils pour le traitement du signal qui devront être nu-mérisés sont les suivants : ransforméeT de ourier,F onctionsF d'auto et inter corrélation, Densité Spectrale de Puissance, Filtrage.
Les contributions essentielles, au traitement du signal et à la théorie du signal n'interviennent qu'après la seconde guerre mondiale. Invention du transistor en 1948, travaux de SHANNON sur la communication, de WIENER sur le filtrage optimal et de SCHWARTZ sur les distributions. Les applications du traitement du signal sont nombreuses (
Dans la partie "Traitement du signal" sont traités divers aspects de la modulation et la démodulation d’amplitude et de fréquence, pour des signaux aussi bien analogiques que numériques. Dans la partie "Transmission du signal", nous illustrons la mise en oeuvre d’une fibre optique. II) Modulation – Traitement du signal 1 .
Supports de cours Débuter en traitement numérique du signal Application au filtrage et au traitement des sons Jean Noël Martin Prof. À l’IUT d’Annecy Analyse et contrôle numérique du signal Philippe Destuynder, Prof. CNAM Françoise Santi, Prof. CNAM
Traitement du Signal - Signaux Aléatoires Jean-Yves Tourneret(1) (1) Université of Toulouse, ENSEEIHT-IRIT-TéSA Thème 1 : Analyse et Synthèse de l’Information jyt@n7.fr Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2019-2020 – p. 1/96
HEIG-Vd Traitement de signal Bibliographie générale Traitement des signaux Bibliographie [1] F.Mudry. Signaux et systèmes. Cours polycopié, Haute Ecole d’Ingénierie et de Gestion du canton de Vaud, 2006. [2] B.P.Lathy. Linear Systems and Signals. Berkeley-Cambridge Press, Carmi-chael CA, 1998. [3] B.P.Lathy. Signal Processing and Linear .
