MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES
MATEMÁTICASAPLICADASA LASCIENCIASSOCIALES2º BACHILLERATOJOSÉ LUIS DIAZ LEYESDepósito Legal: OU-140/2006Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de estelibro se podrá reproducir por ningún sistema sin permiso previopor escrito del autor
Imprime: Gráficas GallegasDepósito Legal: OU-140/2006Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de este libro se podrá reproducir por ningún sistema sinpermiso previo por escrito del autor
ÍNDICEBLOQUE I :ÁLGEBRA. 5TEMA1: CÁLCULO MATRICIAL.1.1.-DEFINICIÓN DE MATRIZ.71.2.- ELEMENTOS DE UNA MATRIZ. NOTACIONES.71.3.-TIPOS DE MATRICES.8.91.4 .-MATRIZ NULA1.5.-TRASPUESTA DE UNA MATRIZ.91.6.-IGUALDAD DE MATRICES. 10TEMA 2: OPERACIONES CON MATRICES.2.1.-SUMA DE MATRICES. 112.2.-PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ. 122.3.-PRODUCTO DE MATRICES. 12TEMA 3: LA MATRIZ INVERSA.3.1.-DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADADE ORDEN 2 (DETERMINANTE DE ORDEN 2) . 173.2.-DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADADE ORDEN 3 (DETERMINANTE DE ORDEN 3) . 173.3.-MATRIZ INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA. 193.4.-ECUACIONES MATRICIALES. 20TEMA 4: SISTEMAS DE ECUACIONES.4.1.-ECUACIÓN LINEAL. 224.2.-SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES. 224.3.-CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS. 234.4.-EXPRESIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA. 234.5.-SISTEMAS EQUIVALENTES . 244.6.-RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA: MÉTODO DE GAUSS. 24TEMA 5: SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS.5.1.-DESIGUALDADES. 275.2.-INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS. 275.3.-SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALESCON 2 INCÓGNITAS. 285.4.-FUNCIÓN LINEAL DE DOS VARIABLES. 295.5.-FORMULACIÓN GENERAL DE UN PROBLEMA DEPROGRAMACIÓN LINEAL CON DOS VARIABLES. 305.6.-RESOLUCIÓN DE UN PROGRAMA LINEAL. 31PRUEBAS DE ACCESO DE GALICIA.Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales (2º Bachillerato)José Luis Diaz Leyes-1-71117222734
ÍNDICEBLOQUE II : ANÁLISIS. 42TEMA 0: LAS FUNCIONES.0.1.-CONCEPTO DE FUNCIÓN. 440.2.-LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN. 450.3.-FUNCIONES ELEMENTALES. 460.4.-RECTAS, PARÁBOLAS E HIPÉRBOLAS. 47TEMA 1: LÍMITES.1.1.-LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. 511.2.-LÍMITE INFINITO. 511.3.-LÍMITE EN EL INFINITO. 531.4.-CÁLCULO DE LÍMITES. 54TEMA 2: CONTINUIDAD.2.1.-CONTINUIDAD EN UN PUNTO. 562.2.-CONTINUIDAD EN UN INTERVALO. 572.3.-CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES. 572.4.-CONTINUIDAD DE FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS. 57TEMA 3: LA DERIVADA.3.1.-TASA DE VARIACIÓN MEDIA. 593.2.-DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. 593.3.-DERIVADAS LATERALES EN UN PUNTO. 603.4.-SIGNIFICADO DE LA DERIVADA. 613.4.-LA FUNCIÓN DERIVADA. 623.5.-DERIVADAS SUCESIVAS. 64TEMA 4: APLICACIONES DE LA DERIVADA.4.1.-CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN. 664.2.-EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN. 674.3.-CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD DE UNA FUNCIÓN. 704.4.-PUNTOS DE INFLEXIÓN. 714.5.-ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN GRÁFICADE UNA FUNCIÓN. 734.6.-OPTIMIZACIÓN. 81PRUEBAS DE ACCESO DE GALICIA.445156596683Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales (2º Bachillerato)José Luis Diaz Leyes-2-
ÍNDICEBLOQUE III : ESTADÍSTICA. 91TEMA1: SUCESOS ALEATORIOS.1.1.-EXPERIMENTO ALEATORIO.931.2.-ESPACIO MUESTRAL.931.3.-SUCESOS.931.4.- OPERACIONES CON SUCESOS. 941.5.- ÁLGEBRA DE SUCESOS.95TEMA 2: PROBABILIDAD.2.1.-FRECUENCIA ABSOLUTA Y RELATIVA DE UN SUCESO. 962.2.-IDEA DE PROBABILIDAD.962.3.-DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD.972.4.-PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD.972.5.-PROBABILIDAD CONDICIONADA.982.6.- PROBABILIDAD COMPUESTA.982.7.- SUCESOS INDEPENDIENTES: REGLA DEL PRODUCTO.992.8.- PROBABILIDAD TOTAL.992.9.- LA REGLA DE BAYES. 100TEMA 3: POBLACIÓN Y MUESTRA .3.1.-POBLACIÓN Y MUESTRA. 1043.2.-MUESTREO. 1043.3.-PARÁMETROS Y ESTADÍSTICOS. 1043.4.-VARIABLE ALEATORIA1053.5.-VARIABLE ALEATORIA NORMAL. 1053.6.-CÁLCULO DE AREAS BAJO LA CURVA NORMAL TIPIFICADA. 1063.7.-CÁLCULO DE AREAS BAJO UNA CURVA NORMAL N(µ ; σ ) . 1083.8.-VARIABLE ALEATORIA BINOMIAL109TABLA DE DISTRIBUCIÓN NORMAL TIPIFICADA N(0,1) . 111TEMA 4: DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE LA MEDIA MUESTRAL:TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE.4.1.-DISTRIBUCIÓN DE LAS MEDIAS MUESTRALES. 1124.2.-TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE112TEMA 5: ESTIMACIÓN DE PARÁMETROS.5.1.-ESTIMACIÓN PUNTUAL. 1135.2.-ESTIMACIÓN POR INTERVALOS. 1135.3.-INTERVALO DE CONFIANZA PARA LA MEDIA. 1135.4.-DETERMINACIÓN DEL NIVEL DE CONFIANZA. 115TEMA 6: TEMA 6: CONTRASTE DE HIPÓTESIS.6.1.-INTRODUCCIÓN. DEFINICIONES. 1186.2.-CONTRASTE DE HIPÓTESIS. 1186.3.-CONTRASTE DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA. 1186.4.-CONTRASTE DE HIPÓTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS. 1216.5.-CONTRASTE DE HIPÓTESIS PARA LA PROPORCIÓN. 1226.6.-ERRORES EN LOS CONTRASTES DE HIPÓTESIS. 123PRUEBAS DE ACCESO DE GALICIA.Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales (2º Bachillerato)José Luis Diaz Leyes-3-9396104112113118127
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05)Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales (2º Bachillerato)José Luis Diaz Leyes-5-
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TEMA1: CÁLCULO MATRICIAL1.1.-DEFINICIÓN DE MATRIZUna matriz de dimensión mxn es un cuadro de números reales dispuestos en m filas y n columnas.Ese cuadro se mete entre paréntesis y se le designa con una letra mayúscula. Ejemplo: 1 -6 0 A 3 es una matriz 2x3 (6 números dispuestos en 2 filas y 3 columnas) 2 4 - 8 1 1 0 B 223 es una matriz 3x3 6 3 12 5 2 - 1/3 4 C es una matriz 4X2π6 00 :1.2.- ELEMENTOS DE UNA MATRIZ. NOTACIONESCada número que forma parte de una matriz es un elemento de esa matriz. Para identificarlos, y asídistinguir uno de otro, cada elemento de una matriz se simboliza con la misma letra de la matriz,pero minúscula, seguida de dos subíndices tales que el primero indica la fila que ocupa el elemento yel segundo indica la columna:Columna jFila ia ij Ejemplo 6 - 3 1 tendremos que:En la matriz C 2 1 4 c11 6c12 -3c13 1c21 2c22 1:c23 4A menudo tenemos que referirnos a una matriz A de dimensiónparticular. Lo haremos de dos formas::mxn genérica, no a una en( )si no necesitamos escribirla desarrollada A a ijmxn Si por cualquier circunstancia necesitamos escribirla desarrollada, lo haremos así:Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales (2º Bachillerato)José Luis Diaz Leyes-7-
a11 a12 a 21 a 22 aa 32A 31. . . . a m1 a m2a13a 23a 33.a m3. . . a1n . . . a 2n . . . a 3n . . . . . . . . . a mn Cada fila de una matriz la simbolizaremos con la misma letra que la matriz seguida de un subíndiceque indique el número de fila. Cada columna la simbolizaremos con la misma letra que la matrizseguida de un superíndice que indique el número de la columna. Por ejemplo si 5 2 1 4 B 3 9 7 2 6 6 0 8 B 2 (3 9 7 2) es la segunda fila de la matriz B 1 B 7 es la tercera columna de la matriz B 0 31.3.-TIPOS DE MATRICESAtendiendo al número de filas y columnas las matrices pueden ser: Rectangulares: Si el número de filas es distinto del número de columnas. Cuando una matriz estáformada por una sola fila y varias columnas se dice que es una matriz fila. Si está formada por unacolumna y varias filas se dice que es una matriz columna Cuadradas: si el número de filas es igual al número de columnas. En estas matrices, aparte desus filas y columnas, también son importantes sus diagonales:diagonal secundariaa11a12a13a21a22a23a31a32a33diagonal principalMatemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales (2º Bachillerato)José Luis Diaz Leyes-8-
Dentro de las matrices cuadradas, podemos distinguir los siguientes tipos: Matriz triangular: Si por encima ( o por debajo) de la diagonal principal todos loselementos valen 0. Ejemplo:: 5 0 0 9 0 4 T 3 2 0 V 0 0 1 4 4 1 0 0 2 : Matriz diagonal: Si los elementos que no están en la diagonal principal son todos cero. Ejemplo:: 2 0 0 0 4 0 0 0 3 0 0 L 0 4 0 H 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 5 : Matriz Identidad: es una matriz diagonal cuya diagonal principal está constituida porunos. Son matrices importantes en el cálculo matricial. La matriz identidad de orden n (esdecir, nxn) se simboliza por In . Así 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 I2 I3 0 1 0 I4 . .0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 Matriz simétrica: Si los elementos simétricos respecto de la diagonal principal soniguales, es decir , si aij aji . Ejemplo:: 2 3 8 S 3 4 6 8 6 1 :1.4 .-MATRIZ NULASe llama así a una matriz cuyos elementos valen todos 0 . Ejemplo 0 0 0 O 0 0 0 ::1.5.-TRASPUESTA DE UNA MATRIZSi A es una matriz mxn, la matriz traspuesta de A es la matriz nxm cuyas sucesivas filas sonlas sucesivas columnas de A. Es decir, para obtener la traspuesta de una matriz se intercambian lasfilas por las columnas. La traspuesta de una matriz A se simboliza por AT . Ejemplo: 4 6 4 1 0 A 1 3 A T 6 3 9 0 9 Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales (2º Bachillerato)José Luis Diaz Leyes-9-
Si la matriz es simétrica entonces coincide con su traspuesta: 2 1 4 2 1 4 TS 1 6 7 S 1 6 7 S 4 7 9 4 7 9 :1.6.-IGUALDAD DE MATRICESDos matrices son iguales si tienen la misma dimensión y los elementos homólogos (los que ocupan la misma posición en ambas matrices) son igualesMatemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales (2º Bachillerato)José Luis Diaz Leyes- 10 -
TEMA 2: OPERACIONES CON MATRICES2.1.-SUMA DE MATRICESSupongamos que nos dan la siguiente información:En un Instituto el número de alumnos repetidores se distribuyen del modo indicado en la siguientetabla:1º ciclo de ESO2º ciclo de ESOBachileratoMujeres151912Hombres242617Y los no repetidores del siguiente:1º ciclo de ESOMujeres95Hombres632º ciclo de ESO182101Bachilerato14694En consecuencia la totalidad del alumnado del Instituto se distribuye del modo siguiente:1º ciclo de ESO2º ciclo de ESOBachileratoMujeres110201158Hombres87127111Si identificamos cada tabla como una matriz tendriamos: 15 19 12 95 182 146 15 95 19 182 12 146 110 201 158 P T R 24 26 17 63 101 94 24 63 26 101 17 94 87 127 111 de modo que T sería la suma de las matrices R y P.Generalizando lo anterior deducimos como se realiza la suma de dos matrices:aCondición: Para sumar dos matrices han de tener la misma dimensiónaRegla: Se suma cada elemento de la 1ª matriz con su homólogo de la 2ª matriz Ejemplo:2 71 3 1 4 4 1/2 1/5 7 21/5 15/2 6 3 2 9 4 6 :Las propiedades de la suma de matrices son:1)Conmutativa: A B B A2)Asociativa: (A B) C A (B C)3)Elemento Neutro: Las matrices nulas son neutras para la suma, es decir, si a una matriz A lesumamos la matriz nula obtenemos A:A O O A A Ejemplo: 3 7 1 0 0 0 3 7 1 2 5 5 0 0 0 2 5 5 :4)Existencia de elementos opuestos: Si se cambia de signo cada elemento de una matriz Aobtenemos otra matriz , llamada opuesta de A y simbolizada por -A , que sumada con A dala matriz nula: A ( A) OMatemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales (2º Bachillerato)José Luis Diaz Leyes- 11 -
Ejemplo: 4 7 4 7 y como fácilmente se puede entonces su opuesta es A Si A 2 5 2 5 comprobar A ( A) O:2.2.-PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZPara multiplicar un número por una matriz se multiplica dicho número por cada elemento de lamatriz. Ejemplo 2 1 5 Si A 4 2/3 6 0 2 3 : 8 4 20 entonces 4A 16 8/3 24 08 12 :Las propiedades de esta operación son:1) pA qA (p q)A siendo p y q números reales y A una matriz (P. ej.: 7A 5A 12A )2) p(A B) pA pB siendo p un número y A y B matrices de la misma dimensión(P. ej.: 3(A B) 3A 3B )3) p(qA) (pq)A siendo p y q números reales y A una matriz (P. ej.: 7(5A) 35A )2.3.-PRODUCTO DE MATRICESSupongamos que nos dan la siguiente información:Una fábrica utiliza dos tipos de cereales A y B con las propiedades que figuran en la siguiente tabla:Cereal ACereal BGrs de Proteinas por KG de cereal412Grs de Hidratos por KG de cereal2016Grs de Grasas por KG de cereal31Con estos cereales fabrica 3 productos P, Q y Rprporciones indicadas en la siguiente tabla:Bolsa de PKgs de cereal A5Kgs de cereal B1, combinádolos en bolsas de 6 Kgs en lasBolsa de Q33Bolsa de R24Con los anteriores datos podemos calcular los gramos de Proteinas, Hidratos y Grasas que contienecada bolsa de cada uno de los productos:Bolsa de PBolsa de QBolsa de RAportados Aportados Aportados Aportados Aportados Aportadospor Apor Bpor Apor Bpor Apor BGrs de Proteinas4·512·14·312·34·212·4Grs de Hidratos20·516·120·316·320·216·4Grs de Grasas3·51·13·31·33·21·4Con lo que obtenemos:Grs de ProteinasGrs de HidratosGrs de GrasasBolsa de P4·5 12·120·5 16·13·5 1·1Bolsa de Q4·3 12·320·3 16·33·3 1·3Bolsa de R4·2 12·420·2 16·43·2 1·4Si identificamos cada tabla como una matriz tendriamos:Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales (2º Bachillerato)José Luis Diaz Leyes- 12 -
4 12 Matriz de valores nutricionales de los cereales: N 20 16 3 1 5 3 2 Matriz de composición de las bolsas: C 1 3 4 Matriz de valores nutricionales de las bolsas de productos: 4·5 12·1 4·3 12·3 4·2 12·4 32 48 56 B 20·5 16·1 20·3 16·3 20·2 16·4 116 108 104 3·5 1·13·3 1·33·2 1·4 16 12 10 Observemos que para obtener las propiedades alimentarias de las bolsas hemos multiplicado lasvalores nutricionales de cada cereal por las cantidades de cereales empleados en cada bolsa. Esdecir, que en términos de matrices hemos multiplicado N por C dando como resultado B: 4·5 12·1 4·3 12·3 4·2 12·4 32 48 56 4 12 5 3 2 20·5 16·1 20·3 16·3 20·2 16·4 116 108 104 BN·C 20 16 · 3 1 1 3 4 3·5 1·13·3 1·33·2 1·4 16 12 10 Observando lo realizado deducimos como se realiza el producto de dos matrices:aCondición: Para multiplicar dos matrices el número de columnas de la 1ª ha de ser igualal número de filas de la segundaA·m x n Bn xsaRegla:1) Dimensión del producto: La matriz producto tiene tantas filas como el primerfactor y tantas columnas
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