Statistik Nach Der Matura, Übungen - Schule.at
2010TEIL3STATISTIK NACH DER MATURA, ÜBUNGENGrundlage für den Übertritt inHochschulen und FachhochschulenBrigitte Wessenberg
Das vorliegende Skriptum ist als kostenlose Lernhilfe für Absolventinnen und Absolventen gedacht,die an Hochschulen oder Fachhochschulen mit Statistik zu tun haben. Es orientiert sich an derStatistik-Broschüre der Sportuni Wien (Baca u.a.), die ohne didaktischen Hintergrund den Umfang anStatistik-Wissen für die Studierenden festlegt.Voraussetzung für das Verständnis:Mathematik-Standardwissen nach Beendigung einer Höheren Schule (AHS, BHS).Das vorliegende Skriptum behandelt KEINE Software Anwendungen (SPSS, R, EXCEL etc),sondern nur die allgemeinen Grundlagen.Es verwendet Beispiele und Aussagen aus folgenden Werken, die zahlreiche Beispiele zumweiterführenden Üben enthalten.Ingenieur-Mathematik 4, Timischl, Kaiser, Verlag E. DornerAngewandte Statistik, Lothar Sachs, Springer-VerlagStatistik, Deborah Rumsey, Verlag Wiley-VCHStatistik, Detert/ Söhl, Verlag HirzelMathematik für HTL, Schärf, Oldenburg-VerlagMathematik 8, Szirucsek ua./Verlag HPTMathematik 4 HAK, Schneider u.a., Trauner VerlagLehrbuch der Mathematik, Reichel u.a./HPT VerlagMathematik 4 Oberstufe, Bürger-Fischer-Malle, HPT VerlagMathematik für Ökonomen, Dück u.a. /Verlag Harri Deutschwww.lernstats.de! Zu einem großen Teil wird das PDF-Skriptum von Dr. Andreas Handl„Einführung in die Statistik mit R“ 558 Seiten, herangezogen.http://www.wiwi.uni-bielefeld.de/ frohn/Mitarbeiter/Handl/statskript.pdfDieses Skriptum ist didaktisch gut aufgebaut und bringt auch die sonst kaum je erwähntenAbleitungen und Hintergründe, sowie eine ausführliche Begleitung durch die Statistik-Freeware R.Empfehlenswert!2
Gemischte Übungen zur StatistikBestimme den Standardfehler des Mittelwerts bei folgenden Sprungweiten:4,58 5,17 5,33 4,56Analyse: n 4, sehr klein, 1 Stichprobe, Normalverteilung in der GrundgesamtheitEs handelt sich darum, dass man aus dieser kleinen Stichprobe zuerstden Mittelwert berechnet.Summe aller xi / nDann passiert Folgendes. Die Werte der Messung streuen um diesenMittelwert Standardabweichung sEs handelt sich nicht um eine Grundgesamtheit, daher:Summe der quadratischen Abweichungen vom Mittelwert / (n-1)Würde man nun andere Stichproben aus der gleichenGrundgesamtheit nehmen, dann hätten deren Mittelwerte eine kleine Abweichung gegenüber dervorliegenden.Man bestimmt daher die Abweichungen der Mittelwerte, geht mit einer einfachen Formel:σmittelwert s/ Wurzel aus n4,564,585,175,33 Sum/(n-1)0,12250,10890,06760,1764 0,15846667Median:4,875MW:4,91Varianz der Werte0,1585s Standardabw.der xi0,3981Standardabweichung der Mittelwerte 0,19903936σmittelwert 0,199Geben Sie 7 Zahlenwert so an, dass der Mittelwert größer ist als der Median und der Median größerals der Modus.1Modus 1114Median 45616 MW4,857118161412108642013234567
Gib eine Folge von Zahlen so an, dass deren Interquartilsabstand 5 ist. Berechne Spannweite Modusund Standardfehler des Mittelwerts.IQR 5IQR 6-1 5, Spannweite 8-1 7, Modus 1Standardfehler des Mittelwerts:mw3,75stab2,87stab mwwird dividiert durch Wurzel aus n 1,014
Gegeben sind die Reaktionszeiten von 20 Personen am Morgen und am Abend. Überprüfen Siegrafisch, ob die Anwendungsvoraussetzung für den t-Test für gepaarte Stichproben erfüllt ist.Wir bestimmen die Differenzen, bilden 5 Klassen und zeichnen die Klassenhäufigkeiten.22,424,1-1,7-1,7-1,083 n 2019,721,1-1,4-1,08-0,463 k ,60,781,424747,5-0,526,226,6-0,4 reite0,62876543210-1,08-0,460,160,781,4Für den t-Test ist erforderlich, dass die Differenzen zu einer Normalverteilung passen, wenn n 30.Die Grafik zeigt, dass dies stimmen könnte. Man könnte das mit Kolmogorov-Smirnov überprüfen.Mittelwert der Differenzen -0,595, (s der Differenzen 0,779 , Streuung der Mittelwerte : 0,174)H0 : Stichprobe ist normalverteilt.Betrag der maximalen Differenz d max 1,7 Prüfwert: D dmax /n 0,085 Tabellenwert D 0,29 fürα 5%-- 0,085 0,29 n-verteilt in diesem Signifikanzbereich.5
Zwei Leichtathletikgruppen mit fünf bzw. sechs Leuten (n1 5, n2 6) machen einen Fitnesstest,nachdem sie ein unterschiedliches Wintertraining durchgeführt haben. Jeder Athlet kann bis zu 20Punkte erreichen. Unterscheiden sich die Gruppenmittel von 15 und 8 nur zufällig voneinander?(5-Prozentiges Signifikanzniveau einseitig)x1j 5 10 15 17 12x2j 6 679913Voraussetzungen prüfen:2 unabhg. Gruppen, kleine n, keine Normalverteilung zu sehen B29157B5162,5UA UB Testgröße UA 8 kleinere22tb5% einsA107MWMWB128A13911,88,33A1510171158 5, daher: Die Verteilungen sind gleich bei α 5%Man misst die Luftverschmutzung im Sommer 1 und im Sommer 2.Haben sich die Werte signifikant geändert? 5%.Voraussetzungen: 15 Werte 30 , abhg, metrisch, NV nicht gegeben, kein t-Test WilcoxonH0: die Messungen haben sich nicht signifikant geändert.STA9,2 8,7 10,9 8,6 8,1 7,2 6,7 7,6 5,265 6,9 6,8STB9,4 9,1 10,5 9,4 9,3 9,3 9,5 10,5 8,3 9,8 8,9 11,4 12diff-0,2 -0,4 0,4 -0,8 -1,2 -2,1 -2,8 -2,9 -3,1 -3,8 -3,9 -4,5 -5,2Beträge0,2 0,4 0,4 0,8 1,2 2,1 2,8 2,9 3,1 3,8 3,9 4,5 5,2Rangwerte1 2,5 2,5456789 10 11 12 13T117,5T 2,5TAB. 25Da Tab wert größer als Prüfwert ist H0, wonach beide Serien gleich sind zu verwerfen.Es gab signifikante Änderungen: Die Verschmutzung hat zugenommen.65,4 4,910,7 12,4-5,3 -7,55,3 7,514 15nA 15nB 15
Gegeben seien die Sprunghöhen in m von 5 Schülerinnen bei 2 Versuchen:S1: 1,42; 1,48; 1,49; 1,44; 1, 40S2: 1,33; 1, 31; 1,44; 1,48; 1,44a) Zusammenhang in einem Scatterplot und Berechnen der KorrelationHängt der Korrelationskoeffizient mit der Steigung der Regressionsgeraden zusammen?b) Prüfe die H0 : Die Mittelwerte beider Versuche unterscheiden sich bei α 5% nicht voneinander.Normalvoraussetzungen sind gegeben.c) Führe eine z-Transformation der Sprunghöhe 1 ,461,481,50Zeigt keinen guten ZusammenhangS1/S2y -0,3041x 1,8397R² 0,02421,50r 1,45sxy sx s y (xi x) (yi y) (xi x)² (yi ationskoeffizient:S1S2abw x²abw ,003060,00176-0,00048-0,0018432-0,1556 nahe bei 0 kein Zusammenhang, Abweichungen zufälligZusammenhang: Regressionsgerade ist fallend, wenn der Koeffizient negativ ist.7MW1,451,400,010,02-0,0018
b) Voraussetzungen: 2 abhäng. Proben mit kleinem n, normalverteilt t- Test für abhg. StichprobenS1S2differenzvar (d)stabw sDt-wertt-wert/4, 040,0018MW1,451,400,050,01Ho bleibt.Mittelwerte unterscheiden sich nicht bei 5% Signifikanz. Zufällige Abweichungen.c) z-Transformation von 1,29101,45 MW0,006 summe0,03872983 STABGegeben sind Mittelwerte und Standardabweichungen von Sprungweiten einer Gruppe von 60Personen an zwei verschiedenen Versuchstagen:1. Tag: Mittelwert 4,31 m, 2. Tag: Mittelwert 4,46 m. Die Standardabweichung der Differenzen derWertepaare beträgt 0,18.Stelle fest, ob sich die Mittelwerte der Sprungweiten an den beiden Tagen signifikant voneinanderunterscheiden bei (α 1%).Voraussetzungen: metrisch (intervall), 2 abhg. Stichproben, n 30, Mittelwerte bekannt, stabwbekannt t-TestH0: µ1 - µ2 0zweiseitiger Test, bei 0,005 links und rechtsmw1mw2mwd mw2-mw1!sDt 4,314,460,150,186,45497224Tabellenwert: f n-1 59t59; 0,99 zweis 2,66Prüfwert Tabellenwert H0 verworfen. Die Sprungweitenanden beiden Tagen unterscheiden sich signifikant bei α 1%8
Gegeben sind die Mittelwerte und die Standardabweichungen von Sprungweiten zweier Gruppenvon PersonenG1: 55 Personen, MW 4,21 m , Standardabw 0,32 mG2: 65 Personen, MW 4,46 m, Standardabw 0,32 mStellen Sie fest, ob die MW der Sprungweiten signifikant mit α 5% voneinander abweichen.Voraussetzungen. 2 unabhg STP, metrisch (intervallsk), n 30, t-Test, zweiseitigH0 : µ1 - µ2 0D 0,25 D 1 ² 2 ²0,32² 0,32² 0,0597n1n25560t D/ D 4,185ttabelle t (f 55 60-2), 0,025 ca. 1,98tprüf ttabelle H0 abgelehnt: die Sprungweiten weichen signifikant voneinander ab9
Es wurde untersucht, ob sich die bevorzugte Sportart in einen Zusammenhang mit dem Geschlechtstellen lässt:Männer : 28 Schilaufen, 43 SnowboardFrauen: 34 Schilaufen, 39 Snowboard.Voraussetzung: nominal skaliert, 2 unabh. Merkmale zu 2 Ausprägungen, Einzelhäufigkeiten großH0 : Sportwahl und Geschlecht hängen zusammen χ²-test – 4 Felder.schimannfraux²board2834624339820,74813365 x²(tabelle: f 1)71731445,024Prüfwert Tabellenwert. H0 bleibt: Männer bevorzugen snowboard gegenüber dem SchilaufFrauen nicht in diesem Ausmaß.Im Rahmen einer Untersuchung wurde eine bevorzugte Sportart gewählt:5 Männer wählen Tennis, 4 Squash, 8 Badmington, 7 Frauen wählten Tennis, 6 Squash, 4Badmington.Sind die Anwendungsvoraussetzungen für den χ²-Test erfüllt.Analyse der Angabe: n 20, k 3 Merkmalausprägungen T,S, B, 2 unabhängige Stichproben,nominalskaliert. Sicher keine Voraussetzungen für χ²- Test: kein Wert unter 2 erfülltmaximal 20 % unter 5: es sind von 6 Werten 2 unter 5: 2 / 6 33%,daher kann man den χ² - Test hier nicht nehmen.100 Studenten wurden zu Beginn und am Ende ihres Studiums nach Ihrem Rauchverhaltenbefragt.40 rauchten zu Beginn, am Ende 2060 rauchten nicht zu Beginn, am Ende 15.Hat sich die Anzahl von RaucherInnen signifikant verändert?Voraussetzungen: abhg, 2 Merkmale mit je 2 Kategorien, nominal MCNemar- χ²-Test- 2 seitig,5%b c 30H0 : Das Verhalten bleibt traucher45156535x²9,47x²Prüfwert als Tabellenwert H0 wird verworfenDas Verhalten hat sich signifikant geändert.104060100(f 1)5,024
120 Studenten befragt man nach Prüfungsschwierigkeit vor und nach der Prüfung. Hat diePrüfung zu einer signifikanten Meinungsänderung geführt? α 120x²(tabelle: f 1)5,024Hier ist MCNemar günstig.H0: Es gibt keine VeränderungPrüfwert Tabellenwert H0 wird verworfen:Die Prüfung hat eine Änderung der Meinung bewirkt.Vor der Prüfung fanden 83 es schwer, 37 leicht, nach der Prüfung 44 schwer und 76 leichtWechsel von Schwer auf leicht von 39 Personen.125 Studenten wurden befragt.Vor einer Prüfung: Prüfung schwierig? Nach der Prüfung: Prüfung 7Hat eine signifikante Meinungsänderung stattgefunden?Voraussetzungen: 2 dichotome Merkmale, nominal, abhängige Stichproben McNemar χ²zweiseitiger Test 5%, χ² 1, 97,5 5,04H0 : Keine Änderung vor und nachher: fb fevorherb c 30x² H1 : fb fenachherschwierignicht schw sumschwierig3514nicht schw.4927sum844119,1406254976125TabellePrüfwert größer als Tabellenwert: H0 wird verworfen. Es gibt eine Veränderung der Meinung:Laut Messdaten: Die Prüfung wird nachher als schwieriger empfunden.11
Es soll überprüft werden, ob eine Abhängigkeit der Blutgruppe von der Haarfarbe erkennbar ist:Messung.Rote Haare 7x A, 9x B, blond: 6x A, 6x B; braun: 5x A, 7x BVoraussetzungen, nominal, kleine Stichprobe: 2 unabhängige Merkmale A und B, 3 Kategorien ro,bl,br 2x3 –Felder-χ²H0 : Kein Zusammenhangχ²2, 97,5 9,35ABzsik(fik-zsik)²/zsikro79167,28,80,0060,0052 seitig, 5%bl66125,46,60,0670,055f (2-1)(3-1) 185Prüfwert als Tabellenwert. H0 bleibt, es besteht kein ZusammenhangEs wird überprüft, ob Studenten Tennis oder Tischtennis bevorzugen.56 Männer für Tennis, 24 Männer für Tischtennis46 weiblich für Tennis, 31 weiblich für TischtennisGibt es einen Zusammenhang zwischen Sportart und Geschlecht? α 1%Vorauss: nominal, Häufigkeiten, 2 Kategorien, 2 unabhg. Stichproben, keine NV χ² für unabhängige Stichproben, Vierfeldertafel, zweiseitiger Test 0,005 li, rechtsH0 : Es gibt keinen Zusammenhangχ² 1, 0,995 7,88Prüfgröße:TennisMannFraux² Tischt564610224315580771571,81463898Prüfgröße kleiner als Tabellengröße H0 bleibt, kein Zusammenhang Geschlecht und Sportarterkennbar.12
Gegeben sind die Körpergrößen von 5 SchülerInnen1,891,731,541,71,85a) Prüfe H0 : µ 1,66 m bei α 5%. Normalverteilung ist gegeben.b) Berechne den Variationskoeffizienten, Spannweite, Median und die 20% - 80% Perzentilen.z-Transformation des Maximumsa) Voraussetzung: n klein 30, normalverteilt, µ0 1,66, metrisch (intervallskal)t-Test, zweiseitig: t4, 0,025 2,78t ( ̅ – 1,66)² /(s/ 5)̅ 1,74s 0,1381,891,731,541,71,85 MW1,742med1,73st0,10887730,06175759Prüfgröße ist kleiner als Tabellengröße H0 bleibt:1,66 kann mit Signifikanz on 5% der Mittelwert der Grundgesamtheit sein.b) MedianVarKSpannw20%Perzentil80% Perzentil1,730,0790,351,6161,8260,13809417VarK ist Standardabweichung/Mittelwert13
Gegeben sind die Körpermassen mehrerer Personen am Beginn und am Ende einesKurprogramms.Leite die Geradengkleichung her, durch die die Masse am Ende aus der Masse zu Beginnabgeschätzt werden kann.Beginn xEnde yb 64,761,4cov x ,y (xi x) (yi y) sx ² (xi x)²y (xi-MW-x)(yi-MW-y)MultiplQuadrata b 70,968,271,570,471,768,382,682,2a y bx,a 0,336410,3212,1124,872 Sum106,5024 sum194,25166,808
Die Körpergrößen von Personen wurden im Alter von 60 Jahren und im Alter von 80 Jahrenerfasst. Man geht davon aus, dass ein linearer Zusammenhang besteht.60 jährige Körper x80 jährige Körper y167161Pearson Korrelationskoeff: r 172166sxy sx s y178171185178 (xi x) (yi y) (xi x)² (yi y)²Berechnung:b cov x ,y (xi x) (yi y) a y bxsx ² (xi x)²,60 jährige Körper80 jährige Körpersx redsy redsxy redr y a bxsx redb a 1789,5985,5MW x:Mw 212,256,2590,25sum181180178y 0,9337x 5,1354R² 6178180182184186Mit 60 Jahren x 192 cm groß: Sie wird mit 80 Jahren ungefähr y 0,99337. 192 5,1354 cmgroß sein.184,4 cm.15
Gegeben sind die Körpermassen am Beginn und Ende eines Kurprogrammsbeginn xende y87,688,276,774,375,973,269,767,476,576,4Bestimme die Prüfgröße für einen Test, mit dem man bestimmen kann, ob sich die Mittelwerteder Massen signifikant verändert haben. Normalverteilung.Ist ein einseitiger Test sinnvoll?Ein einseitiger Test ließe sich begründen, weil man die y-Werte fast durchgehend kleiner hat.abhg. metrische Daten, kleines n aber normalverteilt. Es eignet sich der t-Test für abhg.Stichproben.Ho : µ1 - µ2 0linksseitiger. Test bei α 5%, f 4t aus Tabelle: t 4, 0,05 0,11,63841,382,2971,34 2,13 Ho bleibt: 5%-Ablehnungsbereich bis -2,13, 1,34 liegt im Annahmebereich.Das bedeutet, es gibt eine signifikante Veränderung durch die Kur. Abnahme der Körpermasse.16
Ein Unternehmen will vor dem Kauf einer neuen Anwendung prüfen, welche von zweikonkurrierenden Anwendungen die bessere ist. Unter anderem wird die Zufriedenheit der Benutzergemessen. Die Ergebnisse eines Zufriedenheitsfragebogens zeigen bei den 120 Benutzern derAnwendung A eine Varianz von 95. Die Werte der 100 Benutzer der Anwendung B haben eineVarianz von 80. Die Präferenz des Unternehmens geht eindeutig zur Anwendung A, aus diesemGrunde wird eine Überprüfung auf Gleichwertigkeit vorgeschlagen.Voraussetzung: 2 unabhängige Stichproben sind bezüglich ihrer Varianzen zu vergleichen, Merkmalenicht metrisch, Normalverteilung nicht angesprochen, aber wohl vorauszusetzen.Ho : die beiden Varianzen sind gleich, bei α 5%.Nullhypothese:Alternativhypothese:Die Tabellengröße:Hier ist wegen der Präferenz von A ein einseitiger Test: größere Varianz in den Zähler!Freiheitsgrade: 119 und 99. ca 1,4Dieser F-Wert kommt unter der Nullhypothese aus einer F(119,99, 95%)-Verteilung.1,188 1,4 Die Nullhypothese wird nicht abgelehnt.Bei zwei Abfüllautomaten unterschiedlicher Art kann die jeweilige Füllmenge als normalverteiltangenommen werden. Es wird die Gleichmäßigkeit der Füllung überprüft. Man entnimmt jeweils 10Proben pro Automat in ml:auto1 10081004100110121002100410069991009996auto2 9959929981000995100210049979991002Lassen die beiden Stichprobenauf einen Unterschied bezüglich der Streuung der Abfüllmenge vomSollwert 1000 ml schließen? α 5%Voraussetzungen: 2 unabhg Stichproben ( 2 unterschiedliche Automaten, n1 n2 10, normalvert.,Prüfung von σ. F-Test, zweiseitiger TestTabellenwert: f1 9, f2 9,2,5% links und rechts F9,9,0,975 4,03Prüfwert: F s1² / s2² , Mittelwerte aus den Stichprobenauto11008 1004 1001 1012 1002 1004 1006999 1009auto2997995992998 1000995 1002 1004996 µ1 999 1002 µ2 1004998,41:(xi-µ1)² 15,21 0,01 9,61 62,41 4,41 0,01 3,61 26,01 24,01 65,61 sum 210,92:(xi-µ2)² 11,56 40,96 0,16 2,56 11,56 12,96 31,36 1,96 0,36 12,96 sum 126,40var123,43var214,04F 1,67Prüfwert Tabellenwert, H0 bleibt bei Signifikanz von 5%, Der Unterschied gilt als zufällig.17
Anhang: TabellenDie Flächen Φ der z-Verteilung: Standardnormalverteilungz x µ, negative z-Werte: Φ(-z) 1-Φ( z) 18
Einige Perzentile der Chi-Quadrat-Verteilung19
Einige Perzentile der Student-VerteilungEinseitige Fragestellung20
Zweiseitige Fragestellungff21
Quantile der F-Verteilung für 95% Sicherheit22
Quantile der F-Verteilung für 97,5% Sicherheit23
Es orientiert sich an der Statistik-Broschüre der Sportuni Wien (Baca u.a.), die ohne didaktischen Hintergrund den Umfang an Statistik-Wissen für die Studierenden festlegt. Voraussetzung für das Verständnis: Mathematik-Standardwissen nach Beendigung einer Höheren Schule (AHS, BHS).
Frauen auf der Suche nach Identität - der Erfolg der . Inhalt der Werbebotschaft, durch ihre Bildern, und sie hat bei den Frauen in den USA unerwartet viel Resonanz gefunden. So haben nach der ersten Veröffentlichung der 1989 neu ins Leben gerufenen » Women campaign«
2.2. Grendel in Der kleine Hobbit 2.3. Die Hölle von Grendel’s Mutter 2.4. Das Motiv des unterirdischen Kampfes in Der kleine Hobbit 2.5. Der Dieb, der Becher und der Drache 2.6. Der Dieb, der Becher und der Drache in Der kleine Hobbit 2.7. Das Beowulf - Motiv in Der Herr der Ringe 2.
VI Formelzeichen und Abkürzungen γM, f Teilsicherheits-Faktor des Werkstoffwiderstandes nach Eurocode 3 γF, f Teilsicherheits-Faktor der Beanspruchung nach Eurocode 3 ϕ1.7 dynamischer Faktor nach DIN EN 13001 ϕe Eigenlastbeiwert bzw. Eigenschwingbeiwert nach DIN 15018 κ Grenzspannungsverhältnis nach DIN 15018 ψ Hublastbeiwert nach DIN 15018 .
Statistik Inferensial Statistika inferensial: statistik yang digunakan untuk menggeneralisasikan data sampel terhadap populasi. Oleh karena itu terdapat nilai signifikansi (α). Statistik inferensial ada dua macam yaitu : 1. Statistik parametris: suatu uji yang modelnya menetapkan adanya syarat-syarat tertentu
1. Statistik dan Statistika Penelitian a. Statistik 1). Statistik adalah kumpyang bilangan maupun non bilangan yang disusun dalam table dan atau diagram, yang menggambarkan suatu persoalan. 2). Statistik adalah dalam arti sempit dapat di
Nasrul, S.Si Staf Pengembangan Standardisasi Statistik Shafa Rosea Surbakti, SST, M.Si. Staf Pengembangan Standardisasi Statistik Srie Pujiasmiati Staf Pengembangan Standardisasi Statistik Zelly Maylani Staf Pengembangan Standardisasi Statistik Yudhi Agustar Sanjaya, SST., M.Stat. Staf Pengembangan Klasifikasi Statistik
kleine berlin-statistik Introduction The »kleine berlin-statistik 2018« gives an initial overview of the data provided by official statistics. A similar brochure is avail-able for the federal state of Brandenburg (»kleine brandenburg-statistik 2018«). Both booklets are also published in Ger-man.
a group level, or would be more usefully reported at business segment level. In some instances it may be more appropriate to report separately KPIs for each business segment if the process of aggregation renders the output meaningless. For example it is clearly more informative to report a retail business segment separately rather than combining it with a personal fi nancial services segment .
