ALGEBRA SUPERIORALGEBRA SUPERIOR
ALGEBRA SUPERIORCAPÍTULO 1D iDesigualdadesld dM.I. ISIDRO I. LÁZAROCASTILLO
Aplicación Un estudiante debe mantener un promediofi l en cincofinaliexámenesáentret 80 y 90% paratener una nota final de B y mantener unabeca universitariauniversitaria. Si en los primeros cuatroexámenes obtuvo 96, 70, 81 y 95 ¿Quécalificación deberá obtener en el éxamenfinal para obtener una nota de B?
Para que sirven ? Una de las principales utilidades de lasd idesigualdadesld dessuaplicaciónliióalos problemas de decisión: se tratade programar una situación con el objetivodedecidirse por una alternativa quesea óptima.pEn ggeneral,, el pprocesodeoptimizarconsisteenlograrun resultado máximo o mínimo segúnconvenga al problema planteado.
Introducción a la teoría deConjuntos La primera formulación de la teoría de conjuntosaparece con los trabajos de George CantorCantor.La teoría de conjuntos trajo claridad y precisión en laexposiciónpde muchas teorías y áreas de lamatemática, como la teoría de las probabilidades, latopología, etc.
Conjuntos 1.2.Es una colección bien definida de objetos deun mismoititipo. A llos conjuntosj t se lles ddenotatcon letras mayúsculas A, B, E i t 2 fformas para escribirExistenibi llos conjuntos:j tForma tabularFt b l odde extensión.tióConstructiva o por compresión
Para escribir un conjunto usando la format b l se lilistantabular,t ttodosd sus elementosltseparados por comas y encerrados entrellaves {{ .}.}
Forma Tabular Se escribe el conjunto listado todos suselementos.ltEjemplo.- El conjunto de los primeros cinconúmerosúnaturalest l se pueded escribiribi como:A {1,2,3,4,5}
Forma constructiva Para escribir un conjunto por compresión ométodoét d constructivot ti se eligeli un elementoltarbitrario x y se señala que cumple lapropiedad P,P de la forma siguientesiguiente.A x p Esto se lee.lee “AA es el conjunto de todos loselementos x tales que cumplen la propiedadP.P”
EjemplosEjemplo.- El conjunto de los primeros cinco númerosenteros se puede escribir comocomo.A { es uno de los primeros cinco enteros positivos} {x N x 6 }Ejemplo - Escribir el siguiente conjunto en su forma deEjemplo.compresión o abstracción.A { -2,2 }Solución.- Obsérvese que se puede asociar esto a una raízcuadrada.A { x x 4 }2
CardinalidadHay conjuntos que tienen un número finito deelementos; estos se llaman conjuntos finitos en casocontrario se le llama conjunto infinito.El número de elementos de un conjunto finita es lo quese llama la cardinalidad de dicho conjunto. Lacardinalidad de un conjunto finito A se denota porCard(A).
Otros conjuntosConjunto vacío.- El conjunto vacío es aquel quecarece de elementos y se denota por { }}.Conjunto unitario.unitario - Un conjunto A es un conjuntounitario si tiene solo un elemento.Conjunto universal.- En cualquier aplicación de lateoría de conjuntos, los elementos de todos losconjuntos pertenecen usualmente a un granconjunto fijo llamado conjunto universal y se denotapor U.
Subconjuntos Subconjuntos.- Si cada elemento A es tambiénelemento de un conjunto B,B entonces se dice que Aes un subconjunto de B. Se dice también que A estácontenido en B o que B contiene a A. La relación desubconjunto viene dado por.-A B ó B A
Ejemplo.- Sean los conjuntos y establecer algunasrelaciones de subconjuntos entre ellosellos.A {1,2,3}B {2B{2,3,1}3 1}C {1,2,3,4,5,6}D { es entero positivo}Solución.- Escribiendo D en forma tabularD {1,2,3,4, }Así A B A B A C B C C D
Números naturales,naturales enterosenteros,racionales, irracionales y reales -El conjunto de los números reales esta formado porvarios conjuntos de númerosnúmeros, en particularparticular, losnúmeros reales se representan por símbolos como.2,0,-5,, , , , , 0.125,, , , , 0.6666 .Un número racional es aquel que se puede expresarcomo la razón de dos enteros de la forma a/b, dondea y b son enteros y b 00.1 4 0 3, , ,2 2 1 5- Un número irracional es aquel que no se puedeexpresar como la razón de dos enteros.
Diagramas de Venn Una representación gráfica de los conjuntosy ded llas relacionesl ientret ellosll vieneiddadad porlos llamados diagramas de Venn.
Intersección de Conjuntos La intersección de dos conjuntos A y B es elconjuntoj t fformadod por todost d losl elementosltcomunes a los dos conjuntos. Laintersección de A y B se denota por A B,B yen notación de conjuntos se escribe comoA B {x x A x B}
Unión de Conjuntos La unión de dos conjuntos A y B consta det d lostodosl elementoslt que pertenecentaAoaB, esta se denota como A B .A B x x A x B Donde.Dd significai ifi o
La recta numérica orden en losrealesLa recta de los números reales los divide en tresclases:Reales negativosnegativos.- Situados a la izquierda del origenorigen.Cero.- situado en el origenReales positivos.- situados a la derecha del origen.
Orden en los reales Sean a y b dos números reales. Si la diferencia a-bes positiva,positiva entonces decimos que a b (a mayor deb).De manera similar si a-b es ppositivo,, tambiénpodemos decir que b es menor que a y lodenotamos como b a.Por lo tanto a b y b a son proporcionesequivalentes.
Sobre la recta de los números reales, si a b, elpuntot con coordenadadd a estátá a lla dderechah ddellpunto con coordenada b.
Si la diferencia de dos números reales espositivaiti o cero, es ddecir,i sii a b ó a bb,entonces decimos que a es mayor que oigual a b y escribimos a b . De manera similarsimilar,a bsi, tambiénpodemos decir que b a .
Definición de Desigualdad Una desigualdad es una proposición deacuerdod con lla cuall una cantidadtid d reall esmayor o menor que otra.PProposicionesi idde lla fforma a b o b a sondenominadas desigualdades estrictas.Proposiciones de la forma a b o bb a sondesigualdades no estrictas.
Clasificación de desigualdades Desigualdad absoluta o incondicional: Esta esverdadera para todo número realreal.Y Desigualdades condicionales ó de inecuación:Está es verdadera sólo ppara los números de unsubconjunto propio del conjunto de reemplazo.x 2 x 1x2 0Desigualdades absolutas3x 7x 7 5D iDesigualdadesld d condicionalesdi il
Propiedades de las desigualdades1.- Axioma de tricotomía.- si a y b R entonces una ysólo una de las siguientes relaciones es válida [3][3].2.- Axioma de transitividad.- Si a, b y c R tal que a b y b c,, entonces a c.3.- Axioma de adición.- Si a, b y c R tales que a b,entonces:4.- Axioma de multiplicación.- Si a, b y c R tales quea b, entonces:i) si c 0 entonces ac bcii) si c 0 entonces ac bc
Solución de desigualdades El procedimiento para resolver desigualdadesconsiste en transformar la desigualdad un paso a lavez hasta que el conjunto solución sea obvio.1.- Se puede sumar el mismo número a ambos miembros de unadesigualdad.2.- Se pueden multiplicar ambos miembros de una desigualdadpor un número positivo sin alterar la desigualdad, pero si semultiplica por un negativo entonces se debe de cambiar elsentido de la desigualdad, tal y como se mencionó en elaxioma 3 inciso ii).
Representación de la solución
Desigualdades Lineales Ejemplo.- Encontrar y dibujar la grafica del conjuntosolución de la siguiente desigualdad.desigualdad3x 8 7SSumandod 8 a ambosb miembrosi bdde lla ddesigualdadild d3x 8 8 7 83x 15Multiplicando por133 x 15 33x 5
Representando la solución en notación deconjuntos.j x R x 5 En forma gráfica
Ejemplo.- Resolver la siguiente desigualdadd bldoble. 5 2 x 6 4Sumando -6 a cada miembro de la misma 5 6 2 x 6 6 4 6 11 2 x 2Multiplicando por 12 11 x 12
Desigualdades que incluyen lavariable en el denominador Ejemplo.- Encuentre el conjunto solución del dladesigualdad.ild d5 2xEn este caso debemos multiplicar ambos miembros de ladesigualdad por x, para ello debemos considerar dos casos, yaque el sentido de la desigualdad dependerá de que x seapositiva o negativa, por lo que al ser la incógnita deberáresolverse primero pensando en que x sea positiva yposteriormente en otro caso, obtener la solución cuando x esnegativa
Caso 1.- Si x es positiva, es decir,5 2xMultiplicando por x5 2xMultiplicando por 125 x2ox 52x 0.
De esta forma una posible solución a estadesigualdad se encuentre realizando la intersecciónsiguiente:Solución del Caso 1 {{Condición del caso 1}}{Solución parcial del caso 1}Aplicando esto en notación de conjuntos. x 0 x 5 0 x 2 5 2
Caso 2.- Si x es negativa, es decir, x 0 .Multiplicando a ambos miembros de la desigualdad porx e invirtiendo el sentido de la misma.5 2x5 2xMultiplicando por125 x2ox 52
El conjunto solución de la desigualdad para el caso2 eses. x 0 x 5 2 El conjunto solución de la desigualdad dada es launión de los conjuntos solución de los casos 1 y 2,el cual es:5 5 0 x x 0 x 2 2
Valor absoluto El valor absoluto de un número x se definecomo xx xPropiedadesi) x x xii) x x x y y xiii) x y x yxxx y x y y 0i )iv)yyv) x y x y desigualdad delsix essix es negativogtriangulopositivo
Desigualdades que involucranvalor absoluto Las desigualdades que incluyen la notaciónd valordel absolutob l t ttambiénbié puedend escribirseibien forma equivalente sin utilizar tal notación.Desigualades del tipo 1.1 A partir de la definición devalor absoluto.ax b csi c 0Tiene el mismo conjunto de solución que ax b cpara ax b 0ó ax b cpara ax b 0
Desigualdades del tipo 1 se convierte en dosdesigualdades separadasseparadas, por lo que el conjuntosolución de la desigualdad original es.{Solución de la desigualdad original} {Sol. de laprimera} {Solución de la segunda}
Desigualdad del tipo 2.- A partir de lad fi i ió ddefiniciónde valorl absolutob l tax b c(c 0)Es equivalente ax b c donde ax b 0Yax b cdonde ax b 0Si se multiplica la ec.ec (1) por -1,1 tenemos: ax b cEs equivalente a c ax b cpara (c 0)(1)(2)
Desigualdades del tipo 2 se convierte en unad bl Pdoble.Para obtenerbtlla soluciónl ió ttotalt lddebebrecordarse que la solución debe satisfacerambas desigualdades (originalmente era unadesigualdad doble), por lo que la soluciónserá:{Sol. de la desigualdad doble} {Sol. de laprimera}} {{Sol. de la segunda}pg}
Ejemplo.- Encuentre el conjunto solución del dladesigualdad.ild d2x 7 9Obsérvese que corresponde a la desigualdad de tipo 2.La desigualdad dada es equivalente a. 9 2 x 7 9 9 7 2 x 9 7 2 2 x 16 1 x 8
Ejemplo.- Encuentre el conjunto solución de lad idesigualdad.ld d3x 4 2obsérvese que corresponde a una desigualdad del tipo 1.De la primeraDe la segunda3x 2 43x 6x 63x 23x 2 43x 22x 3
Por lo que el conjunto solución es x x 2 2 x x 2 x x 3 3 o x x 2
Desigualdades polinomiales Desigualdades cuadráticas Una desigualdad equivalente a una de laforma, ax bx c 0 , ax bx c 0, ax bx c 0 ó ax bx c 0 sellaman desigualdades cuadráticas.2222
Ejemplo.- Encontrar la solución de lasiguientei i t ddesigualdad.ild dx 2 2 x 15El primer paso consiste en agrupar todos lostérminos de la desigualdad en un solo miembro de lamisma,, yay sea pasarptodos los términos en el ladoizquierdo o en el derecho, de tal manera que laexpresión algebraica se compara con cero.x 2 2 x 15 0
A continuación se procede a factorizar laexpresión x 3 x 5 0Puede observarse que la desigualdad se satisface siel producto de ambos factores es mayor de cero, esdecir si es positivo. Para que esto ocurra puedendarse dos combinaciones diferentes:Caso 1.Si x-3 0 y x 5 0Caso 2.Si x-3 0 y x 5 0
x 3 y x -5 x x 3 x x 5 x x 3 x 3 y x -5 x x 3 x x 5 x x 5 Finalmente el conjunto solución de la desigualdadoriginal es la unión de las soluciones obtenidas encada casocaso. x x 5 x x 3 x x 3ox 5
Método alternativo paradesigualdades polinomiales Ejemplo.- Considere la siguiented idesigualdad.ld dx2 2x 8 0Esto se puede factorizar como x 2 x 4 0Esta desigualdad se verá satisfecha si losfactores x 2 y x 4 son ambos positivos oambosb negativos.ti
Primero se localizan los factores de cada factor.- Posteriormente llenamos la tabla,
Por lo tanto la solución es , 2 4, x x 2 x x 4 x x 2ox 4
Desigualdad de orden superior Ejemplo.- Resolver la siguiente desigualdad. x 2 x 2 3x 4 0Solución.- Factorizando el factor cuadrático x 2 x 1 x 4 0
Eligiendo valores de prueba y probando cadaintervalo.intervaloPor lo tanto la solución es.- x x 4 x 1 x 2 x x 4o 1 x 2
Solución al problema inicial Un estudiante debe mantener un promediofi l en cincofinaliexámenesáentret 80 y 90% paratener una nota final de B y mantener unabeca universitariauniversitaria. Si en los primeros cuatroexámenes obtuvo 96, 70, 81 y 95 ¿Quécalificación deberá obtener en el éxamenfinal para obtener una nota de B?
Sacando el promedio de calificaciones96 70 81 95 x5 Aplicando las condiciones del problema80 96 70 81 95 x 905
Resolviendo la desigualdad doble400 342 x 450400 342 x 450 34258 x 108Por lo tanto el estudiante debe sacar al menos58 para mantener la beca
ALGEBRA SUPERIORCAPÍTULO 2NúNúmerosCComplejosl jM.I. ISIDRO I. LÁZAROCASTILLO
Porque estudiar w.metacafe.com/watch/6397638/ieee solutionists drive innovation/
Aplicaciones de los númeroscomplejos Que es un número complejox2 1 0x2 1i2 1
Diagrama de Árbol
Formas de representación Forma RectangularZ a parte real bib parte imaginaria Forma Polar Forma de EulerZ a bi r cos irsen Z rej e j Cos iSen
AplicacionesAliien losl SistemasSi tEléctricos de Potencia
Modelo de una línea detransmisiónZ L R iX LZL X LX L L
Generadores Eléctricos
http://www.edumediasciences a sinusoidalfasorModelo de generadoresV r cos isen V r V Vp
Fasor: animaciónhttp://www edumedia sciences com/es/a576 onda sinusoidal -sinusoidal-fasor
Ingeniería en Computación:Diseño de Software para análisis redes
Aplicacionespen Electrónica depotencia Control de motores
Aplicaciones en IngenieríaElectrónica: Diseño de FiltrosEl diagrama de Bode usa una representación en polar delvoltaje de salida (módulo y ángulo)
Actividad # 1 1.2.3. Responder las siguientes preguntas:Porque quiero estudiar Ingeniería (Eléctrica,Electrónica o en Computación).?Que entiendo por un número complejo?Que relación tienen los números complejoscon lal IIngenieríai í .?Realizar en una cuartilla (Entrega 27 deseptiembre de 2011)
Definición de Números Complejos Un número de la forma a bi, con a y b comoconstantest t realesl e i 1 , es llamadolld númeroúcomplejoZ a parte realbi parte imaginariaSi a es cero el número se reduce a unnúmero imaginario puropuro.Z biSi b 0b 0 se reduceda un númeroúreallZ a
Igualdad de dos númeroscomplejos Se dice que dos números complejos a bi yc didi son igualesil síí y sóloól si.ia c y b d
Operaciones entre númeroscomplejosSuma.- SiEntoncesZ1 a biyZ 2 c diZ1 Z 2 a bi c di a c i b d Resta.-Para restar dos números complejos, seguimosla reglaZ1 Z 2 a bi c di a c i b d
Ejemplos.- Efectuar las siguientesoperacionesientret númerosúcomplejos.l ja) 3 5i 2 3i b) 6 4i 3 6i Solución.a) 3 5i 2 3i 3 2 i 5 3 1 8ib) 6 4i 3 6i 6 3 i 4 6 3 2i
Multiplicación.-Para efectuar el producto ded númerosdosúcomplejosl j podemosdseguiri llasreglas de la multiplicación de dos binomios.Z1 Z 2 a bi c di ac adi bci bdi 2comoi 2 1Z1 Z 2 ac bd i ad bc
Complejo Conjugado Si Z a bi es un número complejo, entoncessu conjugado,jd ddenotadot d por Z a bi a bi ,*Ztambién se utiliza el símbolo .Por ejemplo.ejemplo SeaZ 2 , 3encontrariZ*Z * 2 3i 2 3iMultiplicación de un número complejo por suconjugadoSi Z a bi , entonces Z Z a bi a bi a abi abi b i*Z Z * a2 b222 2
División de números complejos.-Si Z a bi y Z c diEntonces ZZ ac dibi2112multiplicando y dividiendo por el complejo conjugado deZ1 a bi c di ac adi bci bdi 2 ac bd i bc ad 22Z 2 c di c dic dc2 d 2
Propiedad periódica de i
�merosúcomplejosl jyexprese el resultado en la forma a bi.1)(3 7i ) (5 3i ) ( 2 9i )2)(5 2i ) 23)(2 3i ) 3 2i 4 3i
Solución1.- (3 7i ) (5 3i ) ( 2 9i ) (3 5 2) i (7 3 9) 10 i2 (5 2i ) 2 (25 (2)(5)(2i ) 4i 2 25 20i 4 21 20i2. 2 3i 3 2i 6 4i 9i 6i 2 6 6 13i13i 4 3i4 3i3.34 3i4 3imultiplicando y dividiendo por el complejo conjugadode 4 3i .2 13i 4 3i 52i 39i 39 52i 39 52i 2 2 43i43i431692525
Representación Gráfica de losNúmeros Complejos Los números complejos se representangráficamenteáfit como puntost en ell planold undesistema rectangular de coordenadas.
Forma trigonométrica de unnúmero complejor a 2 b2 b tan 1 aEn donde:- La distancia r se le llama valor absoluto o módulo dea bi- El ángulo se llama amplitud o argumento
Para pasar un número de su forma polar arectangular.tla r cos b rsen por lo tantoZ a bi r cos irsen Z r cos isen A esta expresión se le llama forma trigonométrica deun númeroúcomplejol jZ rcis Z r
Ejemplo.- Exprese cada número complejo en su formapolara)b)c) a)2 2i 32i 8 3 8iSolución.- Aplicando las fórmulas paraconvertir un número de rectangular a polar.2 2i 3
utilizando Z rcis yD d a 2 y b 2Dondetenemos: tan 3r 2 2 32ba 2 4 12 4 2 3 1 tan tan 3 60 2 1 El ángulo también se puede escribir como positivo sise suman 360 , esto es 60 360 300
b)2iObsérvese que este caso la conversión es muysimple puesto que se trata de un número puramenteimaginario, por lo que su módulo es directamente elvalor de b y su ángulo es si b es positivo y en casoque b sea negativo.r 02 22 2 2 tan 1 90 0Z 2 c is 9 0
c) 8 3 8ir 8 3 2 8 2 8 2 3 8 30 180 210 8 3 tan 1 2 1 8 24 16
Ejemplo.- Convertir el siguiente númerocomplejol j dde su fforma polarl a rectangular.tlZ 5 cos150 isen150 Solución. 150r 5En este casoyComo se requiere convertir el número en su formaz a bi, entonces aplicamos la fórmula:a r cos b rsen
así tenemos:a 5 cos150 b 5sen150 por lo queZ 4.33 2.5i
Multiplicación y División de númerosComplejos en forma Polar Teorema.- El valor absoluto del producto ded númerosdosúcomplejosl j es iiguall all productod tde sus valores absolutos. La amplitud delproducto de dos números complejos es iguala la suma de sus amplitudes.Es decir,decir el producto de n númeroscomplejos está dado por.Z1 Z 2 Z n r1 r2 rn Cos 1 2 n iSen 1 2 n
Teorema.El valor absoluto del cociente de dosnúmeros complejos es el cociente de susvaloreslabsolutos.b l tLLa amplitudlit d ddell cocientei tes la amplitud del dividendo menos laamplitud del divisordivisor.Z1 r1 Cos 1 2 iSen 1 2 Z 2 r1
Ejemplos.- Realice las siguientes operaciones.a)b)4 Cos 225 iSen225 35 iSen13535 2 Cos90 iSen90 3 Cos135 4i 5 5i 21 C os 33 iSeniS 33
Solución.a)4Cis 225 4Cis 225 4Cis 225 2 Cis 0 3 2Cis90 3Cis135 2 3Cis 90 135 6Cis 225expresando el resultado en forma rectangular22Cis 0 33
b)4i 5 5i 20i 20i 2 20 20i 21Cis33 21Cis33 21Cis33 para efectuar la división realizamos unaconversión del numerador a su forma polarusando las relacionesr 20 20 22 28.284 20 135 20 tan 1
aplicando estos resultados28.284Cis135 1.346102 Cis21Cis33 o bien en forma rectangular 0.2790 279 1.316i1 316i
Forma de Euler o Exponencial deun Número ComplejoSeaZ re j conocida como forma de Euler o Exponencial de unnúmero complejocomplejo, donde:r es el módulo es la amplitude Cos iSen es la identidad de Eulerj
Interrelación entre las tres representacionesde un Número Complejo
Producto y Cociente en notaciónde EulerConsideremos ahora dos números complejosrepresentados en la forma de Euler y veamos laforma en que pueden multiplicarse y dividirse.Sea Z1 r1e j y Z 2 r2e j Realizando el producto12j 1j 2j ( 1 2 )Z1 Z2 rere rre1212Esto significagqque ppara multiplicarpdos números complejosp j enforma exponencial es igual que en polar, es decir, hay quemultiplicar los módulos y sumar los ángulos.
Consideremos ahora la división deZ1 r1e j 1 r1 j 1 2 ej 2Z 2 r2 er2Z1Z2Por lo que concluimos que para dividir dosnúmeros complejos representados en formad EulerdeE l bastab t didividiridi módulosód l y restartángulos (igual que en polar).
Potencia de un número Complejoen Forma de Euler Consideremos ahora el caso de elevar unnúmeroúcomplejol j a una potenciati n, para ellollconsideremos el número complejo z.Z re j calculemos ZnZ r ennj n r n e jn
Potencia de Números Complejosen forma Polar SiTeorema de MoivreZ r Cos iSen EntoncesZ n r n Cos(n ) iSen(n ) r n n
Ejemplo.- Encuentre las potencias indicadasen ell siguientei i t problema.blEExprese cadadresultado en forma rectangular. 2 Cos35 iSen35 8 Cos10 iSen10 3AplicandoAlid ell tteorema dde MoivreM it t all numeradortantodcomo al denominador 2 Cos35 iSen35 2 Cos 3 35 iSen 3 35 8Cis1051 Cos 8 10 iSen 8 10 1Cis80 Cos10 iSen10 833 8
efectuando la división 8Cis 105 80 8Cis 25 realizando la conversión a rectangular 7.25 i3.38
Raíz de un Número ComplejoTeoremaUn número complejo no nulo tiene n n-ésimasraíces dadas por la fórmula:n k 360 k 360 iSenZ r Cos nn ndonde k 0, 1 , 3, ., n-1
Ejemplo.- Encontrar las 5 raíces del siguiente númeroComplejo.Complejo5 16 16i 3Solución.- Expresando el número en forma polar,tenemos:r 16 16 32 2 32 16 3 60 180 120 16 tan 1
Las 5 raíces de5Z 16 16i 3son: 120 k 360 120 k 360 iSenZ 32 Cos 55 5Donde k 0, 1,2 ,3 4 por ser 5 raíces, cuandose asigne una valor de k se obtendrá una del 5 raíces.lasíPara k 0
Para k 0 120 120 Z 0 2 Cos iSen 2 Cos 24 iSen24 1.82 0.813i55 Para k 1 120 360 120 360 iSenZ1 2 Cos 2 Cos96 iSen96 0.219 i1.98955 Para k 2 120 2 360 120 2 360 Z 2 2 Cos iSen 2 Cos168 iSen168 1.956 0.415i55
Para k 3 120 3 360 120 3 360 iSenZ 3 2 Cos 2 Cos 240 iSen240 1 732i55 Para k 4 120 4 360 120 4 360 Z 4 2 Cos iSen 2 Cos312 iSen312 1.338 1.486i55
Representación gráfica de lasraíces360 n
REFERENCIAS[1] Algebra ElementalGordon FullerEd. CECSA[2] Algebra y Trigonometría con Geometría AnalíticaWalter FlemingPrentice Hall1991[3] PrecálculoMichael SullivanCuarta edición1997[4] AlgebraMax A. SobelSegunda EdiciónPrentice Hall
ALGEBRA SUPERIORCAPÍTULO 3P liPolinomiosiM.I. ISIDRO IGNACIO LÁZAROCASTILLO
Para que sirven ? En la Física.Sabemos que al suspender un peso de un resorte, estese alarga, ¿podríamos determinar la ley que rige estealargamiento, al menos para un determinado intervalo?Sería como tratar de expresar el alargamiento del resorteen función del tiempo.
En la Química.En el laboratorio de Química, ¿podemos estudiar latemperatura de una masa de agua con respecto altiempo en que es sometida al calor? Se trata derelacionar la temperatura en función del tiempo.
En la Economía.Un investigador suele expresar: el consumo enfunción del ingreso, también la oferta en funcióndel precio, o el costo total de una empresa enfunción de los cambios de producción, entre otrosmuchos ejemplosdonde se analiza cómo secomporta una variable en respuesta a los cambiosque se producen en otras variables.
Aplicaciones en Ingeniería Las funciones polinomiales se pueden usarpara describirdibi lla ttrayectoriat i dde objetosbj t ttaleslcomo de una montaña rusa o un cohete.
Definición Un polinomio tiene la forma.f ( x ) an x n an 1 x n 1 a1 x a0Donde los coeficientes a0, a1, , an son números oconstantes (estos números pueden ser reales,imaginariosgo nulos)) y los exponentespde lasvariables como n, n-1, n-2, etc. Son enteros nonegativos.
Raíces Un valor de x que satisface a la ecuación esllllamadod una raízí o soluciónl ió ddell polinomio.lii Elvalor de n especifica el grado del polinomio.
Teorema del residuo Si un número r se sustituye por x en elpolinomiolii y f ( x); ell valorl asíí obtenidobt id f(r)f( ) esigual al valor del residuo al calcular elcocientef ( x) f ( x) d ( x) x r
Ejemplo.- Determinar el residuo que seobtienebtiall dividirdi idi ell polinomiolii f ( x) x 3x 5entre x 2 .32podemos utilizar la división tradicional de polinomiospara calcular el residuo.x 5 x 102x 2 x3 3x 2 5 x3 2 x 25x2 5 x 2 10 x10 x 5 10 x 2015Re siduo
Utilizando el teorema del residuo, el valor delresiduoid es ell valorl obtenidobt id all evaluarlllafunción en f(r).x r x 2 r 2f (2) 2 3 2 5 8 12 5 1532
Teorema del Factora)b)Si f(x) es un polinomio; r un número, yf( ) 0 entoncesf(r) 0,t( ) es un factor(x-r)f t ded f(x).f( )Si (x-r) es un factor del polinomio f(x),entoncestf( ) 0f(r) 0.
Ejemplo.- Determinar si (x 2) es un factor def ( x) x 4 x 3x 2 .32Utilizando el teorema del factor, evaluamos elpolinomiolii en x -2.2f ( 2) ( 2)3 4( 2) 2 3( 2) 2 8 16 6 2 0Como el residuo es 0,, x 2 es un factor de f(x).( )
División SintéticaEs una operación ampliamente usada en ladeterminación de las raíces de un polinomio,polinomio esdividir un polinomio f(x) por una expresión lineal dela forma x-r.Ejemplo .- Determinar si (x-2)es un factor de f ( x) x 3x 6 x 8Utilizando el teorema del factor. 32 1 3 6 8Por división sintéticaEl cociente es con R 02 10 81 5 4 0 ReR siduoid2
Ejemplo .- Demostrar que 2-3i es una raíz dex 4 10 x 3 50 x 2 130 x 169 0Solución.- En este caso r 2-3i.2 3i1 1050 1301692 3i 25 18i 104 39i 1691 8 3i 25 18i 26 39i 0 Como R 0 entonces 2-3i es una raíz del polinomio,el estudiante puede comprobar que 2 3i (complejoconjugado de 2-3i) también es raíz del polinomio.
Teoremas concernientes a raíces Teorema 1.- Cada polinomio f(x) de gradopueded ser expresadod como ell productod t dde nfactores linealesn 1Es decir si f ( x ) a x a x a x a con . aEntonces f(x) lo podemos expresar como:nnn 1100 0f ( x) a0 x r1 ( x r2 ) ( x rn )Los números r1, r2,. ,rn (raíces del polinomio) pueden serdistintos ó incluso imaginarios. Además ciertos factores puederepetirse.
Teorema 2.- Toda Ecuación polinomialf( ) 0 def(x) 0d gradod n tienetiexactamentett nraíces.TTeorema3 Si f(x)3.f( ) es un polinomiolii concoeficientes reales y a bi (a,b númerosreales) es un cero (raíz) de f(x),f(x) entonces abi es también un cero de f(x).
Teorema 4.Si un polinomio es de grado non (impar),debe tener al menos una raíz real.Si un polinomio es de grado par puede notener raíces reales.
Ejemplo.- Resolver la ecuación f ( x) xsii -44 y 1 son raícesíddell polinomio.lii4 2 x3 9 x 2 2 x 8Solución.- Usando el teorema del factor, si r 1 esuna raíz de f(x),f(x) entonces (x-1)(x 1) es un factor de f(x).f(x)Aplicando división sintética.1 1 2 9 2 81 3 6 81 3 6 8 0
Donde q( x) x 3x 6 x 8 (cociente), así f(x)pueded expresarse como.32f ( x ) ( x 1) x 3 3 x 2 6 x 8 La otra raíz dada es -4; se deduce que (x 4)es un factor de f(x). Dado que f ( x) ( x 1) x 3x 6 x 8 0 ,(x 4)seráá ffactort deld l polinomiolii q( x) x 3x 6 x 8 .3322
Aplicando la división sintética a la ecuaciónreducida.d id 4 1 3 6 8 4 4 81 1 2 0Asíq2 ( x ) x 2 x 2Escribiendo f(x) en forma factorizada.f ( x) ( x 1)( x 4)( x 2 x 2)
Los otros 2 factores pueden obtenerse aplicandofactorización a la ecuación cuadráticacuadrática.x 2 x 2 ( x 2)( x 1)Finalmente:f ( x ) ( x 1)( x 4)( x 2)( x 1)Por lo que las raíces del polinomio son:x 1, x -4, x 2, x -1
Métodos para determinar lasraíces de un polinomio Teorema de la raíz racionalf (x) anxn an 1xn 1 ax1 a0a0( 0Sea) un polinomio de nésimo grado con coeficientes enteros. Si es unaraíz racional de , dondeestá en la mínimaexpresión; entonces p es un factor de a0 y q es unfactor de an .
Ejemplo.- Encontrar las raíces racionales de:f ( x) 4 x 3 16 x 2 11x 10 0Factores de p 1, 2, 5, 10Factores de q 1, 2, 4Por lo que las posibles raíces racionales sonp 1 1,1 2,2 5,5 10,10 q 2 52 14 54Ordenando las posibles raíces racionalesp 1155 , , 1, , 2, , 5, 10q 4242
Iniciando la búsqueda del lado negativo 144 16 11 101761 61661 994 174 16 1 124 16 11 10 2 9 104 18 20 0
Como se ha determinado una raíz en x 12 , sepueded usar ell polinomiolii
2.- Se pueden multiplicar ambos miembros de una desigualdad por un número positivo sin alterar la desigualdad, pero si se multiplica por un negativo entonces se debe de cambiar elmultiplica por un negativo entonces se debe de cambiar el sentido de la desig
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