23 Résolution De Problèmes à L'aide De Matrices

Leçon n 23Résolution de problèmes à l’aide dematricesNiveauPrérequisRéférences9Terminale ES(définition d’une matrice, opérations sur les matrices), fonction dérivée, intégrales, résolution d’un système d’équations, utilisation d’un logiciel de calculformel[5], [70], [71]Proposition : Mettre la section 23.1 comme prérequis.23.1 Matrices et opérations sur les matrices23.1.1 Définition d’une matriceSoit n et p deux entiers naturels non nuls. On appelle matrice réelle àn lignes et p colonnes la donnée d’un tableau rectangulaire à n lignes et p colonnes composé denombres réelles appelés coefficients de la matrice.Une matrice à n lignes et p colonnes est dite matrice d’ordre (n, p) ou de dimension n p.L’ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients réels se note Mn,p (R).Définition 23.1 — Matrice. Exemple 23.2La matrice :A ! 1 72 42 3 πa 2 lignes et 3 colonnes donc A M2,3 (R). Le coefficient de la deuxième ligne et de la troisièmecolonne est a23 π. Soit A Mn,p (R). On appelle matrice transposée de A, notéeest la matrice obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A.Une matrice est dite carrée s’il a même nombre de lignes que de colonnes. L’ensemble desmatrices carrées d’ordre n à coefficients réels se note Mn (R).Définition 23.3 — Quelques matrices particulières.AT Exemple 23.4Soit la matrice : 3 8 Y 2, 5 9 4 7, 2Y est une matrice de dimension 3 2 : Y M3,2 (R).Sa matrice transposée est :! 32,5 4YT 89 7, 2Y T est une matrice de dimension 2 3 : Y T M2,3 (R).23.1.2 Égalité de matrices

10Leçon n 23 Résolution de problèmes à l’aide de matricesSoit A et B deux matrices. On dit que les matrices A et Bsont égales si :— A et B ont même dimension n p— pour tous i, j tels que 1 i n et 1 j p, aij bij .Définition 23.5 — Égalité de matrices. Exercice 23.6SoientA !3x0,2 2y 1B !120.2y x 5Déterminer x et y pour que A et B soient deux matrices égales. Dv Solution — 3x 12A B 2 2y x 2y 1 5n x 4y 3 Soient A et B deux matrices réelles de même ordre. On appelle somme de matricesA et B la matrice notée A B, de même ordre que A et B obtenue en ajoutant les coefficients situésen même position dans A et dans B.Définition 23.7R23.8Une matrice A de dimension n p est nulle si, pour tout 1 i n et 1 j p, aij 0.Soit A une matrice réelle et soit λ un nombreréel. On appelle produit de la matrice A par le réel λ la matrice notée λA, de même ordre que Aobtenue en multipliant chaque coefficient de A par le réel λ.Dans le cas où λ 1, la matrice A est appelée opposée de A.Définition 23.9 — Produit d’une matrice par un réel.Propriétés 23.10Soient A, B et C trois matrices de même ordre ; soit k et k 0 deux nombres réels :1. A B B A2. (A B) C A (B C)3. k(A B) kA kB4. k(k 0 A) k 0 (kA) (kk 0 )A23.1.3 Produit de deux matricesSoit A une matrice d’ordre n p et B une matrice d’ordre p r : A Mn,p (R) etB Mp,r (R).On appelle produit des matrices A et B la matrice C (cij )1 i n,1 j r définie coefficient parcoefficient par :Définition 23.11cij ai1 b1j ai2 b2j · · · aip bpj pXk 1aik bkj .

23.1 Matrices et opérations sur les matrices11La multiplication de deux matrices se fait selon le schéma suivant :R23.121. Le produit A B n’est défini que si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B.2. Il peut arriver que le produt A B soit réalisable alors que le produit B A ne l’est pas (problème dedimensions).3. Le produit de deux matrices n’est pas commutatif.Propriétés 23.13 Soient A, B et C trois matrices réelles ; si les opérations indiquées existent, alorson a les égalités :1. A (B C) A B A C2. (A B) C A C B C3. A (B C) (A B) C23.1.4 Le problèmeOn réalise le jeu suivant : on lance 4 fois de suite un dé équilibré. On multiple le résultat du premierlancer par 5, celui du deuxième par 10, celui du troisième par 15 et celui du quatrième par 20. Avecles valeurs obtenues, on retranche la deuxième à la première, on ajoute la troisième et on retranche laquatrième pour finir : on obtient le score pour la partie. Si l’on considère plusieurs joueurs, la personnequi obtient le score le plus élevé sur une série de 4 lancers est déclarée gagnante.1. On prend une partie de 5 joueurs. Construire la matrice des résultats affichés par le dé pourchacun des joueurs. On placera les résultats de chaque série ordonnée de 4 lancers en colonne,par joueur.2. Déterminer par un calcul matriciel le résultat de chacun des joueurs. Qui a gagné ?3. Quel est le score minimal possible à ce jeu ? Le score maximal.Dv Solution —1. On note tij (pour 1 i 5 et pour 1 j 4) le résultat du j e lancer du ie joueur. On

12Leçon n 23 Résolution de problèmes à l’aide de matricesaura alors la matrice : t11 t21 T t31 t41t512. Pour obtenir le score de chaque joueur,diagonale (5, 10, 15, 20) 5 0C 00t12t22t32t42t52t13t23t33t43t53 t14t24 t34 t44 t54on multiplie la matrice T par la matrice C deLa matrice T C sera donc de la forme : 5t11 5t21 P T C 5t31 5t415t5101000 0 00 0 .15 0 0 53 20t1420t24 20t34 .20t44 20t54Ensuite, pour obtenir le score final de chaque joueur, on multiplie la matrice P par lamatrice-colonne (vecteur) V : 1 ( 1) V 1 ( 1)Ainsi : 5t11 10t12 15t13 20t14 5t21 10t22 15t23 20t24 P V 5t31 10t32 15t33 20t34 . 5t41 10t42 15t43 20t44 5t51 10t52 15t53 20t543. Pour obtenir le score minimal de ce jeu, il faut maximiser les deuxième et quatrièmelancers et minimiser les premier et troisième lancers.smin 5 1 10 6 15 1 20 6 5 60 15 120 160.Pour obtenir le score maximal de ce jeu, il faut minimiser les deuxième et quatrièmelancers et maximiser les premier et troisième lancers.smax 5 6 10 1 15 6 20 1 30 10 90 20 90. 23.2 Résolution de systèmes d’équations23.2.1 Le problèmeUn client achète chez un traiteur deux bouchées à la reine au ris de veau et trois oeufs en geléepour 18, 70 e. Le client suivant prend une bouchée à la reine au ris de veau et deux oeufs en geléepour 10, 60 e.

1323.2 Résolution de systèmes d’équationsDéterminer le prix d’une bouchée à la reine au riz de veau et d’un oeuf en gelée.23.2.2 La théorieMatrices inversiblesDéfinition 23.14 — Matrice identité.La matrice In de dimension n n définie de la manière suivante : 1 0 ··· 0 1 · · ·In . . . . . .0 0 ···00 . . 1est appelée matrice d’identité d’ordre n.Soit A une matrice carrée d’ordre n. On dit que la matrice Aest inversible s’il existe une matrice carrée B d’ordre n telle que :Définition 23.15 — Matrice inversible.A B In .Soit A une matrice carrée d’ordre n. S’il existe une matrice carrée B d’ordre n telleque A B In , alors B est unique.B est appelée l’inverse de la matrice A et se note A 1 .Propriété 23.16Dv Démonstration — Supposons qu’il existe B et C carrées d’ordre n telle que A B A C In . On a a :B B In B (A C) (B A) C In C C. Résolution de systèmesPropriété 23.17 Tout système d’équations linéaires peut s’écrire sous forme matricielle. a x · · · a1n xn b1 11 1.ap1 x1 · · · apn xn bp a11 · · · .où A .ap1 · · · . AX B a1nb1x1. est la matrice du système B . et X . . . . . apnbpxnPour résoudre le sysètme précédent, si la matrice A est inversible, on a :AX B A 1 (AX) A 1 B.

14Leçon n 23 Résolution de problèmes à l’aide de matricesD’après l’associativité du produit matriciel :A 1 (AX) A 1 B (A 1 A) X A 1 B.Ainsi :In X X A 1 B.Et finalement : X A 1 B. On détermine ainsi aisément x et y à l’aide d’un calcul matriciel.Matrices inversibles 2 2 Propriété 23.18 — Admise. Soit A ac db une matrice 2 2. La matrice A est inversible si etseulement si ad bc 0. Si tel est le cas,A 1!1d b .ad bc c a23.2.3 Solution du problèmeDv Solution — On cherche :— x le prix d’une bouchée à la reine— y le prix d’un œuf en geléeOn doit résoudre le système matriciel suivant : 2 3x18, 70AX B .1 2y10, 60La matrice A est inversible car 2 2 3 1 1 et la matrice A 1 s’obtient de la manièresuivant : 2 1A 1 . 3 2On peut donc résoudre le système matriciel :AX B X A 1 B.On effectue le calcul :X A 1 B 12 218, 70 310, 60 18, 70 2 10, 602 18, 70 3 10, 60 2, 505, 60 23.3 Matrice de LeontiefDéfinition 23.19On considère n types de productions et ces consommations intermédiaires entreelles.On appelle coefficient technique le rapport entre la consommation intermédiaire d’un produit

1523.4 Courbes polynomialesRpar une branche et la production totale de la branche.Soit C la matrice des coefficients techniques cij (c’est une matrice carrée d’ordre n).On appelle matrice de Leontief la matrice L I2 C.23.201. Si L représente la matrice de Léontief d’un secteur d’activité, le terme d’indice (i, j) de la matrice L 1est le montant dont le secteur i doit augmenter sa production pour satisfaire à une augmentation de lademande finale d’une unité de la part du secteur j.2. Si le terme (i, j) de la matrice L 1 est nul, cela signifie que toute augmentation d’une unité de lademande du secteur no j n’influence pas la production totale du secteur no i.Exercice 23.21 On considère une économie fermée à deux secteurs dont on donne la matrice C descoefficients techniques,!0, 2 0, 1C 0, 3 0, 4 1. Calculer la demande finale correspondant à un niveau de production P ( 5030 ).2. Déterminer à l’aide d’une matrice inverse les niveaux de production nécessaires pour répondreà une demande finale D ( 20050 ). Dv Démonstration —1. La demande finale est donné par LP DF où L est la matrice de Leontief L I2 C.D’où : 1 0, 20, 1500, 8 0, 15043DF (I2 C) P .0, 31 0, 4300, 3 0, 630332. On doit résoudre le système matriciel suivant : 2000, 8 500, 3d’inconnue P . La matrice C D’où :0,8 0,1 0,3 0,6C 1 0, 1P0, 6est inversible car 0, 8 0, 6 0, 1 0, 3 6 0. 4 293 13 169On peut ainsi déterminer les niveaux de production : 4 2300 2920039P 50 13 16 40099 23.4 Courbes polynomialesD’après BAC Pro Aéronautique 2008Après arrêt d’un moteur turbo propulseur, l’hélice d’un avion continue de tourner librement jusqu’à son arrêt. Son mouvement est un mouvement de rotation uniformément décéléré. Le nombre de

16Leçon n 23 Résolution de problèmes à l’aide de matricestours N effectués en fonction du temps t (en secondes) est donné par N f (t) at2 bt, où a et bsont des réels à déterminer et t [0 , 72.5].1. Sachant que l’hélice étudiée effectue 250 tours en 20 secondes et 510 tours en une minute,déterminer le système d’équations d’inconnues a et b correspondant à ces données.2. Résoudre ce système à l’aide d’un calcul matriciel et en déduire l’expression de f (t).3. On admet que la fréquence de rotation de l’hélice est donnée par la dérivée f 0 de la fonction f .Déterminer f 0 (t) pour t [0 , 72.5], puis déterminer le nombre de tours effectués par l’hélicejusqu’à son arrêt.Dv Solution —1. Avec les données, on doit résoudre le système d’équations (d’inconnues a et b) suivant :(400a 20b 2503600a 60b 5102. La résolution du système d’équations est équivalente à la résolution du système matricielsuivant : 400 20a250AX B 3600 60b510La matrice A est inversible car 400 60 3600 20 6 0 et 11 800 2400 1A .31 12040On a alors :X A 1 B 1a 800 3b40124001 120 1 250 10 295102On en déduit une expression de f (t) :f (t) 1 2 29t t.1023. La fonction dérivée de f se calcule facilement :f 0 (t) 229t ,102pour tout t [0, 72.5]La fréquence devient nulle quandf 0 (t) 0 229290t 0 t 72, 5,1024c’est-à-dire que les hélices s’arrêtent à t 72, 5. Le nombre de tours d’hélices effectuéspar l’hélice jusqu’à son arrêt est donnée par :Z072,5f (t) dt Z072,5 1 2 29t t dt102