Modelselectie - 2de Bach. In De Biologie, Chemie .
ModelselectieLieven Clement2de bach. in de Biologie, Chemie, Biochemie en Biotechnologie en BiomedischeWetenschappenstatOmics, Ghent Universitylieven.clement@ugent.be1/56
Automatische selectieprocedures12De uitkomst op basis van de predictoren te voorspellenAssociaties tussen de uitkomst en predictoren te beschrijvenGeobserveerde dataset (steekproef) gebruiken om tot een model tekomen dat ruimer toepasbaar is dan enkel op de geobserveerde data.Geselecteerde model moet toepasbaar zijn op ruimere populatiewaaruit de steekproefdata bekomen is en waarop de onderzoeksvraagvan toepassing is.statOmics, Ghent Universitylieven.clement@ugent.be2/56
ModelselectieMethode voor het selecteren van model dat best geschikt is voorbeantwoorden van onderzoeksvraagWe beperken ons tot meervoudige lineaire regressiemodellen waarinsommige van de p 1 effecttermen interactietermen voorstellen.Het totaal aantal mogelijke modellen is dan (zonderhiërarchie-restrictie) 2p 1We onderscheiden de volgende algemene procedures:12Alle mogelijke modellen worden geëvalueerd. Deze methode zal enkelhaalbaar blijken als het aantal kandidaat modellen niet te groot is.Niet alle modellen worden geëvalueerd (stapsgewijze procedures):Initialisatie met een modelRegel en een evaluatiecriterium om pad doorheen modelruimte tebepalenHiërarchisch modelleren als we interactietermen toelaten: hogere ordeterm (vb. interactie) nooit in model zonder lagere orde termen (vb.hoofdeffecten).statOmics, Ghent Universitylieven.clement@ugent.be3/56
Modelselectie op basis van hypothesetestenVoorbeeld: lpsa waarbij lcavol, lweight en svi als predicoren wordentoegelaten, alsook alle paarsgewijze interactietermen. Drie strategieën:123Voorwaartse modelselectieAchterwaartse modelselectieStapsgewijze modelselectiestatOmics, Ghent Universitylieven.clement@ugent.be4/56
Voorwaartse modelselectie123Start met het minimale model m1 met enkel het interceptTest voor alle modellen met slechts 1 predictor (er zijn dus p 1dergelijke modellen) of de toegevoegde regressor significantverschillend is van 0 op het αIN significantieniveau.Indien geen enkele van de p-waarden kleiner is dan αIN , stop deprocedure. Het finale model is het minimale model m1 ,Yi β0 i45met i i.i.d. N(0, σ 2 ).Indien er minstens 1 p-waarde kleiner is dan αIN , selecteer het modeldat overeenkomt met de kleinste p-waarde. Dit model wordt m2genoemd.Stel k 2.statOmics, Ghent Universitylieven.clement@ugent.be5/56
67Definieer de verzameling van modellen met 1 predictor toegevoegdaan mk . Test dat de parameter van de toegevoegde regressorsignificant verschillend is van 0 op het αIN significantieniveau.Indien geen enkel van de p-waarden kleiner is dan αIN , stop deprocedure. Het finale model isXYi β0 βj xij ij mk89met i i.i.d. N(0, σ 2 ).Indien er minstens één p-waarde kleiner is dan αIN , selecteer hetmodel dat overeenkomt met de kleinste p-waarde. Dit model wordtmk 1 genoemd.Verhoog k met 1 (i.e. k k 1) en ga naar stap 6statOmics, Ghent Universitylieven.clement@ugent.be6/56
Voorbeeld voor lpsa.We laten interactietermen toeModelbouw moet zich houden aan hiërarchie van hoofd- eninteractietermenWe stellen αIN 5%.We starten van model zonder predictorm1 - lm(lpsa 1, data prostate)add1(m1,scope lweight lcavol svi lweight:lcavol lweight:svi lc######################Single term additionsModel:lpsa 1Df Sum of SqRSSAIC F valuePr( F) none 127.918 28.838lweight 116.041 111.877 17.841 13.621 0.000373 ***lcavol169.003 58.915 -44.366 111.267 2.2e-16 ***svi141.011 86.907 -6.658 44.830 1.499e-09 ***--Ghent UniversitySignif. codes:statOmics,0 '***'0.001lieven.clement@ugent.be'**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 7/56' '
m2 - update(m1, . lcavol)add1(m2,scope lweight lcavol svi lweight:lcavol lweight:svi lc####################Single term additionsModel:lpsa lcavolDf Sum of SqRSSAIC F valuePr( F) none 58.915 -44.366lweight 15.9484 52.966 -52.690 10.5567 0.001606 **svi15.2375 53.677 -51.397 9.1719 0.003172 **--Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' 'statOmics, Ghent Universitylieven.clement@ugent.be8/56
m3 - update(m2, . lweight)add1(m3,scope lweight lcavol svi lweight:lcavol lweight:svi lc####################Single term additionsModel:lpsa lcavol lweightDf Sum of SqRSS none 52.966svi15.1814 47.785lweight:lcavol 10.1222 52.844--Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**'statOmics, Ghent UniversityAIC F valuePr( F)-52.690-60.676 10.084 0.002029 *-50.9140.215 0.6439620.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' 'lieven.clement@ugent.be9/56
m4 - update(m3, . svi)add1(m4,scope lweight lcavol svi lweight:lcavol lweight:svi lc##################Single term additionsModel:lpsa lcavol lweight sviDf Sum of SqRSS none 47.785lweight:lcavol 10.36606 47.419lweight:svi11.16445 46.621lcavol:svi10.02433 47.761statOmics, Ghent UniversityAIC F value Pr( F)-60.676-59.422 0.7102 0.4016-61.069 2.2979 0.1330-58.725 0.0469 0.8291lieven.clement@ugent.be10/56
all:lm(formula lpsa lcavol lweight svi, data prostate)Residuals:Min1Q-1.72966 ts:Estimate Std. Error t value Pr( t )(Intercept) -0.268070.54350 -0.493 0.62301lcavol0.551640.074677.388 6.3e-11 ***lweight0.508540.150173.386 0.00104 **sviinvasion 0.666160.209783.176 0.00203 **--Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' 'Residual standard error: 0.7168 on 93 degrees of freedomstatOmics, Ghent UniversityMultiple R-squared:0.6264, lieven.clement@ugent.beAdjusted R-squared: 0.614411/56
Achterwaartse modelselectieAchterwaartse modelselectie ook achterwaartse eliminatie genoemd(Engels: backward elimination).Procedure start van het maximale modelGaat na welke predictoren uit het model kunnen worden verwijderd.statOmics, Ghent Universitylieven.clement@ugent.be12/56
12345Start met het maximale model m1 met alle p 1 regressorenBouw alle modellen waar 1 predictor wordt weggelaten en ga via eenF-test na of het verwijderen van de predictoren significant is op hetαOUT significantieniveau. Merk op dat deze test in model m1 moetuitgevoerd worden.Indien geen enkele van de p-waarden groter is dan αOUT , stop deprocedure. Het finale model is het maximale model m1 .Indien er minstens één p-waarde groter dan αOUT is, selecteer hetmodel dat overeenkomt met de grootste p-waarde. Dit model wordtm2 genoemd.Stel k 2statOmics, Ghent Universitylieven.clement@ugent.be13/56
6789Bouw alle modellen waar 1 predictor wordt weggelaten uit mk en gavia een F-test na of het verwijderen van de predictoren significant isop het αOUT significantieniveau. Merk op dat deze test in model mkmoet uitgevoerd worden.Indien geen enkel van de p-waarden groter is dan αOUT , stop deprocedure. Het finale model is mkIndien er minstens één p-waarde groter is dan αOUT , selecteer hetmodel dat overeenkomt met de grootste p-waarde. Dit model wordtmk 1 genoemd.Verhoog k met één (i.e. k k 1) en ga naar stap 6.statOmics, Ghent Universitylieven.clement@ugent.be14/56
alphaOut - 0.05m - lm(lpsa lweight lcavol svi lweight:lcavol lweight:svi lcavodropHlp -drop1(m,test "F")dropHlp####################Single term deletionsModel:lpsa lweight lcavol svi lweight:lcavol lweight:svilcavol:sviDf Sum of SqRSSAIC F value Pr( F) none 46.478 -57.365lweight:lcavol 10.00012 46.479 -59.365 0.0002 0.9878lweight:svi10.87404 47.353 -57.558 1.6925 0.1966lcavol:svi10.14093 46.619 -59.071 0.2729 0.6027statOmics, Ghent Universitylieven.clement@ugent.be15/56
while (sum(dropHlp[,6] alphaOut,na.rm TRUE)){dropVarName -rownames(dropHlp)[which.max(dropHlp[,6])]m - update(m,as.formula(paste(" .-",dropVarName)))dropHlp -drop1(m,test "F")print(dropHlp)}statOmics, Ghent Universitylieven.clement@ugent.be16/56
################Single term deletions####################Single term deletionsModel:lpsa lweight lcavol svi Df Sum of SqRSS none 46.479lweight:svi 11.2820 47.761lcavol:svi10.1419 46.621lweight:svi lcavol:sviAIC F value Pr( F)-59.365-58.725 2.5100 0.1166-61.069 0.2778 0.5994Model:lpsa lweight lcavol svi lweight:sviDf Sum of SqRSSAIC F valuePr( F) none 46.621 -61.069lcavol128.1995 74.820 -17.184 55.6484 4.711e-11 ***lweight:svi 11.1644 47.785 -60.676 2.29790.133--Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' 'statOmics, Ghent Universitylieven.clement@ugent.be17/56
######################Single term deletionsModel:lpsa lweight lcavol sviDf Sum of SqRSSAIC F valuePr( F) none 47.785 -60.676lweight 15.8923 53.677 -51.397 11.468 0.001039 **lcavol128.0446 75.830 -17.884 54.581 6.304e-11 ***svi15.1814 52.966 -52.690 10.084 0.002029 **--Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' 'statOmics, Ghent Universitylieven.clement@ugent.be18/56
Stapsgewijze modelselectieCombinatie van voorwaartse en achterwaartse modelselectieIn elke stap zal eerst worden gekeken of een predictor kan wordentoegevoegd aan het model.Na toevoeging wordt vervolgens nagegaan of een predictor kanworden verwijderd van het model.Kan starten van het maximale of het minimale model.We implementeren de methode, startende van het minimale model.statOmics, Ghent Universitylieven.clement@ugent.be19/56
alphaIn - alphaOut - 0.05m - lm(lpsa 1 ,prostate)notConverged - TRUEwhile (notConverged){addHlp - add1(m,scope lweight lcavol svi lweight:lcavol lweight:svi lcavol:svi,test "F")print(addHlp)addVarName -rownames(addHlp)[which.min(addHlp[,6])]if ((sum(addHlp[,6] alphaIn,na.rm TRUE)) 0)m - update(m,as.formula(paste(" . ",addVarName)))dropHlp -drop1(m,test "F")print(dropHlp)if ((sum(dropHlp[,6] alphaOut,na.rm TRUE)) 0)m - update(m,as.formula(paste(" .-",dropVarName)))if ((sum(addHlp[,6] alphaIn,na.rm TRUE) sum(dropHlp[,6] alpnotConverged - TRUE else notConverged - FALSE}statOmics, Ghent Universitylieven.clement@ugent.be20/56
######################Single term additionsModel:lpsa 1Df Sum of SqRSSAIC F valuePr( F) none 127.918 28.838lweight 116.041 111.877 17.841 13.621 0.000373 ***lcavol169.003 58.915 -44.366 111.267 2.2e-16 ***svi141.011 86.907 -6.658 44.830 1.499e-09 ***--Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' 'statOmics, Ghent Universitylieven.clement@ugent.be21/56
##################Single term deletionsModel:lpsa lcavolDf Sum of SqRSSAIC F valuePr( F) none 58.915 -44.366lcavol 169.003 127.918 28.838 111.27 2.2e-16 ***--Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' 'statOmics, Ghent Universitylieven.clement@ugent.be22/56
####################Single term additionsModel:lpsa lcavolDf Sum of SqRSSAIC F valuePr( F) none 58.915 -44.366lweight 15.9484 52.966 -52.690 10.5567 0.001606 **svi15.2375 53.677 -51.397 9.1719 0.003172 **--Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' 'statOmics, Ghent Universitylieven.clement@ugent.be23/56
####################Single term deletionsModel:lpsa lcavol lweightDf Sum of SqRSSAIC F valuePr( F) none 52.966 -52.690lcavol158.910 111.877 17.841 104.549 2.2e-16 ***lweight 15.948 58.915 -44.366 10.557 0.001606 **--Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' 'statOmics, Ghent Universitylieven.clement@ugent.be24/56
####################Single term additionsModel:lpsa lcavol lweightDf Sum of SqRSS none 52.966svi15.1814 47.785lweight:lcavol 10.1222 52.844--Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**'statOmics, Ghent UniversityAIC F valuePr( F)-52.690-60.676 10.084 0.002029 *-50.9140.215 0.6439620.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' 'lieven.clement@ugent.be25/56
######################Single term deletionsModel:lpsa lcavol lweight sviDf Sum of SqRSSAIC F valuePr( F) none 47.785 -60.676lcavol128.0446 75.830 -17.884 54.581 6.304e-11 ***lweight 15.8923 53.677 -51.397 11.468 0.001039 **svi15.1814 52.966 -52.690 10.084 0.002029 **--Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' 'statOmics, Ghent Universitylieven.clement@ugent.be26/56
##################Single term additionsModel:lpsa lcavol lweight sviDf Sum of SqRSS none 47.785lweight:lcavol 10.36606 47.419lweight:svi11.16445 46.621lcavol:svi10.02433 47.761statOmics, Ghent UniversityAIC F value Pr( F)-60.676-59.422 0.7102 0.4016-61.069 2.2979 0.1330-58.725 0.0469 0.8291lieven.clement@ugent.be27/56
######################Single term deletionsModel:lpsa lcavol lweight sviDf Sum of SqRSSAIC F valuePr( F) none 47.785 -60.676lcavol128.0446 75.830 -17.884 54.581 6.304e-11 ***lweight 15.8923 53.677 -51.397 11.468 0.001039 **svi15.1814 52.966 -52.690 10.084 0.002029 **--Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' 'statOmics, Ghent Universitylieven.clement@ugent.be28/56
OpmerkingenProstaat voorbeeld: De drie methoden resulteerden in hetzelfde finalegeselecteerde model (met enkel hoofdeffecten van lcavol, lweight ensvi). In het algemeen leiden de drie methoden niet noodzakelijk toteenzelfde finale model.De p-waarden in het geselecteerde model mogen niet geïnterpreteerdworden.We hebben immers meerdere hypothese testen uitgevoerd om tot ditmodel te komen.Bovendien zorgt de modelselectie ervoor dat enkel “significante”termen in het finale model staan; de selectieprocedure is dus eendoelbewuste aanrijkingsprocedure.Definitie van de p-waarde: de kans onder H0 dat de teststatistiek“door zuiver toeval” minstens zo extreem is dan deze die waargenomenwerd.Door de aanrijking via de modelselectieprocedure, is het niet langer“zuiver toeval” dat de teststatistiek groter is dan de geobserveerde.statOmics, Ghent Universitylieven.clement@ugent.be29/56
Er is geen theoretische basis voor de selectieprocedure.Intuïtief lijkt de procedure zinvol omdat we gewend zijn ombeslissingen te nemen aan de hand van hypothesetesten, maarhypothesetesten zijn eigenlijk enkel geldig wanneer ze doelgerichttoegepast worden om een vooraf (i.e. voor het observeren van dedata) duidelijk omschreven onderzoeksvraag te beantwoorden.Bij modelselectie wordt het pad doorheen de modellenruimte bepaalddoor de geobserveerde data, waardoor de p-waarden hun betekenisverliezenHypotheses worden niet vooraf door de onderzoekers geformuleerd,maar ze worden door de data bepaald.statOmics, Ghent Universitylieven.clement@ugent.be30/56
De analyse van lpsa in het vorige hoofdstuk zou ook als modelselectiekunnen worden bekeken.We startten met het model met de hoofdeffecten en metinteractietermen.Vervolgens werd getest of de interactieterm nul was.Indien de interactieterm niet significant was, dan werd dezeverwijderd en werden de hoofdeffecten getest.Dit lijkt op een achterwaartse modelselectie, maar in dat voorbeeldmoeten we de procedure interpreteren als een klassieke hypothesetest(voor interactie) waarvan de nulhypothese in de onderzoeksvraagverscholen lag en dus niet door de data gesuggereerd werd.In de oefeningensessies zullen we eveneens een alternatieve aanpakzien waarbij men het interactie-effect niet uit het model verwijderd engebruik maakt van contrasten om marginale effecten te schatten.statOmics, Ghent Universitylieven.clement@ugent.be31/56
Modelselectie voor predictieVoorbeeld: early drug developmentEffect van de werkzame stof (compound) op genexpressie.Dieper inzicht geven in werking en/of vroeg toxiciteit detecteren(toxicogenomics).Gewenste activiteit bepalen via bio-assay bv. bindingscapaciteit vande compound aan celwandreceptor (target, IC50 ).Vroege fase: 20 tot 50 compoundsO.b.v. in vitro resultaten beslissen hoe tot een betere compound tekomen (hogere on-target activiteit en minder toxiciteit).Kleine variaties in moleculaire structuur geven aanleiding tot variatiesin BA en genexpressies.Doelstelling: opstellen van een model dat toelaat de bioactiviteit (BA)te voorspellen aan de hand van genexpressies in een levercellijn.statOmics, Ghent Universitylieven.clement@ugent.be32/56
35 compounds getest op de genexpressie van levercellen.Levercellen werden gedurende 24 uur blootgesteld aan de compound,waarna genexpressie gemeten werd m.b.v. microarrays.On-target bioactiviteit van iedere compounds via een in-vitro bioassay(IC50 ).We beperken ons hier tot 10 genen (geselecteerd door hetonderzoeksteam op basis van a-priori kennis van de pathwaysbetrokken bij de ontwikkeling van de ziekte.statOmics, Ghent Universitylieven.clement@ugent.be33/56
mcx -read.table("dataset/mcx.txt",header 3456BAHOXB5PNISRATRX LOC100505650PLK1S1 DNAJ5.70 9.864744 9.421823 8.55766511.08555 8.892243 8.1985.87 9.847176 9.301424 8.55059111.18236 9.196701 8.3435.70 9.859438 9.360302 8.53660611.03822 8.903690 8.2315.54 9.862448 9.283498 8.53585410.98804 9.136609 8.2925.32 9.836761 9.309442 8.54352210.94489 8.855404 8.1975.73 9.848315 9.318502 8.54563511.01789 8.919469 8.272BSDC1FTSJ1YPEL18.848922 10.38470 8.2655899.022556 10.23077 8.4268568.888275 10.37585 8.2446178.985628 10.35854 8.2574268.832436 10.37179 8.2500758.864538 10.38892 8.280436statOmics, Ghent Universitylieven.clement@ugent.be34/56
plot(mcx)10.08.4 8.6 B58.89.1PNISR10.6 29.38.8ZFHX410.0 2statOmics, Ghent 2 8.4 8.635/56
Pp 1E[Y (X1 , . . . , Xp 1 )] β0 j 1 βj Xj .Hypothesetesten voor H0 : βj 0 gaan dus na of predictor Xj(conditioneel op de andere regressoren in het model) gerelateerd is totde gemiddelde uitkomst.Al dan niet verwerpen van H0 hangt niet enkel van werkelijke waardevan βj , maar ook van de kracht van de hypothesetest ensteekproefgrootte n.Hypothesetesten maken een afweging van de evidentie in de datategen/voor de gestelde hypotheses die betrekking hebben op degemiddelde uitkomst.Voor een goed predictiemodel is het minder belangrijk dat model dewerkelijkheid weerspiegeltHet is enkel belangrijk dat het model goede predicties geeft voorindividuele uitkomsten.Daarom gebruik maken van ander criterium dan statistischehypothese testenstatOmics, Ghent Universitylieven.clement@ugent.be36/56
Selectie-criteriumAanlokkelijk om R 2 te gebruikenMaar hoe meer predictoren er worden opgenomen hoe hoger R 2 wordt:R 2 1 SSE /SSTot SSR/SSTotR 2 zou dus steeds leiden tot meest complexe modelOverfitting: model sluit te goed aan bij de data en veralgemeent nietgoed naar nieuwe datastatOmics, Ghent Universitylieven.clement@ugent.be37/56
Akaike Information Criterium (AIC)AIC 2ln L(β̂0 , . . . , β̂p 1 , σ̂ 2 ) 2(p 1),Eerste term het natuurlijke logaritme is van likelihoodVoor een steekproef van n i.i.d. normaal verdeelde observaties metdichtheidsfunctie f (Yi xi1 . . . xip 1 , β0 , . . . , βp 1 , σ 2 ) en conditioneelPp 1gemiddelde E [Yi xi1 . . . xip 1 ] β0 j 1 βj xj gedefinieerd is als:L(β0 , . . . , βp 1 , σ 2 ) nYf (yi . . . xip 1 , β0 , . . . , βp 1 , σ 2 )i 1De likelihood geeft dus weer hoe waarschijnlijk het is om de data teobserveren onder het normale regressiemodel.Voor Normale lineaire regressie model kunnen we aantonen dat 2ln L(β̂0 , . . . , β̂p 1 , σ̂ 2 ) evenredig is met SSE.Tweede term straft af voor model complexiteit: p parameters voorgemiddelde 1 parameter voor variantie (MSE)statOmics, Ghent Universitylieven.clement@ugent.be38/56
AIC 2ln L(β̂0 , . . . , β̂p 1 , σ̂ 2 ) 2(p 1),Data analysist zal verschillende kandidaat modellen met elkaarvergelijken.Model geselecteren waaronder het zo waarschijnlijk mogelijk is om degeobserveerde data te trekken in een steekproef (eerste termminimaal, SSE zo laag mogelijk), maar zonder dat demodelcomplexiteit daarbij te hoog wordt (tweede term).AIC zo laag mogelijk!Opnieuw kan men gebruik maken van voorwaarts, achterwaartse ofstapsgewijze modelselectie.statOmics, Ghent Universitylieven.clement@ugent.be39/56
Voorwaartsm1 - lm(BA 1,mcx)mfull - lm(BA .,mcx)mForward - step(m1,scope formula(mfull),direction "forward")statOmics, Ghent Universitylieven.clement@ugent.be40/56
Start:BA 1
Modelselectie LievenClement 2de bach. medische Wetenschappen statOmics, Ghent University lieven.clement@ugent.be 1/56
J S Bach 'Komm, Jesu, komm' J C Bach 'Lieber Herr Gott, wecke uns auf' J S Bach 'Lobet den Herrn, alle Heiden' interval 20 minutes J C Bach 'Herr, nun lässest du deinen Diener' J S Bach 'Jesu, meine Freude' J C Bach 'Der Gerechte, ob er gleich zu zeitlich stirbt' J S Bach 'Singet dem Herrn ein neues Lied' Solomon .
Bach JS Italian Concerto 1st mvt 8 Bach JS Italian Concerto 3rd mvt Presto 8 Bach JS Little Prelude in Dm BWV 940 5 Bach JS Little Prelude in No 4 in D BWV 936 6 Bach JS Overture in F BWV 820:5 Bourree 4 Bach JS Partita No 1 in B flat BWV 825 Praeludium and Giga 8 Bach JS
Bach, JS Two-part Invention No. 4 in D minor BWV 775 5 Bach, JS Two-part Invention No. 8 in F BWV 779 5 Bach, JS Two-part Invention No.14 in B flat BWV 785 6 Bach, JS arr. Keveren Air on the G String 6 Bach, JS trans. Alkan Siciliano 7 Bach, WF Aria in G minor 4 Bacharach Raindrops Keep Falling On My Head 4
Bach himself. Many of Bach's chorales are harmoniza-tions by Bach of pre-existing melodies (not by Bach) and certain melodies (by Bach or otherwise) form the basis of multiple chorales with different harmonizations. We extend this harmonization task to the completion of chorales for a wider number and type of given parts. Let
EMR 911L BACH / GOUNOD Ave Maria EMR 902L BACH, Johann S. Aria EMR 913L BACH, Johann S. Arioso EMR 2104L BACH, Johann S. Chorale Prelude "Ich ruf zu Dir" EMR 217L BACH, Johann S. Jesu, meine Freude (Reift) EMR 8474 BACH, Johann S. Lobe den Herrn (5) EMR 21
Bach Flower Remedies to the Rescue Bach Flower Therapy The Bach Flower Remedies New Book: The 38 Bach Flower Remedies Pamper Me Sleep Gift Set: Pamper yourself or a friend to a good night sleep Sleep doesn't get any better than this. Price: 35.00 Rescue Sleep Spray 7ml ABRA Sleep Therapy Bath 17 oz. Lavender Harvest Blend 0.5 oz
Bach chorales, from music theorists and theory students interested in studying the Bach chorale style or in using the chorales in the classroom, to musicologists and Bach scholars interested in the most up-to-date research on the chorales, to choral directors and organists interested in performing the chorales, to amateur Bach-lovers alike.File Size: 1MBPage Count: 65
7.Advanced Engineering Mathematics - Chandrika Prasad & Reena Garg 8.Engineering Mathematics - I, Reena Garg . MAULANA ABUL KALAM AZAD UNIVERSITY OF TECHNOLOGY B.Sc. IN NAUTICAL SCIENCE SEMESTER – I BNS 103 NAUTICAL PHYSICS 80 Hrs 1 Heat and Thermodynamics: 15 hrs Heat Transfer Mechanism: Conduction, Convection and Radiation, Expansion of solids, liquids and gases, application to liquid .
