CENTRE DES CLASSES PRÉPARATOIRES LYDEX-Benguerir/Maroc - Cpge Maroc
CENTRE DES CLASSES PRÉPARATOIRESLYDEX-Benguerir/MarocCOURS DE PHYSIQUEPCSI/MPSI/TSIMÉCANIQUESAID EL FILALI
PCSI-LYDEX20 juin 2018Page -2-elfilalisaid@yahoo.fr
Deuxième partieMÉCANIQUE3
TABLE DES MATIÈRESIIMÉCANIQUE31 DESCRIPTION DU MOUVEMENT D’UN POINT MATÉRIEL1.1 Repères d’espace et du temps. Référentiel . . . . . . . . . . . .1.1.1 Repérage dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.2 Repérage dans le temps . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.3 Référentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2 Cinématique du point matériel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.1 Définition du point matériel . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.2 Vecteurs position,vitesse et accélération . . . . . . . . .1.2.3 Exemples de bases de projection . . . . . . . . . . . . .1.2.3.1 Coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . .1.2.3.1.1 Vecteur déplacement élémentaire . .1.2.3.1.2 Vecteur vitesse . . . . . . . . . . . . .1.2.3.1.3 Vecteur accélération . . . . . . . . . .1.2.3.2 Coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . .1.2.3.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.3.2.2 Vecteur déplacement élémentaire . .1.2.3.2.3 Vecteur vitesse . . . . . . . . . . . . .1.2.3.2.4 Vecteur accélération . . . . . . . . . .1.2.3.3 Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . .1.2.3.3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.3.3.2 Vecteur déplacement élémentaire . .1.2.3.3.3 Vecteur vitesse . . . . . . . . . . . . .1.2.3.4 Coordonnées curvilignes . . . . . . . . . . . . .1.2.3.4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.3.4.2 Expression du rayon de courbure . .1.2.4 Exemples de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.4.1 Mouvement rectiligne à accélération constante1.2.4.2 Mouvement rectiligne sinusoidal . . . . . . . . .1.2.4.3 Mouvement circulaire . . . . . . . . . . . . . . .1.2.4.4 Mouvement helicoidal . . . . . . . . . . . . . . .1.2.4.5 Mouvement cycloide . . . . . . . . . . . . . . . 921242424262931
PCSI-LYDEXTABLE DES MATIÈRES2 DYNAMIQUE DU POINT MATÉRIEL DANS UN RÉFÉRENTIEL GALILÉEN2.1 Quelques forces usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2 Lois de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.1 Principe d’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.2 La relation fondamentale de la dynamique . . . . . . . . . . . . . . . .2.2.3 Principe des actions réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3 Applications (énoncés voir TD ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.1 Étude d’un projectile avec et sans frottement . . . . . . . . . . . . . .2.3.2 Particule soumise à un frottement fluide de type : f k.V 2 . . . . . .2.3.3 Le pendule simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.4 Mouvement d’une particule chargé dans un champ uniforme . . . . .35353535363637374041433 MOUVEMENT DE PARTICULES CHARGÉES DANS UN CHAMP ÉLECTROMAGNÉTIQUE,3.1 Force de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.1.1 Rappel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.1.2 Propriété de la force magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.2.1 Mouvement dans un champ électrostatique uniforme dans le vide. . . 483.2.2 Mouvement dans un champ magnétostatique uniforme dans le vide. . 543.2.3 Mouvement d’un proton dans un cyclotron . . . . . . . . . . . . . . . . 563.2.4 Rayonnement d’une particule chargée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.2.5 Mouvement dans un champ électromagnétique uniforme dans le vide. 653.3 Mouvement d’une particule chargée dans un métal . . . . . . . . . . . . . . . 683.3.1 Modèle de DRUDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.3.2 Vecteur densité de courant électrique. Loi d’Ohm locale . . . . . . . . 693.3.3 Résistance électrique d’un conducteur cylindrique . . . . . . . . . . . 713.4 Force de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724 THÉORÈME DU MOMENT CINÉTIQUE4.1 Le moment cinétique ,moment d’une force . . .4.1.1 Définition du moment cinétique . . . . .4.1.2 Propriété du moment cinétique . . . . .4.1.3 Définition du moment d’une force . . . .4.1.4 Propriété du moment d’une force . . . .4.1.5 Théorème du moment cinétique . . . . .4.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.2.1 Pendule simple . . . . . . . . . . . . . . .4.2.2 Propriétés de la trajectoire d’un satellite4.2.3 Pendule de HOLWECK LEIAY . . . . . .4.3 Les COUPLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.3.1 Couple de force . . . . . . . . . . . . . .4.3.2 Couple de torsion . . . . . . . . . . . . .5 PUISSANCE ET TRAVAIL D’UNE FORCE.5.1 Puissance et travail d’une force . . . . .5.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . .5.1.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . .20 juin 2018Page -6-. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .artificiel. . . . . . . . . . . . . . . . .THÉORÈME. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .DE L’ÉNERGIE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7777777779797980808183858586CINÉTIQUE 89. . . 89. . . 89. . . 89elfilalisaid@yahoo.fr
PCSI-LYDEX5.25.35.45.5TABLE DES MATIÈRES5.1.2.1 Travail du poids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.1.2.2 Travail de la tension d’un ressort . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.1.2.3 Travail de la force de Lorentz (Force magnétique) . . . . . . . 905.1.2.4 Travail de la force newtonienne . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Énergie cinétique. Théorème de l’énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . 92Force conservatives. Énergie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.3.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Énergie mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.4.1 Théorème de l’énergie mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.4.2 Cas particulier important . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96Applications :Équilibre d’un point matériel dans un champ de forces conservatives 965.5.1 Barrière d’énergie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.5.2 Cuvette d’énergie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.5.3 Cas de l’oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.5.4 Exemple général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.5.5 Équilibre d’un point matériel soumis à l’action des forces conservatives 985.5.5.1 Condition d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.5.5.2 Condition de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 995.5.5.3 Critère de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996 OSCILLATEUR LINÉAIRE À UN DEGRÉ DE LIBERTÉ6.1 Rappel sur l’oscillateur harmonique . . . . . . . . . . . . . . .6.2 régime libre d’un oscillateur linéaire amorti . . . . . . . . . .6.2.1 Forme canonique de l’équation différentielle . . . . . .6.2.2 Différents régimes libres amortis . . . . . . . . . . . .6.2.2.1 Régime apériodique . . . . . . . . . . . . . . .6.2.2.2 Régime critique . . . . . . . . . . . . . . . . .6.2.2.3 Régime pseudo-périodique . . . . . . . . . . .6.2.3 Décrément logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . .6.2.4 Interprétation physique . . . . . . . . . . . . . . . . .6.2.4.1 Facteur de qualité . . . . . . . . . . . . . . . .6.2.4.2 Temps de relaxation . . . . . . . . . . . . . . .6.3 Oscillations forcées -Résonance . . . . . . . . . . . . . . . . .6.3.1 Détermination de l’amplitude X et la phase ϕ ϕ x ϕF6.3.2 Étude de la résonance d’amplitude : . . . . . . . . . .6.3.3 Calcul énergétique : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.3.3.1 Énergie perdue : . . . . . . . . . . . . . . . . .6.3.3.2 Énergie gagnée : . . . . . . . . . . . . . . . . .6.3.4 Résonance de vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.3.5 Bande passante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6.4 Analogie :Electrique/Mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . .7 MOUVEMENTS DANS UN CHAMP DE FORCES7.1 Généralités sur les forces centrales . . . . . . .7.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . .7.1.2 Moment cinétique, Loi des aires . . . . .20 juin 2018Page -7-.103. 103. 104. 104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 110. 111. 112. 112. 113. 114. 114. 114. 114. 115. 117CENTRALES CONSERVATIVES, MOUV. . . . . . . . . . . . . . . . . 123. . . . . . . . . . . . . . . . . 123. . . . . . . . . . . . . . . . . 124elfilalisaid@yahoo.fr
PCSI-LYDEXTABLE DES MATIÈRES7.1.2.1 Conservation du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . 1247.1.2.2 Planéité de la trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247.1.2.3 Vitesse aréolaire , Loi des aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.1.3 Formules de Binet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.2 Forces centrales conservatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267.3 Cas du champ newtonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287.3.1 L’approche énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287.3.2 L’équation de la trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1297.3.2.1 Relation fondamentale de la dynamique . . . . . . . . . . . . . 1297.3.2.2 Vecteur Range-Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1307.3.2.3 L’étude de quelques trajectoires . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.3.2.3.1 Trajectoire circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.3.2.3.2 Trajectoire elliptique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337.3.2.3.3 Vitesse de libération . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1347.3.2.3.4 Rayon de la trajectoire circulaire d’un satellite géostationnaire1348 MÉCANIQUE DANS UN RÉFÉRENTIEL NON GALILÉEN8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.2 L’étude cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.2.1 Axe instantané de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.2.1.1 L’étude d’un exemple . . . . . . . . . . . . . . . .8.2.1.2 Relation fondamentale de la dérivation vectorielle8.2.2 Composition des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.2.3 Composition des accélérations . . . . . . . . . . . . . . . .8.3 Dynamique dans un référentiel non galiléen . . . . . . . . . . . .8.3.1 RFD dans un référentiel non galiléen : forces d’inertie . .8.3.2 L’énergie potentielle d’entrainemment . . . . . . . . . . .8.3.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.3.3.1 Préliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.3.3.2 Définition du poids . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.3.3.3 Effet de marée statique . . . . . . . . . . . . . . .8.3.3.3.1 Expression analytique . . . . . . . . . . .8.3.3.3.2 La marée océanique . . . . . . . . . . . . .8.3.3.4 Déviation vers l’est . . . . . . . . . . . . . . . . .8.3.3.5 Pendule de Foucault . . . . . . . . . . . . . . . . .9 SYSTÈME DE DEUX POINTS MATÉRIELS9.1 Grandeurs cinématiques . . . . . . . . . . . . . .9.1.1 Barycentre du système . . . . . . . . . . .9.1.2 Repère Barycentrique . . . . . . . . . . . .9.1.3 Quantité de mouvement . . . . . . . . . .9.1.3.1 Dans le repère R . . . . . . . . . .9.1.3.2 Dans le repère R ;,masse réduite9.2 Grandeurs cinétiques . . . . . . . . . . . . . . . .9.2.1 Le moment cinétique du système . . . . .9.2.1.1 Dans le repère R . . . . . . . . .9.2.1.2 Dans le repère R . . . . . . . . . .20 juin 2018Page -8-.135. 135. 136. 136. 136. 137. 138. 139. 140. 140. 141. 142. 142. 143. 145. 145. 146. 148. 148.149. 149. 149. 150. 151. 151. 151. 152. 152. 152. 152elfilalisaid@yahoo.fr
PCSI-LYDEXTABLE DES MATIÈRES9.2.2 L’énergie cinétique du système . . . . . . . . . . . . . . . . .9.2.2.1 Dans le repère R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.2.2.2 Dans le repère R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.3 Dynamique du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.3.1 Relation fondamentale de la dynamique . . . . . . . . . . . .9.3.2 Théorème du moment cinétique dans un référentiel galiléen .9.3.2.1 Moment des forces en un point O fixe dans R . . . . .9.3.2.2 Moment des forces en G barycentre . . . . . . . . . .9.3.2.3 Théorème du moment cinétique barycentrique . . . .9.3.3 Puissance des forces intérieures . . . . . . . . . . . . . . . . .9.3.4 Théorème de l’énergie cinétique dans un référentiel galiléen9.3.5 L’énergie potentielle d’interaction . . . . . . . . . . . . . . . .9.3.6 Énergie mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.4 Cas d’un système isolé de deux points matériels . . . . . . . . . . .9.4.1 Conséquences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9.4.2 Réduction canonique :Mobile réduit équivalent . . . . . . . 0 MÉCANIQUE DU SOLIDE15910.1CINÉMATIQUE DU SOLIDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15910.1.1Définition d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15910.1.2Barycentre d’un solide. Repère barycentrique . . . . . . . . . . . . . . 15910.1.3Cinématique du solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16210.1.4Mouvement d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16310.1.4.1mouvement de translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16310.1.4.2mouvement de rotation autour d’un axe fixe . . . . . . . . . . 16310.1.4.3Description du mouvement instantanée le plus général d’un solide16410.2MODÉLISATION DES EFFORTS ENTRE SOLIDES EN CONTACT . . . . . . . 16410.2.1Solide en contact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16410.2.2Vitesse de glissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16510.2.3Vecteur rotation relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16510.2.4Lois de Coulomb pour le frottement de glissement . . . . . . . . . . . 16610.2.5La puissance totale des actions de contact . . . . . . . . . . . . . . . . 16710.2.5.1Expression de la puissance pour un solide . . . . . . . . . . . 16710.2.5.2Puissance totale des actions de contact . . . . . . . . . . . . . 16810.2.5.3Modèle des liaisons parfaites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16810.2.5.4Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16810.2.5.5Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16810.3DYNAMIQUE D’UN SOLIDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16910.3.1Théorème de la résultante cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16910.3.2Le moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16910.3.2.1Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16910.3.2.2Le torseur cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17010.3.2.3Le théorème de KŒNIG relatif moment cinétique . . . . . . . 17110.3.3L’énergie cinétique d’un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17210.3.3.1Définition l’énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17210.3.3.2Le théorème de KŒNIG relatif à l’énergie cinétique . . . . . . 17210.3.4Le moment d’une force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17320 juin 2018Page -9-elfilalisaid@yahoo.fr
PCSI-LYDEXTABLE DES MATIÈRES10.3.5Mouvement d’un solide autour d’un axe de direction fixe . . . . . . . . 17310.3.5.1Cinétique d’un solide ayant un point de vitesse nulle . . . . . 17310.3.5.1.1Le moment d’inertie. Théorème de Huygens . . . . . . 17310.3.5.1.1.1Le moment d’inertie d’un point matériel M . . . 17310.3.5.1.1.2Le moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe17410.3.5.1.1.3Théorème de Huygens . . . . . . . . . . . . . . . 17410.3.5.1.2Le moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17410.3.5.1.3L’énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17610.3.5.2Mouvement d’un solide en rotation autour d’un axe fixe dans un référentiel ga10.3.5.2.1Théorème scalaire du moment cinétique . . . . . . . . 17610.3.5.2.2Théorème de l’énergie cinétique . . . . . . . . . . . . 17710.3.5.2.3Théorème de l’énergie mécanique . . . . . . . . . . . 17710.4Application : le pendule pesant (CNC 2014 MP P1) . . . . . . . . . . . . . . . 17710.5Autres Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18110.5.1MOUVEMENT D’UNE BARRE HOMOGÈNE . . . . . . . . . . . . . . . 18110.5.1.1Étude cinématique du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . 18110.5.1.2Étude énergétique du mouvement , relation entre V et θ . . . 18210.5.1.3Étude dynamique du mouvement, verification de l’hypothèse initiale de contac10.5.2OSCILLATIONS MÉCANIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18310.5.2.1Étude dynamique : équation différentielle du mouvement . . . 18310.5.2.2Petites oscillations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18310.5.2.3Aspect énergétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18410.5.2.4Moment d’inertie du pendule composé . . . . . . . . . . . . . 18510.5.2.5Étude dynamique : équation différentielle du mouvement . . . 18510.5.2.6Simplification : retour au cas du pendule simple . . . . . . . . 18510.5.3ÉTUDE D’UN PENDULE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18520 juin 2018Page -10-elfilalisaid@yahoo.fr
CHAPITRE 1DESCRIPTION DU MOUVEMENT D’UN POINT MATÉRIELLa mécanique est la partie de la physique qui étudie les mouvement des corps entenant compte des causes.Dans notre programme on s’interesse à la mécanique classique ( ou Newtonnienne ) quis’interesse aux mouvements des corps ayant une vitesse très faible devant celle de lalumière .On admet les postulats de la mécanique classique :Les postulats de la mécanique classique Le temps est absolu : c’est à dire que le temps ne dépend pas du référentiel. L’existence des référentiels galiléens. La trajectoire est déterministe.1.11.1.1Repères d’espace et du temps. RéférentielRepérage dans l’espacePour se repérer dans l’espace ,il faut choisir un corps solide de référence S auquelon attache des axes de coordonnées Ox, Oy, Oz ; O étant l’origine des axes.L’ensemble de tous les systèmes d’axes de coordonnées liées à un même solide de référence constitue le repère lié à S .RemarqueDans notre cours de mécanique ,on utilise toujours des repères orthonormészOx11y
PCSI-LYDEX1.2. CINÉMATIQUE DU POINT MATÉRIEL k ex k k ey k k ez k 1 R est direct, en effet : ex . ey ex . ez ey . ez 0 ex ey ez ;1.1.2 ey ez ex ; ez ex eyRepérage dans le temps La mesure du temps suppose une orientation conventionnel du temps : du passévers le futur , du à l’irréversibilité de l’évolution. Le temps se mesure à l’aide d’une horloge, son unité est la seconde depuis 1967. Le repère du temps est constitué d’un instant considéré comme origine des dateset une unité des temps (la seconde).1.1.3RéférentielL’ensemble d’un repère spatial lié à un solide de référence S et d’un repère de tempsconstituent un référentiel R .Exemples Référentiel de Copérnic R:centré au centre du système solaire et les troisaxes se dirigent vers des étoiles fixes. Référentiel Géocentrique R G :centré au centre de la terre G le plan Gxyforment l’équateur et l’axe Gz se dirige vers nord géographique, en translationpar rapport au référentiel de Copérnic. Référentiel terrestre R :centré au point O quelconque et les trois axes sedirigent vers trois directions .CE3RCN.GOcRTE2GTRGE1plan équatorial1.2 Cinématique du point matérielLa cinématique est la partie de la mécanique qui s’interesse aux mouvements descorps sans tenir compte des causes (Forces).20 juin 2018Page -12-elfilalisaid@yahoo.fr
PCSI-LYDEX1.2.11.2. CINÉMATIQUE DU POINT MATÉRIELDéfinition du point matérielDéfinitionOn appelle point matériel tout corps solide de dimension négligeable devant unedistance caractéristique (longueur d’un pendule ; distance terre-soleil,.)1.2.2Vecteurs position,vitesse et accélération Soit un référentiel R (O, ex , ey , ez ) un référentiel et M un point matériel se déplaçantdans R :zM ′ (t dt) ′MM M(t)OyxOn suppose que le mobile à l’instant t au point M et à l’instant t dt au point M ′ Onappelle :Définitions Vecteur position :OM Vecteur déplacement élémentaire : dOM lim ′ MM ′ lim ′ (OM ′ OM)M MM M Vitesse du point M dans le référentiel R : dOM V (M/R ) /Rdt Accélération du point M dans le référentiel R : 2 a (M/R ) d V (M/R ) d OMdtdt2 /R/R20 juin 2018Page -13-elfilalisaid@yahoo.fr
PCSI-LYDEX1.2. CINÉMATIQUE DU POINT MATÉRIELRemarqueDériver dans R par rapport au temps c’est à dire considérer les vecteurs de basesde R comme des vecteurs constants dans le temps.1.2.3Exemples de bases de projection1.2.3.1Coordonnées cartésiennesz ezO ex eyyHx1.2.3.1.1MVecteur déplacement élémentaire . On a : OM OH HM OM x ex y ey z ez(x, y, z) représentent les coordonnées cartésiennes du point M dans le référentiel R . Donc le vecteur déplacement élémentaire dOM s’écrit : dOM dx ex dy ey dz ez1.2.3.1.2Vecteur vitesse . On a dOM dx e x dy ey dz ez V (M/R ) On pose :dx dy dz ex ey ezdtdtdtdx V x ẋ : composante de la vitesse sur l’axe des x.dtdy Vy ẏ : composante de la vitesse sur l’axe des y.dtdz Vz ż : composante de la vitesse sur l’axe des z.dt V (M/R ) V x e x Vy ey Vz ez ẋ ex ẏ ey ż ez20 juin 2018Page -14-elfilalisaid@yahoo.fr
PCSI-LYDEX1.2.3.1.31.2. CINÉMATIQUE DU POINT MATÉRIELVecteur accélération . On a : V (M/R ) ẋ ex ẏ ey ż ez donc a (M/R ) a x e x ay ey az ez ẍ e x ÿ ey z̈ ezAvec :d2 x a x ẍ : composante de l’accélération sur l’axe des x.dt2d2y ay ÿ : composante de l’accélération sur l’axe des y.dt2d2z az z̈ : composante de l’accélération sur l’axe des z.dt2 1.2.3.2Coordonnées cylindriques1.2.3.2.1Définitions.z ez eyO exMO M θ eθrHxy erLes coordonnées cylindriques sont : r OH r 0[ θ ( ex , OH) [0, 2π] z R :la côte du point M .(r, θ, z) : sont les coordonnées cylindriques. On définit le vecteur er par : OH er cos θ ex sin θ ey (Oxy)r20 juin 2018Page -15-elfilalisaid@yahoo.fr
PCSI-LYDEX1.2. CINÉMATIQUE DU POINT MATÉRIEL k er k 1 er est un vecteur unitaire,on tire donc que OH r er et par conséquent : OM r er z ezπ On définit le vecteur eθ par rotation de er de dans le sens de θ c’est à dire :2 eθ cos(θ π/2) ex sin(θ π/2) ey sin θ ex cos θ eyy eθ ey erθ exx Dérivons er par rapport à θ dans le repère R : d er : c’est à dire dériver er en considérant les vecteurs de bases de R ( ex , ey , ez )dθ /Rcomme des vecteurs constants. d er sin θ ex cos θ ey eθdθ /R d er eθ ;dθ /R d eθ er ;dθ /R d er θ̇ eθ ;dt /R d eθ θ̇ erdt /RRemarqueDériver un vecteur de module constant dans le repère par rapport à l’angle derotation θ revient à le faire tourner deπdans le même sens que θ2 En effet : soit A un vecteur dont le module est constant c’et à dire k A k cte A . A cste. dA dA Dérivons par rapport à θ ; on trouve A. 0 c’est à dire A etsont perpendiculaire.dθdθ La base( er , eθ , ez ) est dite base locale en coordonnées cylindriques . ( e, e, e ) est un trièdre direct.rθz1.2.3.2.2Vecteur déplacement élémentaire : On a :OM r er z ez dOM /R dr er rd er dz ez Or d e dθ e doncrθ dOM dr er rdθ eθ dz ez20 juin 2018Page -16-Formule à connaîtreelfilalisaid@yahoo.fr
PCSI-LYDEX1.2. CINÉMATIQUE DU POINT MATÉRIELRemarqueSi z cte( 0) le mouvement est plan (r, θ) : dites coordonnées polaires1.2.3.2.3Vecteur vitesse. dOMd On a : V (M/R ) V (M/R ) (dr er rdθ eθ dz ez )dt /Rdt /R V (M/R ) ṙ er rθ̇ eθ ż ezRemarqueIl faut bien faire la différence entre le repère d’étude et celui de projection.1.2.3.2.4Vecteur accélération . d V (M/R ) On a a (M/R ) donc :dt/R a (M/R ) (r̈ rθ̇2 ) er (rθ̈ 2ṙθ̇) eθ z̈ ezOn pose : ar r̈ rθ̇2 : accélération radiale. at rθ̈ 2ṙθ̇ : accélération orthoradiale.RemarqueOn peut écrire l’accélération orthoradiale at comme1 d(r2 θ̇)at rθ̈ 2ṙθ̇ r dtOn appelle les coordonnées polaires la restriction des coordonnées cylindriquesdans le plan (Oxy) nommé le plan polaire (cad z cte 0)1.2.3.3Coordonnées sphériques1.2.3.3.1Définitions20 juin 2018.Page -17-elfilalisaid@yahoo.fr
PCSI-LYDEX1.2. CINÉMATIQUE DU POINT MATÉRIELz er eϕM θr ez eyO ex eθyϕHxLes coordonnées sphériques sont : r OM r 0 :rayon vecteur[ θ ( e , OM) [0, π] :colatitudez azimut ;ϕ [0, 2π]. On définit le vecteur er par : x r sin θ cos ϕ y r sin θ sin ϕ z r cos θ OM er sin θ cos ϕ ex sin θ sin ϕ ey cos θ ezr k er k 1 er est un vecteur unitaire,on tire donc que OM r er πOM On a : er et eθ se déduit de er par simple rotation de dans le plan meridianr2(OMH). er eθ cos θ cos ϕ ex cos θ sin ϕ ey sin θ ez θ /ROn définit eϕ er eθ sin θ( sin ϕ ex cos ϕ ey )On conclut que eϕ 1 er sin ϕ ex cos ϕ ey (Oxy)sin θ ϕ /R ( er , eθ , eϕ ) :trièdre local en coordonnées sphériques .20 juin 2018Page -18-elfilalisaid@yahoo.fr
PCSI-LYDEX1.2.3.3.21.2. CINÉMATIQUE DU POINT MATÉRIELVecteur déplacement élémentaire . On a :OM r er d OM /R d(r er )/R dr er rd er Or er er (θ, ϕ), donc : d er er er dθ dϕ dθ eθ sin θ eϕ dϕ θ ϕ d OM /R dr er rdθ eθ r sin θ eϕ1.2.3.3.3Vecteur vitesseFormule à connaître. On a :d OM /R dr er rdθ eθ r sin θ eϕ V (M/R ) ṙ er rθ̇ eθ rϕ̇ sin θ eϕ1.2.3.4Coordonnées curvilignes1.2.3.4.1.DéfinitionsSoit (C) une courbe d’origine A et M (C).z ezAO ex T N eyMyxd ;on la noteOn appelle coordonnées curviligne la mesure algébrique de l’arc AMd RS (M) AMPour un déplacement élémentaire on a : d OM ds T (M)20 juin 2018Page -19-elfilalisaid@yahoo.fr
PCSI-LYDEXavec :ds Puisque :1.2. CINÉMATIQUE DU POINT MATÉRIELp dx2 dy2 dz2 ; et T (M) :le vecteur unitaire tangent à (C) au point M ; k d OM k ds k T (M) k k T (M) k 1 ds d OM On a : V (M/R ) T (M)dt /R dt V (M/R ) v T (M)ce qui en déduit que : V (M/R ) d OM T (M) vds T (M) a (M/R ) d V (M/R ) d(v T (M)) a (M/R ) dv T (M) vdtdtdtdt /R d T (M) dsd T (M)Or : dt /Rds /R dtComme :dsdt d T (M)d T dα 1et : N.ds /R dα dsρcπ qui se toujours vers laavec : N :vecteur unitaire qui se déduit de T par rotation de2concavité de la trajectoire si ρc 0 :rayon de courbure au point M .D’où :v v2 a (M/R ) dv T (M) Ndtρc On pose : B (M) T N : La binormale .Le plan ( T , N) : plan osculateur .Définition (M, T , N , B) :La base intrinsèque ou base de Frenet.On pose :dv a T T (M) : accélération tangentielle .dt /Rv2 a N (M) : accélération normaleN ρcRemarques1-Le repère de Frenet est un repère de projection et non pas un repère d’étude. dTN 2dsρc20 juin 2018Page -20-elfilalisaid@yahoo.fr
PCSI-LYDEX1.2.3.4.21.2. CINÉMATIQUE DU POINT MATÉRIELExpression du rayon de courbure . v a permet d’établir l’expressionSachant que : B(M) T N , le produit vectoriel générale de ρc :v2 v3 dv v a v T ( T (M) N) Bdtρcρcv3ρc a kk v ActivitéRayon de courbure du mouvement parabolique.Le vecteur position d’un point M en coordonnées cartésiennes est :1 OM (Vo t) ex ( gt2 ) ey 0 ez2Déterminer le rayon de courbure au point O(0,0,0).On a : OM Donc : k V (M/R )k Vo t1 2gt20Vo V (M/R ) gt00 a (M/R ) g0pV3 Vo2 (gt)2 et k V a k Vo g donc ρc ce qui donne :kV akp( Vo2 (gt)2 )3ρc Vo gAu point O on a t 0 doncρc (O) Vo2gReprésentation graphique20 juin 2018Page -21-elfilalisaid@yahoo.fr
PCSI-LYDEX1.2. CINÉMATIQUE DU POINT MATÉRIELxVo2ρc gCTrajectoire (y yg 2x)2Vo2ActivitéRayon de courbure du mouvement elliptique.Considérons une ellipse droite , situé dans le plan xOy, d’équations paramètriques :x a cos ωt, y b sin ωt ; a et b le grand et petit axe et ω la pulsation .Déterminer l’expression du rayon de courbure aux points remarquables de l’ellipse. Faire une représentation graphique. ẋ aω sin ωt ẍ aω2 cos ωt ẏ bω cos ωt ÿ bω2 sin ωt( ẋ2 ẏ2 )3/2 (a2 sin2 ωt b2 cos2 ωt)3/2ρC ẋÿ ẍẏ abRA b2a2π[au point A(t 0)], RB [au point B(t )]ab2ω20 juin 2018Page -22-elfilalisaid@yahoo.fr
PCSI-LYDEX20 juin 20181.2. CINÉMATIQUE DU POINT MATÉRIELPage -23-elfilalisaid@yahoo.fr
PCSI-LYDEX1.2. CINÉMATIQUE DU POINT MATÉRIEL1.2.4Exemples de mouvement1.2
centre des classes prÉparatoires lydex-benguerir/maroc cours de physique pcsi/mpsi/tsi mÉcanique said el filali
S3.4. Spécificités UML Diagrammes de classes et/ou d'objets 3 Objectifs du cours : - Le diagramme de classes : - rappel sur les classes - rôle du diagramme de classes - Représentation des classes - Les relations entre classes : - la relation de dépendance - les associations - la relation d'héritage - classes concrètes et abstraites
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