Cours De Robotique Avancée

Université de CARTHAGE – Tunis2011 / 2012Ecole Supérieur de Technologie et d’Informatique de TunisMaster 2 : Automatique, Robotique et Traitement de l’InformationCours de Robotique AvancéeCours 4Commande par mode glissantA. ChemoriLIRMM - UMR 5506161, Rue Ada 34095, Montpellier Cedex 05, Francechemori@lirmm.fr

Plan du cours1.2.3.4.5.6.7.IntroductionExemple introductifIdée de baseDynamique du système à commanderDynamique de glissementDynamique de convergence vers la surface de glissementLa loi de commandeooo8.9.10.11.La commande équivalenteLa commande discontinueLoi de commande globaleRetour sur l’exemple (application de la commande discontinue)Phénomène de réticence (chattering)Retour sur l’exemple (application de la commande globale)Quelle solution pour le problème de réticence ?A. Chemori (Cours de Robotique avancée)Université de Carthage–ESTI–2011/20122

IntroductionCommande par mode glissantIntroductionDébut des années 60 besoin de robustesse en aéronautiqueDécouverte même avant l’utilisation du terme robustesse : Lesingénieurs automaticiens cherchaient des lois de commandeinsensibles aux variations dans la système à commanderLa commande par mode glissant est relativement simple à implémenter(par rapport à d’autres approches de commande)Elle fait partie des commandes dites à structure variableElle s’applique à la fois aux systèmes linéaires et aux systèmes non linéairesRobuste par rapport aux perturbations externesRobuste aussi par rapport aux incertitudes/variations des paramètres, etcDifférentes applications : Régulation, poursuite de trajectoires, poursuite demodèle, observateurs, etcLa commande par mode glissant est une suite logique de la commande discontinue(dans sa forme la plus facile : commande bang-bang)A. Chemori (Cours de Robotique avancée)Université de Carthage–ESTI–2011/20123

Exemple introductifCommande par mode glissantExemple IntroductifOn considère le système mécanique suivant (masse-ressort-amortisseur) :: La masse: la position de la masse: Coefficient de raideur du ressort: Coefficient d’amortissement: Force appliquée sur la masseLa dynamique de ce système s’écrit :On souhaite faire converger versavec la commandePour cela on considère la loi de commande suivante :A. Chemori (Cours de Robotique avancée)Université de Carthage–ESTI–2011/20124

Exemple introductifCommande par mode glissantOn remplace cette loi de commandedans la dynamique système, on obtient :Si l’on considère :La dynamique en boucle-fermée ci-dessus peut s’écrire :Si on considère les états(position) et(vitesse)Cette dynamique peut être mis sous forme d’équation d’état suivante :C’est un système autonome dont le comportement dépend de la conditioninitiale sur les étatset des paramètres.A. Chemori (Cours de Robotique avancée)Université de Carthage–ESTI–2011/20125

Exemple introductifCommande par mode glissantSimulation du comportement en boucle-fermée du système résultant pour :Pour ce choix de paramètres1PositionVitesse0.8Position et vitesse0.60.40.20-0.2-0.4-0.60102030405060temps (sec)A. Chemori (Cours de Robotique avancée)Université de Carthage–ESTI–2011/20126

Exemple introductifCommande par mode glissantSi on trace le plan de phasedu système en boucle-fermée on obtient 81x1La commande proposée amène le système au point souhaité MAIS laconvergence est lente !A. Chemori (Cours de Robotique avancée)Université de Carthage–ESTI–2011/20127

Idée de baseCommande par mode glissantIdée de baseL’idée de base de la commande consiste en deux étapes :o Amener le système sur un hyperplan de commutation stable (surface de1glissement)2o Converger sur la surface de glissement vers le point d’équilibre désiré12A. Chemori (Cours de Robotique avancée)Université de Carthage–ESTI–2011/20128

Système à commanderCommande par mode glissantDynamique du système à commanderOn considère le cas générale d’un système non linéaire dont la dynamiques’écrit :Avecdeux fonctions non linéaires, avecL’objectif de la commande est la stabilisation du système autour du pointd’équilibre :Dans la suite l’approche de commande sera détaillée en se basant sur cemodèle non linéaireNéanmoins, elle reste valide pour les systèmes linéaires dont la dynamiques’écrit :A. Chemori (Cours de Robotique avancée)Université de Carthage–ESTI–2011/20129

Dynamique de glissementCommande par mode glissantDynamique de glissementLa dynamique deest stable pourSoit la variété :Donc :La dynamique deest stable siLa variété est une surface appelée ’surface de commutation’ ou ’surface deglissement’Sur la surface de glissement définie parest stable, doncconverge vers 0, le déplacement est gouverné parLa vitesse de convergence dépend de la valeur deMais sur cette surfacedoncconverge aussi vers 0L’évolution sur la surface de glissement est indépendante deetSi au départ, le point initial n’est pas sur la surface de glissement, il faudraamener le système sur cette surfaceA. Chemori (Cours de Robotique avancée)Université de Carthage–ESTI–2011/201210

Dynamique de convergenceCommande par mode glissantDynamique de convergence vers la surface de glissementOn a :Pour évaluer la stabilité, on considère la fonction de Lyapunov suivante :Stabilité asymptotique si :est définie positiveest définie négativeÉtant donné que :doncest définie positiveCalculons maintenant sa première dérivée :A. Chemori (Cours de Robotique avancée)Université de Carthage–ESTI–2011/201211

Loi de commandeCommande par mode glissantLa lois de commandeest définie négative si :est :La commande équivalente :Soit :La commande équivalente est définie par :est définie négative si :Pour quel choix deA. Chemori (Cours de Robotique avancée)ceci est vérifié ?Université de Carthage–ESTI–2011/201212

Loi de commandeCommande par mode glissantCela est vérifié pour le choix suivant de:Pour ce choix on a :est définie négative car :La commande discontinue :La commande discontinue et le deuxième terme de l’expression ci-dessus:La commande globale :La commande proposée comporte deux termes : le premier correspond à unecommande continue et le deuxième correspond à une commande discontinue.Commande équivalente(continue)A. Chemori (Cours de Robotique avancée)Commande discontinueUniversité de Carthage–ESTI–2011/201213

Retour sur l’exempleCommande par mode glissantRetour sur l’exempleOn souhaite faire convergerversavec la commandeOn rappelle la dynamique du système :Qui peut s’écrire sous la forme :avec :etLa loi de commande par mode glissant s’écrira :Avec :Si on considère le choix suivant des paramètres de la commande :donc :A. Chemori (Cours de Robotique avancée)Université de Carthage–ESTI–2011/201214

Retour sur l’exempleCommande par mode glissantSi on considère la commande discontinue uniquement :Évolution dans le plan de phase du système en 60.70.80.91x1A. Chemori (Cours de Robotique avancée)Université de Carthage–ESTI–2011/201215

Retour sur l’exempleCommande par mode glissantÉvolution des états du système en B.F1PositionVitessePosition et vitesse0.50-0.5-1-1.500.511.522.53temps (sec)A. Chemori (Cours de Robotique avancée)Université de Carthage–ESTI–2011/201216

Retour sur l’exempleCommande par mode glissantÉvolution de l’entrée de commande543Commande210-1-2-3-4-500.511.522.53temps (sec)A. Chemori (Cours de Robotique avancée)Université de Carthage–ESTI–2011/201217

Phénomène de réticenceCommande par mode glissantPhénomène de réticence (chattering)Si on fait un zoom sur la commande autour deon obtient :543Commande210-1-2-3-4-522.0005 2.001 2.0015 2.002 2.0025 2.003 2.0035 2.004 2.0045 2.005temps (sec)Un mode glissant idéal n’existe pas étant donné qu’il nécessite une commande quicommute avec une fréquence infinieDans un cas réel la commutation se fait pendant un temps de commutation laconstante de temps des actionneurs La discontinuité dans le commande produit uncomportement dynamique particulier (cf. figure ci-dessus) autours de la surface deglissement, appelé phénomène de réticence (Chattering en anglais)A. Chemori (Cours de Robotique avancée)Université de Carthage–ESTI–2011/201218

Retour sur l’exempleCommande par mode glissantRetour sur l’exempleOn considère maintenant la commande dans sa globalité :Évolution dans le plan de phase du système en 20.30.40.50.60.70.80.91x1A. Chemori (Cours de Robotique avancée)Université de Carthage–ESTI–2011/201219

Retour sur l’exempleCommande par mode glissantÉvolution des états du système en B.F1PositionVitesse0.8Position et mps (sec)A. Chemori (Cours de Robotique avancée)Université de Carthage–ESTI–2011/201220

Retour sur l’exempleCommande par mode glissantÉvolution de l’entrée de commandeCommande10Même avec la commandeglobale il y a toujours lephénomène de réticence5C’est un des problèmes dela commande par modeglissant0Peut endommager lesactionneurs !-500.511.522.53Quelle solution envisager ?temps (sec)A. Chemori (Cours de Robotique avancée)Université de Carthage–ESTI–2011/201221

Solution du problème de réticenceCommande par mode glissantQuelle solution pour le problème de réticence ?Afin d’éviter le problème de réticence différentes solutions peuvent être envisagées :Solution 1 : remplacer la fonction Sign(s) 1 1-1Sigmoïde-1 1-1Solution 2 : La commande par mode glissant d’ordre supérieurA. Chemori (Cours de Robotique avancée)Université de Carthage–ESTI–2011/201222

Solution du problème de réticenceCommande par mode glissantExemple précédent : Application de la solution utilisation de la fonction de saturation0-0.1-0.2Évolution dans le plan de phasex2-0.3-0.4-0.5Évolution des états du système-0.6-0.7Évolution de l’entrée de ionVitesse0.80.6Position et vitesseCommande10-1Pas de chattering 00.511.522.533.544.55temps (sec)5temps (sec)A. Chemori (Cours de Robotique avancée)Université de Carthage–ESTI–2011/201223

Retour sur l’exemple (application de la commande discontinue) 9. Phénomène de réticence (chattering) 10. Retour sur l’exemple (application de la commande globale) 11. Quelle solution pour le problème de réticence ?