Sifat-sifat Nilai Eigen Dan Vektor Eigen Matriks Atas .
J. Sains Dasar 2013 2(1)25 – 31Sifat-sifat Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriks atas Aljabar Maxplus(The Properties of Eigen Value and Eigen Vector of MatricesOver Maxplus Algebra)Musthofa* dan Nikenasih Binatari * Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY / email: musthofa@uny.ac.idJurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY / email: nikenasih@yahoo.comAbstrakPenelitian ini bertujuan untuk mengkaji sifat-sifat nilai eigen dan vektor eigen matriks atas aljabarmaxplus. Langkah-langkah yang dilakukan adalah dengan mengkaji eksistensi nilai eigen dan vectoreigen matriks atas aljabar maxplus. Selanjutnya diselidiki sifat-sifat nilai eigen dan vector eigen, meliputiketunggalan dari nilai eigen, dan mengkaji tentang sifat nilai eigen dan vector eigen dari matrikstranspose. Hasil penelitian menunjukkan bahwa setiap matriks persegi atas aljabar maxplus selalumempunyai nilai eigen. Suatu mariks persegi A atas aljabar mxplus akan mempunyai nilai eigen tunggaljika A irredusibel. Jika merupakan nilai eigen A, maka jug merupakan nilai eigen dari AT. Tetapi sifatini tidak berlaku untuk vektor eigennya.Kata kunci: aljabar maxplus, nilai eigen, vektor eigen, matriks transposeAbstractThis research aimed to study the properties of eigenvalues and eigenvectors of the matrix overmaxplus algebra. The initial step is to study the existence of eigenvalues and eigenvector of matrix overmaxplus algebra. Moreover, the properties of eigenvalues and eigenvectors are investigated. Finally, westudy the properties of eigenvalues and eigenvectors of the matrix transpose. The result shows that everysquare matrix over maxplus algebra always has eigenvalue. A square matrix A in the maxplus algebra willhave a unique eigenvalue if A is irreducible. If is an eigenvalue of A, then is also an eigenvalue of AT,but this property does not apply for the eigenvector.Key words: maxplus algebra, eigenvalue, eigenvector, matrix transposePendahuluanSeiring dengan perkembangan ilmupengetahuan dan teknologi, para penelitidituntut untuk terus melakukan inovasi danusaha yang terus berkesinambungan dalammenghadapipersaingandanuntukmewujudkan kesejahteraan umat manusia.Kemajuan pesat dalam teknologi informasitidak lepas dari perkembangan riset dalambidang ilmu dasar. Oleh karena itu peneltiandi bidang ilmu dasar tidak bisa ditinggalkan.Aljabar maxplus merupakan salahsatu bagian dari ilmu dasar dalam bidangmatematika khususnya aljabar yang memilikiperanansangatbanyakdalammenyelesaikan persoalan di beberapabidang seperti teori graf, kombinatorika(seperti dibahas dalam [2]), teori sistem(dibahas dalam [5] dan [7]), teori antrian(dibahasdalam[4])danprosesstokastik(dibahas dalam [3]). Hal inidisebabkan aljabar max-plus mampumenguraikan suatu tipe tertentu dari sistemnonlinear dalam sudut pandang aljabarlinear menjadi sistem linear dalam sudutpandang aljabar max-plus. Kelinieran iniakan memudahkan dalam penganalisaansistem yang dikaji.
Musthofa dkk. / J. Sains Dasar 2013 2(1)Berkaitan dengan masalah tersebutmatriks dan nilai eigen merupakan salahsatu alat matematis untuk menyelesaikanberbagai masalah dalam bidang tersebut.Pembahasan tentang nilai eigen dan vektoreigen dalam dari suatu matriks relativeterhadap suatu struktur aljabar merupakanbagian yang tidak bisa ditinggalkan. Olehsebab itu, melalui penelitian diinginkankajian yang mendalam tentang nilai eigendan vektor eigen pada aljabar max-plus yangmemiliki aplikasi di berbagai bidangkeilmuan.Dalam aljabar linear dan aplikasinya,nilai eigen dan vektor eigen memilikiperanan penting salah satunya dalammenganalisis suatu sistem. Tidak adanyainvers terhadap operasi pertama dalamaljabar max-plus, mengakibatkan kesulitanketika akan menerapkan metode –metodeyang sudah dikenal dalam aljabar linearseperti misalnya untuk menentukan solusipersamaan Ax b. Beberapa peneliti dibidang aljabar max-plus, seperti dalam [1]dan [2] telah ditunjukkan eksistensi danmetode untuk menentukan nilai eigen danvektor eigen dari suatu matriks atas aljabarmax-plus.Berberapa hal yang cukup menarikuntuk diteliti antara lain metode menentukannilai eigen dan vektor eigen pada matriksatas aljabar max-plus serta sifat-sifat nilaieigen dan vektor eigen seperti halnya padaaljabar linear yang sudah dikenal. Sejauhyang kami ketahui, belum diteliti masalahsifat – sifat nilai eigen dan vektor eigen padaaljabar max-plus, misalnya jika merupakannilai eigen A, apakah juga merupakan nilaieigen dari AT? Berdasarkan hasil-hasiltersebut, dalam penelitian ini akan diselidikitentang sifat –sifat lebih lanjut dari nilai eigendan vektor eigen dari matriks atas aljabarmax-plus.Metode PenelitianPenelitian ini dilakukan modelresearch and development. Peneliti mengkajiberbagai sumber tentang masalah nilai eigendan vector eigen ada aljabar maxplus,membandingkan dengan kondisi yang terjadipada ruang vektor dan kemudian melakukan25 – 3126pengembangan untuk diterapkan padaaljabar maxplus. Alat bantu yang digunakandalam penelitian ini adalah perangkat lunakScilab 5.3.Hasil dan Diskusi1. Aljabar MaxplusAljabar maxplus adalah himpunan R{- }, dengan R menyatakan himpunansemua bilangan real yang dilengkapi denganoperasi maksimum, dinotasikan dengandan operasi penjumlahan, yang dinotasikandengan. Selanjutnya (R{- }, , )dinotasikandenganRmax dan{- }dinotasikan dengan . Elemen merupakanelemen netral terhadap operasidan 0merupakanelemen identitas terhadapoperasi . Struktur aljabar dari Rmax adalahsemifield, yaitu :1. ( R{- },) merupakan semigrupkomutatif dengan elemen netral {- }2. (R{- },) merupakan grupkomutatif dengan elemen identitas 03. Operasi dan bersifat distributif4. Elemen netral bersifat menyerapterhadap operasi , yaitua Rmax ,a a 2. Matriks atas RmaxDalam aljabar linear, jika F field,maka dapat dibentuk suatu matriksberukuranm n dengan entri –entrinyaadalah elemen–elemen F. Hal yang serupadapat dikerjakan pada Rmax, yaitu dapatdibentuk matriks A berukuran m n denganentri-entrinya elemen Rmax.Operasidanpada matriks atasaljabar maxplus didefinisikan sebagaiberikut:(1) ( A B )ij Aij Bij(2) ( AB)ijk( AikBkj )Contoh:Jika A1 2dan B-2 3-2 7, maka1 -3
Musthofa dkk. / J. Sains Dasar 2013 2(1)A B1 2-2 3-2 71 -31 -2 2 7-2 1 3 31 71 3A3 83 8, maka4 54 5danA B272086620.{1 (-2)} {2 1} {1 7} {2 ( 3)}{-2 (-2)} {3 1} {-2 7} {3 ( 3)}3 84 52.Terlihat bahwa nilai-karakteristik dari matriksA adalah6 dan vektor karakteristiknyaadalahJika ( Rmax)n n menyatakan himpunan semuamatriks dengan entri-entrinya elemen Rmax, ,makamatriksEdengan( E )ij25 – 310, jika i, jika ijdan matriksjdengan( )ij , i, j berturut– turut merupakanmatriks identitas dan matriks nol. Jadi ,(1) ( EA ) (A E ) A untuk setiap A( Rmax)n n ;(2) (A ) (A) A, untuk setiap A( Rmax)n n.Perlu diperhatikan bahwa ( Rmax)n n bukanmerupakan semifield, tetapi merupakansemiring, sebab terhadap operasi(Rmaxn n)tidak komutatif dan tidak setiapA (Rmax)n n mempunyai invers .1. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Matriksatas Aljabar Max-plusKonsep nilai nilai eigen dan vectoreigen dalam aljabar maxplus tidak berbedadengan konsep yang telah dikenal dalamaljabar linear. Namun untuk mencari nilaieigen dan vector eigen terdapat sedikitperbedaan. Metode untuk menentukan nilaieigen dan vector eigen suatu matriks persegiatas aljabar maxplus antara lain terdapatdalam Andy Rudhito ( 2003) dan Subiono(2010).Definisi 1( Rudhito, 2003). Misalkan Amatriks pesegi atas Rmax . Skalar disebutnilai eigen dari matriks A jika terdapat suatuvektor vsehingga Av v.Selanjutnya vektor v tersebutdisebutvektor eigen A yang bersesuaian dengan .Contoh 2matriks( Subiono, 2010).Diberikan2.0Selanjutnya untuk menentukan nilai eigentersebut, terlebih dahulu dibahas tentanggraf, khususnya graf berarah.Definisi 3. ( Rudhito, 2003) Suatu grafberarah didefinisikan sebagai pasangan (V,A) dengan V adalah suatu himpunanberhingga tak kosong yang anggotanyadisebut titik (vertices) dan A adalah suatuhimpunan pasangan teurut titik-titik yangdisebut dengan busur(arc).Berikut beberapa definisi pentingberkaitan dengan graf :yangDefinisi 4(Subiono, 2010) Diberikan G (V,A).(i)(ii)(iii)(iv)Suatu lintasan dalam G adalahsuatu barisan berhingga busur (i1,i2), (i2, i3), , (il-1, il) dengan (ik,ik 1) A .Untuk suatu lintasan , panjanglintasandidefinisikan sebagaibanyak busur yang menyusun ,dinotasikan denganSuatu sirkuit adalah suatulintasan dengan titik awal dantitik akhirnya sama.Sirkuit elementer adalah suatusirkuit yang mana setiap titik yangmuncul tidak lebih dari sekalikecuali titik awal yang muncultepat dua kali.Selanjutnya berkaitan dengan matriks, selaludapat dikaitkan dengan suatu graf berarahberbobot sebagai berikut :Definisi 5(Subono, 2010)) Jika A matrikspersegi atas aljabar maxplus, maka Graf
25 – 31Musthofa dkk. / J. Sains Dasar 2013 2(1)28Preseden dari A adalah graf berarahberbobot G(A) (V, A) dengan V {1, 2, . ,n} dan A {(j, i) w(i, j) Aij }.Diberikan A R mn axn . Jika semua sirkuit dalamG(A) mempunyai bobot non positif, makaContoh 6.A2 451Diberikan A16Graf preseden dari A adalah graf berarahberbobot G(A) (V, A) dengan V {1, 2,3} dan A {(1, 1), (2, 1), (3, 1), (2, 2), (3,2), (2, 3)} yang disajikan dalam gambarberikut:pEA2A.An 1, pnBerdasarkanteoremadiatas,didefinisikan matriks A* dan A seperti dibawah ini :Definisi 8 ( Bacelli, 2001)R mn axn dengan semua sirkuitDiberikan Adalam G(A) mempunyai bobot nonpositif .Didefinisikan dua matriks A* dan A sebagaiberikut :A* : EA : AA .A*.AnAn 1.danSelanjutnya, untuk mencari nilai eigen darimatriks A digunakan teorema berikut yangdapat dijumpai dalam Rudhito(2003) :Gambar 1. Graf berarah berbobot G(A)Dalam Rudhito(2003) telah dibahasbahwa untuk mencari bobot maksimumdari semua sirkuit dengan panjang kdengan titik i sebagai titik awal dan titikakhir dalam G(A)adalah dengankmenghitung ( A )ii . Sedangkan untukmengitungbobotbobotrata-ratamaksimum sirkuit elementer dalam G(A)(dinotasikan dengan max ( A))adalahdenganmenghitung:1trace A k denganm ax ( A)k 1 ktrace Akkk( A ) ii .Berkaitan dengan nilai eigen, berikutbeberapa teorema yang dapat dijumpaidalam Bacelli(2001).Teorema 7. ( Bacelli, 2001)Teorema 9. (Rudhito, 2003) Diberikan Amatriks persegi atas aljabar maxplus. Jikaskalar , merupakan nilai eigen A, makamerupakan bobot rata-rata suatu sirkuitdalam G(A).Contoh 10.5Diberikan matriks ADiperolehA3A216 17 1615 18 1517 18 1656 3 .6 6 311 11 109 12 911 12 11danSelanjutnya diperolehtrace A max(5,6,3) 5; trace A 2 max(11,12,11) 12;traceA 3 max(16,18,16) 18. Jadi, max(A)111max( (6), (12), (18)) max(6,6,6) 6.123
Musthofa dkk. / J. Sains Dasar 2013 2(1)Selanjutnyadapatdilihatbahwamerupakan nilai eigen dari A, sebab:55 16 3 26 6 3 2616 221. Eksistensi Nilai EigenDalam aljabar linear, telah dibahasbahwa tidak setiap matriks persegimempunyai nilai eigen. Namun, dalamaljabar maxplus, setiapmatriks persegidijamin mempunyai nilai eigen. Hal inidibahas dalam teorema berikut yang manapembuktiannya ada dalam Rudhito(2003)Teorema 11. (Rudhito, 2003)Diberikan A matriks persegi berukuran n natas aljabar maxplus. Skalar max (A), yaitubobot rata-rata maksimum sirkuit elementerdalam G(A), merupakan suatu nilai eigenmatriks A.Contoh 12.1. Matriks0 05mempunyai 2 nilaieigen, yaitu 0 dan 5, sebab0 0 000 0 0dan5500 5551 22. Matriksnilai eigennya 4,3 4yaitu1 23 40202 4.Namun,vector eigen dari matrik tersebuttidaklah tunggal, sebab1 23 413 4132. KetunggalanBerdasarkan contoh-contoh di atas, padabagian ini akan dibahas tentang syarat suatu25 – 3129matriks atas aljabar maxplus mempunyainilai eigen yang tunggal. Suatu matrik atasaljabarmaxplusdinamakanmatriksirredusibel jika G(A) terhubung kuat. Berikutsifat matriks irredusibel yang telah dibahasdalam Bacelli ( 2001) dan Rudhito(2003).Teorema 13. (Rudhito, 2003) Jika matriksirredusibel A berukuran n x n atas aljabarmaxplus mempunyai nilai eigen dengan xvektor eigen aljabar max-plus yangbersesuaian dengan , makaxi ɛ untuksetiap i {1, 2, ., n}.Bukti:Misalkan terdapat dengan tunggal s {1, 2,., n} sehingga x s Akibatnya (A x) s xs atau As,ixi untuk setiap i{1, 2, ., n}. Karena x i untuk setiap i s,maka As,i . Hal ini berarti tidak ada busurdari setiap titik i s ke titik s. Akibatnya G(A)tidak terhubung kuat atau A tidak irredusibel.Jika terdapat lebih dari satu komponen yangsama dengan, bukti seperti di atassehingga akan diperoleh kesimpulan A tidakirredusibel.Matriks irredusibel mempunyai nilaieigen aljabar max-plus tunggalsepertidiberikan dalam teorema berikut yang rema 14.(Rudhito, 2003)Jika A merupakan matriks atas aljabarmaxplus yang irredusibel, maka Amempunyai nilai eigen tunggal.Bukti:.Misalkan adalah sebarang nilai eigenaljabar max-plus matriks A dengan xadalah vektor eigen aljabar max-plusyang bersesuaian dengan . Karena Airredusibel maka x iuntuk setiap i{1, 2, ., n}. Diambil sebarang sirkuit ,misalkan sirkuit adalah (i1, i2), (i2, i3) , ., (ip, i1) dalam G(A).Karena adalah nilai eigen aljabar maxplus matriks A, maka
Musthofa dkk. / J. Sains Dasar 2013 2(1)Ai2 ,i1Ai p ,i p 1xi1xi2 ,xi p 1xi p ,xi pxi1 .Ai1 ,i pvektor eigen dariDidapat bahwalebih besar atausama dengan rata-rata bobot , untuksetiap sirkuitdalamG(A). Jadi(A),yangberartinilaieigenmaxaljabar max-plus matriks A tunggal.1.Nilai EigenMatriks TransposdanVektorBukti :trace B k. Akibatnyak 1A dan AT mempunyai nilai eigen yang sama,tetapi vektor eigennya berlainan.Kesimpulan mengungkapkan halyang lebih tinggi atau luas dari diskusi.Hendaknya dalam bagian ini terkandungpenarikan kesimpulan dan perampatan yangmeluas, serta pencetusan teori, konsep,prinsip baru secara mapan daripadakesimpulan dangkal dan saran yangmenyatakan penelitian perlu dilanjutkan.1. Untuk menentukan nilai eigen suatumatriks atas aljabar maxplus A dapatdilakukandenganmenghitungnk1trace A1kk2. Setiap matriks persegi atas aljabarmaxplus selalu mempunyai nilai eigen.Misal A merupakan nilai eigen matriks Adan B merupakan nilai eigen dari B AT .B k ii , maka trace A k Karena A k iim ax. Artinya walaupunKesimpulanTeorema 15. Jikamerupakan nilai eigenmatriks atas aljabar maxplus A, maka jugamerupakan nilai eigen dari matriks B AT 1 23 430EigenPada bagian ini akan dikaji nilai eigen darimatriks transpose.A25 – 31( A)1trace Bkk 11trace Akkm ax( B)k B3. Jika matriks A irredusibel ( graf presedendari A strongly connected), maka Amempunyai nilai eigen tunggal, tetapi vektoreigennya belum tentu tunggal4. Nilai eigen dari matriks transpose A samadengan nilai eigen matriks A, tetapi vectoreigennya belum tentu sama.Ucapan Terima KasihContoh 16.Dalam contoh sebelumnya nilai eigen dari1 23 4adalah 4 dan nilai eigen daritransposenya, yaitu1 32 412 4121 32 4juga 4, sebab:. Dari contoh inidapat dilihat bahwa A dan AT mempunyainilai eigen yang sama. Dari contoh ini pula,dapat dilihat bahwa12bukan merupakanTim Peneliti mengucapkan terimakasihkepada Universitas Negeri Yogyakarta,khususnya Fakultas MIPA yang telahmendanai kegiatan penelitian ini.Pustaka[1] Bacelli, F.et.al. 2001. Synchronizationand Linearity.New York: John Wiley &Sons[2] Butkovic, p. 2002. Max-algebra: thelinear algebra of combinatoric. ScienceDirect, Journal of algebra and itsapplication.
Musthofa dkk. / J. Sains Dasar 2013 es.AppliedMathemamatic Optimization.New York :Springer-Verlag[4] Heidergot, B. 2000. A Characterizationof (max, )-linear queueing system.Queueing System.2359(2000) 237-262.[5] Menguy, E. 2000. A fist Step TowardsAdaptive Control for Linear System in25 – 3131Max Algebra. Discrete Event DynamicSystem: Theory and Application. Boston:KluwerAcademic Publisher.[6] Rudhito, M. A. 2003. Sistem PersamaanLinear Maxplus Waktu Invarian. Tesis:UGM.[7] Subiono. 2010. Aljabar max-plus danterapannya. Artikel tidak diterbitkan.
aljabar linear. Namun untuk mencari nilai eigen dan vector eigen terdapat sedikit perbedaan. Metode untuk menentukan nilai eigen dan vector eigen suatu matriks persegi atas aljabar maxplus antara lain terdapat dalam Andy Rudhito ( 2003) dan Subiono (2010). Definisi 1( Rudhito, 200
2 Wie geht es dir? Eigen antwoord. Und wie geht es dir?. 3 Eigen antwoord, Wie heißt du? Eigen antwoord. 4 Eigen antwoord. Wie alt bist du? Eigen antwoord. Wie alt bist du? 5 Eigen antwoord. Woher kommst du? Eigen antwoord. 6 Wo wohnst du genau? Eigen antwoord. 7 Toll! Darf ich deine Handynummer haben? Na klar! Eigen antwoord.
yaitu sekumpulan persamaan aljabar homogen dari komponen vektor eigen dan bentuk dasar masalah nilai eigen. Masalah nilai eigen adalah dalam bentuk persamaan khusus yang mempunyai banyak aplikasi dalam aljabar matrik linier. Bentuk dasar masalah nilai eigen adalah : [A λI]x 0 (3.5) dimana : A matrik bujur – sangkar
MTs Madrasah Tsanawiyah N Nilai Keluaran Nilai-nilai yang diperhatikan oleh para stakeholders Nilai Masukan Nilai-nilai yang dibutuhkan dalam diri setiap pegawai, dalam rangka mencapai keunggulan Nilai Proses Nilai-nilai yang harus diperhatikan dalam bekerja, dalam rangka mencapai dan mempertahankan kondisi yang diinginkan
Hamzah Fansuri. 2. Pembahasan Naskah Syair Perahu karya Hamzah Fansuri ini terdapat bermacam-macam nilai agama diantaranya nilai tauhid, nilai akidah, dan nilai akhlak. Untuk penggunaan nilai tauhid yang terdapat di dalam Syiar Per
PENANAMAN DAN IMPLEMENTASI NILAI KARAKTER TANGGUNG JAWAB Paningkat Siburian Abstrak Pendidikan karakter merupakan suatu sistem penanaman nilai-nilai karakter kepada mahasiswa agar mampu mewujudkan nilai-nilai luhur Pancasila dalam kehidupannya sebagai makhluk individu, makhluk sosial, dan makhluk ber-Ketuhanan.
pendidikan karakter melalui program ekstrakurikuler pramuka dilakukan dengan beberapa cara, yaitu melalui kegiatan upacara, latihan rutin, permainan/ outbond dan perlombaan. Nilai-nilai karakter yang ada di dalam kegiatan upacara yaitu kedisiplinan, religius, dan tanggung jawab. Nilai-nilai pendidikan karakter dalam
religius, seperti: Program kegiatan harian sekolah, peraturan atau tata tertib yang dibuat sekolah. Peran aktif guru serta orang tua dalam penanaman nilai-nilai religius berdampak pada terbiasanya peserta didik melaksanakan Ibadah dan kegiatan keagamaan lainnya. Implementasi penanaman nilai-nilai religius pada peserta didik
The Baldrige performance excellence framework assesses seven categories of performance including (1) Leadership; (2) Strategy; (3) Customers, (4) Measurement, Analysis, and Knowledge Management; (5) Workforce; (6) Operations; and (7) Results. SOAR Vision Group reframes the seven Baldrige categories as an Organizational Hierarchy of Needs in which successful organizations must fulfill each .
