Istituzioni Di Fisica Teorica B - WordPress
TortugaPublisherIstituzioni di Fisica Teorica BAppunti dal corso di Pietro MenottiEdizione incompleta, giugno 2001Alberto Maggi[219,915]55 via Lopez, 57010 Guasticce (LI)0586 984 980
SommarioPrefazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11IOnde elettromagnetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13I.1I.2I.3IILe equazioni di Maxwell e l’energia del campo elettromagnetico . . . . . . . . . . . . . . 13I.1.1Le equazioni di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13I.1.2Energia del campo elettromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13I.1.3Il teorema di Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15I.1.4La quantità di moto del campo elettromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16L’equazione delle onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16I.2.1Potenziali elettrodinamici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16I.2.2L’equazione di D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18I.2.3Onde elettromagnetiche piane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Onde in una cavità cubica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22I.3.1Campo elettromagnetico in una cavità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22I.3.2Equivalenza del campo elettromagnetico con un sistema di oscillatori lineari . . . . 23I.3.3Cavità termalizzata e legge di Rayleigh-Jeans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Teoria alla Planck della radiazione nera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27II.1II.2Termodinamica della radiazione nera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27II.1.1Densità spettrale di energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27II.1.2Pressione di radiazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28II.1.3La legge di Stefan-Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28II.1.4Caratterizzazione delle adiabatiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29II.1.5La legge dello spostamento e la legge di Wien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Determinazione della distribuzione spettrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33II.2.1Oscillatori armonici e radiazione nera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33II.2.2La formula di Rayleigh-Jeans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36II.2.3La legge dell’irraggiamento di Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
SommarioII.2.4IIIIVConsiderazioni sulla legge di Planck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Old Quantum Mechanics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41III.1Modelli atomici di Thomson e Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .III.1.1 Il modello di Thomson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .III.1.2 Gli esperimenti di Geiger e Mardsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .III.1.3 Il modello di Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .III.1.4 Il problema della stabilità dell’atomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .III.1.5 Spettri atomici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .414142424344III.2Effetto fotoelettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44III.3Effetto Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46III.4I postulati di Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .III.4.1 Spettri atomici e ipotesi di Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .III.4.2 Livelli energetici dell’atomo di idrogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .III.4.3 Quantizzazione dell’oscillatore armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46464748III.5TeoriaIII.5.1III.5.2III.5.3dei calori specifici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Teoria classica dei calori specifici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Teorie di Einstein e Debye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .I calori specifici dei gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .48485052III.6L’ipotesi di de Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53III.6.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53III.6.2 Ipotesi di de Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53III.7Esperimenti di interferenza con un singolo fotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55III.8Il principio di indeterminazione di Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56III.8.1 Esperimenti concettuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56III.8.2 Il principio di indeterminazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57I postulati della meccanica quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59IV.1Il principio di sovrapposizione e le sue conseguenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .IV.1.1 Osservabili a spettro discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .IV.1.2 Operatori associati alle osservabili a spettro discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .IV.1.3 Osservabili a spettro continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .IV.1.4 Operatori associati alle osservabili a spettro continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5960646568
ili a spettro misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69Osservabili compatibili e incompatibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71IV.2.1Commutatore e compatibilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71IV.2.2Relazione di indeterminazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73Rappresentazione di Schrödinger e degli impulsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74IV.3.1Stati a impulsi definiti: onda di de Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74IV.3.2Rappresentazione degli operatori associati a p e a q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75IV.3.3Il principio di indeterminazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76IV.3.4Il caso a più dimensioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76Postulato di quantizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77IV.4.1Algebre di Lie e postulato di quantizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77IV.4.2Alcuni esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80IV.4.3Rappresentazione di Schrödinger e degli impulsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82IV.4.4Relazione tra la rappresentazione delle coordinate e quella degli impulsi . . . . . . . . 83Trasformazioni unitarie e unicità delle rappresentazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85IV.5.1Trasformazioni unitarie e rappresentazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85IV.5.2Sistema di Weyl e teorema di von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Evoluzione temporale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90IV.6.1L’operatore di evoluzione temporale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90IV.6.2Sistemi fisici indipendenti dal tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91IV.6.3Schema di Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Sistemi composti: prodotto tensoriale di spazi di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97IV.7.1IV.8 Prodotto tensoriale di spazi di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Stati puri e miscele statistiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98IV.8.1Manifestazioni del carattere statistico della meccanica quantistica . . . . . . . . . . . . . 98IV.8.2Stati puri, miscele statistiche, operatore statistico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99IV.8.3Sistemi composti e miscele statistiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103IV.8.4Distinzione di stati puri e miscele statistiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104Misura in meccanica quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105IV.9.1Misure non ripetibili e misure ripetibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105IV.9.2Misure fortemente ripetibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106IV.9.3Misure su miscele statistiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
SommarioIV.9.4IV.10Commutazione temporale e algebrica di osservabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107La notazione di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109IV.10.1 Bra, ket e prodotto scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109IV.10.2 Operatori lineari in notazione di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110IV.10.3 Il problema dell’aggiunzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110VL’equazione di Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113V.1V.2V.3V.4V.5Particella libera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113V.1.1Determinazione degli stati stazionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113V.1.2Stati stazionari in rappresentazione di Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114Operatore di inversione spaziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114V.2.1Il teorema di degenerazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114V.2.2L’operatore di inversione spaziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115Caratteristiche delle soluzioni dell’equazione di Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . 117V.3.1Caratteristiche generali delle autofunzioni d’onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117V.3.2Autovalori discreti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119V.3.3Autovalori continui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122V.3.4Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123V.3.5Altre considerazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124Buche discontinue di potenziale: un esercizio notevole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125V.4.1Buche discontinue di potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125V.4.2Buca rettangolare: stati legati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125V.4.3Importanza delle condizioni al contorno: un altro problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128V.4.4Buca rettangolare: autostati impropri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130Effetto tunnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131V.5.1V.6Barriera di potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131L’equazione tridimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136V.6.1Corrente di probabilità ed equazione di continuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136V.6.2Potenziali centrali esplodenti nell’origine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136V.6.3Potenziali centrali a grandi distanze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
SommarioVIL’oscillatore armonico unidimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141VI.1VI.2VII Caratteristiche dello spettro dell’energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141VI.1.1Positività degli autovalori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141VI.1.2Energia dello stato fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142Livelli energetici dell’oscillatore armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143VI.2.1Operatori di discesa e di salita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143VI.2.2L’oscillatore armonico in rappresentazione di Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144VI.2.3Autostati dell’oscillatore armonico in rappresentazione di Schrödinger . . . . . . . . . 145Momento angolare e simmetrie in meccanica quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . 147VII.1Il momento angolare e la sua diagonalizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147VII.1.1 Definizione del momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147VII.1.2 Diagonalizzazione del momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148VII.1.3 Base standard e rappresentazione del momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150VII.2Il momento angolare orbitale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153VII.2.1 Il momento angolare in rappresentazione di Schrödinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153VII.2.2 Sferiche armoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155VII.3Le simmetrie in meccanica quantistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157VII.3.1 Considerazioni generali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157VII.3.2 Alcuni esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158VII.3.3 Il gruppo di simmetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160VII.4Il teorema di Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160VII.4.1 Enunciato del teorema di Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160VII.4.2 Dimostrazione del teorema di Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161VII.4.3 Operatori antilineari e antiunitari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164VII.4.4 Caso unitario e caso antiunitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165VII.4.5 Il teorema di Bargmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166VII.5Il gruppo delle rotazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167VII.5.1 Caratteristiche principali del gruppo SO (3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167VII.5.2 Rappresentazione unitaria di SO (3) e momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170VII.5.3 Osservabili scalari e vettoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1721122. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175VII.6SpinVII.7Composizione dei momenti angolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
SommarioVII.7.1 Il problema della composizione dei momenti angolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183VII.7.2 Coefficienti di Clebsch e Gordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185VII.8VIIIOperatori tensoriali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .VII.8.1 Ancora su rotazioni e momento angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .VII.8.2 Tensori cartesiani, tensori irriducibili e tensori sferici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .VII.8.3 Prodotto di tensori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .VII.8.4 Il teorema di Wigner-Eckart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .VII.8.5 Operatori vettoriali e teorema di proiezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1871871
Istituzioni di Fisica Teorica B Appunti dal corso di Pietro Menotti Edizione incompleta, giugno 2001 Alberto Maggi [219,915] 55 via Lopez, 57010 Guasticce (LI) . Si è soliti leggere nelle introduzioni dei testi di Landau e
124654_Fisica Q_ESO_BACHILLE_castt.indd 10 20/01/16 09:34. 11 Física y Química Alumno Índice de contenidos Física y Química 2 Índice FÍSICA Evaluación de competencias de física (págs. 126-127) Bloques Unidades Apartados de la unidad Pon a punto la física págs. 10-31 4. EL MOVIMIENTO Y LAS FUERZAS págs. 8-9 6. Vivimos
Corso di laurea in Economia delle istituzioni e dei mercati finanziari Anno Accademico 2000/01 Per adire la tesi di laurea in Economia delle Istituzioni e dei Mercati Finanziari occorre sostenere (complessivamente ventisei) tra esami e prove di idoneità nella rigorosa osservanza della suddivisione
2. Corso di laurea in Scienze giuridiche (31) 9 3. Laurea specialistica in . - Filosofia del diritto 34 - Istituzione di filosofia del diritto 36 - Istituzioni di diritto privato 36 - Istituzioni di diritto pubblico 41 - Istituzioni di diritto romano 46 . spagnolo tenuto presso la Facoltà di Economia dell’Università La Sapienza. .
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS GRADO EN FÍSICA curso 2020-21 Ficha de Trabajo Fin de Grado DEPARTAMENTO: FISICA TEORICA TÍTULO: ELEMENTOS BASICOS DE LA FISICA DE AGUJEROS NEGROS TITLE: MAIN ELEMENTS OF BLACK HOLE PHYSICS SUPERVISOR/ES: DIEGO RUBIERA GARCIA NÚMERO DE PLAZAS: 1 ASIGNACIÓN DE TFG: Selección directa X Selección por expediente
Predizione teorica Falsificabilità della teoria 1564-1642 . 1874. Le ultime parole famose . “Una giustificazione teorica va trovata, non importa quanto sia lontana dalle conoscenze attuali” . ottiene la formula di Rayleigh-Jeans! Nel caso discreto di Planck si avranno:
Guía teórica de lógica de programación. Página 5 Software Son los programas que permiten utilizar los recursos del computador. Programación, soporte lógico, parte no-mecánica o no-física de un sistema.
Serway - Faughn. Sexta edición. Editorial Thomson FÍSICA. Tipens. Séptima Edición. Editorial Mc Graw Hill FÍSICA . Wilson-Buffa-Lou. Sexta Edición. Editorial Pearson FUNDAMENTOS DE FÍSICA, Serway Vuille, octava edición, Cengage Learning HC. 2018 . Author: Hasler Uriel Calderón Castañeda
and STM32F103xx advanced ARM-based 32-bit MCUs Introduction This reference manual targets application developers. It provides complete information on how to use the low-, medium- and high-density STM32F101xx, STM32F102xx and STM32F103xx microcontroller memory and peripherals. The low-, medium- and high-density STM32F101xx, STM32F102xx and STM32F103xx will be referred to as STM32F10xxx .
