Penerapan Teori Bilangan Bulat Dalam Kriptografi Dan .
Penerapan Teori Bilangan Bulat dalam Kriptografi danAplikasinya dalam Kehidupan Sehari-hariKukuh Nasrul Wicaksono – NIM 13505097Program Studi Teknik InformatikaInstitut Teknologi BandungJl. Ganesha 10 Bandung 40132E-mail : if15097@students.if.itb.ac.idAbstrakSeiring dengan perkembangan zaman, maka munculah cabang matematika baru yang disebut denganmatematika diskrit. Perkembangan yang pesat dari ilmu matematika diskrit ini berkaitan erat denganperkembangan pesat dari dunia komputer digital, karena komputer digital bekerja secara diskrit.Perkembangan matematika diskrit ini juga diikuti dengan perkembangan ilmu lainnya yang memakaimatematika sebagai landasan ilmunya. Salah satunya adalah ilmu kriptrografi yang memakai teori bilanganbulat sebagai landasan ilmunya. Dalam paparan di bawah ini akan dijelaskan bahwa matematika diskritkhusunya teori bilangan bulat memiliki hubungan yang sangat erat dengan ilmu kriptografi. Selain itu akandijelaskan pula mengenai aplikasi dari ilmu keriptografi ini dalam kehidupan sehari-hari.Kata kunci : Teori bilangan bulat, kriptografi1. PendahuluanDalam kehidupan sehari-hari, kita pasti telahsering menemukan bahwa ilmu pasti, khususnyaMatematika dan berbagai cabang ilmuMatematika lainnya sangat banyak digunakanmanusia untuk membantu menyelesaikan suatumasalah. Mulai dari masalah kecil dantradisional, hingga masalah besar dan modern.Apakah manfaat kriptografi ini dalam kehidupansehari-hari kita? Dan apa pula hubunganmatematika diskrit khususnya teori bilanganbulat dengan kriptografi? Dalam tulisanberikutnya, akan dijelaskan jawaban daripertanyaan di atas.Seiring dengan perkembangan zaman, makamunculah cabang matematika baru yang disebutdengan matematika diskrit. Perkembangan yangpesat dari ilmu matematika diskrit ini berkaitanerat dengan perkembangan pesat dari duniakomputer digital, karena komputer digitalbekerjasecaradiskrit.Perkembanganmatematika diskrit ini juga diikuti denganperkembangan ilmu lainnya yang memakaimatematika diskrit landasan ilmunya. Salahsatunya adalah ilmu kriptrografi yang memakaiteori bilangan bulat sebagai landasan ilmunya.2. Matematika Diskrit dan TeoriBilangan BulatKriptografi ini adalah suatu cabang ilmu yangdigunakan untuk menjaga kerahasiaan pesandengan cara menyamarkannya dan menjadikanbentuk sandi yang tidak mempunyai makna.Matematika diskrit adalah cabang matematikayang mengkaji objek-objek diskrit. Apa yangdimaksud dengan kata diskrit (discrete)? Bendadisebut diskrit jika ia terdiri dari sejumlahberhingga elemen yang berbeda atau elemenelemenyangtidakberkesinambungan.Himpunan bilangan bulat (integer) dipandangsebagai objek diskrit. Lawan kata diskrit adalahkontinyu atau menerus. Himpunan bilangan riil(real) adalah suatu objek kontinu. Di dalammatematika kita mengenal fungsi diskrit danfungsi kontinu. Fungsi diskrit digambarkansebagai sekumpulan titik-titik, sedangkan fungsikontinu digambarkan sebagai kurva.
Penerapan Teori Bilangan Bulat dalam Kriptografi dan Aplikasinya dalam Kehidupan Sehari-hariMatematika diskrit berkembang sangat pesatdalam dekade terakhir ini. Salah satu alasan yangmenyebabkan perkembangan pesat itu adalahkarena komputer digital bekerja secara diskrit.Informasi yang disimpan dan dimanipulasi olehkomputer adalah dalam bentuk diskrit.Materi yang ada dalam matematika diskrit adalahmateri yang khas informatika, sehinggaterkadang matematika diskrit ini disebut jugamatematika informatika. Salah satu materi didalam matematika diskrit ini adalah teoribilangan bulat.Sesuai dengan namanya, teori bilangan bulatsangat erat hubungannya dengan bilangan bulat.Bilangan bulat itu sendiri adalah bilangan yangtidak mempunya pecahan desimal, misalnyaadalah 2, 43, 566, -64, 0 dan sebagainnya. Teoribilangan bulat dalam matematika diskritmemberikan penekanan dengan sifat pembagian.Sifat pembagian pada bilangan bulat melahirkankonsep-konsep seperti bilangan prima danaritmatika modulo. Satu algoritma penting yangberhubungan dengan sifat pembagian ini adalahalgoritma Euclidean. Baik bilangan prima,aritmatika modulo, dan algoritma Euclideanmemainkan peran yang penting dalam bidangilmu Kriptografi, yaitu ilmu yang mempelajarikerahasiaan pesan.2.1. Algoritma EuclideanAlgoritma Euclidean adalah salah satu metodeyang mangkus dalam mencari Pembagi BersamaTerbesar (greates), disingkat menjadi PBB.Algoritma ini sudah dikenal sejak berabad-abadyang lalu. Euclid ,penemu Algoritma Euclidean,adalah seorang matematikawan yunani yangmenuliskan algoritmanya tersebut dalambukunya yang terkanal yang berjudul Element.Secara formal algoritma Euclidean dirumuskansebagai berikut.Misalkan m dan n adalah bilangan bulattak negatif dengan m n. Misalkan r0 mdan r1 n , lakukan secara berturut –turut pembagian seperti dibawah ini.r0 r1q1 r20 r2 r1r1 r2q2 r30 r3 r22.rn-2 rn-1 qn-1 rn0 rn rn-1rn-1 rn qn 0Kemudian PBB dari m dan n (PBB(m,n)) adalahsisa terakhir dari pembagian tersebut.Singkatnya algoritma Euclidean akan dituliskansebagai berikut.Algoritma Euclidean1. Jika n 0 makam adalah PBB(m,n);stoptetapi jika n 0 ,lanjutkan ke langkah 2.2. Bagilah m dengan n dan misalkan radalah sisanya.3. Gantilah nilai m dengan nilai n dan nilain dengan r, lalu ulang kembali kelangkah 1.Catatan : jika m n, maka pertukarkan nilaim dan n.2.2. Aritmatika ModuloAritmatika modulo (modular arithmethic)memainkan peran yang penting dalam komputasiinteger, khususnya pada aplikasi kriptografi.Operator yang digunakan pada aritmatikamodulo adalah mod. Operator mod, jikadigunakan pada pembagian bilangan bulatmeberikan sisa pembagian sebagai kembaliannya.Sebagai contoh 53 mod 5 meberikan hasil 10dan sisa 3. Maka 53 mod 5 3. Definisi darioperator mod adalah sebagai berikutMisalkan a adalah bilangan bulat dan madalah bilangan bulat 0. operasi a modm memberikan sisa jika a dibagi denganm. Dengan kata lain a mod m rsedemikian sehingga a mq r , dengan0 r m
Penerapan Teori Bilangan Bulat dalam Kriptografi dan Aplikasinya dalam Kehidupan Sehari-hari2.2.1. KongruenKadang – kadang dua buah bilangan bulat a danb, mempunyai sisa yang sama jika dibagi denganbilangan bulat positif m. Kita katakan bahwa adan b kongruen dalam mosulo m dandilambangkan sebagaia b (mod m)(notasi ‘ ’ dibaca kongruen)Jika a tidak kongruen dengan b dalam modulusm, maka ditulis :a / b (mod m)Sebagai contoh 53 mod 5 3 dan 13 mod 5 3,maka 53 13 (mod 5).Definisi formal dari kekongruenan dinyatakansebagai berikut.Misalkan a dan b adalah bilangan bulat danm adalah bilangan 0 maka a b (mod m)jika m habis membagi a – bSifat-sifat perhitungan pada aritmatika modulo,khususnya terhadap operasi perkalian danpenjumlahan, dinyatakan sebagai berikut.Misalkan m adalah bilangan bulat positif1. Jika a b (mod m) dan c adalahsembarang bilangan bulat makai. (a c) (b c) (mod m)ii. ac bc (mod m)iii. ap bp (mod m) untuk pbilangan bulat 02. Jika a b (mod m) dan c d (mod m),makai. (a c) (b d) (mod m)ii. ac bd (mod m)2.2.2. Chinese Remainder ProblemPada abad pertama, seorang matematikawanchina yang bernama Sun Tse mengajukanpertanyaan sebagai berikut.Tentukan sebuah bilangan bulat yang biladibagi dengan 5 menyisakan 3, bila dibagi 7menyisakan 5, dan bila dibagi 11menyisakan 7.3Pertanyaan tersebut dapat dirumuskan sebagaiberikutX 3 (mod 5)X 5 (mod 7)X 7 (mod 11)Teorema Chinese Remainder berikut akandigunakan untuk menyelesaikan sistem di atasMisalkan m1, m2, ,mn adalah bilanganbulatpositidsedemikiansehinggaPBB(mi,mj) 1 untuk i j. Maka sistemkongruen lanjarX ak (mod mk)Mempunyai sebuah solusimodulo m m1 . m2 . m3unikuntukSolusi akan dicari sebagai berikut. Solusimodulo tersebut m 5 . 7 . 11 5 . 77 11 . 35.Karena 77 . 3 1 (mod 5), 55 . 6 1 (mod 7),dan 35 . 6 1 (mod 11), solusi unik dari sistemkongruen tersebut adalahX (3 . 77 . 3 5 . 55 . 6 7 . 35 . 6) (mod 385) 3813 (mod 385) 348 (mod 385)2.3. Bilangan PrimaBilangan bulat positif yang mempunya aplikasipenting dalam ilmu komputer dan matematikadiskrit adalah bilangan prima. Bilangan primaadalah bilangan bulat positif yang lebih besardari 1 yang hanya habis dibagi 1 dan dirinyasendiri. Secara formal definisi dari bilanganprima adalah sebagai berikut.Bilangan bulat positif p (p 1) disebutbilangan prima jika bilangan yang habismembaginya hanya 1 dan p.Sebagai contoh adalah bilangan 13. Bilangan 13hanya habis dibagi 1 dan 13. Maka 13 adalahbilangan prima.Bilangan selain prima adalah bilangan komposit.Misalnya 12 adalah bilangan yang dapat habisdibagi 1,2,4,6,12.Teorema penting menyangkut bilangan primadinyatakan oleh teorema yang terkenal dalam
Penerapan Teori Bilangan Bulat dalam Kriptografi dan Aplikasinya dalam Kehidupan Sehari-hariteori bilangan yaitu teorema fundamentalaritmatik, yang berisi sebagai berikutSebagai pembanding, selain definisi tersebut diatas, terdapat pula definisi yang dikemukakan didalam [MEN96]:Setiap bilangan bulat positif yang lebih besaratau sama dengan 2 dapat dinyatakan sebagaiperkalian satu atau lebih baik bilangan primamaupun bilangan komposit, keduanya dapatdinyatakan sebagai perkalian satu atau lebihfaktor prima. Misalnya,9 3 3100 2 2 5 513 1312 2 2 3(2 buah faktor prima)(4 buah faktor prima)(1 buah faktor prima)(3 buah faktor prima)3. KriptografiAritmatika modulo dan bilangan primamempunyai banyak aplikasi dalam ilmukomputer salah satu aplikasinya yang terpentingadalah ilmu kriptografi.Kriptografi (cryptography) berasal dari BahasaYunani: “cryptós” artinya “secret” (rahasia),sedangkan “gráphein” artinya “writing” (tulisan).Jadi, kriptografi berarti “secret writing” (tulisanrahasia). Ada beberapa definisi kriptografi yangtelah dikemukakan di dalam berbagai literatur.Definisi yang dipakai di dalam buku-buku yanglama (sebelum tahun 1980-an) menyatakanbahwa kriptografi adalah ilmu dan seni untukmenjaga kerahasian pesan dengan caramenyandikannya ke dalam bentuk yang tidakdapat dimengerti lagi maknanya. Definisi inimungkin cocok pada masa lalu di manakriptografidigunakanuntukkeamanankomunikasi penting seperti komunikasi dikalangan militer, diplomat, dan mata-mata.Namun saat ini kriptografi lebih dari sekadarprivacy, tetapi juga untuk tujuan data integrity,authentication, dan non-repudiation.Definisi yang kita pakai di dalam makalah inimengutip definisi yang dikemukakan di dalam[SCH96]:Kriptografiadalahilmuyangmempelajari teknik-teknik matematikayang berhubungan dengan aspekkeamanan informasi seperti kerahasiaan,integritas data, serta otentikasiKata “seni” di dalam definisi di atas berasal darifakta sejarah bahwa pada masa-masa awalsejarah kriptografi, setiap orang mungkinmempunyai cara yang unik untuk merahasiakanpesan. Cara-cara unik tersebut mungkin berbedabeda pada setiap pelaku kriptografi sehinggasetiap cara menulis pesan rahasia pesanmempunyai nilai estetika tersendiri sehinggakriptografi berkembang menjadi sebuah senimerahasiakan pesan (kata “graphy” di dalam“cryptography” itu sendiri sudah menyiratkansebuah seni). Kita akan melihat contoh-contohteknik keriptografi dari zaman dahulu hinggazaman sekarang sehingga kita dapat mamahamibahwa kriptografi dapat dipandang sebagaisebuah seni merahasiakan pesan. Padaperkembanganselanjutnya,kriptografiberkembang menjadi sebuah disiplin ilmu asikan secara matematik sehinggamenjadi sebuah metode yang formal.Dalam kriptografi terdapat beberapa istilahkhusus. Pesan yang dirahasiakan dinamakanplainteks (teks jelas dan dapat dimengerti),sedangkan pesan hasil penyamaran disebutchiperteks (teks tersandi). Proses penyamarandari plainteks ke chiperteks disebut enkripsi danproses pembalikan dari chiperteks ke plainteksdisebut deskripsi. Enkripsi dan deskripsi padasuatu proses penyamaran pesan memiliki suatukunci tersendiri. Dan hanya orang yang berhakyang mengetahui kunci tersebut. Gambar 1.1memperlihatkan diagram kedua proses yangdimaksud.KunciKunciKriptografi adalah ilmu dan seni untukmenjaga keamanan pesan(Cryptography is the art and science ofkeeping messages secure)4PlainteksCipherteksEnkripsiDekripsiGambar 1.1Plainteks
Penerapan Teori Bilangan Bulat dalam Kriptografi dan Aplikasinya dalam Kehidupan Sehari-hariSebagai contoh, dalam gambar 1.2 sebuahplainteks (sebelah kanan) disandikan menjadichiperteks (sebelah kiri) dengan suatu teknikkriptografi tersebut.Ketika sayaberjalan-jalan dipantai, sayamenemukan banyaksekali kepitingyang merangkakmenuju laut.Mereka adalahanak-anakkepiting yangbarumenetas daridalam pasir.Naluri merekamengatakan bahwalaut adalahtempat kehidupanmereka.Ztâxzp/épêp/qtüyp{p} yp{p}/sx/ p}âpx;épêp/ t}t äzp}/qp}êpz/étzp{x/ xâx}v êp}v/ tüp}vzpz/ t}äyä/{päâ / \tützp psp{pw/p}pz p}pz/zt xâx}v/êp}v/qpüä t}tâpé/spüx/sp{p / péxü /]Gambar 1.2Chiperteks meskipun sudah tidak bersifat rahasialagi, namun isinya sudah tidak jelas dan tidakdapat dimengerti maksudnya. Hanya orang yangberhak saja yang dapat mengembalikan pesantidak jelas tersebut menjadi pesan semula denganmenggunakan suatu kunci.Kriptografi juga dapat dituliskan dalam notasimatematis. Jika chiperteks dilambangkan denganC dan plainteks dilambangkan dengan P, makafungsi enkripsi E memetakan P ke C, dapatditulis sebagai berikutE(P) CPada proses kebalikannya yaitu proses deskripsi,fungsi deskripsi D memetakan C ke P, dapatditulis sebagai berikutD(C) PKarena proses enkripsi kemudian deskripsimengembalikan pesan ke pesan asal, makakesamaan berikut harus benar.D(E(P)) P4. Hubungan Teori Bilangan Bulatdengan Kriptografi5Seperti yang telah diungkapkan diatas bahwakriptografi sangat erat hubungannya denganmatematika diskrit terutama fungsi dan teoribilangan bulat yang berisi tentang.- Integer dan sifat-sifat pembagian- Algoritma Euclidean- Aritmetika modulo- Bilangan primaHal yang diungkapkan di atas sangat relevankarena saat ini kriptografi modern tidak . Namun kriptografi saat inimendasarkan kekuatan kriptografinya pada kunci.Sebelum melangkah lebih jauh, alangakah lebihbaiknya jika dijelaskan mengenai kekuatankriptrografi berdasarkan algoritma maupun kuncisebagai berikut.Algoritma kriptografi atau chipper adalah fungsimatematika yang digunakan untuk enkripsi dandeskripsi. Kekeuatan suatu algoritma kriptografidiukur dari banyaknya kerja yang dibutuhkanuntuk memecahkan data chipperteks menjadiplainteksnya. Semakin banyak usaha yangdiperlukan, yang berarti semakin banyak waktuyang dubutuhkan, maka semakin kuat algoritmakriptografinya, yang berarti semakin amandigunakan untuk menyandikan pesan.Jika kekuatan kriptografi ditentukan denganmenjaga kerahasiaan algoritmanya, makaalgoritma kriptografinya dinamakan algoritmarestricted. Misalkan di dalam sebuah kelompokorang meraka sepakat untuk menyadikan setiappesan-pesan dengan algoritma yang sama,Algoritmanya adalah mempertukarkan setiapkata karakter pertama dengan karakter kedua,karakter ketiga dengan karakter keempat danseterusnya. Contohnya,Plainteks : STRUKTUR DISKRITChiperteks : TSURTKRU IDKSIRTUntuk mendeskripsikan pesan, algoritma yangsama digunakan kembali. Sayangnya, algoritmarestricted tidak cocok saat ini. Bila salah seorangkeluar dari kelompok, maka algoritmapenyandian pesan harus diubah lagi karenakerahasiaannya tidak lagi dapat diandalkan.Kriptografi modern tidak lagi mendasarkankekuatan pada algoritmanya. Jadi algoritma tidaklagi dirahasiakan dan boleh diketahui oleh umum.Kekuatan kriptografinya terletak pada kunci,
Penerapan Teori Bilangan Bulat dalam Kriptografi dan Aplikasinya dalam Kehidupan Sehari-hariyang berupa dereten karakter atau deretanbilangan bulat, dijaga kerahasiaannya. Hanyaorang uang mengetahui kunci yang dapatmelakukan enkripsi dan deskripsi. Kunci inianalog fungsinya dengan password pada sistemkomputer, PIN pada ATM atau kartu kredit.Bedanya jika password bertujuan untuk otorisasiakses, maka kunci pada kriptografi digunakanpada proses enkripsi dan deskripsi.Kriptografi yang mendasarkan kekuatan padakunci sering menggunakan dasar teori bilanganbulat diatas sebagai dasar algoritma dan jugakuncinya. Selanjutnaya akan dijelaskan dalamsub bab berikut ini.4.1. Caesar ChiperTeknik kriptografi ini digunakan oleh JuliusCaesar, kaisar Romawi, untuk menyandikanpesan yang ia kirim kepada gubernurnya. Padacaesar chiper, tiap huruf disubstitusi denganhuruf ketiga berikutnya dari susunan alfabet.Dalam hal ini kuncinya adalah jumlahpergeseran huruf (yaitu 3).Plainteks pi :A B C D E F G H I J K L M N O PQ R S T U V W X Y ZChiperteks ci :D E F G H I J K L M N O P Q R ST U V W X Y Z A B CDengan mengkodekan setiap huruf alfabetdengan integer: A 0, B 1, , Z 25, makasecara matematis caesar chiper menyandikanplainteks pi menjadi ci dengan aturan sebagaiberikutci E(pi) (pi 3) mod 26Persoalan di atas dapat digenerik-an sebagaiberikut.Jika pergeseran huruf sejauh k, maka:Enkripsi: ci E(pi) (pi k) mod 26Dekripsi: pi D(ci) (ci – k) mod 26k kunci rahasiaUntuk 256 karakter ASCII, maka:Enkripsi: ci E(pi) (pi k) mod 2566Dekripsi: pi D(ci) (ci – k) mod 256k kunci rahasiaNamun teknik ini memiliki kelemahan yaitumudah dipecahkan dengan exhaustive key searchkarena jumlah kuncinya sangat sedikit (hanyaada 26 kunci).4.2. Vigènere CipherAlgoritma kriptografi ini dipublikasikan olehdiplomat (sekaligus seorang kriptologis) Perancis,Blaise de Vigènere pada abad 16 (tahun 1586).Vigènere Cipher digunakan oleh TentaraKonfederasi (Confederate Army) pada PerangSipil Amerika (American Civil war).Vigènere Cipher menggunakan BujursangkarVigènere untuk melakukan enkripsi. Setiap barisdi dalam bujursangkar menyatakan huruf-hurufcipherteks yang diperoleh dengan Caesar Cipher.Pada dasarnya teknik yang digunakan hampirsama dengan Caesar Cipher.Jika panjang kunci lebih pendek daripadapanjang plainteks, maka kunci diulang secaraperiodik. Bila panjang kunci adalah m, makaperiodenya dikatakan m. Berikut ini contohpenggunaan Vigènere Cipher.kunci sonyPlainteksKunci:THIS PLAINTEXT:sony sonysonysHasil enkripsi seluruhnya adalah sebagai berikut:PlainteksKunciCipherteks:THIS PLAINTEXT:sony sonysonys: LVVQ HZNGFHRVLPada dasarnya, setiap enkripsi huruf adalahCaesar cipher dengan kunci yang berbeda-beda.c(‘T’) (‘T’ ‘s’) mod 26 Lc(‘H’) (‘H’ ‘o’) mod 26 V, dstKeunggulan dari penggunaan Vignere Cipheradalah huruf yang sama tidak selalu dienkripsimenjadi huruf cipheteks yang sama pulasehingga lebih sukar untuk mengubah cipherteksmenjadi plainteks asal jika tidak mengetahuikuncinya.
Penerapan Teori Bilangan Bulat dalam Kriptografi dan Aplikasinya dalam Kehidupan Sehari-hari6.4.3. RSA (Rivest-Shamir-Adleman)Algoritma RSA diperkenalkan oleh tiga orangpeneliti dari MIT (Massachussets Institute ofTechnology), yaitu Ron Rivest, Adi Shamir, danLen Adleman, pada tahun 1976. RSAmendasarkan proses enkripsi dan deskripsinyapada konsep bilangan prima dan aritmatikamodulo. Baik kunci enkripsi maupun kuncideskripsi keduanya merupakan bilangan bulat.Kunci enkripsi tidak dirahasiakan dan diketahuiumum (sehingga dinamakan juga kunci publik),namun kunci untuk deskripsi bersifat rahasia.Kunci deskripsi dibangkitkan oleh beberapa buahbilangan prima bersama-sama dengan kuncienkripsi. Untuk menemukan kunci enkripsi,seseorang harus memfaktorkan suatu , memfaktorkan bilangan nonprima menjadi faktor primanya bukanlahpekerjaan yang mudah. Belum ada algoritmayang efisien yang ditemukan untuk pemfaktoranitu. Semakin besar bilangan non-primanya tentuakan semakin sulit menemukan faktor primanya.Semakin sulit pemfaktorannya, semakin kuatpula algoritma RSA. Algoritma RSA sebenarnyasederhana sekali. Secara ringkas, algoritma RSAadalah sebagai berikut.Algoritma RSA1. Pilih dua buah bilangan primasembarang, sebut a dan b. Jagakerahasiaan a dan b ini.2. Hitung n a b. Besaran n tidakdirahasiakan.3. Hitung m (a – 1) (b – 1). Sekali mtelah dihitung, a dan b dapat dihapusuntuk mencegah diketahui pihak lain.4. Pilih sebuah bilangan bulat untuk kuncipublik, sebut namany
Penerapan Teori Bilangan Bulat dalam Kriptografi dan Aplikasinya dalam Kehidupan Sehari-hari 3 2.2.1. Kongruen Kadang – kadang dua buah bilangan bulat a dan b, mempunyai sisa yang sama jika dibagi dengan bilangan bulat positif m. Kita katakan bahwa a dan b kongruen dalam mosulo
Bilangan Bulat 1. Pemahaman Konsep Bilangan Bulat Bilangan bulat terdiri atas: a) Bilangan asli atau bilangan bulat positif b) Bilangan nol, dan c) Lawan bilangan asli atau bilangan bulat negatif Bilangan bulat dituliskan atau dinotasikan dengan B { , -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, } 2. Menyatakan Bilangan Bulat dari Kehidupan Sehari-hari
Pada bagian ini, kita akan melakukan operasi hitung bilangan bulat termasuk penggunaan sifat-sifatnya, pembulatan, dan penaksiran. 1. Bilangan Bulat Perhatikan garis bilangan di bawah ini! Di kelas 4, kita telah mempelajari tentang bilangan bulat. Bilangan bulat meliputi bilangan bulat positif, bilangan bulat negatif, dan bilangan 0 (nol .
Bilangan Bulat Teori bilangan adalah cabang matematika murni yang ditujukan untuk mempelajari bilangan bulat (integer) atau fungsi bernilai bilangan bulat. Bilangan bulat (integer) adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0 B
pangkat. Karena pangkatnya bilangan bulat, maka disebut bilangan berpangkat bilangan bulat. 1. Bilangan Berpangkat Sederhana Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menemui perkalian bilangan-bilangan dengan faktor-faktor yang sama. Misalkan kita temui perkalian bilangan-bilangan sebagai berikut. 2 2 2 3 3 3 3 3 6 6 6 6 6 6
1. Siswa dapat memberikan contoh bilangan bulat. 2. Siswa dapat menentukan letak bilangan bulat pada garis bilangan. Karakter yang diharapkan: Disiplin ( Discipline) Rasa hormat dan perhatian ( respect ) Tekun ( diligence) Tanggung jawab ( responsibility ) II. Materi Pembelajaran: Bilangan bulat Pengertian bilangan bulat.
3. Menyelesaikan operasi hitung pada bilangan bulat termasuk operasi campuran D. Tujuan Pembelajaran 1. Siswa dapat mengidentifikasi besaran sehari-hari yang menggunakan bilangan bulat 2. Siswa dapat menentukan letak bilangan bulat pada garis bilangan 3. Siswa dapat menyelesaikan operasi hitung pada bilangan bulat termasuk operasi campuran
1. Tentukan apakah bilangan-bilangan berikut merupakan bilangan prima atau majemuk. a).157 b).221 Jawab: a). Bilangan-bilangan prima yang adalah 2, 3, 5, 7, 11. Karena tidak ada diantara bilangan-bilangan tersebut yang dapat membagi 157 maka157 merupakan bilangan prima.
I believe my brother’s sons have weak interpersonal communication skills, and I’m convinced this is partly due to their lifelong infatuation with the personal computer. They have few skills at reading or expressing empathy. If they were more skilled, they might have been able to assess their father’s reduced self-esteem, personal control and belongingness, and then do something about it .
