TRIGONOMETRI Andini Tresnaningsih Sylvia Nopiani Risa P.

TRIGONOMETRIAndini tresnaningsihUntuk XI IPAsylvia nopiani risa p. CDInteraktif

Judul Buku : TrigonometriPenyusun : Andini Tresnaningsih dan Sylvia Nopiani Risa PrihatiniKoordinator/Editor : Andini Tresnaningsih dan Sylvia NopianiPenilai : Dede Trie Kurniawan, S.Si, M.Pd.Hak Cipta@Pada Penerbit AS – Universitas Swadaya Gunung JatiCirebon – IndonesiaDilarang mengutip, menjiplak atau memfotokopi sebagian ataupun seluruh bukuini dalam bentuk apapun tanpa izin tertulis dari penulis dan penerbit.KutipanUNDANG – UNDANG HAK CIPTA TAHUN 1987Pasal 721. Barang siapa dengan sengaja dan tanpa hak mengumumkan ataumemperbanyak suatu ciptaan atau memberikan izin untuk itu, dipidanadengan pidana penjara paling singkat 1 bulan dan/atau denda paling sedikitRp. 1.000.000,00, atau pidana penjara paling lama 7 tahun dan/atau dendapaling banyak Rp. 5.000.000.000,002. Barang siapa dengan sengaja menyerahkan, menyiarkan, memamerkan,mengedarkan, atau menjual kepada umum suatu ciptaan atau barang hasilpelanggaran hak cipta atau hak terkait sebagaimana dimaksud pada ayat (1),dipidana dengan pidana penjara paling lama 5 tahun dan/atau denda palingbanyak Rp. 500.000.000,00ii

Dalam paradigma modern, matematika tidak hanya sekedararitmatika atau berhitung. Akan tetapi lebih menitikberatkan padaproses penalaran, artinya dengan belajar matematika peserta didikdapat berfikir kreatif serta sistematis bukan untuk berhitung cepatdi dalam kepala.Penulisan dalam buku ini dimulai dengan beberapa ulasanpada materi Trigonometri terdahulu. Lalu dilanjutkan denganbagaimana cara dari suatu pendapatan rumus-rumus Trigonometri.Buku ini terdiri dari 5 pembahasan, yaitu rumus trigonometriuntuk jumlah dan selisih dua sudut, rumus trigonometri sudutganda, rumus perkalian, rumus penjumlahan dan penguranganpada trigonometri, serta aplikasi trigonometri dalam kehidupansehari-hari. Lalu ada pula contoh-contoh soal pada setiappembahasan agar peserta didik lebih mudah untuk memahamimateri yang disediakan. Pada akhir bab, kami memberikan soalsoal untuk melatih sejauh mana peserta didik telah mempelajaribab Trigonometri ini.Akhirnya penulis mengucapkan terimakasih pada pihakpihak yang telah sukarela membantu dalam pembuatan bukuTrigonometri ini. Terimakasih untuk segala bantuan dansumbangan sarannya sehingga buku ini dapat terselesaikan. Sarandan kritik dari pembaca selalu kami tunggu untuk perbaikankualitas buku ini.Penyusuniii

Prakata dari Penyusun .iiiDaftar Isi .ivMotivasi untuk Siswa .viTRIGONOMETRI.1Pengantar dan Ulasan .2A. Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Sudut .31. Rumus Penjumlahan Cosinus.32. Rumus Pengurangan Cosinus.43. Rumus Penjumlahan Sinus .44. Rumus Pengurangan Sinus .55. Rumus Penjumlahan Tangen .56. Rumus Pengurangan Tangen .6Contoh Soal .7B. Rumus Trigonometri Sudut Ganda .81. Rumus Sudut Ganda untuk Sinus .82. Rumus Sudut Ganda untuk Cosinus .83. Rumus Sudut Ganda untuk Tangen .94. Rumus Sudut Ganda untuk Sin, cosdan tan.10Contoh Soal .11C. Rumus Perkalian Trigonometri .111. Perkalian Cosinus dan Cosinus .112. Perkalian Sinus dan Sinus .12iv

3. Perkalian Cosinus dan Sinus .12Contoh Soal .13D. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Trigonometri.141. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Cosinus .142. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus.153. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Tangen.15Contoh Soal .16E. Aplikasi dalam Kehidupan Sehari-Hari .17UJI LATIH PEMAHAMAN .19DAFTAR PUSTAKA .23Deskripsi Petunjuk Penggunaan CD Interaktif .24Biodata Penulis .25v

vi

TRIGONOMETRI1

PENGANTARKonsep trigonometri banyak diterapkan dalam bidang navigasi dan astronomi.Yang secara umum masalah utamanya adalah menentukan jarak yang sulit dicapaiseperti jarak antara bumi dan bulan atau jarak yang tidak dapat diukur secaralangsung seperti lebr sebuah danau, tinggi sebuah bukit atau gedung. Penerapanlainnya ditemukan dalam fisika, kimia, dan hampir semua cabang teknik.Di kelas X kita telah mempelajari beberapa rumus perbandingan trigonometri,aturan sinus dan kosinus, persamaan dan fungsi trigonometri, serta identitastrigonometri. Rumus-rumus tersebut sangat membantu kita dalam mempelajarimateri yang akan dibahas pada bab ini.ULASAN PERBANDINGAN TRIGONOMETRIsin sisi di hadapan sudut BC hipotenusaACsisi di dekat sudut AB hipotenusaACsisi di hadapan sudut BCtan sisi di dekat sudut ABcos ATURAN SINUS ATURAN KOSINUS2

A. RUMUS TRIGONOMETRI UNTUK JUMLAH DANSELISIH DUA SUDUT1. Rumus UntukAmatigambardisampingini,menunjukkan lingkaran yang berpusat di Odan berjari-jari r. Amati lagi gambartersebut dengan saksama. Dari gambartersebut, diperoleh OC OB OD OA rdan koordinat titik A, titik B, titik C, dantitik D, yaitu A(r, 0), B(r cos α, r sin α), C(rcos(α β), r sin(α β)), dan D(r cos β, –r sin β).Dengan menggunakan rumus jarak antara dua titik,diperolehsehingga Anda dapat menentukan ( AC)2 dan (DB)2, yaitua. (AC) 2 [r cos (α β) – r]2 [r sin (α β) – 0 ]2 r2 cos2 (α β) – 2r2 cos (α β) r2 r2 sin2 (α β) r2 [cos2 (α β) sin2 (α β)] r2 – 2r2cos (α β) r2 · 1 r2 – 2r2 cos (α β) 2r2 – 2r2 cos (α β)Jadi, (AC) 2r2 – 2r2 cos (α β)b. (DB) 2 (r cos α – r cos β) 2 (r sin α r sin β) 2 r 2cos2 α – 2r2 cos α cos β r2 cos2 β r2sin2 α 2 r2sin α sin β r2 sin2 β r2 (cos2 α sin2 α) r2 (cos2 β sin2 β ) – 2r2 cos α cos β 2r2sin α sin β r2 r2 – 2r2 cos α cos β 2r2 sin α sin β 2r2 – 2r2 cos α cos β 2r2 sin α sin βJadi, (DB) 2 2r2 – 2r2 cos α cos β 2r2 sin α sin β3

ΔOCA kongruen dengan ΔOBD sehingga AC DB.Jadi, AC2 DB2.2r2 – 2r2 cos (α β) 2r2 – 2r2 cos α cos β 2r2 sin α sin β–2r2 cos (α β) –2r2 cos α cos β 2r2 sin α sin βcos (α β) cos α cos β – sin α sin βJadi Rumus Untuk Cos , yaitucos (α β) cos α cos β – sin α sin β2. Rumus Untuk Cos Rumus untuk cos(α – β) dapat diturunkan dari rumus cos (α β),yaitucos(α – β) cos (α (–β)) cos α cos(–β) – sin α sin(–β) cos α cos β sin α sin βJadi Rumus Untuk Cos , yaitucos(α – β) cos α cos β sin α sin β3. Rumus Untuk SinAnda tentu masih ingat pelajaran di Kelas X tentang sudutkomplemen. Anda dapat menentukan rumus sin (α β) udutkomplemen berikut :4

Dengan menggunakan rumus perbandingan trigonometri dua sudutkomplemen, diperoleh :sin (α β) cos [90 – (α β)] cos [(90 – α) – β ] cos (90 – α) cos β sin (90 – α) sin β sin α · cos β cos α · sin βSehingga Rumus Untuk Sin sin (α β) sin α · cos β cos α · sin β4. Rumus Untuk SinRumus sin (α – β) dapat diperoleh dari rumus sin (α β), yaitusin (α – β) sin (α (–β)) sin α cos (–β) cos α sin (–β) sin α · cos β – cos α · sin βJadi rumus selisih sinus dua sudut :sin (α – β) sin α · cos β – cos α · sin β5. Rumus untuk tanAnda telah mempelajari bahwa :Kemudian anda telah mempelajari bahwa :cos (α β) cos α . cos β – sin α . sin βdansin (α β) sin α · cos β cos α · sin β5

Sekarang pelajari uraian berikut :Jadi, rumus jumlah tangen dua sudut adalah:6. Rumus untuk TanRumus tandiperoleh dari rumus tan, sebagai berikut:Jadi , rumus selisih tangen dua sudut adalah:6

CONTOH SOAL !!!1. Diketahuidantentukan nilai. jika sudut A dan B lancip,!Pembahasan : Karena A dan B lancip, maka:2. Tentukan nilai sin 75o !Pembahasan :3. Tunjukkan bahwa!Pembahasan :(terbukti)7

4. Diketahui cos A – 4/5 dan sin B 5/13 , sudut A dan B tumpul.Hitunglah sin (A B) dan sin (A – B)!Pembahasan : cos A – 4/5 , maka sin A 3/5 (kuadran II)sin B 5/13 , maka cos B – 12/13 (kuadran II)sin (A B) sin A cos B cos A sin B 3/5 . (–12/13) (–4/5) . 5/13 –36/65 – 20/65 – 56/65sin (A – B) sin A cos B – cos A sin B 3/5 . (–12/13) – (–4/5) . 5/13 –36/65 20/65sin (A – B) – 16/65B. RUMUS TRIGONOMETRI SUDUT GANDA1. Rumus untuk sin 2αAnda telah mengetahui bahwa:sin (α β) sin α cos β cos α sin β.Untuk β α, diperoleh:sin (α α) sin α cos α cos α sin αsin 2 α 2 sin α cos αJadi, rumus sudut ganda untuk sinus adalah:sin 2 α 2 sin α cos α1. Rumus untuk cos 2αAnda juga telah mempelajari bahwa:cos (α β) cos α cos β – sin α sin β.Untuk β α, diperoleh:8

cos (α α) cos α cos α – sin α sin αcos 2α cos2α – sin2αJadi, rumus sudut ganda untuk kosinus adalah:cos 2α cos2α – sin2αUntuk rumus cos 2α dapat juga ditulis:cos 2α cos 2α – sin 2αcos 2α (1 – sin2α) – sin2αcos 2α 1 – 2 sin2α2. Rumus untuk tan 2αDari rumus:Untuk β α, diperoleh:Jadi, rumus sudut ganda untuk tangen adalah:9

3. Rumus sudut ganda untuk Sin, cosdan tanBerdasarkan rumus cos 2α 1 – 2 sin2α dan cos 2α 2 cos2α – 1maka dapat digunakan menentukan rumus sudut ganda untuk Sin, cosdan tanBegitu pula untuk cos:Dengan cara yang sama didapat:10

CONTOH SOAL !!!1. Nyatakan sin 6x dalam sudut 3x!Pembahasan :2. Buktikan bahwa!Pembahasan :(terbukti)3. Hitung nilai!Pembahasan :tidak negatif, maka:C. RUMUS PERKALIAN TRIGONOMETRI1. Perkalian Cosinus dan CosinusDari rumus jumlah dan selisih dua sudut, dapat diperoleh rumussebagai berikut:11

cos (A B) cos A cos B – sin A sin Bcos (A – B) cos A cos B sin A sin Bcos (A B) cos (A – B) 2 cos A cos BJadi, rumus perkalian cosinus dan cosinus adalah:2 cos A cos B cos (A B) cos (A – B)2. Perkalian Sinus dan SinusDari rumus jumlah dan selisih dua sudut, dapat diperoleh rumussebagai berikut:cos (A B) cos A cos B – sin A sin Bcos (A – B) cos A cos B sin A sin Bcos (A B) – cos (A –B) –2 sin A sin BJadi, rumus perkalian antara sinus dengan sinus adalah:2 sin A sin B cos (A – B) – cos (A B)3. Perkalian Cosinus dan SinusDari rumus jumlah dan selisih dua sudut, dapat diperoleh rumussebagai berikut.sin (A B) sin A cos B cos A sin Bsin (A – B) sin A cos B – cos A sin Bsin (A B) sin (A – B) 2 sin A cos Bsin (A B) - sin (A – B) 2 cos A sin B12

Jadi, rumus perkalian antara cosinus dan sinus adalah:2 sin A cos B sin (A B) sin (A – B)2 cos A sin B sin (A B) - sin (A – B)CONTOH SOAL!!!1. Nyatakan bentukke jumlah atau selisih kosinus!Pembahasan :2. Hitung nilai dari!Pembahasan :3. Berapakah nilai dari 2 Cos (45 x) Cos (135 x) ?Pembahasan :2 Cos (45 x) Cos (135 x) Cos {(45 x) (135 x)} Cos {(45 x)-(135 x)} Cos (180 2x) Cos (-90 ) Cos 180 Cos 2x Cos 90 -1 Cos 2x 02 Cos (45 x) Cos (135 x) - Cos 2x13

D. RUMUS PENJUMLAHAN DAN PENGURANGANTRIGONOMETRI1. Penjumlahan dan Pengurangan cosinusBerdasarkan rumus perkalian cosinus, diperoleh hubunganpenjumlahan dalam cosinus yaitu sebagai berikut.2 cos A cos B cos (A B) cos (A – B)Misalkan: -Selanjutnya, kedua persamaan itu disubstitusikan.2 cos A cos B cos (A B) cos (A – B)Dari rumus 2 sin A sin B cos (A – B) – cos (A B), denganmemisalkan A B α dan A – B β, terdapat rumus:14

2. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan SinusDari rumus 2 sin A cos B sin (A B) sin (A – B), dengan memisalkanA B α dan A – B β, maka didapat rumus:3. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan TangenJadi, rumus penjumlahan untuk tangen adalah:Dengan cara yang sama didapat rumus:15

CONTOH SOAL!!!1. Buktikan bahwa:Pembahasan :(terbukti)2. Cos 55 Cos 25 .Pembahasan : Cos 55 Cos 25 2 Cos ½ (55 25 ) Cos ½ (55 - 25 ) 2 Cos ½ (80 ) Cos ½ (30 ) 2 Cos 40 Cos 15 2. 0,76 . 0,96Cos 55 Cos 25 1,4816

E. APLIKASI DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI1.) Berikut trigonometri digunakan dalam navigasi untuk menemukanjarak dari pantai ke suatu titik di laut.2.) Trigonometri umumnya digunakan dalam mencari ketinggian menaradan pegunungan.3.) Trigonometri digunakan dalam oseanografi dalam menghitungketinggian gelombang air laut17

4.) Digunakan untuk mengukur ketinggian suatu pohon5.) Fungsi sinus dan cosinus merupakan dasar bagi teori fungsi periodikseperti pada gelombang suara dan cahaya.18

UJI LATIH PEMAHAMANA. Pilihlah jawaban yang benar!1. cos 105⁰ .a.d.b.e.c.2. Diketahui tan A a.b.3. Fungsi sindan sin B , A dan B sudut lancip. Nilai cos (A-B) .c.d.e.dapat ditulis dalam bentukuntuk setiapharga , apabila.a.dand.b.dane.c.dandan4. Bilaa.dan, makab. 1c.d. .e.5.a.b.c.d.e.19