BAB I SISTEM BILANGAN REAL A. Sistem Bilangan Real Sistem .

BAB ISISTEM BILANGAN REALA. Sistem Bilangan RealSistem bilangan real sangat erat kaitannya dengan kalkulus. Sebagian darikalkulus berdasar pada sifat-sifat sistem bilangan real, sehingga sistem bilanganreal penting untuk kita pahami terlebih dahulu.Sistem adalah himpunan dari bilangan-bilangan beserta sifat-sifatnya,sedangkan himpunan bilangan real adalah sekumpulan bilangan-bilanganrasional atau irrasional, sehingga sistem bilangan real adalah himpunan yangterdiri dari bilangan real beserta sifat-sifat yang dimilikinya.Bilangan real merupakan bilangan yag dapat dituliskan dalam bentukdesimal, baik itu bilangan rasional maupun irrasional. Contoh bilangan real:Bilangan real dapat direpresentasikan secara geometri sebagai titik padasuatu garis bilangan real.-100123456000Simbol sistem bilangan real ataupun garis bilangan real dapat dinyatakandengan. Sifat dari sistem bilangan real terbagi dalam tiga kategori, yaitualgebraic properties, order properties,dan completeness property.Sifat-sifat dalam aljabar dari suatu bilangan menyatakan bahwa bilangan realdapat ditambahkan, dikurangkan, dikalikan, maupun dibagi (kecuali dengan 0).Kita tidak bisa membagi bilangan dengan 0.1

Sifat-sifat urutan dari bilangan real, dapat disajikan sebagai berikut.1. TrikotomiJika x dan y adalah bilangan-bilangan, maka pasti satu diantara yang berikutberlaku: x y atau x y atau x y2. Ketransitifan : x y dan y z x z3. Penambahan : x y x z y z4. Perkalian Bilangan z positif, x y xz yz Jika z negatif, x y xz yzSifat-sifat kelengkapan dari sistem bilangan real menyatakan suatu bilangandengan lebih tepat. Berikut disajikan tiga contoh himpunan, himpunan yangspesial dalam bilangan real.1. Bilangan asli, yaitu2. Bilangan bulat, yaitu3. Bilangan rasional, yaitu bilangan yang dapat dinyatakan dalambilangan bulat, dan. Contoh :, dengan ,danBilangan real, atau lebih tepatnya pada bilangan rasional, apabila disajikandalam bentuk desimal, dapat berupa:1. terminating (di belakang koma diakhiri oleh nol yang tidak terbatas)Contoh :2. eventually repeating (di belakang koma diakhiri dengan digit yang berulangContoh :(dengan penulisan bar mengindikasikanperulangan digit)tidak mengindikasikan perulangan digit maupun nol yangtidak terbatas, sehinggabilangan bulat, dantidak dapat dinyatakan dalam, atau dengan kata lain2, dengan,adalah bilangan irrasional.

B. IntervalSubset dari garis bilangan real dinamakan interval jika memuat minimal duabilangan dan memuat semua bilangan real diantara dua anggota tersebut. Secarageometris, interval berhubungan dengan sinar garis dan ruas garis dari bilanganreal. Penulisan himpunan dengan notasi himpunan, interval dan garis bilanganreal disajikan dalam Tabel 1 berikut.Tabel 1 Penyajian Himpunan dalam Notasi Himpunan, Interval, dan Garis BilanganNotasi Himpunan{ x a x b }Interval(a,b){ x a x b }FiniteGaris Bilangan Realabababab[a,b){ x a x b }(a,b]{ x a x b }[a,b]{x x b}(- ,b]{x x b}(- ,b)bInfiniteb{x x a}[a, ){x x a}(a, )aaC. aitannyadenganbanyakpermasalahan dalam kalkulus. Solusi dari suatu pertidaksamaan dapat disajikandalam bentuk notasi himpunan, interval, ataupun garis bilangan, seperti padabahasan sebelumnya.Contoh:1. Selesaikan pertidaksamaan2. Selesaikan pertidaksamaanPenyelesaian:3

1.jika kedua ruas ditambah 4 dan dikurangi x, makaPenyajian penyelesaian, dapat berupa notasi, tetapi juga dapat berupa interval, dapat pula berupa garis bilangan72.Untukdapat dilakukan langkah mengalikan keduaruas dengansehinggaruas kanan dijabarkan menjadijika kedua ruas ditambah 6jika kedua ruas dibagi 3AtauPenyajian penyelesaian, dapat berupa notasi, tetapi juga dapat berupa interval, dapat pula berupa garis bilangan4D. Nilai mutlakBerbagai terapan matematika, khususnya bilangan, pada kasus-kasus tertentumemerlukan suatu bilangan yang selalu positif. Misal dicontohkan dalam kasusjarak suatu titik ke titik lain, jarak suatu kota ke kota lain, luas daerah suatubidang, luas daerah suatu kebun, dsb tidak mungkin bernilai negatif. Dalamsistem bilangan real, bilangan yang tidak pernah negative didefinisikan sebagaiharga mutlak.Harga mutlak, dituliskan(1) , jika(2) -(3) 0 , jikadimanareal adalah: 0, jika 0 0Beberapa sifat dari harga mutlak diberikan sebagai berikut:(1) Untuk a dan b real, berlaku(2) Jika a 0 maka 4

Akibat dari sifat-sifat di atas adalah:(3) Jika a 0 , maka (4) Jika a 0 , maka jika a 0 , maka (5) Jika a dan b real maka(6) Jika a dan b real maka(disebut ketidaksamaansegitiga)(7) Jika a dan b real, makaLatihan1. Berikut disajikan bilangan-bilangan real. Manakah dari bilangan berikut yangmerupakan bilangan rasional? Berilah alasan atas jawabanmu.a.b.c. 0,009999 2. Tentukan solusi dari pertidaksamaan berikuta.b.c.5

BAB IIFUNGSIA. enganmengilustrasikannya dalam sebuah tembakan dengan senapan. Ilustrasikan fungsisebagai suatu senapan. Fungsi akan mengambil amunisi dari suatu himpunanyang disebut daerah asal (domain) dan menembakkannya pada suatu himpunansasaran yang disebut daerah hasil (range). Setiap peluru mengenai sebuah titiksasaran tunggal, tetapi boleh jadi beberapa peluru menuju pada titik yang sama.Penyajian suatu fungsi dapat dilakukan melalui berbagai sajian, diantaranyamelalui pasangan berurutan, diagram venn, maupun dalam grafik kartesius.Contoh : {(1,1),(2,4),(3,9)} apabila dinyatakan dalam diagram venn dapatdigambarkan dalam Gambar 1 berikut.112439ABGambar 1. Contoh Penyajian Fungsi dalam Diagram VennDari dua macam sajian fungsi di atas, dapat dilihat bahwa Himpunan A direlasikan terhadap Himpunan B, dengan daerah asal anggota dari himpunan A,yaitu {1,2,3}, dan daerah hasil {1,4,9}.Mengenai penyajian fungsi dalam diagram kartesius, dapat dilihat untuk tiapfungsinya dalam bahasan selanjutnya.6

B. Macam-Macam FungsiFungsi-fungsi yang ada, diantaranya disajikan berikut1. Fungsi LinierBentuk umum dari fungsi linier adalah:Fungsi linear apabila digambarkan dalam suatu diagram kartesius,maka akan diperoleh suatu grafik dengan kurva lurus. Berikut disajikanberbagai bentuk dari grafik fungsi linier dengan gradien yang berbeda-beda,yang disajikadalam Gambar 2.Gambar 2. Perbandingan Berbagai Macam Bentuk Grafik Fungsi Liner2. Fungsi KuadratBentuk umum dari fungsi kuadrat adalah:Berikut digambarkan contoh berbagai bentuk grafik persamaan kuadrat.7

Gambar 3. Perbandingan Berbagai Macam Bentuk Grafik Fungsi Kuadrat3. Fungsi Pangkat TigaBentuk umum dari fungsi pangkat tiga adalah:Berikut digambarkan contoh berbagai bentuk grafik fungsi pangkat tigaGambar 4. Perbandingan Berbagai Macam Bentuk Grafik Fungsi Pangkat Tiga8

4. Fungsi TrigonometriMisalkan titik P(x,y) berjarak 1 dari titik O(0,0), yaitux2 y 2 1 ,dan misalnya adalah sudut yang dibentuk oleh sumbu x positif dan OP.Didefinisikan cos x dan sin yYsin ycos xP(x,y) OP 1 OXDidefinisikan juga mengenai identitas trigonometri, diantaranya:a.b.c.d.e.f.g.Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasia) Perbandingan Trigonometri di Kuadran ISin (900- ) cosCos (900- ) SinTan (900- ) cotcsc (900- ) secsec (900- ) csccot (900- ) tanb) Perbandingan Trigonometri di Kuadran IISin (1800- ) sinCos (1800- ) - cosTan (1800- ) - tancsc (1800- ) cscsec (1800- ) -seccot (1800- ) - cot9

c) Perbandingan Trigonometri di Kuadran IIISin (1800 ) -sinCos (1800 ) - cosTan (1800 ) tancsc (1800 ) -cscsec (1800 ) -seccot (1800 ) cotd) Perbandingan Trigonometri di Kuadran IVSin (3600- ) -sinCos (3600- ) cosTan (3600- ) - tancsc (3600- ) -cscsec (3600- ) seccot (3600- ) - cotGrafik dari fungsi trigonometri, diantaranya disajikan dalam gambar berikut.Gambar 5. Grafik fungsiGambar 6. Grafik fungsi10

Gambar 7. Grafik fungsiGambar 8. Perbandingan Grafik fungsi5. Fungsi Eksponen dan LogaritmaPersamaan umum fungsi eksponen: y f ( x) a x ; a 0, a 1Sifat-sifat:1)app q4) q aapap a 5) pb b untuk semua x2) a p a q a p q3) (a p )q a pq11

Untuk fungsi eksponen asli, didefinisikan sebagai:Fungsi invers dari y ln x adalah x ey, y Dari definisi di atas didapatkan :a. eln x x, x 0, x b. ln (ey) y, x Bilangan e adalah suatu bilangan riil yang memenuhi persamaan ln e 1.Bilangan e adalah bilangan irrasional yaitu : e 2,718281828459045.Jika ab p , maka b disebut logaritma dari p dengan bilangan dasar a,dan ditulis log a p . Fungsi logaritma didefinisikan dengan persamaan:y f ( x) log a x , a 0, a 1Yang mana fungsi ini terdefinisikan untuk x 0, dan tidak lain merupakaninvers dari fungsi exponen.Sifat-sifat:1) log a pq log a p log a q2) log ap log a p log a qq3) log a p q q log a p6. Fungsi Invers Trigonometri12

.Gambar 9. Fungsi y sin x pada [ /2, /2] mempunyai inversGambar 10.y PV sin x dengan /2 x /2.Gambar 11. x arc sin y y sin x dengan /2 x /2.Gambar 12. y arc sin x x sin y dengan /2 x /2.Seringkali simbol y arc sin x dituliskan dalam bentuk y sin 1 x .7. Fungsi HiperbolikFungsi eksponensialdansering muncul secara kombinasi dalammatematika dan terapannya sehingga kombinasi tersebut diberi nama khusus,yang mirip dengan fungsi trigonometri.Definisi(Fungsi Hiperbol) Fungsi sinus hiperbol, cosinus hiperbol dan empat fungsisejenis lainnya didefinisikan sbb :13

C. Operasi pada FungsiFungsi bukanlah bilangan. Tetapi seperti halnya dua bilangan a dan bdapat ditambahkan untuk menghasilkan sebuah bilangan baru a b, demikianjuga dua fungsi f dan g dapat ditambahkan untuk menghasilkan sebuah fungsibaru f g. Ada beberapa operasi yang bisa diberlakukan pada fungsiKita akan mudah memahami operasi pada fungsi ini dengan contoh,misalkan f dan g sebagai berikut:f ( x) x 5dan g ( x) x2Kita dapat membuat fungsi baru f g dan f – g dengan cara memberikanpada x nilai ini:( f g )( x) f ( x) g ( x) x 5 x2( f g )( x) f ( x) g ( x) x 5 x2Daerah asalf gf-yD. Fungsi KomposisiKomposisi fungsi bisa diibaratkan sebagai dua fungsi yang berurutanartinya fungsi yang kedua dioperasikan setelah fungsi yang pertama bekerja.Misalkan f dan g seperti pada contoh di atas, maka jika f bekerja pada x untukmenghasilkan f(x) dan kemudian g bekerja pada f(x) untuk menghasilkan14

g(f(x)), dikatakan bahwa kita telah menyusun g dengan f. Fungsi yangdihasilkan, disebut komposit g dengan f, dinyatakan oleh g o f. Jadi (g o f) (x) g(f(x))Pada contoh f dan g diatas, bisa kita uraikan sebagai berikut:f ( x) x 5dan g ( x) x2 x 5 ( g f )( x) g ( f ( x)) g 2 ( f g )( x) f ( g ( x)) f x x 52x 52bisa juga kita dapatkan komposisi ( f f )( x) dan ( g g )( x) , berapa hasil akhirnyasilahkan dicoba sebagai latihan.LatihanJikadanTentukan domain dari1.2.3. 4. 5.6.7.8.15

BAB IIILIMIT FUNGSIA. Limit Fungsi di Satu TitikPemahaman secara intuisif(x) 2 x2 x 3x 1 f(1) tidak mempunyai nilai (tidak terdefinisi)Tabel 2. Simulasi Nilai Limit untuk f(x) dekat dengan 1 dari arah kiri 2 x2 x 3x 1 dekat dengan 1 dari arah kananx0,90,990,9990,9999 1,00011,0011,011,1f(x)4,8 .4,9998 5,00025,0025,025,2nilai fungsi dekat dengan 5 nilai fungsi dekat dengan 5Definisi 3.1 : (pengertian limit secara intuisi)lim f ( x) L berarti bahwa jika x dekat c (x c) maka f(x) dekat dengan Lx cDari tabel 1. : 0 x – 1 0,1 f(x) – 5 0,20 x – 1 0,01 f(x) – 5 0,020 x – 1 0,001 f(x) – 5 0,002 dan seterusnya.nilai f(x) dapat didekatkan ke 5 sekehendak kita asalkan nilai x diambil cukupdekat ke 1.Artinya, f(x) – 5 dapat dibuat kecil sekehendak kita asal x – 1 cukup kecilpula. DKL : f(x) – 5 apabila 0 x – 1 Definisi 3.2. : Limit fungsiMisalkan f suatu fungsi yang didefinisikan pada selang terbuka I yang memuat ckecuali mungkin di c itu sendiri.lim f ( x) L 0, 0 x c0 x – c f (x) – L .16