III 3 Deret Dan Transformasi Fourier - Darpublic
DarpublicNopember 2013www.darpublic.comDeret dan Transformasi FourierDeret FourierKoefisien Fourier. Suatu fungsi periodik dapat diuraikan menjadi komponenkomponen sinus. Penguraian ini tidak lain adalah pernyataan fungsi periodik kedalam deretFourier. Jika f(t) adalah fungsi periodik yang memenuhi persyaratan Dirichlet, maka f(t)dapat dinyatakan sebagai deret Fourier : [a n cos(nω0 t ) bn sin(nω0 t )]f (t ) a 0 (1)n 1yang dapat kita tuliskan sebagai a n2 bn2 (cos(nω 0 t θ n ) ) f (t ) a 0 n 1(2)Koefisien Fourier a0, an, dan bn ditentukan dengan hubungan berikut:a0 1T0an 2T0bn 2T0T0 / 2 T / 2 f (t )dt0T0 / 2 T / 2 f (t ) cos(nω 0 t )dt; n 0(3)0T0 / 2 T / 2 f (t ) sin(nω0 t )dt; n 00Hubungan (3) dapat diperoleh dari (1). Misalkan kita mencari an; kita kalikan (1) dengancos(kωot) kemudian kita integrasikan antara To/2 sampai To/2 dan kita akan memperolehTo / 2To / 2oo T / 2 f (t ) cos(kωo t )dt T / 2 a 0 cos(kω o t )dt To / 2 To / 2 a n cos(nω 0 t ) cos(kω o t )dt To / 2n 1 bn sin(nω 0 t ) cos(kω o t )dt To / 2 Dengan menggunakan kesamaan tigonometri11cos(α β) cos(α β)2211cos α sin β sin(α β) sin(α β)22cos α cos β maka persamaan di atas menjadiTo / 2To / 2 T / 2 f (t ) cos(kωot )dt T / 2 a0 cos(kωot )dtoo an 2 To / 2 (cos(( n k )ω0t ) cos(( n k )ωot ) )dt b To / 2 n 1 n()sin((n k)ωt) sin((n k)ωt)dtdt0o 2 To / 2 To / 2 1/15
DarpublicNopember 2013www.darpublic.comKarena integral untuk satu perioda dari fungsi sinus adalah nol, maka semua integral diruas kanan persamaan ini bernilai nol kecuali satu yaituan2oleh karena itu T / 2 (cos((n k )ω 0 t ))dt an To / 2o2Toanyang terjadi jika n k2To / 2 T / 2 f (t ) cos(nω 0 t )dtoPada fungsi-fungsi yang sering kita temui, banyak diantara koefisien-koefisien Fouriernya bernilai nol. Keadaan ini ditentukan oleh kesimetrisan fungsi f(t) . Kita akan melihatnyadalam urain berikut ini.Kesimetrisan FungsiSimetri Genap. Suatu fungsi dikatakan mempunyai simetri genap jika f(t) f( t). Salahsatu contoh fungsi yang memiliki simetri genap adalah fungsi cosinus, cos(ωt) cos( ωt).Untuk fungsi semacam ini, dari (1) kita dapatkanf (t ) a0 [an cos(nω0t ) bn sin(nω0t )]dann 1 f ( t ) a0 [an cos(nω0t ) bn sin(nω0t )]n 1Kalau kedua fungsi ini harus sama, maka haruslah bn 0, dan f(t) menjadif (t ) a o [a n cos(nω 0 t )](4)n 1v(t)CONTOH-1: Tentukan deret Fourier dari bentukgelombang deretan pulsa berikut ini.TA T/2 0T/2ToPenyelesaian :Bentuk gelombang ini memiliki simetri genap, amplitudo A, perioda To , lebar pulsaT.ao 1To T / 2an 2ToT /2 T /2Adt AtToT /2 T/ 2AT; bn 0 ;To2A T / 2 A cos(nω o t )dt To ωo n sin nωo t T / 2 nπTA 2 sin πn ToT /2 2 A nπT sin πn To Untuk n 2, 4, 6, . (genap), an 0; an hanya mempunyai nilai untuk n 1, 3, 5, .(ganjil).f (t ) AT2 A nπT sin To n 1, ganjil nπ To cos(nω o t ) AT2A( 1)( n 1) / 2 cos(nω o t ) To n 1, ganjil nπ 2/15 Sudaryatno Sudirham, Deret dan Transformasi Fourier
DarpublicNopember 2013www.darpublic.comPemahaman :Pada fungsi yang memiliki simetri genap, bn 0. Oleh karena itu sudut fasaharmonisa tanθn bn/an 0 yang berarti θn 0o.Simetri Ganjil. Suatu fungsi dikatakan mempunyai simetri ganjil jika f(t) f( t).Contoh fungsi yang memiliki simetri ganjil adalah fungsi sinus, sin(ωt) sin( ωt). Untukfungsi semacam ini, dari (1) kita dapatkan f ( t ) a 0 [ a n cos(nω0 t ) bn sin(nω0 t )]n 1Kalau fungsi ini harus sama denganf (t ) a 0 [a n cos(nω0 t ) bn sin(nω0 t )]n 1maka haruslaha 0 0 dan a n 0 f (t ) [bn sin(nω 0 t )](5)n 1CONTOH-2: Carilah deret Fourier dari bentuk gelombangpersegi di samping ini.v(t)ATtPenyelesaian:Bentuk gelombang ini memiliki simetri ganjil, amplitudoA, perioda To T. Aao 0 ; an 0 ;T2 T /2 A sin(nω o t )dt A sin(nω o t )dt 0/2TT 2AT /2T cos(nω o t ) 0 cos(nω o t ) T / 2Tnω obn )( (A1 cos 2 (nπ) 2 cos(nπ)nπ)Untuk n ganjil cos(nπ) 1 sedangkan untuk n genap cos(nπ) 1. Dengan demikianmakaA(1 1 2) 4 A untuk n ganjil 4Anπnπ v(t ) sin(nω o t )Anπn 1,ganjil(1 1 2) 0 untuk n genapbn nπbn Pemahaman:Pada bentuk gelombang dengan semetri ganjil, an 0. Oleh karena itu sudut fasaharmonisa tanθn bn/an atau θn 90o.Simetri Setengah Gelombang. Suatu fungsi dikatakan mempunyai simetri setengahgelombang jika f(t) f(t To/2). Fungsi dengan sifat ini tidak berubah bentuk dan nilainyajika diinversi kemudian digeser setengah perioda. Fungsi sinus(ωt) misalnya, jika kita kitainversikan kemudian kita geser sebesar π akan kembali menjadi sinus(ωt). Demikain pulahalnya dengan fungsi-fungsi cosinus, gelombang persegi, dan gelombang segitiga.3/15
DarpublicNopember 2013 f (t To / 2) a0 a0 www.darpublic.com [ an cos(nω0 (t π)) bn sin(nω0 (t π))]n 1 [ ( 1)n an cos(nω0t ) ( 1)n bn sin(nω0t )]n 1Kalau fungsi ini harus sama denganf (t ) a 0 [a n cos(nω0 t ) bn sin(nω0 t )]n 1maka haruslah ao 0 dan n harus ganjil. Hal ini berarti bahwa fungsi ini hanya mempunyaiharmonisa ganjil saja.Deret Fourier Bentuk EksponensialDeret Fourier dalam bentuk seperti (1) sering disebut sebagai bentuk sinus-cosinus.Bentuk ini dapat kita ubah kedalam cosinus seperti (2). Sekarang bentuk (2) akan kita ubahke dalam bentuk eksponensial dengan memanfaatkan hubungancos α e jα e jα.2Dengan menggunakan relasi ini maka (2) akan menjadif (t ) a0 n 1 an2 bn2 (cos( nω0t θn ) ) e j ( nω0t θ n ) e j ( nω0t θ n ) 2 a0 a0 a 2 b2 a 2 b2 n j ( nω 0 t θ n ) n j ( nω 0 t θ n ) n nee 2 n 1 2 n 1 an2 bn2n 1 (6) Suku ketiga (6) adalah penjumlahan dari n 1 sampai n . Jika penjumlahan ini kitaubah mulai dari n 1 sampai n , dengan penyesuaian an menjadi a n , bn menjadi b n ,dan θn menjadi θ n, maka menurut (3) perubahan ini berakibata n b n 2T0 T / 2 f (t ) cos( nω 0 t )dt T0 T / 2 f (t ) cos(nω 0 t )dt a n2T0 T / 2 f (t ) sin( nω 0 t )dt T0 T / 2 f (t ) sin(nω 0 t )dt btan θ n 2T0 / 20T0 / 202T0 / 20T0 / 2(7)0b n b n θ n θ na nanDengan (7) ini maka (6) menjadi a2 b2 a 2 b 2 nnnnj ( nω0 t θ n ) j ( nω0t θ n ) f (t ) e e n 1 22n 0 (8)Suku pertama dari (8) merupakan penjumlahan yang kita mulai dari n 0 untukmemasukkan a0 sebagai salah satu suku penjumlahan ini. Dengan cara ini maka (8) dapatditulis menjadi4/15 Sudaryatno Sudirham, Deret dan Transformasi Fourier
DarpublicNopember 2013f (t ) a2 b2 nne jθ n 2n www.darpublic.com j ( nω0t )e c n e j ( nω0t ) n (9)Inilah bentuk eksponensial deret Fourier, dengan cn adalah koefisien Fourier yang mungkinberupa besaran kompleks.cn a n2 bn22e jθ a n jbn2(10)an2 bn2cn dan cn θn dengan2 b b θn tan 1 n jika an 0; θn tan 1 n a n an (11)jika an 0Jika an dan bn pada (3) kita masukkan ke (10) akan kita dapatkancn a n jbn1 2T0T0 / 2 T / 2 f (t ) e jnωn t(12)dt0dan dengan (12) ini maka (9) menjadif (t ) 1 T0 / 2 c n e j (nω t ) T0 T / 2 f (t ) e jnω t dt e j (nω t )0n n o0(13)0Persamaan (11) menunjukkan bahwa 2 cn adalah amplitudo dari harmonisa ke-n dan sudutfasa harmonisa ke-n ini adalah cn. Persamaan (10) ataupun (12) dapat kita pandangsebagai pengubahan sinyal periodik f(t) menjadi suatu spektrum yang terdiri dari spektrumamplitudo dan spektrum sudut fasa. Persamaan (9) ataupun (13) memberikan f(t) apabilakomposisi harmonisanya cn diketahui. Persamaan (12) menjadi cikal bakal transformasiFourier, sedangkan persamaan (13) adalah transformasi baliknya.CONTOH-3: Carilah koefisien Fourier cn dari fungsi pada contoh-10.1.Penyelesaian :1cn To T /2 T / 2A eAnω o To jnωo tAdt To e jnωo t jnωo e jnωoT / 2 e jnωoT / 2 j T /2 T / 2 2 A sin (nω o T / 2 ) nω To o Transformasi FourierSpektrum Kontinyu. Deret Fourier, yang koefisiennya diberikan oleh (12) hanyaberlaku untuk sinyal periodik. Sinyal-sinyal aperiodik seperti sinyal eksponensial dan sinyalanak tangga tidak dapat direpresentasikan dengan deret Fourier. Untuk menangani sinyalsinyal demikian ini kita memerlukan transformasi Fourier dan konsep spektrum kontinyu.Sinyal aperiodik dipandang sebagai sinyal periodik dengan perioda tak-hingga.Jika diingat bahwa ω0 2π/T0 , maka (13) menjadi5/15
DarpublicNopember 2013 f (t ) 1www.darpublic.com T0 / 2 T0 T / 2 f (t ) e jnω t dt e jnω tn 0001 2π n T0 / 2 T / 2 f (t ) e jnω0t0(14) dt ω 0 e jnω0t Kita lihat sekarang apa yang terjadi jika perioda T0 diperbesar. Karena ω0 2π/T0 makajika T0 makin besar, ω0 akan makin kecil. Beda frekuensi antara dua harmonisa yangberturutan, yaitu ω (n 1)ω 0 nω 0 ω 0 2πT0juga akan makin kecil yang berarti untuk suatu selang frekuensi tertentu jumlah harmonisasemakin banyak. Oleh karena itu jika perioda sinyal T0 diperbesar menuju maka spektrumsinyal menjadi spektrum kontinyu, ω menjadi dω (pertambahan frekuensi infinitisimal),dan nω0 menjadi peubah kontinyu ω. Penjumlahan pada (14) menjadi integral. Jadi denganmembuat T0 maka (14) menjadif (t ) 12π 1 f (t ) e jωt dt e jωt dω 2π F (ω) ejωtdω(15)dengan F(ω) merupakan sebuah fungsi frekuensi yang baru, sedemikian rupa sehinggaF (ω) f (t ) e j ωt(16)dtdan F(ω) inilah transformasi Fourier dari f(t), yang ditulis dengan notasiF [ f (t )] F (ω)Proses transformasi balik dapat kita lakukan melalui persamaan (15).f (t ) F 1 (ω)CONTOH-4: Carilah transformasi Fourier dari bentukgelombang pulsa di samping ini.Penyelesaian :v(t)A T/20T/2Bentuk gelombang ini adalah aperiodik yang hanya mempunyainilai antara T/2 dan T/2, sedangkan untuk t yang lain nilainya nol. Oleh karena ituintegrasi yang diminta oleh (16) cukup dilakukan antara T/2 dan T/2 saja.F (ω) T /2A e jωt dt T / 2 ATA jωtejωT /2 T / 2A e jωT / 2 e jωT / 2 ω / 2 j2 sin(ωT / 2)ωT / 2Kita bandingkan transformasi Fourier (16)F (ω) f (t ) e j ωtdtdengan koefisien Fourier6/15 Sudaryatno Sudirham, Deret dan Transformasi Fourier
DarpublicNopember 2013cn a n jbn1 2T0www.darpublic.comT0 / 2 T / 2 f (t ) e jnωnt(17)dt0Koefisien Fourier cn merupakan spektrum sinyal periodik dengan perioda T0 yangterdiri dari spektrum amplitudo cn dan spektrum sudut fasa cn, dan keduanyamerupakan spektrum garis (tidak kontinyu, memiliki nilai pada frekuensi-frekuensi tertentuyang diskrit). Sementara itu transformasi Fourier F(ω) diperoleh dengan mengembangkanperioda sinyal menjadi tak-hingga guna mencakup sinyal aperiodik yang kita anggap sebagaisinyal periodik yang periodenya tak-hingga. Faktor 1/T0 pada cn dikeluarkan untukmemperoleh F(ω) yang merupakan spektrum kontinyu, baik spektrum amplitudo F(jω) maupun spektrum sudut fasa F(ω).CONTOH-5: Gambarkan spektrum amplitudo dari sinyal pada contoh-4.Penyelesaian :Spektrum amplitudo sinyal aperiodik ini merupakan spektrum kontinyu F(jω) .F (ω) ATsin(ωT / 2)ωT / 2 F(ω) -5ω00Pemahaman:Sinyal ini mempunyai simetri genap. Sudut fasa harmonisa adalah nol sehinggaspektrum sudut fasa tidak digambarkan. Perhatikan pula bahwa F(ω) mempunyaispektrum di dua sisi, ω positif maupun negatif; nilai nol terjadi jika sin(ωT/2) 0yaitu pada ω 2kπ/T (k 1,2,3, ); nilai maksimum terjadi pada ω 0, yaitu padawaktu nilai sin(ωT/2)/(ωT/2) 1.CONTOH-6: Carilah transformasi Fourier dari f(t) [A e αt ] u(t) dan gambarkanspektrum amplitudo dan fasanya.Penyelesaian :F (ω) Ae αt u (t )e jωt dt e ( α jω)t Aα jω F (ω) 0 0Ae ( α jω)t dtAuntuk α 0α jω A α 2 ω2 θ(ω) F ( jω) tan 1ωα7/15
DarpublicNopember 2013www.darpublic.comθ(ω) 90o90 F(ω)25A/α ω 90oPemahaman:Untuk α 0, tidak ada transformasi Fourier-nya karena integrasi menjadi tidakkonvergen.Transformasi BalikPada transformasi Fourier transformasi balik sering dilakukan dengan mengaplikasikanrelasi formalnya yaitu persamaan (15). Hal ini dapat dimengerti karena aplikasi formulatersebut relatif mudah dilakukanCONTOH-7: Carilah f(t) dariF (ω) 2πδ(ω)Penyelesaian : 12πf (t ) α α 2πδ(ω) e jωt dω 12π0 0 2πδ(ω) e jωt dωδ(ω)(1) dω 1Pemahaman :Fungsi 2πδ(ω) adalah fungsi di kawasan frekuensi yang hanya mempunyai nilai diω 0 sebesar 2π. Oleh karena itu e jωt juga hanya mempunyai nilai di ω 0 sebesar ej0t 1. Karena fungsi hanya mempunyai nilai di ω 0 maka integral dari sampai cukup dilakukan dari 0 sampai 0 , yaitu sedikit di bawah dan di atas ω 0.Contoh ini menunjukkan bahwa transformasi Fourier dari sinyal searahberamplitudo 1 adalah 2πδ(ω).CONTOH-8: Carilah f(t) dariF ( jω) 2πδ(ω α)Penyelesaian :f (t ) 12π e jαt2πδ(ω α ) e jωt dω α α 12πα α 2πδ(ω α) e jωt dωδ(ω α) dω e jαtPemahaman :Fungsi 2πδ(ω α) adalah fungsi di kawasan frekuensi yang hanya mempunyai nilaidi ω α sebesar 2π. Oleh karena itu e jωt juga hanya mempunyai nilai di ω α sebesar8/15 Sudaryatno Sudirham, Deret dan Transformasi Fourier
DarpublicNopember 2013www.darpublic.comejαt. Karena fungsi hanya mempunyai nilai di ω α maka integral dari sampai cukup dilakukan dari α sampai α , yaitu sedikit di bawah dan di atas ω α.CONTOH-9: Carilah f(t) dariF (ω) πA[u (ω α) u (ω α)]αPenyelesaian :f (t ) 12π1 2π πAj ωt α [u (ω α) u(ω α)] e dωπAA e jωt[1] e jωt dω α2α jt A e2αjαt ejt jαt A eαtjαt ej2α α jαt Asin(αt )αtPemahaman:Dalam soal ini F(ω) mempunyai nilai pada selang α ω α oleh karena itu e jωtjuga mempunyai nilai pada selang frekuensi ini juga; dengan demikian integrasicukup dilakukan antara α dan α.Hasil transformasi balik f(t) dinyatakan dalam bentuk sin(x)/x yang bernilai 1 jikax 0 dan bernilai 0 jika x . Jadi f(t) mencapai nilai maksimum pada t 0 danmenuju nol jika t menuju baik ke arah positif maupun negatif. Kurva F(ω) danf(t) digambarkan di bawah ini.f(t)AF(ω) β0 β ωtDari Transformasi Laplace ke Transformasi FourierUntuk beberapa sinyal, terdapat hubungan sederhana antara transformasi Fourier dantransformasi Laplace. Sebagaimana kita ketahui, transformasi Laplace didefinisikan melalui(8.1) sebagaiF ( s) 0f (t )e st dt(18)dengan s σ jω adalah peubah frekuensi kompleks. Batas bawah integrasi adalah nol,artinya fungsi f(t) haruslah kausal. Jika f(t) memenuhi persyaratan Dirichlet maka integrasitersebut di atas akan tetap konvergen jika σ 0, dan formulasi transformasi Laplace inimenjadiF (s) 0f (t )e jωt dt(19)9/15
DarpublicNopember 2013www.darpublic.comSementara itu untuk sinyal kausal integrasi transformasi Fourier cukup dilakukan dari nol,sehingga transformasi Fourier untuk sinyal kausal menjadiF (ω) 0f (t ) e jωt dt(20)Bentuk (20) sama benar dengan (19), sehingga kita dapat simpulkan bahwauntuk sinyal f (t ) kausal dan dapat di - integrasi berlakuF (ω) F ( s ) σ 0(21)Persyaratan “dapat di-integrasi” pada hubungan (21) dapat dipenuhi jika f(t)mempunyai durasi yang terbatas atau cepat menurun menuju nol sehingga integrasi f(t) dari t 0 ke t konvergen. Ini berarti bahwa pole-pole dari F(s) harus berada di sebelah kirisumbu imajiner. Jika persyaratan-persyaratan tersebut di atas dipenuhi, pencariantransformasi balik dari F(ω) dapat pula dilakukan dengan metoda transformasi balik Laplace.CONTOH-10: Dengan menggunakan metoda transformasi Laplace carilah transformasiFourier dari fungsi-fungsi berikut (anggap α, β 0).a). f 1 (t ) A e αt u (t )b). f 2 (t ) δ(t )[]c) f 3 (t ) A e αt sin βt u (t )Penyelesaian:a). f1 (t ) Ae αt u (t ) fungsi kausal dan dapat di - integrasiA pole p1 α (di kiri sumbu imag)s α1 F (ω) jω α F ( s) b). f 2 (t ) δ(t ) fungsi kausal dan dapat di - integrasi F ( s ) 1 F (ω) 1[]c). f 3 (t ) A e αt sin β t u (t ) fungsi kausal, dapat di - integrasi F (s) F (ω) A(s α) 2 β 2A pole p α jβ (di kiri sumbu im)( jω α) β22 aα β ω 2 j 2αω2CONTOH-11: Carilah f(t) dari F (ω) 210( jω 3)( jω 4)Penyelesaian :Jika kita ganti jω dengan s kita dapatkanF (s) 10( s 3)(s 4)Pole dari fungsi ini adalah p1 3 dan p2 4, keduanya di sebelah kiri sumbuimajiner.10/15 Sudaryatno Sudirham, Deret dan Transformasi Fourier
DarpublicNopember 2013F (s) www.darpublic.comkk10 1 2( s 3)(s 4) s 3 s 4 k1 10s 4s 3 10 ; k 2 10 10s 3 s 41010 F ( s) s 3 s 4Transformasi balik dari F(ω) adalah :[]f (t ) 10 e 3t 10 e 4t u (t )Sifat-Sifat Transformasi FourierKelinieran. Seperti halnya transformasi Laplace, sifat utama transformasi Fourieradalah kelinieran.[[][]: F f1 (t ) F1 (ω) dan F f 2 (t ) F2 (ω)maka : F Af1 (t ) Bf 2 (t ) AF1 (ω) BF2 (ω)Jika](22)CONTOH-12: Carilah transformasi Fourier dari v(t) cosβt.Penyelesaian:Fungsi ini adalah non-kausal; oleh karena itu metoda transformasi Laplace tidakdapat di terapkan. Fungsi cosinus ini kita tuliskan dalam bentuk eksponensial.[ ][ e jβ t e jβ t 11jβ t F e jβt Fe22 2F[cosβ t ] F ]Dari contoh-8 kita ketahui bahwa F e jωt 2πδ(ω β) Jadi F [cosβt ] πδ(ω β) πδ(ω β)Diferensiasi. Sifat ini dinyatakan sebagai berikut df (t ) jωF (ω) dt (23)F Persamaan (15) menyatakan1 F (ω) e jωt dω2 π df (t ) d 1 1 F (ω) e jωt dω dtdt 2π 2π 1jωF (ω) e jωt dω 2πdf(t) F jωF (ω)dt f (t ) dt (F (ω) e dj ωt) dω 11/15
DarpublicNopember 2013www.darpublic.comIntegrasi. Sifat ini dinyatakan sebagai berikut:F t F (ω)f ( x)dx πF (0)δ(ω)jω (24)Suku kedua ruas kanan (24) merupakan komponen searah jika sekiranya ada. Faktor F(0)terkait dengan f(t); jika ω diganti dengan nol akan kita dapatkan f (t )dtF ( 0) CONTOH-13: Carilah transformasi Fourier dari f(t) Au(t).Penyelesaian:Metoda transformasi Laplace tidak dapat diterapkan untuk fungsi anak tangga.Dari contoh (10.b) kita dapatkan bahwa F[δ(t )] 1 . Karena fungsi anak tanggaadalah integral dari fungsi impuls, kita dapat menerapkan hbungan (24) tersebut diatas.F[u (t )] F δ( x)dx t 1 πδ(ω)jωPembalikan. Pembalikan suatu fungsi f(t) adalah mengganti t dengan t. Jika kitamembalikkan suatu fungsi, maka urutan kejadian dalam fungsi yang baru berlawanandengan urutan kejadian pada fungsi semula. Transformsi Fourier dari fungsi yang dibalikkansama dengan kebalikan dari transformasi Fourier fungsi semula. Secara formal hal ini dapatdituliskan sebagaiJika F [ f (t ) ] F (ω)makaF [ f ( t )] F ( ω)(25)Menurut (16)F [ f ( t ) ] f ( t ) e jωt dt F[ f ( t )] F[ f (τ)] ;Misalkan t τf (τ) e jωτ dτ f (τ) e jωτdτ F ( ω)Sifat pembalikan ini dapat kita manfaatkan untuk mencari transformasi Fourier dari fungsisignum dan fungsi eksponensial dua sisi.CONTOH-14: Carilah transformasi Fourier dari fungsi signum dan eksponensial dua sisiberikut ini.v(t)u(t)1v(t)e α( t) u( t) u( t)01e αt u(t)t 1signum : sgn(t) u(t) u( t)00eksponensial dua sisi :e α t e αt u(t) e α( t) u( t)12/15 Sudaryatno Sudirham, Deret dan Transformasi Fouriert
DarpublicNopember 2013www.darpublic.comPenyelesaian :Contoh-13 memberikan F[u (t )] 1 πδ(ω) makajωF[sgn(t )] F[u (t ) u ( t )] []Contoh-10.a memberikan F e αt u (t ) [] [1makaα jωF e α t F e αt u (t ) e α ( t ) u ( t ) 2jω]112α 2α jω α j ( ω) α ω 2Komponen Nyata dan Imajiner dari F(ω). Pada umumnya transformasi Fourier darif(t), yaitu F(ω), berupa fungsi kompleks yang dapat kita tuliskan sebagaiF (ω) f (t ) e j ωtdt f (t ) cosωt dt j f (t ) sinωt dt A(ω) jB (ω) F (ω) e jθωdenganA(ω) f (t ) cos ωt dtB(ω) ;F (ω) A 2 (ω) B 2 (ω); f (t ) sin ωt dt(26) B(ω) θ(ω) tan 1 A(ω) (27)Jika f(t) fungsi nyata, maka dari (26) dan (27) dapat kita simpulkan bahwa1. Komponen riil dari F(ω) merupakan fungsi genap, karena A( ω) A(ω).2. Komponen imajiner F(ω) merupakan fungsi ganjil, karena B( ω) B(ω).3. F(ω) merupakan fungsi genap, karena F( ω) F(ω) .4. Sudut fasa θ(ω) merupakan fungsi ganjil, karena θ( ω) θ(ω).5. Kesimpulan (1) dan (2) mengakibatkan : kebalikan F(ω) adalah konjugat-nya, F( ω) A(ω) jB(ω) F*(ω) .6. Kesimpulan (5) mengakibatkan : F(ω) F( ω) F(ω) F*(ω) F(ω) 2.7. Jika f(t) fungsi genap, maka B(ω) 0, yang berarti F(ω) riil.8. Jika f(t) fungsi ganjil, maka A(ω) 0, yang berarti F(ω) imajiner.Kesimetrisan. Sifat ini dinyatakan secara umum sebagai berikut.Jika F [ f (t ) ] F (ω) maka F [F (t ) ] 2 π f ( ω)(28)Sifat ini dapat diturunkan dari formulasi transformasi balik.2π f (t ) F (ω) ej ωtdω 2π f ( t ) F (ω) eJika t dan ω dipertukarkan maka : 2π f ( ω) j ωtdω F (t ) e j ωtdω13/15
DarpublicNopember 2013www.darpublic.comPergeseran Waktu. Sifat ini dinyatakan sebagai berikut.Jika F [ f (t ) ] F (ω) maka F [ f (t T )] e jωT F (ω)(29)Sifat ini mudah diturunkan dari definisinya.Pergeseran Frekuensi. Sifat ini dinyatakan sebagai berikut.Jika F 1 [F (ω)] f (t ) maka F 1 [F (ω β)] e jβt f (t )(30)Sifat ini juga mudah diturunkan dari definisinya.Penskalaan. Sifat ini dinyatakan sebagai berikut.Jika F[ f (t )] F (ω) maka F[ f (at )] 1 ω F a a (31)RingkasanTabel-1 berikut ini memuat pasangan transformasi Fourier sedangkan sifat-sifattransformasi Fourier termuat dalam Tabel-2.Tabel-1. Pasangan transformasi Fourier.SinyalImpulsSinyal searah (konstan)Fungsi anak tanggaSignumExponensial (kausal)f(t)F(ω)δ(t)112π δ(ω)u(t)1 πδ(ω)jωsgn(t)2jω(e )u (t )1α jω αt2αEksponensial (dua sisi)e α t Eksponensial komplekse jβt2 π δ( ω β)Cosinuscosβtπ [δ(ω β) δ(ω β)]Sinussinβt jπ [δ(ω β) δ(ω β) ]14/15 Sudaryatno Sudirham, Deret dan Transformasi Fourierα ω22
DarpublicNopember 2013www.darpublic.comTabel-2. Sifat-sifat transformasi Fourier.SifatKawasan WaktuKawasan Frekuensif(t)F(ω)A f1(t) B f2(t)AF1(ω) BF2(ω)df (t )dtjωF(ω)Integrasi f ( x)dxF (ω) π F (0) δ(ω)jωKebalikanf ( t)F( ω)SimetriF (t)2π f ( ω)Pergeseran waktuf (t T)e jωT F (ω)Pergeseran frekuensie j β t f (t)F(ω β)Penskalaan a f (at) ω F a SinyalKelinieranDiferensiasit15/15
Deret dan Transformasi Fourier Deret Fourier Koefisien Fourier. Suatu fungsi periodik dapat diuraikan menjadi komponen-komponen sinus. Penguraian ini tidak lain adalah pernyataan fungsi periodik kedalam deret Fourier. Jika f(t) adalah fungsi periodik yang memenuhi persyaratan Dirichlet
Memahami deret kuasa/ pangkat, deret Taylor dan Maclaurin iii. Memahami deret Fourier dan integral Fourier iv. Menerapkan persamaan differensial pada deret . kekonvergenan deret-deret berikut, gunakan uji integral Mampu memilih uji yang tepat untuk menunjukkan kekonvergenan
Barisan dan Deret tak hingga yang dibahas dalam modul ini, meliputi berikut ini. 1. Pengertian barisan. 2. Kemonotonan barisan. 3. Limit barisan. 4. Kekonvergenan barisan. 5. Pengertian deret. 6. Limit suatu deret. 7. Kekonvergenan suatu deret. 8. Uji kekonvergenan deret. Ka
Teorema Uji Integral) bahwa deret–p konvergen apabila p 1 dan divergen apabila 0 p 1. Perhatikan bahwa jika p 1, deret–p menjadi deret harmonik yang divergen. Deret-p ini merupakan deret yang penting dan sering digunakan dalam menguji
Gambar 5. Koefisien Deret Fourier untuk isyarat kotak diskret dengan (2N1 1) 5, dan (a) N 10, (b) N 20, dan (c) N 40. 1.2 Transformasi Fourier 1.2.1 Transformasi Fourier untuk isyarat kontinyu Sebagaimana pada uraian tentang Deret Fourier, fungsi periodis yang memenuhi persamaan (1) dapat dinyatakan dengan superposisi fungsi sinus dan kosinus.File Size: 568KB
transformasi Fourier - Jika ingin mengetahui informasi tentang kombinasi skala dan frekuensi kita memerlukan transformasi wavelet Transformasi citra, sesuai namanya, merupakan proses perubahan bentuk citra untuk mendapatkan suatu informasi tertentu Transformasi bisa dibagi menjadi 2 : - Transformasi piksel/transformasi geometris
Transformasi Linier Transformasi fungsi pemetaan (mapping) DEFINISI 1: Misalkan V dan W adalah ruang vektor. Transformasi yang memetakan ruang vektor V ke ruang vektor W ditulis sebagai T : V W V adalah daerah asal (domain) transformasi T dan W adalah daerah hasil transformasi (kodomain) fungsi. Jika V W, maka T dinamakan operator .
Kekonvergenan Deret Pangkat Kekonvergenan deret pangkat (1) bergantung pada nilai x yang diberikan. Kali ini kita akan menentukan himpunan semua x sehingga deret pangkat (1) konvergen. Untuk sederhananya diambil kasus untuk c 0. Sebelumnya diperhatikan tiga contoh berikut Contoh Selidikilah kekonve
The Alex Rider series is a fast-paced and action-packed set of books, ideal for lovers of spies and action. Teen readers will adore this unforgettable and enthralling series. Tomasz Hawryszczuk, age 9 This series of books is a must read for anyone over the age of 9 who likes spy stories, gadgets and danger. Best books ever! The Alex Rider series is an amazing set of books based on a 14 year .
