BILANGAN BERPANGKAT, BENTUK AKAR, DAN LOGARITMA
BILANGAN BERPANGKAT, BENTUK AKAR, DAN LOGARITMAA. Bilangan Berpangkat (Eksponen)Jika a bilangan real dan n bilangan bulat positif, maka an (dibaca “a pangkat n”) didefinisikansebagai berikut. an dibaca a pangkat n, dengan a merupakan bilangan pokok atau dasar dan n disebut pangkatatau eksponen.1. Perkalian eksponenUntuk a bilangan real, m dan n bilangan bulat positif, perkalian bilangan berpangkat dapatdinyatakan sebagai berikut.Contoh:232 324 251 1 1 1 1 a. b.243 3 3 3 3 2. Pembagian eksponenUntuk a bilangan real, m dan n bilangan bulat positif serta m n, pembagian bilanganberpangkat dapat dinyatakan sebagai berikut,Contoh:4211111a. : b.25 5 5 5 5 3. Perpangkatan eksponenUntuk a bilangan real, m dan n bilangan bulat positif, perpangkatan bilangan berpangkatdapat dinyatakan sebagai berikut.Contoh:433134 4 14 4 444a. 5 5 5b. 81 3 3 4 33 27 4. Perpangkatan dari perkalian dua atau lebih bilanganUntuk a dan b bilangan real, m bilangan bulat positif, perpangkatan dari perkalian dua ataulebih bilangan dapat dinyatakan sebagai berikut.Contoh:a.b.5. Perpangkatan bilangan pecahanUntuk a dan b bilangan real, m bilangan bulat positif, perpangkatan bilangan pecahan dapatdinyatakan sebagai berikut.( )Contoh:4 ab 2 a 4 b 2 4a 4b8 b. 5 12 5 4 12 4 20 48c dc d c d a.6. Bilangan berpangkat nolUntuk a bilangan real, bilangan berpangkat nol dapat dinyatakan sebagai berikut.1
7. Bilangan berpangkat negatifUntuk a bilangan real dan m bilangan bulat positif, pangkat bilangan negatif dapatdinyatakan sebagai berikut.Contoh:a. Selesaikan bentuk bilangan berpangkat berikut. 1 2. 4 1)Penyelesaian:11) 5 1 5 1 2) 4 33)3) 10 : 10 6 101 6 10 5 4 1 3 311 0,000015100.00010 4 1 ( 3) 4 3 64b. Sederhanakan dan nyatakan dalam bentuk pangkat positif dari2a 3b 5 c 2!6a 9 b 2 c 1Penyelesaian:Notasi Ilmiah/Bentuk BakuUntuk bilangan yang sangat kecil maupun sangat besar nilainya, bilangan tersebut dapat ditulissecara ringkas dengan menggunakan notasi ilmiah atau biasa disebut bentuk baku; yangdinyatakan dalam bentuk:Contoh:Nyatakan bilangan-bilangan berikut ke dalam bentuk baku!a. 0,0000407c. 160.854.000.000b. 0,0000000030486d. 5.704.300.000.000Penyelesaian:a. 0,0000407 c. 160.854.000.000 b. 0,0000000030486 d. 5.704.300.000.000 Latihan Soal1. Sederhanakanlah!a.c.e. 42 1 1 1 d. 5 5 5 b.2. Sederhanakan!a.b.3. Sederhanakan!a. 1 1 2b. 5 : 25 125 2 4c.d.e.c.e.3 1 4d. 10.000 2
4. Sederhanakan dan selesaikan tanpa menggunakan alat hitung!a. 216b. 81232323c. 5 25 813342313d. 500 2 125 3 5. Sederhanakan dan hitunglah02 4 9 2 5 2!8 3 5 125 16. Sederhanakanlah! 27 5 25 5 a. : x 3x 2 x 2n 2 : 2n 5 2n 4 2n 3 : 2n 7 4b.237. Jika x 27, y 36, dan z 5, tentukan nilai dari 3m 5 3m 1 : 3m 3 3m 4 : 3m 3x yz23228. Sederhanakanlah bentuk9. Hitunglah nilai daria 3b 2 c 6untuk a 5, b 2, dan c 1.abc2 12 34 p q r 10. Tentukan bentuk sederhana dari .1 4 pq 4 211.12.13.14.15. 3k 2 l 3 m Jika k 2, l 3, dan m 4, tentukan hasil dari 2 5 4 . k l m Tulislah bilangan-bilangan berikut ke dalam bentuk baku/notasi ilmiah.a. 160.000c. 3.400.000.000e. 0,0001234b. 0,4000560d. 1.250.000.000Sebuah kolah renang berbentuk persegi panjang memiliki panjangcm dan lebarcm. Tentukan luas kolam renang tersebut.Sebuah bakteri melakukan pembelahan diri menjadi 2 bagian setelah 1 menit. Tentukanjumlah bakteri tersebut setelah 1 hari secara terus-menerus melakukan pembelahan.Sebuah benda mempunyai gaya (F) sebesarN. Luas daerah (A) di mana benda2diletakkan adalahm . Tentukan tekanan (P) yang diberikan benda. Diketahui:FP .A33 81x 4 yz 216. Hasil dari 1 1 1 27 x 2 y 4 z 2 4 adalah . B. Bentuk AkarDalam bilangan bentuk akar (radikal), ada tiga bagian yang perlu diketahui, yaitu lambangakar, radikan, dan indeks. Secara umum bentuk akar ditulis dalam bentuk (dibaca “akarpangkat n dari a”) dengan a adalah radikan dan n adalah indeks dimana a adalah bilangan realpositif dan n bilangan asli, n 2. Jika n 2, maka dalam penulisan bentuk akar tidakdicantumkan. Contoh: (dibaca “akar 5” atau “akar pangkat 2 dari 5”)3
Bentuk akar terbagi atas dua jenis, yaitu: Akar senamaSuatu bentuk akar dikatakan akar senama jika indeksnya sama.Contoh:a. mempunyai indeks 2b. mempunyai indeks 3 Akar sejenisSuatu bentuk akar dikatakan akar sejenis jika indeks dan radikannya samaContoh:mempunyai indeks 3, radikannya 2 1. Definisi Bentuk AkarBentuk akar adalah akar dari suatu bilangan yang nilainya memuat tidak terhinggabanyaknya angka di belakang koma dan tidak berulang.Contoh:a. b. b. c. 2. Menyederhanakan Bentuk AkarBentuk akar dapat disederhanakan dengan cara mengubah bilangan di dalam akar tersebutmenjadi dua bilangan dengan bilangan yang satu dapat diakarkan, sedangkan bilangan yanglain tidak dapat diakarkan.Contoh:a. c. b. d. 3. Mengoperasikan Bentuk Akara. Penjumlahan dan pengurangan bentuk akarDua atau lebih bilangan bentuk akar dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika bentukakarnya sejenis.Untuk a, b bilangan real, dan c bilangan rasional nonnegatif, berlaku hubungan berikut. Contoh:1) 2) 3) 4) 5) Tidak dapat disederhanakan karena bentuk akarnya berlainan 6) b. Perkalian bilangan real dengan bentuk akarUntuk a, b bilangan real, dan c bilangan rasional nonnegatif, berlaku hubungan berikut. Contoh:1)2)3)4) ( ) 4
c. Perkalian bentuk akar dengan bentuk akarUntuk c, e bilangan real dan a, b, d, f bilangan rasional nonnegatif, berlaku sifat berikut. Contoh:1) 2) 3) ( atau )( )( ) 4) ( )( ) d. Pembagian bentuk akar (Merasionalkan penyebut pecahan bentuk akar)Penyederhanaan pembagian bentuk akar sering disebut dengan merasionalkan penyebutbentuk pecahan. Untuk merasionalkan penyebut bentuk pecahan, bilangan tersebutdikalikan dengan sekawan dari penyebutnya. Untuk a, b bilangan rasional nonnegatif,maka berlaku:1) sekawan dengan 2) ( ) sekawan dengan ( )3) ( ) sekawan dengan ( )Perhatikan rasionalisasi bentuk-bentuk berikut.a1) BentukbUntuk a bilangan real dan b bilangan rasional nonnegatif, b 0 berlaku hubunganberikut. Contoh:a)b)c)8 2102 52 510822 2 52 5 8 2 4 22 5 10210 1051010 5 52 5 2 50 2 5 2 21010c2) Bentuka bUntuk a, c bilangan real dan b bilangan rasional nonnegatif, berlaku hubungan berikut.( ) Contoh:a)b)21 3 85 172 1 31 3 1 3 8 21 3 1 3 3 11 35 175 17 5 17 8 5 178 5 17 5 17285 175
c3) Bentuka bUntuk c bilangan real dan a, b bilangan rasional nonnegatif, berlaku hubungan berikut.( ) Contoh:a)b)3 23 2 3 22 23 22 2 3 2 3 25 3 5 35 3 5 3e. Menyederhanakan bentuk akarBentuk 3 23 2 3 2 6 2 5 2 61 2 2 5 32 10 2 6 10 65 32 dengan syarat a,b dapat diubah menjadi bentuk R dan a b.Contoh:Sederhanakan bentuk berikut.1)12 2 203)2)21 2 804)11 6 255 2 6Penyelesaian:1)12 2 20 10 2 2 10 2 10 2(cari faktor 20 yang jika dijumlahkan bernilai 12)16 5(cari faktor 80 yang jika dijumlahkan bernilai 21)2 10 22) 16 5 221 2 80 16 5 2 16 5 4 53)11 6 2 11 2 3 2 11 2 18(cari faktor 18 yang jika dijumlahkan bernilai 11) 9 2 2 9 29 2 2 9 2 3 24)55 2 6 5 3 2 2(penyebut diubah menjadi3 253 253 2 3 23 2 5 3 2 5 3 23 26 3 2)
4. Persamaan Bentuk Pangkat (Pengayaan)Persamaan bentuk pangkat dapat diselesaikan dengan cara: Menyatakan ruas kiri dan ruas kanan dalam bentuk pangkat/eksponen sehingga bilanganpokok kedua ruas tersebut sama. Jika bilangan pokok kedua ruas sudah sama, samakan kedua eksponennya.Secara umum dapat dinyatakan sebagai berikut.Contoh:Carilah nilai x yang memenuhi persamaan berikut!a.b. Penyelesaian:a.b. Latihan Soal1. Sederhanakan bentuk akar berikut.a. d. e. b. c. 2. Sederhanakan bentuk akar berikut.a. b. ( d. ( ) )( e. ( ) )( )c. ( )( )3. Rasionalkan bentuk-bentuk berikut.a.b.2312d.e.2 5g.315h.2 52100f.34 104. Sederhanakan bentuk berikut.c.a. 12 27 342 31013 85i. b.1 25. Sederhanakan bentuk-bentuk akar berikut.5 3 96 2 2 2 34 3a.15 2 54c.20 10 3e.b.9 2 8d.11 4 7f.7j.128 2 125 2 38 2 158 58 5
6. Tentukan nilai x dari persamaan berikut.a.3x 3 1 3 6 xc.b. d.7. Perkembangan suatu jenis virus dinyatakan dalam model, dengan f(n) adalahjumlah virus setelah n jam. Jika jumlah virus telah mencapai 256, tentukan nilai n.8. Kecepatan suatu mobil dicatat dengan model matematikadengan t adalahwaktu (s). Tentukan waktu t yang digunakan pada saat kecepatan mobil setelah mencapai99 m/s9. Jumlah produksi beras pada tahun 2017 di Indonesia dinyatakan dalam,dengan t adalah waktu (bulan) dan P(t) dinyatakan dengan satuan ton. Tentukan waktu yangtelah berjalan jika jumlah produksi beras telah mencapai 1.017 ton.10. Produksi suatu mesin dinyatakan dalamdengan waktu t dalam tahun.Tentukan waktu yang dibutuhkan perusahaan untuk memproduksi 8.100 mesin.11. Hasil panen palawija di suatu desa dinyatakan dalam, dengan t adalah waktu (bulan) dan g(t) dinyatakan dalam satuan ton. Tentukan waktu yang dibutuhkan agarhasil panen mencapai 1.220 ton.12. Bentuk sederhana dari adalah . 13. Nilai x yang memenuhi persamaan 91 2 x2 3 1 2 xadalah .C. Logaritma1. Pengertian LogaritmaLogaritma merupakan invers/kebalikan dari eksponen. Secara umum ditulisa c b a log b cDengandisebut bilangan pokok logaritma atau basis, b disebutnumerus, yaitu bilangan yang dilogaritmakan.Contoh:a. 2 3 8 2 log 8 31 31 log 48181410c. 10 10.000 log 10.000 4 atau log 10.000 42. Sifat-sifat LogaritmaSifat-sifat logaritma berikut berlaku dengan syarat.b. 3 4 a.log a b p log a p log bpalog p log a p log bbpc. log a n n p log ab.d.e.palog b applog blog a1 b log alog bf.ang. alog b m alog bdanma log bn bh.plog 1 0i.alog a 1j.plog a a log b p log b8dan
Contoh:a. Tentukan nilai berikut.1) 2 log 24 2 log 3 2 log 93) 2 2 log 8 2 log 2 3 2 log142) log 5 log 4 – log 2 log 10Penyelesaian: 24 3 2231) 2 log 24 2 log 3 2 log 9 2 log log 8 log 2 3 (sifat a, b, dan c) 9 5 4 10 22) log 5 log 4 log 2 log 10 log log 100 log 10 2 (sifa a dan b) 2 1 1 3) 2 2 log 8 2 log 2 3 2 log 2 log 8 2 2 log 2 2 2 log 4 4 1 log 223 22123 log 2 2 log 2 23(sifat c) 6 12 116 6 12 2 2 2 log 6 2 log 2 2 2 log 2 2 2 11 12 2 log 2 1222b. Dengan menggunakan sifat logaritma, tentukan nilai berikut.1)3log 272)125log 1253)Penyelesaian:1) 3 log 27 3 log 33 3 3 log 3 32)125 2log 125 5 log 5 3 7log(sifat a & b)(sifat c & i)1343(sifat c dan i)3 53log 5 22(sifat f dan i)1 72 3log log 7 3 1 7 log 7 6343213)7(sifat f dan i)c. Jika diketahui log 2 0,3010 dan log 3 0,4771; tentukan nilai berikut.1) log 122) log 0,125Penyelesaian:1) log 12 log (2 · 2 · 3) log 2 log 2 log 3 0,3010 0,3010 0,4771 1,079112) log 0,125 log log 2–3 –3 · log 2 –3 · 0,3010 –0,90308d. Tentukan nilai dari 5 log 7 7 log 625Penyelesaian:5log 7 7 log 625 5 log 625 5 log 5 4 4e. Jika 5 log 4 a dan 4 log 3 b , tentukan nilai dari 3 log 20 .Penyelesaian:log 4log 45log 4 a log 5 log 5alog 34log 3 b log 3 b log 4log 4log 20 log 4 5 log 4 log 53log 20 log 3log 3log 39log 411 a a a 1b log 4bablog 4
Latihan Soal1. Tentukan nilainya tanpa menggunakan alat hitung.1a.2.c.5.1log 4 log 25692log 8 2 log 2 2 log 16212log 16 3 log 27 5 log1625e.4log 9 3 log 125 25 log 161log 9 3 log 7 49 log 32f.3log 27 5 logb. log 25d. log 135f. log 135Jika diketahui log 5 x dan log 7 y, tentukan nilai logaritma berikut dalam x dan y.a. log 175b. log 3,5Dengan menggunakan kalkulator, tentukan nilai dari soal berikut.11a. 8 log 60c. 125 loge. 625 log645b.6.e.log 21631 log 0,000125Jika diketahui log 3 0,4771 dan log 5 0,6990, tentukan nilai berikut.5a. log 45c. log 0,36e. log3d.4.c.log 436b. 4 log 64d. log 0,00001Sederhanakanlah.a. 2 log 50 2 log 8 2 log 100b.3.215log 625d.125log 75e.Sederhanakan bentuk logaritma berikut.a. 3 3 log 2 2 3 log 9 3 log 482log164c. 2 a log b b log c 3 c log ab. 9 log 4 9 log 1 9 log 357.Diketahui 2 log 3 a . Tentukan nilai berikut.a.log 9c.18log 911623Diketahui log 3 a dan log 7 b . Hitunglah nilai berikut dalam bentuk a dan b.b.8.227log 4d.3loga. 21 log 48b. 54 log 64c. 42 log 569. Penentuan pH keasaman suatu larutan biasanya menggunakan fungsi logaritma. Misalkandiketahui konsentrasi larutan x adalah 2 10–2 M. Tentukan pH dari larutan tersebut.Petunjuk: pH – log [H ].10. Suatu larutan x mengandung konsentrasi 2 10–3 M. Tentukan pOH dari larutan tersebut.Petunjuk: pOH 14 – pH.11. Jika 3 log 4 a dan 3 log 5 b , nilai dari 25 log 12 adalah.10
BILANGAN BERPANGKAT, BENTUK AKAR, DAN LOGARITMA A. Bilangan Berpangkat (Eksponen) Jika a bilangan real dan n bilangan bulat positif, maka an (dibaca “a pangkat n”) didefinisikan sebagai berikut. an dibaca a pangkat n, dengan a merupakan bilangan pokok atau dasar dan n disebut pangkat atau eksponen. 1. Perkalian eksponen
pangkat. Karena pangkatnya bilangan bulat, maka disebut bilangan berpangkat bilangan bulat. 1. Bilangan Berpangkat Sederhana Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menemui perkalian bilangan-bilangan dengan faktor-faktor yang sama. Misalkan kita temui perkalian bilangan-bilangan sebagai berikut. 2 2 2 3 3 3 3 3 6 6 6 6 6 6
bilangan bulat. 1.2. Menyelesaikan soal cerita yang menggunakan operasi hitung bilangan bulat . Hasil perpangkatan bilangan negative atau pecahan c. Hasil perkalian atau pembagian bilangan berpangkat d. Hasi l penjumlahan dan pengurangan bilangan bentuk akar d. Hasil perkalian dan bentuk akar e. .
Bilangan Bulat 1. Pemahaman Konsep Bilangan Bulat Bilangan bulat terdiri atas: a) Bilangan asli atau bilangan bulat positif b) Bilangan nol, dan c) Lawan bilangan asli atau bilangan bulat negatif Bilangan bulat dituliskan atau dinotasikan dengan B { , -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, } 2. Menyatakan Bilangan Bulat dari Kehidupan Sehari-hari
Menyajikan hasil pembelajaran bilangan berpangkat bulat dan bentuk akar, serta sifat-sifatnya Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan bilangan berpangkat bulat dan bentuk akar, serta sifat-sifatnya Sekolah : SMP Mata Pelajaran : MTK Kelas/Semester : IX / 1 Alokasi Waktu : 5 x 40 menit KD : 3.1 dan 4.1 Pertemuan ke : 3 & 4
1. Peserta didik dapat membuat aplikasi sederhana SIM dengan MS excel masalah bilangan berpangkat 2. Peserta didik mampu menguasai dan menyelesaikan permasalahan bentuk akar Alur tujuan pembelajaran 1. Peserta didik mampu menjelaskan konsep eksponen dan bentuk akar 2. Peserta didik mampu menentukan hasil operasi eksponen dan bentuk akar 3.
1. Tentukan apakah bilangan-bilangan berikut merupakan bilangan prima atau majemuk. a).157 b).221 Jawab: a). Bilangan-bilangan prima yang adalah 2, 3, 5, 7, 11. Karena tidak ada diantara bilangan-bilangan tersebut yang dapat membagi 157 maka157 merupakan bilangan prima.
, r adalah bilangan pokok dan t adalah eksponen dari r. Dari persamaan (2) k n an, a adalah bilangan pokok dan n adalah eksponen dari a. Untuk menyederhanakan penulisan hasil kali bilangan yang sama, kita dapat menggunakan notasi pangkat. Bilangan berpangkat didefinisikan sebagai berikut. Misalkan a bilangan real dan n bilangan bulat positif.
Revolution itself, and the events that immediately followed it. 2. Theoretical tools to help you interpret (explain/analyze) the American Revolution: You will learn basic revolutionary theory as it has been developed by historians and political scientists, and apply it to the American Revolution. 3.
