C Alculo De Probabilidades I - ITAM

Ejercicios y respuestas6a) muestreo con reemplazo.b) muestreo sin reemplazo.2:9. Determine el número de distintos arreglos (x1 , . . . , xn ), tales que xi es 0 ó 1 ynXxi ki 12:10. ([4] Ex. 2.20) Muestre que m r mnr nkn kkm k rrmn2:11.a) ([7] Theo. Ex. 1.8) Muestre que n mn mnmn m ··· k0k1k 1k0Sugerencia: Considere un grupo de n hombres y m mujeres. ¿Cuántos distintos grupos de tamañok son posibles?b) Use el inciso anterior para probar que 3.2nn n 2Xnk 0kTeorema de Probabilidad Total y Regla de Bayes3:1. ([9] Ej. 2.41) En una planta de manufacturas hay tres lı́neas de producción A, B y C que producen30 %, 45 % y 25 % de la producción total. Se sabe por experiencia de los últimos años que las lı́neastienen una tasa de defectuosos del 2 %, 3 % y 2 % respectivamente. Suponga ahora que se elige de laplanta un artı́culo al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso?3:2. ([9] Ej. 2.43) Una firma farmaceútica utiliza tres planes analı́ticos para el diseño y desarrollo de unproducto en particular. Por razones de costos, los tres planes son usado en distintos tiempos. De hecho,los planes 1, 2 y 3 son usados en 30 %, 20 % y 50 % de los productos respectivamente. La tasa dedefectuosos son diferentes para las distintas planes. A saber,P(D E1 ) 0.01,P(D E2 ) 0.03,P(D E3 ) 0.02donde P(D Ej ) es la probabilidad de un producto defectuoso bajo el j-ésimo plan. Si se selecciona unproducto al azar y se ve que es defectuosos, ¿bajo cuál de los planes es más posible que haya sidoproducido?3:3. ([3] Ej. 2.63) Para clientes que han comprado un juego de llantas completo considere los siguientes eventos: A {Las llantas fueron producidas en E.U.}; B {Se hizo balanceo}; C {Se hizo alineación}.Suponga las siguientes probabilidades: P(A) 0.75, P(B A) 0.9, P(B Ac ) .8, P(C A B) 0.8, P(C A B c ) 0.6, P(C Ac B) 0.7, P(C Ac B c ) 0.3. Calculea) P(A B C).b) P(B C).c) P(C).d ) Calcule P(A B C). Interprete el resultado.3:4. ([3] Ej. 2.76,2.81) Los siguientes diagramas consideran distintas configuraciones de componentes.E. Barrios & M. HeirasCálculo de Probabilidades Iversión 1.17

Ejercicios y respuestas711342374256a) En el panel de la izquierda, las componentes 1 y 2 constituyen un arreglo paralelo, ası́ el subsistematrabaja si alguna de las componentes trabaja. Las componentes 3 y 4 constituyen un arreglo enserie, ası́ el subsistema trabaja si y solo si todos los componentes trabajan. Si las componentestrabajan independientemente una de otra y la probabilidad de que trabaje es de 0.90, encuentrela probabilidad de que el sistema funcione.b) Bajo las mismas condiciones del inciso anterior, ¿cuál es la probabilidad de que funcione el sistemaque se muestra en el panel de la derecha?3:5. ([7] Ej. 3.5.b) Una chimpancé ha parido un cachorro y no se sabe de cuál de los 2 chimpancés machossea el padre. Se cree que el macho 1 es el padre con una probabilidad p y del macho 2 con probabilidad1 p. Se toman muestras del DNA de ambos macho y la madre. Un marcador genético muestra que lamadre tiene la pareja de genes (A, A). El macho 1 tiene la pareja (a, a) y el macho 2 la pareja (A, a). Siresultase que el cachorro tiene la pareja de genes (A, a), muestre que la probabilidad de que el macho1 sea el padre es de 2p/(1 p).3:6. ([7] Ej. 3.29) En una caja hay 15 pelotas de tenis de las cuales 9 nunca han sido utilizadas. Se escogentres pelotas al azar, se juega con ellas y al finalizar las pelotas se regresan a la caja. Al dı́a siguientese seleccionan de la caja nuevamente tres pelotas al azar. [Muestre sus resultados con al menos cuatrodecimales.]a) Calcule la probabilidad de que ninguna de estas 3 pelotas haya sido utilizada anteriormente.[Sugerencia: considere el teorema de probabilidad total.]b) Si sabe que las tres pelotas del segundo dı́a son nuevas, ¿cuál es la probabilidad de que en el juegodel dı́a anterior dos de las tres pelotas ya hubieran sido usadas?4.Variables aleatorias4:1. ([4] Ej. 3.1) Cualquier punto en el intervalo [0,1) puede ser representado por su expansión decimal.x1 x2 · · · . Suponga que un punto de este intervalo es escogido al azar. Sea X el primer dı́gito de laexpansión decimal que representa al punto. Determine la función masa de probabilidad (f. m. p.) deX.4:2. ([4] Ej. 3.3) Considere una caja que tenga 6 bolas rojas y 4 bolas negras. Una muestra aleatoria detamaño n es seleccionada. Sea X el número de bolas rojas seleccionadas. Calcule la f. m. p. de X si lamuestra se toma:a) Sin reemplazo, donde n 6.b) Con reemplazo, para n 1, 2, . . .4:3. ([4] Ej. 3.4) Sea n un entero positivo fijo y sea(c2xf (x) 0x 1, 2, . . . , nen otro casoEncuentre el valor c, tal que f sea una función de probabilidad.4:4. ([4] Ej. 3.5) Suponga X como una variable aleatoria que tiene función masa de probabilidad f dadapor: 3 1 01 2358xf (x) .1 .2 .15 .2 .1 .15 .05 .05Calcule las siguientes probabilidades:a) X es negativa;E. Barrios & M. HeirasCálculo de Probabilidades Iversión 1.17

Ejercicios y respuestas8b) X es impar(incluye negativos);c) X toma valores entre 1 y 8, incluyéndolos;d ) P(X 3 X 0);e) P(X 3 X 0).4:5. ([4] Ej. 3.7) Sea X uniformemente distribuida en 0, 1, . . . , 99. Calcule:a) P(X 25)b) P(2.6 X 12.2)c) P(8 X 10 30 X 32)d ) P(25 X 30)4:6. Sea X una variable aleatoria con función de probabilidad acumulada F dada por 0x 0 3x 0 x 31 5F (x) 1 3x52 3x511323 x 23 x 1x 1a) Calcule P( 41 X 34 ).b) Verifique que P(X 13 ) P(X 21 ) 0.2.4:7. ([4] Ej. 3.8) Considere una caja que tiene 12 bolas marcadas con los números 1, 2, . . . , 12. Dos realizaciones independientes son hechas del experimento de seleccionar una bola de la caja al azar (seleccióncon reemplazo). Sea X el mayor de los números de las bolas seleccionadas. Calcule la f. m. p. de X.4:8. ([4] Ej. 3.9) Suponga la misma situación del ejercicio anterior, pero ahora se efectúa una selección sinreemplazo. Calcule la f. m. p. de X.4:9. ([4] Ej. 3.12) Suponga una caja que tiene r bolas enumeradas 1, 2, . . . , r. Una muestra aleatoria detamaño n es seleccionada sin reemplazo. Sea Y el mayor de los números de las bolas seleccionadas ysea Z el menor de estos números.a) Calcule la probabilidad P(Y y).b) Calcule la probabilidad P(Z z).4:10. ([7] Ej. 4.5, 4.6) Sea X la diferencia entre el número de soles y el número de águilas obtenidos medianten volados de una moneda justa.a) ¿Cuáles son los valores posibles de X?b) Para n 3, calcule la f. m. p. de X.4:11. ([7] Ej. 4.7, 4.8) Suponga que un dado justo es lanzado dos veces. Muestre los valores posibles de lassiguientes variables aleatorias y calcule su correspondiente f. m. p.a) El valor máximo de las caras obtenidas.b) El valor mı́nimo de las caras obtenidas.c) La suma de las caras obtenidas.d ) El valor de la primera cara obtenida, menos el valor de la segunda cara obtenida.4:12. ([7] Ej. 4.20) Un libro de apuestas recomienda la siguiente estrategia para ganar en el juego de la ruleta:En principio, apostar 1 al rojo. Si el rojo aparece (lo cual ocurre con una probabilidad de1838 ), entonces tomar la ganancia y retirarse. En caso que el rojo no aparezca (lo cual ocurrecon una probabilidad de 2038 ), se debe hacer una apuesta adicional de 1 al rojo durante lassiguientes dos rondas y después retirarse.Sea X la variable aleatoria que denota la ganancia del jugador cuando éste se retira (en caso de quesea una pérdida, X será negativa).E. Barrios & M. HeirasCálculo de Probabilidades Iversión 1.17

Ejercicios y respuestas9a) Calcule P(X 0).b) ¿Estarı́a usted convencido de que ésta es una buena estrategia para ganar? Discuta.4:13. ([7] Theo. Ej. 4.1) Suponga que hay N distintos tipos de cupones. Un cupón de tipo i tiene probabilidadpi , i 1, 2, . . . , N de ser electo, independientemente de las elecciones que hayan ocurrido anteriormente.Sea T el número (aleatorio) de elecciones necesarias para obtener al menos un cupón de cada tipo.Calcule P(T n).4:14. ([7] Self Test 4.23) Una urna tiene inicialmente N bolas blancas y M bolas negras. Las bolas sonsacadas al azar sin reemplazo. Encuentra la probabilidad de que n bolas blancas sean sacadas antes dehaber sacado m bolas negras, n N , m M .4:15. ([4] Ej. 5.2) Suponga un punto elegido al azar del interior de un disco de radio R situado en el plano.Sea X una variable aleatoria (v. a.) que denota el cuadrado de la distancia que existe entre el puntoescogido y el centro del disco. Encuentre la función de probabilidad acumulada (f. p. a.) y la funciónde densidad de probabilidades (f. d. p.) de X.4:16. ([4] Ej. 5.6) Considere un triángulo equilátero cuyos lados tienen longitud s. Suponga un punto elegidoal azar en uno de los lados del triángulo. Sea X la v. a. que denota la distancia entre el punto elegidoy el vértice opuesto. Encuentre la f. p. a. y la f. d. p. de X.4:17. ([4] Ej. 5.7) Considere el punto P (u, v) elegido al azar en el cuadrado 0 u 1, 0 v 1. Sea Xla v. a. que se calcula a partir del punto P como X u v.a) Encuentre la f. p. a. de X.b) Encuentre la f. d. p. de X.4:18. ([4] Ej. 5.20) Sea X distribuida uniformemente en el intervalo (0, 1). Encuentre la f. d. p. de Y X 1/β ,donde β 6 0.4:19. ([4] Ej. 5.22) Sean X una v. a. , g una función de densidad con respecto a la integración y ϕ unafunción diferenciable estrictamente creciente en el intervalo ( , ). Suponga queZϕ(x)P(X x) g(z)dz, x . Muestre que la v. a. Y ϕ(X) tiene función de densidad g.4:20. ([7] Ej. 5.5) Considere una gasolinera que es abastecida una vez por semana. Suponga que el volumende ventas semanal, medido en miles de galones, es una v. a. cuya f. d. p. esf (x) 5(1 x)4 I(0,1) (x)¿Cuál deberı́a ser la capacidad del tanque para lograr que la probabilidad de que el evento en el quela gasolinera queda desabastecida ocurra con una probabilidad de 0.01?4:21. ([7] Ej. 5.10) Los trenes asignados al destino A llegan a la estación en un intervalo de 15 minutosiniciando a las 7:00 hrs. mientras que los trenes asignados al destino B arriban a la estación en intervalosde 15 minutos iniciando a las 7:05 hrs.Si un pasajero determinado arriba a la estación en un tiempo uniformemente distribuido entre las7:00 y las 8:00 hrs. y se sube al primer tren que arriba, ¿qué proporción de tiempo irá al destinoA?¿Cuál serı́a la proporción si el pasajero arriba a la estación en un tiempo uniformemente distribuidoentre las 7:10 y las 8:10 hrs.?4:22. ([7] Ej. 5.11) Un punto es escogido al azar de un segmento de recta de longitud L. Encuentre laprobabilidad de que la proporción del segmento más corto contra el más largo sea menor a 14 .4:23. ([7] Ej. Self Test 5.7) Considere un juego en el cual para ganarlo debe de tener éxito en tres rondasconsecutivas. El juego depende del valor de U , que es una v. a. distribuida uniformemente en el intervalo(0, 1). Si U 0.1, entonces se gana la primera ronda; si U 0.2, se gana la segunda ronda; y si U 0.3,entonces se gana la tercera ronda.E. Barrios & M. HeirasCálculo de Probabilidades Iversión 1.17

Ejercicios y respuestas10a) Calcule la probabilidad de éxito en la primera ronda.b) Calcule la probabilidad condicional de tener éxito en la segunda ronda, dado que tuvo éxito en laprimera ronda.c) Calcule la probabilidad condicional de tener éxito en la tercera ronda, dado que tuvo éxito en laprimera y segunda ronda.d ) Calcule la probabilidad de ser un ganador en el juego.5.Tasa de riesgo o fallaSea T una variable aleatoria (v. a.) positiva que denota el tiempo de falla de algunos sistemas, F denotala función de distribución de T y suponga que F (t) 1 para 0 t . Entonces se puede escribirF (t) 1 e Λ(t) , t 0, para alguna función Λ. Suponga además que existe Λ0 (t) λ(t) para t 0.5:1. ([4] Ej. 5.40) Muestre que T tiene una densidad f que satisface:f (t) λ(t),1 F (t)0 t La función λ es conocida como tasa de riesgo o tasa de fallo, pues de manera heurı́stica se tiene queP(t T t dt T t) f (t)dt λ(t)dt1 F (t)5:2. ([4] Ej. 5.40) Muestre que para s 0 y t 0,P(T t s T t) e R t stλ(u)du.(1)5:3. ([4] Ej. 5.40) Muestre que el sistema “mejora con el tiempo”, es decir, para s 0 fijo, la expresión (1)es creciente en t si λ es una función decreciente, y que el sistema se “deteriora con el tiempo” si λ esuna función creciente.5:4. ([4] Ej. 5.40) Muestre queZ λ(u)du 05:5. ([4] Ej. 5.40) Discuta cómo se comporta la función tasa de riesgo λ si la v. a. T sigue una distribuciónexponencial. Es decir, si FT (t) 1 e βt , para algún β 0 y consecuentemente fT (t) βe βt , cont 0.5:6. ([4] Ej. 5.40) Si Λ(t) βtα para t 0, ¿para qué valores de α el sistema mejora, se deteriora o semantiene igual en el tiempo?5:7. ([7] Ej. 5.51) Suponga ahora una función de tasa de fallo lineal λ(t) a bt. Muestre entonces que lacorrespondiente función de distribución está dada por2F (t) 1 e (at bt/2),t 0y por diferenciación, se tiene la correspondiente función de densidad.2f (t) (a bt)e (at bt/2),t 0¿Qué significa cuando se dice que los fumadores tienen una tasa de mortalidad dos veces mayorque el de los no-fumadores?Sean λS (t) y λN (t) que denoten la tasa de riesgo a la edad t de un fumador y un no-fumador respectivamente. Entonces, la afirmación anterior, se puede expresar comoλS (t) 2λN (t)E. Barrios & M. HeirasCálculo de Probabilidades Iversión 1.17

Ejercicios y respuestas11Considere TN y TS las variables aleatorias que representan la edad de una persona no-fumadora y unafumadora con funciones de distribución FN y FS , respectivamente. Entonces, la probabilidad de que unno-fumador sobreviva a la edad t2 dado que ha alcanzado una edad t1 , estarı́a dado porP{Un no fumador de edad t1 alcance la edad t2 }P{TN t2 TN t1 }1 FN (t2 ) 1 FN (t1)Rtexp{ 0 2 λN (t)dt} Rtexp{ 0 1 λN (t)dt} Z t2λN (t)dt exp t1Mientras que la probabilidad de sobrevivencia de un fumador es, siguiendo el mismo procedimiento,P{Un fumador de edad t1 alcance la edad t2 } P{TS t2 TS t1 } Z t2 exp λS (t)dtt1 t2Zexp 2 λN (t)dtt1 Z exp t2 2λN (t)dtt1En otras palabras, para dos personas de la misma edad, una fumadora y la otra no fumadora, la probabilidadde que la persona fumadora sobreviva cierta edad es el cuadrado, que no la mitad, de la correspondiente1probabilidad de sobrevivencia de una persona no-fumadora. Por ejemplo, si λN (t) 30, 50 t 60,entonces, la probabilidad de que una persona de 50 años no fumadora alcance la edad de 60 años es dee 1/3 0.7165, mientras que la correspondiente probabilidad de que una persona fumadora de 50 añosalcance los 60 es de e 2/3 0.5134.6.Momentos de una distribución de probabilidades6:1. ([2] Ej. 3.10) Considere la v. a. X que denota las desviaciones sobre el peso neto en un proceso dellenado con cierta máquina y sea su función de densidad de probabilidad (f. d. p.) dada porfX (x) 1I(0,10) (x)10Determine:2a) E[X] µX y var(X) σX.b) Los coeficientes de asimetrı́a y curtosis dados respectivamente porν3 (X) E[(X µX )3 ],[E[(X µX )2 ]3/2ν4 (X) E[(X µX )4 ][E[(X µX )2 ]26:2. ([2] Ej. 3.11) Suponga que la duración aleatoria T en minutos de una conversación de negocios porteléfono sigue una f. d. p. dada porf (t) 1 t/4eI(0, ) (t)4Determine:a) La función generadora de momentos (f. g. m.) MT (w) E[ewT ].b) E[T ] y var(T ).c) Los coeficientes de asimetrı́a ν3 (T ) y curtosis ν4 (T ).d ) Comparado con el ejercicio anterior, ¿qué distribución tiene menor dispersión relativa?E. Barrios & M. HeirasCálculo de Probabilidades Iversión 1.17

Ejercicios y respuestas126:3. ([5] Ej. 1.97) Sea X v. a. con tercer momento finito. Grafique las siguientes funciones de densidad ymuestre que están respectivamente: sesgada a la izquierda, no sesgada y sesgada a la derecha, y con sucoeficiente de asimetrı́a ν3 negativo, cero y positivo.a) f (x) (1 x)/2 I( 1,1) (x).b) f (x) 1/2 I( 1,1) (x).c) f (x) (1 x)/2 I( 1,1) (x).6:4. ([5] Ej. 1.98) Grafique las siguientes funciones de densidad y muestre que la primera tiene un coeficientede curtosis menor que la segunda.a) f (x) 1/2 I( 1,1) (x).b) f (x) 3(1 x2 )/4 I( 1,1) (x).6:5. ([2] Ej. 3.12) La calificación promedio en una prueba de Estadı́stica es de 62.5 con una desviaciónestándar de 10. El profesor considera que el examen ha sido demasiado largo y/o difı́cil. En consecuenciaél desea ajustar las calificaciones X de manera que el promedio sea ahora de 70 con una desviaciónestándar de 8 puntos. ¿Qué ajuste del tipo a bX deberı́a utilizar?6:6. ([2] Ej. 3.13) Sea X una v. a. con media µ y varianza σ 2 .a) Evalúe E[(X c)2 ] en términos de µ y σ 2 , donde c es una constante.b) ¿Para qué valores de c es mı́nimo E[(X c)2 ]?6:7. ([2] Ej. 3.14) Con referencia al problema 6:2, muestre que la v. a. Y (T 4)/4, tiene media cero,varianza 1, pero los mismos coeficientes de asimetrı́a y curtosis que la v. a. T .6:8. ([2] Ej. 3.17) Suponga que el ingreso semanal Y (en miles de pesos) de un consultor es aleatorio con f.d. p. dada por1 y/10eI(0, ) (y)f (y) 10a) Determine la media y la mediana del ingreso.b) Determine la desviación estándar y el rango intercuartı́lico.c) Determine el 90-percentil de la distribución.d ) ¿Cuál es la probabilidad de que el ingreso de una semana exceda el valor medio más una desviaciónestándar? Esto es, determine P(Y µY σY ).6:9. ([8] Ej. 3.158) Sea Y v. a. con f. g. m. dada por MY (t) E[etY ] y sea W a bY , con a y b constantes.Muestre que la f. g. m. de W está dada por MW (t) eat MY (bt), t R.6:10. ([5] Sec 1.10, Ej. 3 ) Dado que la serie { 112 , 212 , 312 , . . . } converge a π 2 /6, entonces,f (x) 6I{1,2,. } (x)π 2 x2es la f. m. p. de una v. a. entera positiva X. Muestre que no existe la correspondiente f. g. m. MX (t)pues no hay algún δ 0 tal que MX (t) exista para todo δ t δ.6:11. ([8] Ej. 3.159) Use el resultado del problema 6:9 para mostrar que si W a bY , entonces, E[W ] a bE[Y ] y var(W ) b2 var(Y ).6:12. ([8] Ej. 3.160) Sea X una v. a. que representa en número de éxitos en n ensayos Bernoulli con probabilidad de éxito 0 p 1. Sea Y n X.a) Muestre que X sigue la distribución binomial. Esto es, su f. m. p. está dada por: n x n xP (X x) p qI{0,1,.,n} (x)xdonde q 1 p.b) Encuentre la f. g. m. MX (t).E. Barrios & M. HeirasCálculo de Probabilidades Iversión 1.17

Ejercicios y respuestas13c) Muestre que E[Y ] nq y var(Y ) npq.d ) Muestre que MY (t) (p qet )n .e) Con base al inciso anterior, ¿cuál dirı́a que es la distribución de la v. a. Y ?f ) ¿Qué representa Y ?g) Con base en el inciso anterior, ¿por qué resultan las respuestas del b)–d) “obvias”?6:13. ([8] Ej. 4.141) Considere a b. Muestre que la f. g. m. de la v. a. U distribuida uniformemente en elintervalo (a, b), eseb

1:14.([7] Ej. 2.25) a)Se lanzan un par de dados. Cu al es la probabilidad de que la salida del segundo dado sea mayor que la del primero? b)Se lanzan un par de dados hasta que sale un 5 o un 7. Cu al es la probabilidad de que salga primero el 5? 1:15.([7] Ej. 2.33) En un bosque hay 20 alces, de los cuales 5 fueron capturados, marcados y .