CAPÍTULO 1- OPERAÇÕES ARITMÉTICAS BÁSICAS

CAPÍTULO 5- VETORESVetor é o símbolo matemático utilizado para representar o módulo, a direção eo sentido de uma grandeza física vetorial.O vetor é representado por meio de uma seta com origem O e extremidade A.O AvFigura 1A indicação algébrica de um vetor é feita da seguinte forma: v OA vPara que um vetor fique caracterizado é preciso conhecer seu módulo ouintensidade, direção e sentido. Seu módulo pode ser representado pela letra sem a flechasobre ela, ou da forma;⃗v vO módulo de um vetor é a medida do comprimento da flecha que o representa;a direção e o sentido da flecha dão a direção e o sentido do vetor.Por exemplo, um deslocamento de 40 metros para nordeste, numa escala de 1cm por 10 metros, seria representado por uma fecha de 4 cm de comprimento, formandoum ângulo de 45º com a direção horizontal e com a ponta da flecha na extremidadesuperior direita.3m45ºFigura 2Força, velocidade, aceleração, intensidade de campo elétrico e induçãomagnética são exemplos de grandezas vetoriais. Muitas leis da física podem serexpressas numa forma compacta pelo uso de vetores e os cálculos que envolvem estasleis ficam, desta forma, muito simplificados.As grandezas que ficam caracterizadas apenas por um número e uma unidade,tendo consequentemente apenas um valor numérico, são denominadas escalares. Massa,comprimento, tempo, densidade, energia, temperatura, tensão e corrente elétrica sãoexemplos de grandezas escalares. Os escalares se combinam de acordo com as regras daálgebra ordinária.Já as grandezas vetoriais possuem algumas propriedades particulares para asoperações entre si. Abaixo podemos observar algumas delas:1. Adição de vetores15

Dados os vetores a A O e b B O , o vetor soma ou resultante r éobtido graficamente traçando-se pelas extremidades de cada um deles uma paralela aooutro.ACαβαBOFigura 3 O vetor a , pode ser decomposto em duas componentes ax e ay; assim como ovetor b pode decomposto em bx e by, como mostrado na figura abaixo: ay bxaxFigura 4 O vetor r , que é resultante da soma dos dois vetores, terá como componentes rx e ry, a soma das componentes dos vetores a (ax e ay) e b (bx e by):rx ax bxery ay byComo pode ser visto na figura abaixo;ry ayrxaxbxFigura 5 Cálculo do módulo do vetor r16

Como mostrado na Figura 5, o vetor r , forma um triângulo retângulo comsuas componentes, rx e ry, podendo assim, o seu módulo, ser calculado com a ajuda doteorema de Pitágoras:r 2 rx2 ry2De acordo com a figura 5, rx e ry podem ser substituídos pela soma dascomponentes ax, bx e ay, by:r 2 a x bx a y b y 22Como pode-se observar na Figura 4:axaa x a cos cos ayesin ea y a sin esin aDo mesmo modo;cos bxbbybb y b sin , sendo o ângulo θ, o ângulo entre obx b cos e vetor b , e o eixo x. Que neste exemplo é zero. Portanto o módulo de r , torna-se: r a cos b cos 2 a sin b sin 2r a 2 cos 2 2ab cos cos b 2 cos 2 a 2 sin 2 2ab sin sin b 2 sin 2 r a 2 cos 2 sin 2 b 2 cos 2 sin 2 2ab cos cos sin sin De posse das seguintes relações trigonométricas:cos 2 a cos 2 b 1ecos a b cos a cos b sin a sin bPode-se reescrever a equação da forma:r a 2 b 2 2ab cos EXEMPLO: O módulo do vetor r , resultante da soma dos vetores a 4 30 e b 3 45 , é dado por:r 16 9 2 4 3 cos 30 45 2,601 Cálculo do ângulo do vetor rPara o cálculo do ângulo do vetor resultante, usa-se a teoria do triânguloretângulo.17

ry cateto opostoθtan rx cateto adjacente ry tan 1 rxCO ry CA rx 2. Multiplicação de vetoresExistem três tipos de multiplicações para vetores:1.2.3.Multiplicação de um vetor por um escalarMultiplicação de dois vetores, de modo a resultar um escalar;Multiplicação de dois vetores, de modo a resultar um vetor.Produto EscalarO produto escalar de dois vetores é considerado como produto do módulo deum dor vetores pelo componente do outro na direção do primeiro. E pode ser dado por; a b ab cos Onde θ é o ângulo entre os vetores a e b .Produto Vetorial O produto vetorial entre dois vetores, a e b , indicado por a b , é outro vetor c , sendo c a b , cujo módulo é:c ab sin , Sendo o ângulo entre a e b . A direção de c é dada por definição, perpendicular ao plano determinado por a e b . O sentido do vetor c pode ser dado pela regra da mão direita: Envolvendo os dedos da mão direita, de forma que estes empurrem o vetor a em direção ao vetor b ; o sentido do vetor c será dado pelo sentido do dedo polegar.18

Pode-se notar que: b a é um vetor diferente de a b , pois a ordem dos vetores no produto vetorial é importante. Na realidade a b b a ,pois o móduloserá igual, mas o sentido destas duas operações será oposto.Um exemplo do uso desta operação é o cálculo da força elétrica gerada a partirdo produto vetorial, do produto corrente elétrica com comprimento do fio; e campomagnético. F i l BEXERCÍCIOS:1Um ponto material está sujeito simultaneamente a duas velocidades demódulos 4m/s e 6m/s, formando um ângulo de 60º entre si. Calcular omódulo da velocidade resultante sobre o ponto material.2Determinar a intensidade (módulo) do vetor soma de dois vetoresperpendiculares entre si e cujos módulos são 3m e 4m. 3 a)Dados os vetores a , b e c , determinar: f)R1 a bb)R2 a bc)R3 a bd)R4 a ce)R5 a c g)R7 b ch)R8 b ci)R9 b c 23460º75º20ºxx4 yyy R6 a cx Determinar o vetor r , soma destes vetores:19

y21-4-3-2-11234x-1-25Determinar o produto escalar e vetorial para os vetores citados nosexercícios 1 e 2.20

CAPÍTULO 6 - MATRIZES1. DefiniçãoAs matrizes são tabelas de números reais utilizadas em quase todos os ramosda ciência e da engenharia.Várias operações executadas por cérebros eletrônicos são computações pormatrizes. São utilizadas na Estatísticas, na Economia, na Física Atômica etc.O conjunto ordenado dos números que formam a tabela é denominado matriz ecada número é chamado elemento da matriz.Uma matriz é indicada pelo seu número de linhas e colunas. Uma matriz dom n (lê-se:m por n), com m, n 1, é uma tabela formada por m n elementostipodispostos em m linhas e n colunas.Exemplo:Uma matriz do tipo 4 3 (lê-se: quatro por três), isto é, uma matriz formadapor 4 linhas e três colunas.Representa-se uma matriz colocando-se seus elementos entre parênteses ouentre colchetes. 20 12 15 18 25 15 20 21 1810915ou 20 12 15 18181091525 15 20 21 Observação: para indicar a ordem de uma matriz, dizemos primeiro o númerode linhas e, em seguida, o número de colunas.Exemplos: 2 3 7 6 4 1 1 : matriz de ordem 2 3 (2 linhas e 3 colunas)8 2 : matriz de ordem 1 3 (1 linha e 3 colunas) 0,4 3 : matriz de ordem 2 1 (2 linha e 1 coluna) 5 2. Representação AlgébricaUtiliza-se letras maiúsculas para indicar matrizes genéricas e letras minúsculascorrespondentes para os elementos.Algebricamente, uma matriz a pode ser representada por:

a11 a 21A a m1a12 a 22 am 2 a1n a 2 n com m e n a mn Como o quadro A é bastante extenso, a matrizabreviadamente por:m n será representadaA a ij m nO elemento aij possui dois índices: o primeiro, i, representa a linha, e osegundo, j, indica a coluna. Com essas duas informações (linha e coluna) pode-selocalizar o elemento.Assim, tem-se:a11(lê-se: a um um) elemento localizado na 1ª linha e 1ª coluna.a32(lê-se: a três dois) elemento localizado na 3ª linha e 2ª coluna.3Matriz QuadradaSe o número de linhas de uma matriz for igual ao número de colunas, a matrizé dita quadrada.Quando faz-se referência a um matriz quadrada n n , pode-se dizer que a suaordem é n em vez de n n .Exemplo; 3A 14 é uma matriz de ordem 2.0 Observações:1.Quando uma matriz tem todos os seus elementos iguais azero, diz-se que é uma matriz nula.2.Os elementos aij de uma matriz quadrada, em que i j,forma uma diagonal denominada diagonal principal. A outra diagonal échamada diagonal secundária.4.Matriz TranspostaSe A é uma matriz de ordem m n , denomina-se transposta de A a matriz deordem n m obtida pela troca ordenada das linhas pelas colunas.Indica-se transposta de A por A t .Exemplo: 1A 3 22 5 0 3 2Observações: 1t a sua transposta é A 2 352 0 2 3

2. a 1ª linha de A é igual à 1ª coluna de At;3. a 2ª linha de A é igual à 2ª coluna de At;4. a 3ª linha de A é igual à 3ª coluna de At;5.Igualdade de MatrizesSejam as matrizes A e B de mesma ordem. Se cada elemento de A for igual aoelemento correspondente (elemento que ocupa a mesma posição) de B, as matrizes A eB são ditas iguais.Assim sendo A aij m n e B bij m n ,A B aij bij6.Matriz Unidade ou Matriz IdentidadeA matriz quadrada de ordem n, em que todos os elementos da diagonalprincipal são iguais a 1 (um) e os demais elementos são iguais a 0 (zero), é denominadamatriz unidade ou matriz identidade.Representa-se a matriz unidade por In.Exemplo: 1I 3 0 07.0100 0 é uma matriz unidade de ordem 3.1 Adição e Subtração de matrizesA adição ou subtração de duas matrizes, A e B, do mesmo tipo é efetuadaadicionando-se ou subtraindo-se, respectivamente, os seus elementos correspondentes.Exemplo:3 4 1 2 e B , tem-se: 7 2 1 5 4 3 1 2 4 1 3 2 A B 2 1 5 7 2 5 1 7 Sendo A 4 3 1A B 2 1 5 5 1 3 8 2 4 1 3 2 35 7 2 5 1 7 7 6 De modo geral, se A a ij m n , B bij m n e C cij m n , tem-se:Adição: C B A Cij aij bijSubtração: C B A C ij aij bij8.Matriz Oposta

Denomina-se matriz oposta de uma matriz A a matriz –A, cujos elementos sãoos simétricos dos elementos correspondentes de A. 2A 6 5 2 A 7 65 7 Observa-se que –A, matriz oposta da matriz A, é obtida trocando-se os sinais detodos os elementos de A.Desse modo, a subtração de matrizes também pode ser efetuada assim:C A B C A B oposta deBLogo, para obter a matriz c, que é a diferença das matrizes A e B, adiciona-se amatriz A à matriz oposta de B.9.Propriedades da adição de matrizesPara matrizes A, B e C, de mesmo tipo m n , valem as propriedades:A 0 AComutativa: A B B AElemento neutro:A A 0Associativa: A B C A C B Elemento oposto:Observação, Neste caso, 0 representa a matriz nula do tipo10.m n .Multiplicação de um número real por uma matrizPara multiplicar um número real por uma matriz, multiplica-se o número portodos os elementos da matriz, e o resultado é uma matriz do mesmo tipo.Dada uma matriz A aij e um número real k, chama-se produto de k por A amatriz B bij , em que bij k aij .B k A bij k aij 25 3 23 5 615 Assim, A , então B 3 A 3 6 3 3 3 6 9 18 11.Multiplicação de matrizesObservar a seguinte situação:Um empresário oferece mensalmente alimentos a dois orfanatos. Para o 1ºorfanato são doados 25kg de arroz, 20kg de carne e 32kg de batata. Para o 2º orfanatosão doados28kg de arroz, 24kg de feijão, 35kg de carne e 38 kg de batata. O empresáriofaz a cotação de preços em dois supermercados. Esta é a cotação anual, em reais:PRODUTO(1kg)ArrozFeijãoSUPERMERCADO 1SUPERMERCADO 2SUPERMERCADO 31,001,501,001,201,101,30

CarneBatata6,000,807,000,606,500,50Determinar o gasto mensal desse empresário, por orfanato, supondo que todosos produtos sejam adquiridos no mesmo estabelecimento e que este represente a melhoropção de compra.Com a matriz A, será representado a compra dos produtos para os doisorfanatos: 25A 282024303532 38 1 orfanato orfanato2O preço dos produtos nos dois supermercados será representado pela matriz B:B 1,00 1,50 6,00 0,80sup ermercado11,001,207,000,601,10 1,30 6,50 0,50 sup ermercado 2sup ermercado3Calculando o gasto mensal do empresário nas seis situações possíveis:Com o 1º orfanato:Supermercado1 25.1,00 20.1,50 30.6,00 32.0,80 260,60Supermercado2 25.1,00 20.1,20 30.7,00 32.0,60 278,2Supermercado3 25.1,10 20.1,30 30.6,50 32.0,50 264,5Com o 2º orfanato:Supermercado1 28.1,00 24.1,50 35.6,00 38.0,80 304,4Supermercado2 28.1,00 24.1,20 35.7,00 38.0,60 324,6Supermercado3 28.1,10 24.1,30 35.6,50 38.0,50 308,5Estes resultados podem ser representados pela matriz C: 260,6C 304,4278,2324,6264,5 308,5 Portanto, a melhor opção é comprar os produtos no supermercado 1.A matriz C, assim obtida, é denominada matriz produto de A por B, e indicadapor:C A BNeste exemplo, C é uma matriz do tipo 2 3 , dada por: 25C 2820243035 1,0032 1,50 38 6,00 0,801,001,207,000,601,10 1,30 6,50 0,50

Pode-se observar que cada elemento da matriz C é a soma dos produtos doselementos de uma linha da matriz A pelos correspondentes elementos da coluna demesma ordem da matriz B.Como, na multiplicação de matrizes, deve-se “multiplicar linha por coluna”, ouseja, multiplicar o 1º número da linha pelo 1º número da coluna, o 2º número da linhapelo 2º número da coluna etc., então a quantidade de colunas de A deve ser igual àquantidade de linhas de B. A matriz produto C terá número de linhas de A e o númerode colunas de B.iguaisExemplo: Dadas as matrizes A3 4 e B4 2iguaisdiferentesGeneralizando, pode-se dizer que, dada uma matriz A a ij m n e uma matrizB b jk n p , denomina-se produto de A por B a matriz C c jk m p , tal que oelemento cjk é a soma dos produtos dos elementos da i-ésima linha de A pelos elementoscorrespondentes da j-ésima coluna de B.nC A B aij b jk a11b1k a12 b2 k ain bnkj 1A letra maiúscula sigma (Σ) é o símbolo de somatório.Considerando as matrizes a11A a 21 a 31a12 ba 22 , B 11 b21a 32 b12 b22 e a matrizC A B . a11 a 21 a3112.a12 ba 22 11ba32 21 a11b11 a12 b21b12 a 21b11 a 22 b21b22 a31b11 a32 b21a11b12 a12 b22 a 21b12 a 22 b22 a31b12 a32 b22 Propriedades da multiplicação de matrizesDadas as matrizes A, B e C de modo que as somas e os produtos estejamdefinidos, valem as propriedades;Associativa

A B C A B CDistribuitiva-à esquerda: B C A B A C A-à direita: A B C A B A CObservações: A B e B A podem ser indicados por AB e BA respectivamente.A multiplicação de matrizes não é comutativa. Existem matrizes A e Btais que AB BASe ocorrer AB BA, pode-se dizer que A e B comutam.Na multiplicação de matrizes não vale a lei do anulamento do produto,isto é, podemos ter AB 0. 2 1Se A 0 0e B

(Produto de potência de mesma base:repete a base e soma os expoentes) an am an m, a 0 (divisão de potência de mesma base: repete a base e subtrai os expoentes) am n an m (potência de potência:repete a base e multiplica os expoentes) n n n