Modellierung Der Spindynamik Zur Untersuchung Von .
Modellierung der Spindynamik zur Untersuchungvon ImperfektionsresonanzenJan Felix SchmidtMasterarbeit in Physikangefertigt im Physikalischen Institutvorgelegt derMathematisch-Naturwissenschaftlichen FakultätderRheinischen Friedrich-Wilhelms-UniversitätBonnOktober 2012
Ich versichere, dass ich diese Arbeit selbstständig verfasst und keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt sowie die Zitate kenntlich gemacht habe.1. Gutachter:2. Gutachter:PD Dr. Wolfgang HillertProf. Dr. Hartmut Schmieden
Inhaltsverzeichnis12Einleitung11.12Spindynamik in rungen an eine Spindynamik-Simulation für ELSA . . . . . .Aufbau des Programmpakets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Bereitstellung von Magnetfeldern (Bsupply) . . . . . . . . . . . . . .3.3.1 Koordinatensystem und Einheiten . . . . . . . . . . . . . . .3.3.2 Beiträge einzelner Magnetfamilien . . . . . . . . . . . . . . .3.3.3 Import aus MAD-X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3.4 Import aus dem ELSA-Kontrollsystem . . . . . . . . . . . . .3.3.5 Zusammenstellen der Feldverteilungen für einen Umlauf . . .3.3.6 Ausgabe der Feldverteilung als Fourierreihe . . . . . . . . . .3.3.7 Differenz-Modus und Spin-Phasenvorschub . . . . . . . . . .Numerische Berechnung der Spinbewegung (TBMTsolver) . . . . . .3.4.1 Startbedingungen der Spinvektoren . . . . . . . . . . . . . .3.4.2 Implementierung von Synchrotronschwingungen . . . . . . .Konvergenzuntersuchungen am Beispiel einer Imperfektionsresonanz4.4Die Harmonischen-Korrektur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Das Korrektorsystem von ELSA . . . . . . . . . . . . . . . . . .Analyse der Feldverteilung der Harmonischen-Korrektur (Bsupply)4.3.1 Das neue Korrektur-Schema . . . . . . . . . . . . . . . .Simulation der Polarisations-Optimierung (TBMTsolver) . . . . .Zusammenfassung und Ausblick589141719.Die Korrektur von Imperfektionsresonanzen an ELSA4.14.24.35Spin im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . .Der Polarisationsvektor . . . . . . . . . . . . .Depolarisierende Resonanzen . . . . . . . . . .Synchrotronstrahlung . . . . . . . . . . . . . .Stellenwert der verschiedenen Effekte für ELSADie Spindynamik-Simulation pole3.13.23.34Die Beschleunigeranlage ELSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .192122222323242526283032333843.434446505257A Abbildungen zur Analyse von γa 4, 5 und 659B Weitere Simulationen der Polarisations-Optimierung63C Normierung von Amplituden und Phasen67i
D Auszüge aus 73Danksagung75ii
Kapitel 1EinleitungAn der Beschleunigeranlage ELSA (Elektronen-Stretcher-Anlage) am Physikalischen Institut der Universität Bonn werden Elektronen mit einer Energie von bis zu 3,2 GeV für Experimente der Hadronenphysik bereitgestellt. Das BGO-OD Experiment [3] und das Crystal-Barrel Experiment [8] untersuchenim Rahmen des Sonderforschungsbereichs SFB/TR-16 »Elektromagnetische Anregung subnuklearerSysteme« [26] Baryonenresonanzen, um theoretische Modelle zur Beschreibung der inneren Strukturder Baryonen zu überprüfen. Dazu werden Doppelpolarisationsexperimente durchgeführt, bei denen einTarget aus polarisierten Protonen mit polarisierten Photonen angeregt wird, die aus dem Elektronenstrahl von ELSA durch Bremsstrahlung erzeugt werden. Nur durch die Bereitstellung von polarisiertenElektronen können dabei zirkularpolarisierte Photonen erzeugt werden. Der Polarisationsgrad der Elektronen ist hierbei entscheidend für die Effizienz der Experimente.Die Beschleunigeranlage ELSA, die in Abschnitt 1.1 näher vorgestellt wird, besteht aus einem Linearund zwei Kreisbeschleunigern. Um einen hohen Polarisationsgrad zu gewährleisten, müssen die Elektronen unter Erhaltung der Spinausrichtung von der Quelle durch alle drei Beschleunigerstufen bis zumExperiment transportiert werden. Dies stellt insbesondere im sogenannten ELSA Stretcherring eineHerausforderung dar, der die Elektronen mit typischerweise 4 GeV/s von 1,2 GeV bis auf die gewünschte Endenergie beschleunigt. Weil die Magnetfelder in einem Kreisbeschleuniger periodisch auftreten,können sie dort resonant mit dem Spin wechselwirken und so depolarisierende Resonanzen verursachen. Diese treten zu festen Zeitpunkten während der Beschleunigung auf, weil die Geschwindigkeitder Spin-Präzession von der Energie der Elektronen abhängt, und müssen zur Erhaltung der Polarisation korrigiert werden. Trotz verschiedener Korrekturverfahren im ELSA Stretcherring kommt es aufdem Weg von der Quelle bis zum Experiment zu einer Verringerung des Polarisationsgrades von etwa15 %.Eine Messung des Polarisationsgrades ist bisher nur mit dem Møller-Polarimeter [17] am CrystalBarrel Experiment und damit nach Durchlaufen der gesamten Beschleunigeranlage möglich, sodassUntersuchungen von Spindynamik und Polarisationsverlusten während des Energieanstiegs im ELSAStretcherring nur eingeschränkt möglich sind. Um ein besseres Verständnis der während dieses Zeitraumes ablaufenden Prozesse zu gewinnen, wurde im Rahmen dieser Arbeit gemeinsam mit [7] dieSpindynamik-Simulation pole entwickelt, die die Spinbewegung in Kreisbeschleunigern numerisch berechnen kann.Ziel von pole ist es, depolarisierende Resonanzen zu simulieren und den Polarisationsgrad unter demEinfluss der Korrekturverfahren zu berechnen. Dazu muss das Programm zunächst alle für ELSA gültigen Rahmenbedingungen berücksichtigen, soll dann aber auch für beliebige andere Beschleunigereinsetzbar sein. Ein besonderer Schwerpunkt liegt deshalb auf der vollständigen Automatisierung derBereitstellung aller für die Spinbewegung relevanten Magnetfelder eines Beschleunigers. Dabei werdenalle benötigten Daten aus einem Format importiert1 , in dem sie bereits für möglichst viele Beschleuniger vorliegen, sodass pole vielen Nutzern einfach zugänglich ist. Bei der Berechnung der Spinbewegung1MAD-X [19]1
Kapitel 1 Einleitungsollen der Fragestellung angepasste Näherungen die benötigte Rechenzeit reduzieren. Außerdem mussder für Elektronen wichtige Einfluss von Synchrotronstrahlung berücksichtigt werden, indem zunächsteinfache Modelle implementiert und hinsichtlich ihrer Auswirkung auf die Spindynamik getestet werden. Ziel ist es dabei, zunächst eine der zwei Klassen depolarisierender Resonanzen vollständig zusimulieren – die sogenannten Imperfektionsresonanzen.Diese Arbeit beginnt mit einer kurzen Vorstellung der Beschleunigeranlage ELSA, an der alle imFolgenden gezeigten Simulationen durchgeführt wurden. Nach einer Einführung in die Spindynamikin Kreisbeschleunigern in Kapitel 2 wird in Kapitel 3 pole vorgestellt. Dabei werden die Funktionendes Programms erläutert und anhand von Simulations-Ergebnissen diskutiert. In Kapitel 4 wird abschließend das Korrekturverfahren für Imperfektionsresonanzen an ELSA untersucht, dessen Analysemit pole Probleme aufzeigt, die im Zusammenhang mit den Polarisationsverlusten stehen könnten, undgleichzeitig verschiedene Anwendungsmöglichkeiten von pole für die Verbesserung der Polarisation inELSA und deren Verständnis demonstriert.1.1 Die Beschleunigeranlage ELSAAbbildung 1.1 gibt einen Überblick über die Beschleunigeranlage ELSA. Sie besteht aus drei Stufen: Aus dem Linearbeschleuniger LINAC 1 oder LINAC 2 werden die Elektronen in das sogenannteBooster-Synchrotron injiziert, dort vorbeschleunigt und dann im Stretcherring akkumuliert und anschließend auf die gewünschte Endenergie beschleunigt. Von dort werden sie dann mittels Resonanzextraktionlangsam zu den Experimentierplätzen extrahiert.Polarisierte Elektronen werden an ELSA von der 50 kV-Quelle mit einem Polarisationsgrad von 80 %bis 85 % bereitgestellt [14]. Bei einer typischen Endenergie von 2,35 GeV erreichen sie das Experimentmit einem Polarisationsgrad von etwa 65 %. Für die Untersuchung der Spinbewegung dazwischen sindinsbesondere die beiden Kreisbeschleuniger von Bedeutung.Das seit 1967 betriebene Booster-Synchrotron beschleunigt die Elektronen im 69,9 m langen Ringauf typischerweise 1,2 GeV. Der Strom in seinen 12 Ablenkmagneten mit fokussierendem Feldanteilschwingt in einem Schwingkreis mit der Netzfrequenz von 50 Hz, sodass die Verweildauer der Elektronen im Synchrotron die Länge der ansteigenden Flanke des Magnetfeldes und damit die halbe Periodendauer der Schwingung nicht übersteigen kann. Somit erfolgt die Extraktion bereits nach 10 ms, was einermittleren Geschwindigkeit des Energieanstiegs von 120 GeV/s entspricht. Depolarisierende Resonanzenwerden dadurch sehr schnell gekreuzt und sind deutlich weniger ausgeprägt als im Stretcherring.Seit 1987 dient das Booster-Synchrotron als Injektor für den 164,4 m langen Stretcherring. Dieser verfügt über separate Magnet-Familien zur Ablenkung und Fokussierung der Elektronen. Seine 24 Dipolund 32 Quadrupolmagnete ermöglichen eine Speicherung aber auch eine Nachbeschleunigung der Elektronen auf bis zu 3,2 GeV mit einer Geschwindigkeit von typischerweise 4 GeV/s, die die Korrektur depolarisierender Resonanzen erforderlich macht. Die Strahllage wird von 32 Beam-Position Monitoren(BPMs) erfasst und mit einem System aus Korrektormagneten korrigiert, das in Abschnitt 4.2 vorgestelltwird. Es wird auch für die Korrektur von Imperfektionsresonanzen eingesetzt.Der für den Experimentierbetrieb mit polarisiertem Elektronenstrahl, und damit auch für SpindynamikSimulationen, relevante Betriebsmodus ist der sogenannte Boostermodus, bei dem Injektion, Beschleunigung und Extraktion der Elektronen in etwa 5 s langen Zyklen ablaufen. Ein solcher Zyklus ist in Abbildung 1.2 exemplarisch dargestellt. Er beginnt mit der Akkumulation eines Strahlstroms von typischerweise IELSA 20 mA im Stretcherring bei EELSA 1,2 GeV durch meist 21 Füllungen des BoosterSynchrotrons im Abstand von 20 ms. Nach 50 ms zur Dämpfung der Strahlschwingungen und etwa0,5 s nach dem Zyklusstart beginnt die Nachbeschleunigung, die im Folgenden in Anlehnung an den2
Elektronenkanone(20 MeV)LINAC agnetspektrometerTagger(26 MeV)LINAC 2ElektronenkanoneMott-PolarimeterQuellepol. e(50 keV)DESY-Resonator0,5 – 1,6 ini-TAPSCrystal BarrelHadronenphysikExperimentePhotonkameraMOMOB1 Flugzeitwände DetektorBGO-Ball(im ta0mPETRA-ResonatorenHalbzelle des StretcherringsQ BPMM0,5 – 3,5 aleitendesSolenoidExtraktionssepta5m10 m15 mMessplatz fürDetektortests(im ombined-Function-MagnetDipol (horizontal)Dipol (vertikal)QuadrupolElektronen-Stretcher-Anlage (ELSA)1.1 Die Beschleunigeranlage ELSAAbbildung 1.1: Überblick über die Elektronen-Stretcher-Anlage ELSA (Stand 2012)3
EELSA / GeV2,5IELSA / mAKapitel 1 IExp / nA00,6000,511,5232,53,544,55t/sAbbildung 1.2: Verlauf von Energie und Strahlstrom im Boostermodus von ELSA [21]Anstieg des Stroms in den Magneten Energierampe genannt wird. Sie ist linear und dauert in Abhängigkeit von der gewählten Endenergie und Geschwindigkeit einige 100 ms. Anschließend wird, nacheiner kurzen Präparationszeit, für üblicherweise etwa 4 s ein regelbarer Strom IExp in der Größenordnung von einigen 100 pA zu einem der Experimente extrahiert. So werden dem Experiment mindestens80 % der Zeit Elektronen zur Verfügung gestellt. Nachdem die Magnete des Stretcherrings wieder aufdie Injektionsenergie heruntergefahren sind (in der Abbildung an EELSA erkennbar), beginnt der nächsteZyklus.Alle für die Spinbewegung im ELSA Stretcherring relevanten Effekte, wie depolarisierende Resonanzen, treten während der Energierampe auf, deren Beginn aus diesem Grund für die Simulationen indieser Arbeit häufig als t 0 s definiert wird, im Bezug auf den Beginn des Zyklusses aber etwa beit 0,5 s liegt.4
Kapitel 2Spindynamik in KreisbeschleunigernIn diesem Kapitel werden Aspekte der Spindynamik in Kreisbeschleunigern behandelt, die der Einführung in das Thema und der Vorbereitung der in den folgenden Kapiteln beschriebenen Simulationendienen. Dabei werden einige Begriffe der Beschleunigerphysik verwendet, die beispielsweise in [28] zufinden sind.2.1 Spin im MagnetfeldDer Spin ist eine Teilcheneigenschaft, die als quantenmechanischer Drehimpuls beschrieben wird. Diezugehörige Quantenzahl hat für jedes Teilchen einen festen Wert – für Elektron und Proton gilt s 1/2.ˆDaraus folgt, dass der Spinoperator S bezüglich einer beliebig festgelegten Richtung z nur zwei diskreteZustände mit den Eigenwerten S z 1/2 annimmt, die auch Spin up und Spin down genannt werden.Wie für alle quantenmechanischen Drehimpulse gibt es kein gemeinsames Basissystem für alle dreiKomponenten, sodass zwar das Betragsquadrat mit S 2 s(s 1) 2 3/4 2 angegeben werden kann, S xund S y bei einer Messung von S z aber unbestimmt sind. Der Erwartungswert des Spin-Vektors hS i beieiner Messung zeigt somit in z-Richtung und hat den Betrag hS i S z .Der Spin entspricht keinem mechanischen Drehimpuls und kann keiner Drehung im Ortsraum zugeordnet werden. Daher bezieht sich das beschriebene diskrete System auf einen vom Ortsraum unabhängigen, abstrakten Zustandsraum mit zwei Zuständen (Spin up und Spin down). Im Ortsraum einesdreidimensionalen Laborsystems kann der Spin über den Erwartungswert hS i als klassischer Vektorbeschrieben werden und, für ein freies Teilchen, beliebig orientiert sein. Deshalb genügt für die Betrachtung der Spindynamik eine klassische Beschreibung des Erwartungswertes. Erst bei einer Messung oder Wechselwirkung mit anderen Teilchen wird die Quantenmechanik relevant. Dabei wird eineRaumrichtung ausgezeichnet, bezüglich der die Ausrichtung des Spins in zwei diskreten Werten gemessen werden kann. Nur eine Statistik über viele Teilchen erlaubt wieder eine »kontinuierliche« Angabeeiner mittleren Spin-Ausrichtung. Diese wird Polarisationsgrad genannt und in Abschnitt 2.2 betrachtet.Im Folgenden wird die klassische Beschreibung verwendet und der Begriff des Spins bezieht sich stetsauf den Erwartungswert. In dieser Arbeit wird nur der Spin des Elektrons thematisiert.e Analog zum Bahndrehimpuls des Elektrons hat sein Spin ein Magnetisches Moment h µ s i g s 2mhS i, gemäßdas mit einem Magnetfeld B g s e hS i · B E h µ s i · B2m(2.1)wechselwirkt und dadurch messbar wird. Liegt in einem Laborsystem ein Magnetfeld vor, definiertdieses eine ausgezeichnete Richtung, die, gemäß dem Skalarprodukt in Gleichung (2.1), zur Quantisierungsachse z des Spins wird. g s ist der Landé-Faktor, der die Abweichung des Magnetischen Moments5
Kapitel 2 Spindynamik in Kreisbeschleunigerndes Spins von dem des Bahndrehimpulses angibt und experimentell sowie theoretisch zug s 2 · (1 a) 2,002 319 30 . . .(2.2)bestimmt wurde. Die normierte Abweichung vom Wert 2 wird gyromagnetische Anomalie a genannt.Zur Beschreibung der Bewegung des Spin Erwartungswertes muss seine zeitliche Änderung betrachtet werden. Nach dem Ehrenfestschen Theorem gilt e d ΩL hS i BhS i g shS i Bdt2m B .(2.3)Steht der Spin-Erwartungswert parallel zum Magnetfeld, ist er zeitlich konstant. Die Änderung einer senkrechten Spin Komponente steht senkrecht auf hS i und B. Der Spin Erwartungswert präzediertzu Balso mit der Frequenzee(2.4)ΩL g s B (1 a) B 2mmum das Magnetfeld. Dies wird Larmorpräzession genannt. Bewegt sich das Elektron dabei selbst mit einer Geschwindigkeit nahe der Lichtgeschwindigkeit, muss Gleichung (2.3) bezüglich des Verhältnissesder Präzessionsgeschwindigkeit des Spins zur Winkelgeschwindigkeit des Elektrons angepasst werden.Eine Formulierung dieses Verhaltens des Spins liefert die von Thomas, Bargmann, Michel und Telegdiaufgestellte Thomas-BMT-Gleichung [2, 27], die auch die Spinbewegung in einem Kreisbeschleunigerbeschreibt: ! β E d e γ (1 a) B q γa .(2.5)hS i hS i (1 γa) Bdtγm1 γcHier werden zusätzlich elektrische Felder E berücksichtigt. Außerdem zeigt der Vergleich von Gleichung (2.5) mit Gleichung (2.3) eine Veränderung der Präzessionsfrequenz gegenüber der klassischenLarmorpräzession. Auf Grund der relativistischen Bewegung des Elektrons wird dabei zwischen Magnet q ) und senkrecht ( B ) zur Bewegungsrichtung unterschieden. Im Folgenden werdenfeldern parallel ( Bdiese auch als longitudinale und transversale Felder bezeichnet. Der Lorentzfaktor γ steigt linear mitder Teilchenenergie. Steigt auch der Betrag der Magnetfelder linear mit der Energie, wie beispielsweisein einem Synchrotron (siehe auch Abschnitt 3.3.1), hebt dies den Vorfaktor 1/γ auf und die Präzessions q ist energieunabhängig. Sie entspricht der klassischen Larmorfrequenz ΩL . Die Gefrequenz um B hingegen steigt linear mit der Energie (Thomaspräzession).schwindigkeit der Präzession um B : B0 vollführen Elektronen mit Lichtgeschwindigkeit eineIn einem konstanten Magnetfeld BKreisbewegung mit Radius R, deren Umlauffrequenz ωrev durchec B0 γmc2R ωrev e B0 γm(2.6)gegeben ist. Der Vergleich mit Gleichung (2.5) zeigt, dass die Präzessionsfrequenz in diesem Feld gerade Ω (1 γa)ωrev beträgt. Der Faktor (1 γa) gibt also die Anzahl der Präzessionen um B0 proUmlauf an: Einmal dreht sich der Spin durch den Umlauf des Teilchens selbst um die im Laborsystemangegebene Feld-Achse. Zusätzlich präzediert er γa mal pro Umlauf. Wäre der Landé-Faktor g s 2,also a 0, würde keine solche zusätzliche Präzession stattfinden.Für die Anwendung auf einen Kreisbeschleuniger kann die Thomas-BMT-Gleichung durch Näherungen vereinfacht werden. Dort werden longitudinale elektrische Felder zum Beschleunigen und transversale Magnetfelder zum Ablenken der Teilchen benutzt. Aus diesem Grund ist E in der Regel parallel6
2.1 Spin im Magnetfeldzu β und das Kreuzprodukt in Gleichung (2.5) geht gegen Null. Auch die Wirkung transversaler elektrischer Felder ist gegenüber einem transversalen Magnetfeld um den Faktor 1/c ( 10 8 ) unterdrückt.Damit kann der dritte Term vollständig vernachlässigt werden. Ähnliches gilt für den zweiten Term,denn longitudinale Magnetfelder treten meist nur als schwache Randfelder der Magnete auf, die entlangder Teilchenbahn viele Größenordnungen kleiner als die transversalen Felder sind. Einen Sonderfall stellen hierbei Solenoid-Magnete mit starken longitudinalen Feldern dar, die beispielsweise zur gezieltenDrehung des Spins eingesetzt werden. Für einen Beschleuniger ohne Solenoide kann die Thomas-BMTGleichung demnach zud e hS i (1 γa) · hS i B(2.7)dtγmgenähert werden.Magnetfelder im KreisbeschleunigerDie durch Gleichung (2.7) beschriebene Spinbewegung wird von der Energie des Elektrons sowie von bestimmt. Dieses setzt sich im Beschleuniger aus der AbfolgeBetrag und Richtung des Magnetfeldes Bverschiedener Magnete zusammen und ist deshalb zunächst eine Funktion der longitudinalen Positions entlang des Rings. Abbildung 2.1 zeigt als Beispiel für Koordinatensystem und Magnetfelder einenAusschnitt des ELSA Stretcherrings, der in Abschnitt 1.1 vorgestellt wurde.Dabei handelt es sich um ein Synchrotron. Inihm wird der Strom der Magnete synchron mitder Energiezunahme der beschleunigten ElektroQuadrupolnen erhöht, um sie auf einer Kreisbahn mit konDipolstantem Radius zu halten. Die stärksten Magnetfelder, die dabei auf die Teilchen wirken, sindz Bxdie vertikalen Führungsfelder (Bz ) der Dipolmagnete, die die Teilchen auf die Kreisbahn ablenken. Ein solcher ist in Abbildung 2.1 im Vorxdergrund zu sehen (grünes Magnetfeld). ZwiBzschen den Dipolmagneten sind verschiedene andere Magn
Modellierung der Spindynamik zur Untersuchung von Imperfektionsresonanzen Jan Felix Schmidt Masterarbeit in Physik angefertigt im Physikalischen Institut vorgelegt der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät der Rheinischen Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn Oktober 2012.
2.2. Grendel in Der kleine Hobbit 2.3. Die Hölle von Grendel’s Mutter 2.4. Das Motiv des unterirdischen Kampfes in Der kleine Hobbit 2.5. Der Dieb, der Becher und der Drache 2.6. Der Dieb, der Becher und der Drache in Der kleine Hobbit 2.7. Das Beowulf - Motiv in Der Herr der Ringe 2.
sehr für die vielen wertvollen Hinweise und Rückfragen zur vorläufigen Fassung meiner Untersuchung. Auch während der vergangenen Kolloquien an der ETF Leuven habe ich viele hilfreiche Rückmeldungen von Fakultätsmitgliedern und Mitstudenten erhalten. Weiter möchte ich den Herausgebern der Reihe Arbeiten zur Bibel und ihrer Geschichte für die Aufnahme und den Mitarbeitern der Evan .
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