BUKU AJAR MATAKULIAH GEOMETRI TRANSFORMASI TINJAUAN .

BUKU AJARMATAKULIAH GEOMETRI TRANSFORMASITINJAUAN MATAKULIAHA. Deskripsi Singkat Mata KuliahMata kuliah ini membahas tentang geometri dari sudut pandang grup transformasi,konsep-konsep grup sebagai unsur dari struktur aljabar diterapkan melalui operasi padatransformasi atas bangun geometri di bidang datar.B. Manfaat dan Relevansi Mata KuliahSetelah selesai mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan dapat menguasai danmemahami materi Geometri Transformasi sebagai salah satu bekal mengajar di SMP danSMA/K dan sarana untuk meningkatkan kemampuan pemecahan masalah baik padamateri Geometri Transformasi sendiri, matakuliah lain, dan masalah-masalah lain.Matakuliah Geometri Transformasi ini merupakan bekal bagi mahasiswa untukmempelajari matakuliah Struktur Aljabar, namun sebelum mahasiswa mempelajariGeomatri Transformasi mahasiswa harus menguasai matakuliah Matematika Dasar.C. Standar Kompetensi Mata KuliahMahasiswa mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan materi GeomatriTransformasi.D. Urutan dan Kaitan Antar BABCakupan materi pada mata kuliah geometri transformasi adalah sebagai berikut: Fungsi Transformasi Refleksi Isometri Hasil Kali Transformasi TransformasiBalikan Setegah Putaran Dilatasi Translasi Rotasi Refleksi GeserE. Saran/Petunjuk BelajarMatakuliah Geometri Transformasi akan membehas berbagai materi yang saling terkait.Oleh sebabitu, pelajarilah materi dalam setiap babnya secara baik dan runtut sesuai yangdipaparkan pada buku ajar.

BAB VIISETENGAH PUTARANA. PENDAHULUAN Deskripsi Singkat Cakupan BabPada bab ini akan membahas jenis transformasi yang ke 2 yaitu, setengah putaran.Materi Setengan Putaran ini akan disajikan dengan dikaitkan pada materipencerminan dan dilatasi. Akan ada 9 teorema yang akan dibahas pada bab ini, gunamembentu mahasiswa mempermudah menyelesaikan masalah yang berkaitan denganSetengan Putaran atau masalah Geometri transformasi secara umum. Relevansi BanBab Setengan Putaran didasari dari materi pencerminan dan sebagai bekalmempelajari materi Dilatasi. Kompetensi Dasar BabMahasiswa mampu mendefinisikan setengan putaran, mampu membuktikan 9teorema di setengan putaran, dan mampu menyelsaikan masalah yang terkait dengansetengah putaran, pencerminan, dan dilatasi.B. MATERISetengah Putaran mengelilingi sebuah titik adalah suatu involusi. Suatu setengahputaran mencerminkan setiap titik di bidang pada sebuah titik tertentu sehingga disebut jugapencerminan pada suatu titik.DefinisiSebuah setengah putaran pada suatu titik 𝐴 adalah suatu padanan 𝑆𝐴 yang didefinisikan untuksetiap titik pada bidang sebagai berikut :1. Apabila 𝑃 𝐴 maka 𝑆1 𝑃 𝑃′ sehingga 𝐴 titik tengah ruas garis 𝑃𝑃′.2. 𝑆𝐴 𝐴Setengah putaran adalah suatu transformasiBukti:Akan dibuktikan 𝑆𝐴 Bijektif.

Untuk membuktikan 𝑆𝐴 Bijektif maka harus dibuktikan terlebih dahulu 𝑆𝐴 Surjektif danInjektif.(1) Akan dibuktikan 𝑆𝐴 SurjektifUntuk menunjukkan 𝑆𝐴 Surjektif, akan ditunjukkan 𝑃′ 𝑉 𝑆𝐴 𝑃 𝑃′Ambil sebarang 𝑃′ 𝑉𝑃′ 𝑉 𝑃′ 𝑆𝐴 (𝑃)𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑃 𝐴, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑆𝐴 𝐴 𝐴′ 𝐴Jadi, 𝑃′ 𝑉 𝑃′ 𝑃 𝑆𝐴 (𝑃)Jika 𝑃 𝐴 maka A menjadi sumbu ruas garis ′, berarti 𝑆𝐴 𝑃 𝑃′Jadi, 𝑆𝐴 Surjektif(2) Akan dibuktikan 𝑆𝐴 InjektifMissal 𝐵1 𝐵2Kasus I𝐵1 𝐵2 𝐴Untuk 𝐵1 𝐴 maka 𝑆𝐴 𝐵1 𝐵1 𝐵1 ′ .1*)Untuk 𝐵2 𝐴 maka 𝑆𝐴 𝐵2 𝐵2 𝐵2 ′ 2*)Dari 1*) dan 2*) maka diperoleh 𝑆𝐴 𝐵1 𝑆𝐴 𝐵2Kasus II𝐵1 𝐵2 𝐴Ambil sebarang 𝐵1 , 𝐵2 𝑉 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝐵1 𝐵2𝐵1 𝐴, 𝐵2 𝐴, 𝐵2 , 𝐵2 , 𝐴 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑠𝑒𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠Sehingga 𝑆𝐴 𝐵1 𝐵1′ dan 𝑆𝐴 𝐵2 𝐵2 ′Andaikan 𝑆𝐴 𝐵1 𝑆𝐴 𝐵2Karena 𝑆𝐴 𝐵1 𝑆𝐴 𝐵2Maka 𝐵1′ 𝑆𝐴 𝐵1 𝑆𝐴 𝐵2 𝐵2 ′Sehingga diperoleh 𝐵1′ 𝐵2 ′ dan ᒐ1 𝐵2Menurut teorama, “Melalui dua titik hanya dapat dibuat satu garis”Ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa 𝐵1 𝐵2Pengandaian 𝐵1 𝐵2 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑆𝐴 𝐵1 𝑆𝐴 𝐵2 harus dibatalkan.Jadi, 𝑆𝐴 𝐵1 𝑆𝐴 𝐵2Jadi 𝑆𝐴 InjektifDari (1) dan (2) maka diperoleh 𝑆𝐴 Surjektif dan 𝑆𝐴 InjektifKarena 𝑆𝐴 Surjektif dan 𝑆𝐴 Injektif, maka 𝑆𝐴 Bijektif

Karena 𝑆𝐴 Bijektif, maka 𝑆𝐴 adalah suatu transformasi.Jadi, terbukti bahwa suatu setengah putaran adalah transformasi.Teorema 7.1Andaikan 𝑨 sebuah titik,𝒈 dan 𝒉dua garis tegak lurus yang berpotongan di 𝑨.Maka𝑺𝑨 𝑴𝒈 𝑴𝒉 .Bukti :Diketahui 𝐴 sebuah titik, 𝑔 dan ℎ dua garis tegak lurus yang berpotongan di 𝐴.a) Kasus I : 𝑃 𝐴Karena 𝑔 ℎ maka dapat dibentuk sebuah sistem sumbu orthogonal dengan 𝑔 sebagaisumbu X dan ℎ sebagai sumbu Y. 𝐴 sebagai titik asal.Ambil titik 𝑃 𝑉Perhatikan Gambar 7.2𝑃′ ( 𝑥, 𝑦)𝑔P(x,y)𝑋𝐴𝑃′ ′( 𝑥, 𝑦)ℎDitunjukkan bahwa untuk setiap 𝑃 berlaku 𝑆𝐴 𝑃 𝑀𝑔 𝑀ℎ 𝑃Andaikan 𝑃 𝑥, 𝑦 𝐴 dan 𝑆𝐴 𝑃 𝑃′′ 𝑥1 , 𝑦1Karena 𝑆𝐴 𝑃 𝑃′′ maka 𝐴 titik tengah 𝑃𝑃′ sehingga0,0 𝑥1 𝑥 𝑦1 𝑦,22Diperoleh 𝑥1 𝑥 0 𝑥1 𝑥 dan 〱1 𝑦 0 𝑦1 𝑦Artinya 〱𝐴 𝑃 𝑥, 𝑦 (1)Komposisi pencerminan𝑀𝑔 𝑀ℎ 𝑃 𝑀𝑔 𝑀ℎ 𝑃 𝑀𝑔 𝑥, 𝑦

( 𝑥, 𝑦)Artinya 𝑀𝑔 𝑀ℎ 𝑃 ( 𝑥, 𝑦) (2)Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh 𝐴 𝑃 𝑀𝑔 𝑀ℎ 𝑃 .Jadi, 𝑆𝐴 𝑀𝑔 𝑀ℎb) Kasus II : 𝑃 𝐴Menurut Definisi, 𝑆𝐴 (𝐴) 𝐴 (1*)𝑀𝑔 𝑀ℎ 𝐴 𝑀𝑔 𝐴 𝐴 .(2*)Dari persamaan (1*) dan (2*) diperoleh 𝑆𝐴 𝐴 𝑀𝑔 𝑀ℎ 𝐴 .Jadi, 𝑆𝐴 𝑀𝑔 𝑀ℎ .Teorema 7.2Jika 𝒈 dan 𝒉 dua garis yang tegak lurus maka 𝑴𝒈 𝑴𝒉 𝑴𝒉 𝑴𝒈Buktia) Kasus I : 𝑃 𝐴Karena 𝑃 𝐴, maka 𝑀𝑔 𝑀ℎ (𝑃) 𝑆𝐴 (𝑃).𝑀ℎ 𝑀𝑔 𝑃 𝑀ℎ 𝑀𝑔 𝑃 㜵ℎ 𝑥, 𝑦 𝐷, 𝑦 〰𝐴 (𝑃).diperoleh𝑀𝑔 𝑀ℎ (𝑃) 𝑆𝐴 (𝑃) 𝑀ℎ 𝑀𝑔 𝑃Jadi, 𝑀𝑔 𝑀ℎ 𝑀ℎ 𝑀𝑔b) Kasus II : 𝑃 𝐴Karena 𝑃 𝐴, maka 𝑀𝑔 𝑀ℎ 𝐴 𝑀𝑔 𝐴 𝐴𝑀ℎ 𝑀𝑔 𝐴 𝑀ℎ 𝐴 𝐴Sehingga diperoleh 𝑀𝑔 𝑀ℎ 𝐴 𝑀ℎ 𝑀𝑔 𝐴 .Jadi, 𝑀𝑔 𝑀ℎ 𝑀ℎ 𝑀𝑔 .Teorema 7.3Jika 𝑺𝑨 setengah putaran, maka 𝑺 𝟏 𝑨 𝑺𝑨 .BuktiAndaikan 𝑔 dan ℎ dua garis yang tegak lurus maka 𝑀𝑔 𝑀ℎ 𝑆𝐴 dengan 𝐴 titik potongantara 𝑔dan ℎ.(𝑀𝑔 𝑀ℎ ) 1 𝑀 1 ℎ 𝑀 1𝑔 𝑆 1𝐴 .Karena 𝑀 1 ℎ 𝑀ℎ dan 𝑀 1𝑔 𝑀𝑔 maka 𝑀ℎ 𝑀𝑔 𝑆 1𝐴 .

Karena 𝑔 ℎ, maka menurut teorema 7.2, 𝑀𝑔 𝑀ℎ 𝑀ℎ 𝑀𝑔 .Sedangkan menurut teorema 7.1, 𝑆𝐴 て𝑔 𝑀ℎ .Sehingga diperoleh 𝑆 1𝐴 𝑀ℎ 𝑀𝑔 𝑀𝑔 𝑀ℎ 𝑆𝐴 .Jadi, 𝑆 1𝐴 𝑆𝐴 .Teorema 7.4Jika 𝑨 (𝒂, 𝒃) dan 𝑷 (𝒙, 𝒚)maka 𝑺𝑨 𝑷 (𝟐𝒂 𝒙, 𝟐𝒃 𝒚).Buktia) Kasus I : 𝑃 𝐴Misalkan 𝑃" (𝑥1 , 𝑦1 ) dan 𝑆𝐴 (𝑃) 𝑃" maka 𝐴 titik tengah 𝑃𝑃" sehingga diperoleh𝑎, 𝑏 Maka𝑥 1 𝑥2𝑦 1 𝑦2𝑥 1 𝑥2 𝑎 dan𝑦 1 𝑦2𝑥1 𝑥𝑦1 𝑦,22 𝑏 sehingga diperoleh 𝑎 𝑥1 𝑥 2𝑎 𝑥1 2𝑎 𝑥 .(1*) 𝑏 𝑦1 𝑦 2𝑏 𝑦1 2𝑏 𝑦 (2*)Dari persamaan (1*) dan (2*) maka 𝑥1 , 𝑦1 2𝑎 𝑥 , (2𝑏 𝑦)Karena 𝑆𝐴 (𝑃) 𝑃", maka 𝑆𝐴 𝑃 𝑥1 , 𝑦1 2𝑎 𝑥 , (2𝑏 𝑦)Jadi, 𝑆𝐴 𝑃 (2𝑎 𝑥, 2𝑏 𝑦).b) Kasus II : 𝑃 𝐴Karena 𝑃 𝐴, maka 𝑥, 𝑦 𝑎, 𝑏 artinya 𝑎 𝑥 dan 𝑏 𝑦. 𝐴 𝑃 𝑆𝐴 𝐴 𝐴 (𝑎, 𝑏)𝑎, 𝑏 2𝑎 𝑎 , 2𝑏 𝑏 2𝑎 𝑥 , 2𝑏 𝑦Jadi, 𝑆𝐴 𝑃 (2𝑎 𝑥, 2𝑏 𝑦).7.2 Lanjutan Setengah PutaranKita ingat kembali tentang refleksi atau pencerminan.Definisi refleksi atau pencerminan ialah1. M g A A, A g2. M g P P' , yang bersifat g adalah sumbu ruas garis PP '

Jelas bahwa A g yang dicerminkan terhadap garis g maka A berimpit dengan petanya.Titik yang demikian dinamakan titik tetap (invariant) refleksi.DefinisiA dinamakan titik tetap (invariant) transformasi T apabila berlaku T(A) ADari definisi tersebut, kita dapat memperoleh fakta bahwa sebuah refleksi garis g memilikitak hingga banyaknya titik tetap yaitu semua titik pada sumbu refleksi g itu sendiri.Sedangkan pada sebuah setengah putaran di P (Sp), maka satu-satunya titik varian adalah P,sebab Sp(P) P dan Sp(X) X’ dengan X P dan P titik tengah ruas garis XX ' .DefinisiSebuah transformasi T yang bersifat bahwa sebuah garis petanya juga garis dinamakankolineasiKarena setiap isometric adalah suatu kolineasi maka refleksi dan setengah putaran adalahsuatu kolineasi. Diantara kolineasi tersebut ada yang disebut dilatasiDefinisiSuatu kolineasi dinamakan suatu dilatasi jika untuk setiap garis g berlaku sifat (𝑔)//𝑔.Teorema 7.5Andaikan SA suatu setengah putaran, dan g sebuah garis. Apabila 𝑨 𝒈, 𝒎𝒂𝒌𝒂 𝑆𝐴 (𝑔)//𝑔Diketahui: SAsebuah garis g, A gBuktikan bahwa 𝑆𝐴 (𝑔)//𝑔Bukti :Misal 𝑃 𝑔, 𝑑𝑎𝑛 𝑄 𝑔karenaP gmakaAtitiktengahPP ′karena Q g maka A titik tengah QQ′ dengan Q′ SA QdenganP ′ SA P

PQ𝑔A𝑆𝐴 𝑃 𝑃′𝑆𝐴 𝑄 𝑄 ′𝑔′ 𝑆𝐴 (𝑔)Perhatikan APQ′ dan AQP′Untuk membuktikan bahwa g′ g maka harus ditunjukkan APQ′ dan AQP′ adalahkongruen.m 𝑃𝐴Q′ m( 𝑄𝐴P ′ )(sudut bertolak belakang)PA AP′( karena A titik tengah PP ′ )QA AQ( karena A titik tengah QQ′ )Menurut definisi kekongruenan (S Sd S)sehingga APQ′ AQP′Karena APQ′ AQP ′ maka PQ′ QP ′Karena PQ′ QP ′ maka g′ gJadi, 𝑆𝐴 (𝑔)//𝑔ContohDiketahui dua garis g dan h tidak sejajar. A sebuah titik yang tidak terletak pada g atau h.Tentukan semua titik X pada g dan semua titik Y pada h sehingga A titik tengah ruas garisXY .Dipunyai: garis g dan h tidak sejajarA g, A hDitanya: tentukan semua X g , Y h A titik tengah XYJawab:Ambil P gJika P' S A P maka g ' S A g melalui P’ dan PA AP’, g’//gJika g’ memotong h di YTarik YA memotong g di XMaka X dan Y pasangan titik yang dicariIlustrasi :

hYP’g’APgXDari contoh di atas, buktikan bahwa X dan Y satu-satunya pasangan yang memenuhipersyaratan, dan jika tidak menggunakang ' S A g tapih' ' S A h apakah akanmemperoleh pasangan lain lalu jelaskan hal tersebutDipunyai: garis g dan h tidak sejajarA g, A h ,Ditanya: Adb X dan Y satu-satunya pasangan yang memenuhi Ambil 𝑔 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑠𝑒𝑗𝑎𝑗𝑎𝑟 ℎ, 𝑔 𝑡𝑖𝑑𝑎𝑘 𝑡𝑒𝑔𝑎𝑘 𝑙𝑢𝑟𝑢𝑠 ℎ, 𝑑𝑎𝑛 𝐴 ℎKarena 𝐴 ℎ, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑆𝐴 ℎ ℎ′ ℎℎ′akan memotong 𝑔 di titik 𝑋, sehingga 𝑋 ℎ′karena 𝑆𝐴 ℎ ℎ′ ℎ, maka 𝑆𝐴 𝑋 𝑌 ℎKarena titik potong dari dua garis atau lebih akan hanya ada satu titik potong,Maka 𝑋 dan 𝑌 satu-satunya pasangan .sehingga𝑋 ℎ′ , 𝑋 𝑔, 𝑋 𝑋𝑌, 𝑑𝑎𝑛 𝑌 ℎ, 𝑌 𝑔′ , 𝑌 𝑋𝑌jadi, 𝑋 dan 𝑌 satu-satunya pasangan.Teorema 7.6Hasil kali dua setengah putaran dengan pusat yang berbeda, tidak memiliki titik tetapBukti:Misal A, B V , A BAkan dibuktikan S A S B tidak memiliki titik tetapMisal g AB