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PROF : ATMANI NAJIBTronc commun Sciences BIOFRésumé de Cours : F ONCTIONS - Généralités1) Définitions et Domaine de définitionsUne fonction : est une relation qui a un nombre x appartenant à un ensemble D associe un nombre y :fOn note : xy ou encore f : x y ou encore y f(x)On dit que y est l’image de x par la fonction f et que x est un antécédent de y par la fonction fDomaine de définition : Pour une fonction f donnée, l’ensemble de tous les nombres réels qui ont une image parcette fonction est appelé ensemble de définition de la fonction f que l’on notera DfEgalité de deux fonctions : Soient f et g deux fonctions, D f et D g leurs domaines de définitions respectifs.On dit que f et g sont égaux et on écrit f g si et seulement si : D f D g et pour tout : x D f (ou x Dg )On a : f(x) g(x)Représentations graphiques : Soit f une fonction, D f son domaine de définitiona)L’ensemble des points M (x, f (x) ) forment la courbe représentative de la fonction f , souvent notée C f . C f M x, f x / x D f .b) Utilisation d'une courbe pour obtenir une imagePour obtenir l’image d’un nombre a par une fonction f, on lit graphiquement l’ordonnée du point de lacourbe de f ayant pour abscisse a.Exemple : Voici la représentation graphique d’une fonction f :Pour déterminer l’image de 1 par f, on doit partir de l’abscisse 1, puis onlit l’ordonnée du point de la courbe correspondant :Par lecture, on obtient 4. Donc : l’image de 1 par f est 4.Pour déterminer l’image de 2 par f, on doit partir de l’abscisse 2, puis onlit l’ordonnée du point de la courbe correspondant.Par lecture, on obtient 5 : l’image de 2 par f est 5.2) Fonctions paires et Fonctions impairesa) Fonction paire : On dit qu’une fonction f est paire si et seulement si :- Pour tout x de Df si x Df alors - x Df- Pour tout réel x de Df On a: f(-x) f(x).b) Fonction impaire :On dit qu’une fonction f est impaire si et seulement si :- Pour tout x de Df si x Df , alors - x Df- Pour tout réel x de Df, on a : f(-x) -f(x)c) Le graphe et la parité de la fonction.- La courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par à l’axe des ordonnées.- La courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine.3) Les variations d’une fonction numérique.a)Définitions :a) Soit f une fonction et D f son domaine de définition et soit I un intervalle inclus dans D f- Dire fque est strictement croissante sur I (croissante sur I ) signifie que :Si x1 I et x2 I tel que : x1 x2 alors f x1 f x2 f x1 f x2 Rq : Une fonction croissante « conserve l’ordre ».- Dire f que est strictement décroissante sur I(décroissante sur I ) signifie que :Si x1 I et x2 I tq x1 x2 alors f x1 f x2 f x1 f x2 Rq : Une fonction décroissante « inverse l’ordre ».- Dire f que est constante sur I signifie que : si x1 I et x2 I tel que : x1Prof/ATMANI NAJIBx2 alors : f x1 f x2 http:// www.xriadiat.com1

PROF : ATMANI NAJIBTronc commun Sciences BIOF- Une fonction définie sur un intervalle I est monotone sur cet intervalle si elle est : soit croissante sur Isoit décroissante sur I- On dit que f est constante sur I si et seulement si : il existe un réel k tel que : f x k pour tout x Ib) Le taux d’accroissement d’une fonction et les variations :Soit f une fonction définie sur un intervalle I On dit que f est strictement croissante (croissante) sur I si et seulement si pour tout x1 I et xé Iet x1 x2 On a f x1 f x2 0 ( f x1 f x2 0 )x1 x2x1 x2 On dit que f est strictement décroissante (décroissante) sur I si et seulement si pour tout x1 I et xé Iet x1 x2f x f xOn a f x1 f x2 0 ( 1 2 0 )x1 x2x1 x2 On dit que f est constante sur I si et seulement si pour tout x1 I et xé I et x1 x2on a f x1 f x2 0 .x1 x2 c) les variations et la parité : Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I et soit I lesymétrique de l’intervalle I Si f est paire alors : f Est croissante sur I si et seulement si f est décroissante sur I . f Est décroissante sur I si et seulement si f est croissante sur I . Si f est impaire alors : f est croissante sur I si et seulement si f est croissante sur I f est décroissante sur I si et seulement si f est décroissante sur I Si f est paire ou impaire alors il suffit d’étudier ses variations sur D f et en déduire ses variations sur D f4) Les extremums d’une fonction numérique.Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert I et soit a I Dire que f a est une valeur maximale de f sur I (ou f a est un maximum de f sur I ) si et seulementsi pour tout que x I : f x f a Dire que f a est une valeur minimale de f sur I (ou f a est un minimum de f sur I ) si et seulementsi pour tout x I : f x f a ax5) Etude et représentation graphique des fonctions : x 2Soit f une fonction numérique tel que : f x ax ; a on a : D f f est une fonction paire .Tableau de variations de f si a 0fTableau de variations de f si a20f ax 2 avec a Dans un Repère orthonormé 0; i ; j la courbe représentative de la fonction x s’appelle une parabole dont les éléments caractéristiques sont son sommet qui est l’origine du repère et sonaxe de symétrie qui est l’axe des ordonnéesProf/ATMANI NAJIBhttp:// www.xriadiat.com2

PROF : ATMANI NAJIBTronc commun Sciences BIOFyy6a5a 00-21-10412x-13-22-31-4-3-2-1012x-1-5-2-6 ax bx c6) Etude et représentation graphique des fonctions : x 2Soit f une fonction numérique tel que : f x ax bx c avec a et b f2et c a) On a f est une fonction polynôme donc D f 22b on peut écrire sous la forme : f x a x a x 2a 4a b) Pour tout réel x 2Avec b 4ac et b et et s’appelle la forme canonique de f x 2a4aDans le repère 0; i ; j la courbe C fc’est une parabole de sommet W ; et d’axe de symétrie la droite x 3 Les variations de fSi a 0Si a0f7) Etude et représentation graphique des fonctions : x a) Tableau de variations de fsi a 0 aa xsi a avec a 0b) la courbe représentative de la fonction f s’appelle une hyperbolec)Les éléments caractéristiques sont :-Son centre de symétrie est l’origine du repère- Ces deux asymptotes sont l’axe des abscisses et l’axe des ordonnéessi a 0si I NAJIBhttp:// www.xriadiat.com3

PROF : ATMANI NAJIBTronc commun Sciences BIOF8) Etude et représentation graphique des fonctions homographiques :ax bfx a 0 et c 0 et ad bc 0cx df est une fonction homographique d Pour x on a f x dite forme réduite de f x x c Soit W ; donc dans le repère W ; i ; j l’équation de C f est Y avec Y y et X x X C f est une hyperbole de centre W et d’asymptotes l’axe des abscisses et l’axe des ordonnéesDans le repère O ; i ; j C f est l’hyperbole de centre W et d’asymptotes les droites d’équations respectives x et y a b ad bc1iér cas : Si det f c dTableau de variations de f :2iér cas : Si det f a b ad bcc dTableau de variations de f :009) Position relative de courbes, interprétation graphique d’équations et d’inéquationsLe but de ce chapitre est de pouvoir déterminer par le calcul, entre 2 courbes, quelle courbe se situe audessus de l’autre et sur quel(s) intervalle (s).a)Résolution graphique d’équations et d’inéquationsSoient C f la courbe représentative de f et C g la courbe représentative de g . Les solutions de l’équation f x g x sont les abscisses des points D’intersection de C f et de C g Les solutions de l’inéquation f x g x sont les abscisses des points de C f situées au-dessus de C g Les solutions de l’inéquation f x g x sont les abscisses des points de C f situées au- dessous de C g b) Position relative de deux courbes et intersectionPour étudier la position relative de deux courbes C f et C g on étudie le signe de la différence f x g x - Dans le cas où f x g x 0 on en déduit que f x g x et par conséquent C f est au-dessus de C g - Dans le cas où f x g x 0 on en déduit que f x g x et par conséquent C f est au-dessous de C g - Dans le cas où f x g x 0 on en déduit qu’il y a intersectionExemple1: On a représenté ci-dessous C f et C gles courbes représentatives des fonctions f et g11définies sur]0; [ par : f x et g x .xxGraphiquement : on constate que C f est au-dessusde C g sur ]0;1[ et que C f est en-dessous de C g sur ]1; [Prof/ATMANI NAJIBhttp:// www.xriadiat.com4

PROF : ATMANI NAJIBTronc commun Sciences BIOFc) Equation : f x m et inéquation f x m Les solutions de l’équation f x m sont les abscisses despoints d’intersection de C f avec la droite d’équation y m Les solutions de l’inéquation f x m sont les abscisses despoints de C f situés au-dessus de la droite d’équation y m .Prof/ATMANI NAJIBhttp:// www.xriadiat.com5

b) Utilisation d'une courbe pour obtenir une image Pour obtenir l’image d’un nombre a par une fonction f, on lit graphiquement l’ordonnée du point de la courbe de f ayant pour abscisse a. Exemple : Voici la représentation graphique d’une fonction f : Pour déterminer l’image de 1 par f, on doit partir de l’abscisse 1, puis on