Matematika Diskrit (logika) - WordPress
MateMatika DiskritLogika (logic)STMIK “Parna Raya” ManadoIr. Hasanuddin Sirait, M.T1
Logika Logika merupakan dasar dari semua penalaran(reasoning). Penalaran didasarkan pada hubungan antarapernyataan (statements).Proposisi Pernyataan atau kalimat deklaratif yang bernilaibenar (true) atau salah (false), tetapi tidakkeduanya.2
Permainan“Gajah lebih besar daripada tikus.”Apakah ini sebuah pernyataan?YAApakah ini sebuah proposisi?YAApakah nilai kebenarandari proposisi ini?BENAR3
Permainan“520 111”Apakah ini sebuah pernyataan?YAApakah ini sebuah proposisi?YAApakah nilai kebenarandari proposisi ini?SALAH4
Permainan“y 5”Apakah ini sebuah pernyataan?Apakah ini sebuah proposisi?YATIDAKNilai kebenaran dari pernyataan tersebutbergantung pada y, tapi nilainya belumditentukan.Pernyataan jenis ini kita sebut sebagaifungsi proposisi atau kalimat terbuka.terbuka.5
Permainan“Sekarang tahun 2003 dan 99 5.”Apakah ini sebuah pernyataan?YAApakah ini sebuah proposisi?YAApakah nilai kebenarandari proposisi ini?SALAH6
Permainan“Tolong untuk tidak tidur selama kuliah”Apakah ini sebuah pernyataan?TIDAKIni adalah sebuah permintaan.Apakah ini sebuah proposisi?TIDAKHanya pernyataanlah yang bisa menjadiproposisi.7
Permainan“x y jika dan hanya jika y x.”Apakah ini pernyataan ?Apakah ini proposisi ? karena nilai kebenarannyatidak bergantung hargaspesifik x maupun y.Apakah nilai kebenarandari proposisi ini ?YAYABENAR8
Contoh 1. Semua pernyataan di bawah ini adalahproposisi:(a) 13 adalah bilangan ganjil(b) Soekarno adalah alumnus UGM.(c) 1 1 2(d) 8 akar kuadrat dari 8 8(e) Ada monyet di bulan(f) Hari ini adalah hari Rabu(g) Untuk sembarang bilangan bulat n 0, maka2n adalah bilangan genap(h) x y y x untuk setiap x dan y bilanganriil9
Contoh 2. Semua pernyataan di bawah inibukan proposisi(a) Jam berapa kereta api Argo Bromo tibadi Gambir?(b) Isilah gelas tersebut dengan air!(c) x 3 8(d) x 3 Kesimpulan: Proposisi adalah kalimat berita10
Proposisi dilambangkan dengan huruf kecilp, q, r, .Contoh:p : 13 adalah bilangan ganjil.q : Soekarno adalah alumnus UGM.r: 2 2 411
Mengkombinasikan Proposisi Misalkan p dan q adalah proposisi.1. Konjungsi (conjunction): p dan qNotasi p q,2. Disjungsi (disjunction): p atau qNotasi: p q3. Ingkaran (negation) dari p: tidak pNotasi: p p dan q disebut proposisi atomik Kombinasi p dengan q menghasilkan proposisi majemuk(compound proposition12
Contoh 3. Diketahui proposisi-proposisi berikut:p : Hari ini hujanq : Murid-murid diliburkan dari sekolahp q : Hari ini hujan dan murid-murid diliburkandari sekolahp q : Hari ini hujan atau murid-murid diliburkan darisekolah p: Tidak benar hari ini hujan(atau: Hari ini tidak hujan) 13
Contoh 4. Diketahui proposisi-proposisi berikut:p : Pemuda itu tinggiq : Pemuda itu tampanNyatakan dalam bentuk simbolik:(a) Pemuda itu tinggi dan tampan(b) Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan(c) Pemuda itu tidak tinggi maupun tampan(d) Tidak benar bahwa pemuda itu pendek atau tidaktampan(e) Pemuda itu tinggi, atau pendek dan tampan(f) Tidak benar bahwa pemuda itu pendek maupuntampanPenyelesaian:(a)(b)(c)(d)(e)(f)p qp q p q ( p q)p ( p q) ( p q)14
Tabel Kebenaranpqp qpqp qpTTFFTFTFTFFFTTFFTFTFTTTFTF qFTContoh 5. Misalkanp : 17 adalah bilangan prima (benar)q : bilangan prima selalu ganjil (salah)p q : 17 adalah bilangan prima dan bilangan primaselalu ganjil (salah)15
Operator proposisi di dalam Google16
17
Contoh 6. Bentuklah tabel kebenaran dari proposisimajemuk (p q) ( q r).pqrp qTTTTFFFFTTFFTTFFTFTFTFTFTTFFFFFF q q r (p q) ( q r)FFTTFFTTFFTFFFTFTTTFFFTF18
Proposisi majemuk disebut tautologi jika iabenar untuk semua kasus Proposisi majemuk disebut kontradiksi jikaia salah untuk semua kasus.19
Contoh 7. p (p q) adalah sebuah tautologipqp qTTFFTFTFTFFF (p q)FTTTp (p q)TTTT20
Contoh 8. (p q) (p q) adalah sebuah kontradiksipqp qTTFFTFTFTFFFp qFTTF (p q)FFFT(p q) (p q)FFFF21
Dua buah proposisi majemuk, P(p, q, .) dan Q(p, q, .)disebut ekivalen secara logika jika keduanya mempunyaitabel kebenaran yang identik.Notasi: P(p, q, ) Q(p, q, )Contoh 9. Hukum De Morgan: (p q) p q.pqp q (p q) p q p qTTFFTFTFTFFFFFTTFTFTFTTTFTTT22
Hukum-hukum LogikaDisebut juga hukum-hukum aljabar proposisi.1. Hukum identitas: p F p p T p2. Hukum null/dominasi: p F F p T T3. Hukum negasi: p p T p p F4. Hukum idempoten: p p p p p p5. Hukum involusi (negasiganda): ( p) p6. Hukum penyerapan(absorpsi): p (p q) p p (p q) p23
7. Hukum komutatif: p q q p p q q p8. Hukum asosiatif: p (q r) (p q) r p (q r) (p q) r9. Hukum distributif:10. p (q r) (p q) (p r)p (q r) (p q) (p r) Hukum De Morgan: (p q) p q (p q) p q24
Contoh 10. Tunjukkan bahwa p (p q) dan p qkeduanya ekivalen secara logika.Penyelesaian:p (p q ) p ( p q) (p p) (p q) T (p q) p q(Hukum De ogran)(Hukum distributif)(Hukum negasi)(Hukum identitas)25
Contoh 11. Buktikan hukum penyerapan: p (p q) pPenyelesaian:p (p q) (p F) (p q) p (F q) p F p(Hukum Identitas)(Hukum distributif)(Hukum Null)(Hukum Identitas)26
Soal Latihan 1Diberikan pernyataan “Tidak benar bahwa dia belajarAlgoritma tetapi tidak belajar Matematika”.(a) Nyatakan pernyataan di atas dalam notasi simbolik(ekspresi logika)(b) Berikan pernyataan yang ekivalen secara logikadengan pernyataan tsb (Petunjuk: gunakan hukum DeMorgan)27
Penyelesaian Soal Latihan 1Misalkanp : Dia belajar Algoritmaq : Dia belajar Matematikamaka,(a) (p q)(b) (p q) p q (Hukum De Morgan)dengan kata lain: “Dia tidak belajar Algoritma atau belajarMatematika”28
Disjungsi EksklusifKata “atau” (or) dalam operasi logika digunakan dalamsalah satu dari dua cara:1. Inclusive or“atau” berarti “p atau q atau keduanya”Contoh: “Tenaga IT yang dibutuhkan menguasai BahasaC atau Java”.2. Exclusive or“atau” berarti “p atau q tetapi bukan keduanya”.Contoh: “Ia dihukum 5 tahun atau denda 10 juta”.29
Operator logika disjungsi eksklusif: xorNotasi: Tabel kebenaran:pqp qTTFFTFTFFTTF30
Proposisi Bersyarat(kondisional atau implikasi) Bentuk proposisi: “jika p, maka q” Notasi: p q Proposisi p disebut hipotesis, antesenden,premis, atau kondisi Proposisi q disebut konklusi (ataukonsekuen).31
Contoh 12.a. Jika saya lulus ujian, maka saya mendapat hadiah dariayahb. Jika suhu mencapai 80 C, maka alarm akan berbunyic. Jika anda tidak mendaftar ulang, maka anda dianggapmengundurkan diri32
Cara-cara mengekspresikan implikasi p q: Jika p, maka q Jika p, q p mengakibatkan q(p implies q) q jika p p hanya jika q p syarat cukup untuk q (hipotesis menyatakansyarat cukup (sufficient condition) ) q syarat perlu untuk p(konklusi menyatakansyarat perlu (necessary condition) ) q bilamana p(q whenever p)33
Contoh 13. Proposisi-proposisi berikut adalahimplikasi dalam berbagai bentuk:1.2.3.4.5.6.7.8.Jika hari hujan, maka tanaman akan tumbuh subur.Jika tekanan gas diperbesar, mobil melaju kencang.Es yang mencair di kutub mengakibatkan permukaan airlaut naik.Orang itu mau berangkat jika ia diberi ongkos jalan.Ahmad bisa mengambil matakuliah Teori Bahasa Formalhanya jika ia sudah lulus matakuliah Matematika Diskrit.Syarat cukup agar pom bensin meledak adalah percikanapi dari rokok.Syarat perlu bagi Indonesia agar ikut Piala Dunia adalahdengan mengontrak pemain asing kenamaan.Banjir bandang terjadi bilamana hutan ditebangi.34
Contoh 14. Ubahlah proposisi c sampai h pada Contoh 13di atas ke dalam bentuk proposisi “jika p maka q”Penyelesaian:1. Jika es mencair di kutub, maka permukaan air laut naik.2. Jika orang itu diberi ongkos jalan, maka ia mauberangkat.3. Jika Ahmad mengambil matakuliah Teori BahasaFormal, maka ia sudah lulus matakuliah MatematikaDiskrit.4. Pernyataan yang diberikan ekivalen dengan “Percikanapi dari rokok adalah syarat cukup untuk membuat pombensin meledak” atau “Jika api memercik dari rokokmaka pom bensin meledak”5. Pernyataan yang diberikan ekivalen dengan“Mengontrak pemain asing kenamaan adalah syaratperlu untuk Indonesia agar ikut Piala Dunia” atau “JikaIndonesia ikut Piala Dunia maka Indonesia mengontrakpemain asing kenamaan”.6. Jika hutan-hutan ditebangi, maka banjir bandang terjadi.35
PenjelasanAhmad bisa mengambil matakuliah Teori BahasaFormal hanya jika ia sudah lulus matakuliah MatematikaDiskrit.Ingat: p q dapat dibaca p hanya jika qp : Ahmad bisa mengambil matakuliah Teori Bahasa Formalq : Ahmad sudah lulus matakuliah Matematika Diskrit.Notasi standard: Jika p, maka qJika Ahmad mengambil matakuliah Teori BahasaFormal maka ia sudah lulus matakuliah MatematikaDiskrit.36
PenjelasanSyarat perlu bagi Indonesia agar ikut Piala Dunia adalahdengan mengontrak pemain asing kenamaan.Ingat: p q dapat dibaca q syarat perlu untuk pSusun sesuai format:Mengontrak pemain asing kenamaan adalah syarat perlubagi Indonesia agar ikut Piala Duniaq: Indonesia mengontrak pemain asing kenamaanp: Indonesia ikut Piala DuniaNotasi standard: Jika p, maka qJika Indonesia ikut Piala Dunia, maka Indonesiamengontrak pemain asing kenaman.37
Contoh 15. Misalkanx : Anda berusia 17 tahuny : Anda dapat memperoleh SIMNyatakan preposisi berikut ke dalam notasi implikasi:(a) Hanya jika anda berusia 17 tahun maka andadapat memperoleh SIM.(b) Syarat cukup agar anda dapat memperoleh SIMadalah anda berusia 17 tahun.(c) Syarat perlu agar anda dapat memperoleh SIMadalah anda berusia 17 tahun.(d) Jika anda tidak dapat memperoleh SIM makaanda tidak berusia 17 tahun.(e) Anda tidak dapat memperoleh SIM bilamanaanda belum berusia 17 tahun.38
Penyelesaian:(a) Pernyataan yang ekivalen: “Anda dapat memperolehSIM hanya jika anda berusia 17 tahun”.Ingat: p q bisa dibaca “p hanya jika q”.Notasi simbolik: y x.(b) Pernyataan yang ekivalen: “Anda berusia 17 tahunadalah syarat cukup untuk dapat memperoleh SIM”.Ingat: p q bisa dibaca “p syarat cukup untuk q”.Notasi simbolik: x y.(c) Pernyataan yang ekivalen: “Anda berusia 17 tahunadalah syarat perlu untuk dapat memperoleh SIM”.Ingat: p q bisa dibaca “q syarat perlu untuk q”.Notasi simbolik: y x.(d) y x(e) Ingat: p q bisa dibaca “q bilamana p”.Notasi simbolik: x y.39
Tabel kebenaran implikasipTTFFqTFTFp qTFTT40
Penjelasan (dengan contoh)Dosen: “Jika nilai ujian akhir anda 80 atau lebih, maka anda akanmendapat nilai A untuk kuliah ini”.Apakah dosen anda mengatakan kebenaran atau dia berbohong?Tinjau empat kasus berikut ini:Kasus 1: Nilai ujian akhir anda di atas 80 (hipotesis benar) dan anda mendapatnilai A untuk kuliah tersebut(konklusi benar). pernyataan dosen benar.Kasus 2: Nilai ujian akhir anda di atas 80 (hipotesis benar) tetapi anda tidakmendapat nilai A (konklusi salah). dosen berbohong (pernyataannya salah).Kasus 3: Nilai ujian akhir anda di bawah 80 (hipotesis salah) dan andamendapat nilai A (konklusi benar). dosen anda tidak dapat dikatakan salah (Mungkin ia melihatkemampuan anda secara rata-rata bagus sehingga ia tidak ragumemberi nilai A).Kasus 4: Nilai ujian akhir anda di bawah 80 (hipotesis salah) dan anda tidakmendapat nilai A (konklusi salah).41 dosen anda benar.
Perhatikan bahwa dalam implikasi yangdipentingkan nilai kebenaran premis dankonsekuen, bukan hubungan sebab dan akibatdiantara keduanya. Beberapa implikasi di bawah ini valid meskipunsecara bahasa tidak mempunyai makna:“Jika 1 1 2 maka Paris ibukota Perancis”“Jika n bilangan bulat maka hari ini hujan”42
Contoh 16. Tunjukkan bahwa p q ekivalen secaralogika dengan p q.Penyelesaian:pq pTTFFTFTFFFTTp q p qTFTTTFTT “Jika p, maka q” “Tidak p atau q”.Contoh 17. Tentukan ingkaran (negasi) dari p q.Penyelesaian: (p q) ( p q) ( p) q p q43
Contoh 18. Dua pedagang barang kelontong mengeluarkan moto jitu untukmenarik pembeli. Pedagang pertama mengumbar moto “Barang bagus tidakmurah” sedangkan pedagang kedua mempunyai moto “Barang murah tidakbagus”. Apakah kedua moto pedagang tersebut menyatakan hal yang sama?Penyelesaian:p : Barang itu bagusq : Barang itu murah.Moto pedagang pertama: “Jika barang itu bagus maka barang itu tidakmurah” atau p qMoto pedagang kedua: “Jika barang itu murah maka barang itu tidak bagus”atau q p.pq p qp qTTFFTFTFFFTTFTFTFTTTq pFTTT p q q p. Kedua moto tersebut menyatakan hal yang sama.44
Implikasi Dalam Bahasa Pemrogramanif c then Sc: ekspresi logika yang menyatakan syarat/kondisiS: satu atau lebih pernyataan.S dieksekusi jika c benar,S tidak dieksekusi jika c salah. Struktur if-then pada bahasa pemrograman berbeda dengan implikasi if-thenyang digunakan dalam logika. Pernyataan if-then dalam bahasa pemrograman bukan proposisi karena tidakada korespondensi antara pernyataan tersebut dengan operator implikasi( ). Interpreter atau compiler tidak melakukan penilaian kebenaran pernyataanif-then secara logika. Interpreter hanya memeriksa kebenaran kondisi c, jikac benar maka S dieksekusi, sebaliknya jika c salah maka S tidak dieksekusi.45
Contoh 19. Misalkan di dalam sebuah program yangditulis dalam Bahasa Pascal terdapat pernyataan berikut:if x y then y: x 10;Berapa nilai y setelah pelaksanaan eksekusi if-then jika:(i) x 2, y 1(ii) x 3, y 5?Penyelesaian:(i) x 2 dan y 1Ekspresi x y bernilai benarPernyataan y: x 10 dilaksanakanNilai y sekarang menjadi y 2 10 12.(ii) x 3 dan y 5Ekspresi x y bernilai salahPernyataan y: x 10 tidak dilakukanNilai y tetap seperti sebelumnya, yaitu 5.46
Contoh 20Untuk menerangkan mutu sebuah hotel, misalkan p : Pelayanannyabaik, dan q : Tarif kamarnya murah, r : Hotelnya berbintang tiga.Terjemahkan proposisi-proposisi berikut dalam notasi simbolik(menggunakan p, q, r):(a) Tarif kamarnya murah, tapi pelayanannya buruk.(b) Tarif kamarnya mahal atau pelayanannya baik, namun tidakkeduanya.(c) Salah bahwa hotel berbintang tiga berarti tarif kamarnya murahdan pelayanannya buruk.Penyelesaian:(a) q p(b) q p(c) (r (q p )) 47
Soal Latihan 2Nyatakan pernyataan berikut:“Anda tidak dapat terdaftar sebagai pemilih dalamPemilu jika anda berusia di bawah 17 tahunkecuali kalau anda sudah menikah”.dalam notasi simbolik.48
Penyelesaian Soal Latihan 2Anda tidak dapat terdaftar sebagai pemilih dalamPemilu jika anda berusia di bawah 17 tahunkecuali kalau anda sudah menikah”.Format: q jika pSusun ulang ke bentuk standard: Jika p, maka qJika anda berusia di bawah 17 tahun, kecuali kalauanda sudah menikah, maka anda tidak dapatterdaftar sebagai pemilih dalam Pemilu49
Jika anda berusia di bawah 17 tahun, kecuali kalau andasudah menikah, maka anda tidak dapat terdaftar sebagaipemilih dalam Pemilum : Anda berusia di bawah 17 tahun.n : Anda sudah menikah.r : Anda dapat terdaftar sebagai pemilih dalam Pemilu.maka pernyataan di atas dapat ditulis sebagai:(m n) r50
Latihan: Ubah kalimat ini ke dalam ekspresilogika (notasi simbolik)1. Anda hanya dapat mengakses internet darikampus hanya jika anda mahasiswa Informatikaatau anda bukan seorang sarjana.2. Anda tidak dapat menaiki roller coaster jikaanda tingginya kurang dari 150 cm kecuali jikaanda berusia lebih dari 16 tahun.51
Varian Proposisi Bersyaratq p p q q pKonvers (kebalikan):Invers:Kontraposisi:pq pTTFFTFTFFFTTImplikasi qp qFTFTTFTTKonvers InversKontraposisiq p p q q pTTFTTTFTTFTT52
Contoh 21. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari:“Jika Amir mempunyai mobil, maka ia orang kaya”Penyelesaian:Konvers : Jika Amir orang kaya, maka ia mempunyaimobilInvers: Jika Amir tidak mempunyai mobil, maka iabukan orang kayaKontraposisi: Jika Amir bukan orang kaya, maka iatidak mempunyai mobil53
Contoh 22. Tentukan kontraposisi dari pernyataan:(a) Jika dia bersalah maka ia dimasukkan ke dalam penjara.(b) Jika 6 lebih besar dari 0 maka 6 bukan bilangan negatif.(c) Iwan lulus ujian hanya jika ia belajar.(d) Hanya jika ia tdk terlambat maka ia akan mendapat pekerjaan.(e) Perlu ada angin agar layang-layang bisa terbang.(f) Cukup hari hujan agar hari ini dingin.Penyelesaian:(a) Jika ia tidak dimasukkan ke dalam penjara, maka ia tidak bersalah.(b) Jika 6 bilangan negatif, maka 6 tidak lebih besar dari 0.(c) “Jika Iwan lulus ujian maka ia sudah belajar”.Kontraposisi: “Jika Iwan tidak belajar maka ia tidak lulus ujian”(d) “Jika ia mendapat pekerjaan maka ia tidak terlambat”Kontraposisi: “Jika ia terlambat maka ia tidak akan mendapat pekerjaan itu”(e) “Ada angin adalah syarat perlu agar layang-layang bisa terbang” ekivalendengan “Jika layang-layang bisa terbang maka hari ada angin”.Kontraposisi: “Jika hari tidak ada angin, maka layang-layang tidak bisaterbang”.(f) “Hari hujan adalah syarat cukup agar hari ini dingin”,Ekivalen dengan “Jika hari hujan maka hari ini dingin”.54Kontraposisi: “Jika hari ini tidak dingin maka hari tidak hujan”.
Bikondisional (Bi-implikasi) Bentuk proposisi: “p jika dan hanya jika q” Notasi: p qpqp qTTFFTFTFTFFT p q (p q) (q p).55
pqTTFFTFTFp qTFFTp qq p(p q) (q p)TFTTTTFTTFFT Dengan kata lain, pernyataan “p jika dan hanya jika q”dapat dibaca “Jika p maka q dan jika q maka p”.56
Cara-cara menyatakan bikondisional p q:(a) p jika dan hanya jika q.(b) p adalah syarat perlu dan cukup untuk q.(c) Jika p maka q, dan sebaliknya.(d) p iff q57
Contoh 22.Proposisi majemuk berikut adalah biimplikasi:(a) 1 1 2 jika dan hanya jika 2 2 4.(b) Syarat cukup dan syarat perlu agar hari hujanadalah kelembaban udara tinggi.(c) Jika anda orang kaya maka anda mempunyaibanyak uang, dan sebaliknya.(d) Bandung terletak di Jawa Barat iff Jawa Baratadalah sebuah propinsi di Indonesia.58
Contoh 23. Tuliskan setiap proposisi berikut ke dalam bentuk “p jika danhanya jika q”:(a) Jika udara di luar panas maka anda membeli es krim, dan jikaanda membeli es krim maka udara di luar panas.(b) Syarat cukup dan perlu agar anda memenangkan pertandinganadalah anda melakukan banyak latihan.(c) Anda naik jabatan jika anda punya koneksi, dan anda punyakoneksi jika anda naik jabatan.(d) Jika anda lama menonton televisi maka mata anda lelah, begitusebaliknya.(e) Kereta api datang terlambat tepat pada hari-hari ketika sayamembutuhkannya.Penyelesaian:(a) Anda membeli es krim jika dan hanya jika udara di luar panas.(b) Aanda memenangkan pertandingan jika dan hanya jika andamelakukan banyak latihan.(c) Anda naik jabatan jika dan hanya jika anda punya koneksi.(d) Mata anda lelah jika dan hanya jika anda lama menonton televisi.(e) Kereta api datang terlambat jika dan hanya jika sayamembutuhkan kereta hari itu.59
Contoh 24Diberikan pernyataan “Perlu memiliki password yang sah agar anda bisa log onke server”(a) Nyatakan pernyataan di atas dalam bentuk proposisi “jika p, maka q”.(b) Tentukan ingkaran, konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan tsb.Penyelesaian:Misalkanp : Anda bisa log on ke serverq : Memiliki password yang sahmaka(a)Jika anda bisa log on ke server maka anda memiliki password yang sah(b) Ingkaran: “Anda bisa log on ke server dan anda tidak memiliki passwordyang sah”Konvers: “Jika anda memiliki password yang sah maka anda bisa log onke server”Invers: “Jika anda tidak bisa log on ke server maka anda tidak memilikipassword yang sah”Kontraposisi: “Jika anda tidak memiliki password yang sah maka andatidak bisa log on ke server”60
Bila dua proposisi majemuk yang ekivalendi-bikondisionalkan, maka hasilnya adalahtautologi.Teorema: Dua buah proposisi majemuk, P(p, q, .) danQ(p, q, .) disebut ekivalen secara logika,dilambangkan dengan P(p, q, ) Q(p,q, ), jika P Q adalah tautologi.61
Soal latihan 3Sebagian besar orang percaya bahwa harimau Jawa sudahlama punah. Tetapi, pada suatu hari Amir membuatpernyataan-pernyataan kontrov
MateMatika Diskrit 1 STMIK “Parna Raya” Manado Ir. Hasanuddin Sirait, M.T. Logika Logika merupakan dasar dari semua penalaran (reasoning ). Penalaran didasarkan pada hubungan antara pernyataan (statements ). 2 Proposisi Pernyataan atau kalimat deklaratif yang bernilai
MATEMATIKA DISKRIT MATEMATIKA DISKRIT Samuel Wibisono 2 Edisi .
Soal Matematika Model PISA Indonesia Tahun 2015 Soal Matematika Model PISA Menggunakan Konteks Lam. Soal UAN dan Jawaban Matematika SMA Lingkaran Soal UN dan Jawaban Matematika Peluang Soal Matematika Eksponen UM UNDIP Contoh Soal Matematika Masuk UGM Soal UN dan Jawaban Persamaan Linier Soal UN dan Jawaban Trigonometri
dasar-dasar matematika logika, struktur diskrit, teori bilangan, counting, dan pemecahan masalah berbasis algoritma. Setelah mengikuti mata kuliah ini diharapkan mahasiswa memahami struktur diskrit, mampu memecahkan permasalahan deng
c. Tujuan Pembelajaran Matematika 10 d. Perlunya Belajar Matematika 10 e. Kesulitan Belajar Matematika 11 f. Penyebab kesulitan Belajar Matematika 13 g. Upaya Dalam Mengatasi Penyebab Kesulitan Belajar Matematika 22 2. Tunarungu 25 a. Pengertian Tunarungu 25 b
Tuntutan Perubahan Strategi Pembelajaran Matematika A. Praktek Pembelajaran Matematika Masa Lalu Pembahasan mata diklat strategi pembelajaran matematika ini akan dimulai dengan kegiatan mengilas-balik, merefleksi, atau merenungkan tentang hal-hal yang sudah dilakukan para guru matematika SMK selama bertahun-tahun di kelasnya masing-masing.
Buku Matematika ini disusun untuk membantu siswa SMA memahami Matematika. Buku Matematika ini juga diharapkan dapat menjadi referensi bagi guru dalam membimbing siswa mempelajari Matematika. Bab-bab dalam buku ini disusun dengan sistematika yang unik, sehingga mempermudah siswa dalam mempelajari materi yang disajikan.
Memiliki kemampuan mengembangkan silabus dan RPP Matematika SMP. B. Peta Bahan Ajar 1. Bahan ajar ini merupakan bahan ajar pada Diklat Guru Pemandu/Guru Inti/Pengembang Matematika SMP/MTs Tahun 2010 2. Mata diklat: a. Teknik Pengembangan Silabus dan RPP Matematika SMP (3 jam). b. Pengembangan Silabus dan RPP Matematika SMP (10 jam). 3.
AS and A level specifications in business must encourage students to: develop an enthusiasm for studying business gain an holistic understanding of business in a range of contexts develop a critical understanding of organisations and their ability to meet society’s needs and wants understand that business behaviour can be studied from a range of perspectives generate enterprising and .
