ANALISIS KOMPLEKS - Anny

ANALISIS KOMPLEKSPendahuluanBil KompleksBil RiilBil Imaginer(khayal)Bil RasionalBil PecahanBil IrasionalBil BulatBil Bulat -Bil Bulat 0Bil Bulat Sistem Bilangan KompleksUntukmaka bentuk umum bilangan kompleks adalahdengan, dinamakan satuan khayal (imaginary unit) bersifat.dinamakan bagian riil dari dan dinamakan bagian khayal dari yang berturutturut dinyatakan dengan Re( ) dan Im( ).Kompleks sekawan (Complex Conjugate) dari suatu bilangan kompleks adalah̅Operasi Dasar Bilangan Kompleks1. Penjumlahan (2. Pengurangan (3. Perkalian (4. Pembagian1 Anny Sovia)))((()))()()

ANALISIS KOMPLEKSSifat-sifat Aljabar Bilangan KompleksMisalkanadalah bilangan kompleks, maka berlaku:1. Hukum komutatif2. Hukum asosiatif() ()3. Hukum distributif (penyebaran)()4. Hukum �̅̅̅̅(̅̅̅̅̅̅̅̅̅( )-,Contoh1Diberikan,dan((a.b.c.(d.( )-, maka:))(()(()())))Latihan 11. Selesaikan operasi yang diberikan) (a. ())()b. ()()c. (d.e.f.) 2g. (3h.i././2. Tunjukkan bahwa bilamaka3. Buktikan bahwa ̅̅̅̅̅̅̅ ̅4. Tentukan bilangan riildansehingga() ()2 Anny Sovia̅ ̅)(̅̅̅̅̅̅̅̅)̅

ANALISIS KOMPLEKS5. Buktikan bahwa untuk setiap , berlaku( )()̅( )()̅Grafik Bilangan KompleksSuatu bilangan kompleks dapaat digambarkan dalam suatu bidang kompleksseperti menggambarkan suatu titik pada bidang cartesius.Y(Imaginer)X (Riil)Nilai MutlakNilai mutlak atau absolut atau modulus didefinisikan sebagai jarak antarasumbu koordinat dan diberikan sebagai danY(Imaginer) X (Riil)Contoh 2, maka modulus dari adalah DiketahuiContoh 3 Jikadan1. bilangan kompleks, maka berlaku 3 Anny Sovia ()()

ANALISIS KOMPLEKS2. 3. 4. Bentuk Polar (Kutub) Bilangan KompleksPerhatikan gambar berikut()merupakan suatu titik (Andaikanberdasarkan gambar) pada bidang kompleks,, Dimanadan dinamakan modulus daridinamakan argumen darimenyatakan suatu sudut antara garismengakibatkan, ditulisditulisyaitudengan sumbupositif. Hal ini()yang dinamakan dengan bentuk kutub bilangan kompleks, dankoordinat kutub. Dapat juga ditulis dalam bentuk(dandinamakan)Operasi Aljabar Bentuk Kutub(Misalkan) dan(1.)(((*3.4.)()()()4 Anny Sovia)()*)))))) ((), maka:(((()(2.()()

ANALISIS KOMPLEKSContoh 4Diketahuidana. Gambar kedua bilangan kompleks tersebut dalam bidang kompleks1-11-1b. Modulus dan argumen dari masing-masing bilangan kompleksModulus: atau atauArgumen:, maka di perolehatau, maka di perolehatauc. Bentuk kutub masing-masing bilangan kompleks) () (Latihan 2̅1. Tentukan !2. Hitunglah setiap bentuk berikut jika diketahui a. b. ̅̅ 3. Tentukan bentuk polar dari bilangan kompleksa. b.Kemudian gambarkan grafiknya pada bidang kompleks4. Diketahuia.(b. ) dan. / dan(. Tentukan). /dan tulis masing-masingnya dalam bentuk kutub5 Anny Sovia

ANALISIS KOMPLEKSTeorema De’Moivre(Misalkan()dan).Maka diperoleh**Jika()(()) () , maka diperoleh* ( ()Dinamakan teorema De’Moivre.Rumus EulerIngat kembali deret Maclaurin( )Menyebabkan( )Misalkan, (4( )() dengan5)45dinamakan rumus Euler. Secara umum kita dapat mendefinisikan(Sehingga bilangan kompleksdapat kita tulis dalam bentuk(Contoh 51.Tunjukkan bahwaa.6 Anny Sovia))

ANALISIS KOMPLEKSDiketahuidanSehingga diperolehb.danDengan menggunakan teorema De’Moivre(())()Sehingga diperoleh()() sehinggadanc.Perhatikan bahwa4545() Latihan 31.Tunjukkan bahwaa.b.danc.2.Jika diketahui7 Anny Sovia. Tentukan

ANALISIS KOMPLEKSa.b.Akar Bilangan KompleksAndaikanadalah akar dariyaitu:Sehingga* () ()dengan menggunakan teorema De’Moivre diperoleh()atau bentuk umum{()()}Contoh 6Tentukan setiap akar yang diberikan berikut dan letaknya pada bidang kompleksa. () () ()( ) {./Untuk.8 Anny Sovia//./}

ANALISIS KOMPLEKS.b. ( /) ( )() ( ( ) {)()()}Untuk(())Persamaan Suku BanyakPenyelesaian persamaan suku banyak berbentukdimanabilangan kompleks yang diketahui dan bilangan bulatpositif. Persamaan suku banyak memilikiakar kompleks. Jikaadalah buah akarnya, maka()()()dinamakan bentuk pemfaktoran persamaan suku banyak.Contoh 7SelesaikanpenyelesaianSetelah difaktorkan diperoleh(Maka9 Anny Sovia)() ()

ANALISIS KOMPLEKSLatihan 41. Selesaikan persamaan2. Tentukan semua akar dariFungsi KompleksSuatu fungsi kompleks dengan variabel kompleksdinyatakan oleh( )dengansebagai domain daridan fungsi kompleks terdiri daribilangan riil dan imaginer sehingga fungsi kompleks dapat dinyatakan dalambentuk( )( )( )atau( )dimana (()) adalah bagian riil dan (Dalam bentuk koordinat polar (dan yaitu:( )())adalah bagian imaginer.) dapat juga dinyatakan dengan mengganti( )()Jadi( )()()yyA’xxABidang xyBidang wContoh1. Jika ( )10 Anny Sovia. Tentukan fungsi kompleks dalam

ANALISIS KOMPLEKSPenyelesaianJika̅menyebabkan̅̅Sehingga( )̅(())̅̅̅()̅2. Diketahui ( )a. Nyatakan dalam bentukb. Tentukan danc. Tentukan ()Penyelesaiana.( )b.( )̅.̅./̅/ .̅/̅diperolehdanc.( )Latihan1. Tentukan nilai fungsi ( ) jikaa. ( )b. ( )c. ( )2. Jika ( )a.b.3i3. Jikaa.( )b.( )4. Misalkandengan11 Anny Soviajikatentukan pemetaan dari bidangjika, tentukan ( )(). Tentukan nilaiyang dinyatakan

ANALISIS KOMPLEKSa.b.( )5. Jika. Tentukan ( )6. Jika ( )a.b.(). Tentukan( )* ( ) ( )7. Jika. Tentukana. ( ) ( )()()( )b. Nilai sehingga8. Pisahkan setiap fungsi berikut ini dalam bagian riil dan khayalnya yaitu)()( )menentukan (.a. ( )b.( )c.( )Fungsi at fungsi eksponensial1.BuktiMisalkan() dan))(*((2.((()) )(buktikan sebagai latihan)3. BuktiMisalkan ( ( 12 Anny Sovia) ) )

ANALISIS KOMPLEKS 4.Bukti()Fungsi TrigonometriIngat kembali rumus Eulermenyebabkan()ContohBuktikan bahwa1.(Bukti)(()((2.()Latihan(buku Schaum halaman 67 no 62, 64, 68)13 Anny Sovia())))()()(()(prove it!))

ANALISIS KOMPLEKSFungsi HiperbolikDefinisidenganJikaadalah bilangan kompleks, makaSifat-sifat fungsi hiperbolik1.Bukti:()()(2.3.()())()(prove it!)( )Bukti:( )())(14 Anny Sovia()(())()

ANALISIS KOMPLEKS(4.5.)(prove it !)Bukti:(()(6.7.)()()(prove it!)(Bukti:)()()()((4(((prove it !))5)Fungsi Logaritma(Secara umum ditulis(Nilai utama15 Anny Sovia))548.)))()

ANALISIS KOMPLEKSLatihan(buku Schaum halaman 67 no 74, 75, 76)Fungsi Invers Trigonometri(1.BuktiJika) , makamerupakan invers sinus dari , yaitudimanaUntuk menentukan, perhatikan bahwa( ), sehingga, merupakan persamaan kuadrat dalam , sehinggaAndaikan Menyebabkan .(Maka2.() 3./4.( )5.( )6./Fungsi Invers Hiperbolik1.16 Anny Sovia( )/. /. /)

ANALISIS KOMPLEKSBuktiJika, makamerupakan invers sinus dari , yaitudimanaUntuk menentukan, perhatikan bahwa( ), sehingga, merupakan persamaan kuadrat dalam , sehinggaAndaikan Menyebabkan .(Maka(2./. /. /) ) 3.4.( )5.( )6. /./Limit FungsiAndaikan suatu fungsi ( ) adalah fungsi kompleks dengan variabel( ) adalah L dengan mendekati yaitudan limit( )Jika untuk setiap17 Anny Soviaadasehingga ( ) jika

ANALISIS KOMPLEKSL LLc-cc Teorema Limit( )Jika( )dan1.2.3.* ( )* ( )* ( )( ) ( ) ( ) 4.* ( )( ) , makaContoh1. Diketahui(dan). TentukanPenyelesaian ( ) Karena Maka diperoleh18 Anny Sovia

ANALISIS KOMPLEKS2. HitunglahPenyelesaiandengan menggunakan teorema limit()()Latihan1. Diketahuidan. Tentukan2. (Buku Schaum Latihan halaman 69 nomor 94)3. Jika ( ), tentukan( )( )TurunanAndaikan ( ) adalah fungsi kompleks, maka turunandidefinisikan oleh( )( )Dimanaberarti ().atau, sehingga(( )( )atau( )( ) yaitu)( )Contoh1. Tentukan turunan ( )Penyelesaian19 Anny Soviadengan menggunakan definisi turunan

ANALISIS KOMPLEKS(( ))((Jadi,))( )Perhatikan grafik berikutUntukkonstan( )(())()()()Maka( )()(()() , ())(. (1)Untukkonstan( )(()Maka20 Anny Sovia)(())(())-)()

ANALISIS KOMPLEKS( )()(()() , ())(()-)(). (2)Dari (1) dan (2)( )Sehingga diperolehdan( ) dikatakan fungsi analitik,yang dinamakan persamaan Cauchy-Riemann.yakni mempunyai turunan di .Bentuk Polar Persamaan Cauchy-RiemannMisalkan terdapat suatu fungsi kompleks( )(dengandan())(), dimana. SehinggamakaContohApakah( )Penyelesaian21 Anny Soviamemenuhi persamaan Cauchy-Riemann?()

ANALISIS KOMPLEKSMisalkanmenyebabkan( )diperoleh()dansehingga(),(),(), dan()Jadi, ( ) memenuhi Persamaan Cauchy-RiemannLatihan1. (Buku Shaum, halaman 97 nomor 43a, 43b, 46a, dan 47a)2. Apakah fungsi berikut memenuhi persamaan Cauchy-Riemana. ( )b.( )denganFungsi HarmonikAndaikan terdapat suatu fungsi komplekspersamaan Cauchy-Riemann( ). (1). (2)Jika pers (1) didiferensialkan terhadapdiperoleh. (3)Jika pers (1) didiferensialkan terhadapdiperoleh. (4)Jika pers (2) didiferensialkan terhadapdiperoleh. (5)Jika pers (2) didiferensialkan terhadap22 Anny Soviadiperoleh()(). Dari

ANALISIS KOMPLEKS. (6)Jadi, jika turunan parsial kedua daridalam suatu daerah makadanterhadapdanada dan kontinudari pers (3) dan (6) diperolehdari pers (4) dan (5) diperolehyang disebut dengan persamaan Laplace. Fungsi di mana () dan ()memenuhi persamaan Laplace dalam suatu daerah dinamakan fungsi harmonikdan dikatakan harmonik dalam .Contoha. Buktikan bahwa fungsi()harmonikb. Tentukan suatu fungsisehingga ( )menentukan fungsi sekawan daric. Nyatakan ( ) dalam suku-suku dariadalah analitik (yaituPenyelesaiana.().()//Karena()(), makafungsi harmonik.b. Suatu fungsi dikatakan analitik jika memenuhi persamaan CauchyRiemann. Maka ( ) (23 Anny Sovia( ))()( ) . (*)

ANALISIS KOMPLEKS( )( ). (**)Substitusi (**) ke (*) sehingga diperoleh( )c.()(()((())))Latihan(Buku Shaum, halaman 97 nomor 50, 51, dan 53a)Aturan Pendiferensialan( ) ( )Jika( ) fungsipendiferensialan berikut ini:1.* ( )( ) analitik( )dari ,maka( )( )( )berlakuaturanBukti* ( )( ) ( ) , ()()- , ( ), ()( )-( ), (( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )2.* ( )3.*( ) * ( ) 4.* ( ) ( ) ( ))( )-( )( )( ) ( )Bukti, (* ( ) ( ) ) ((5.2( )( )3Bukti24 Anny Sovia( )( ), (( )( )( )( ), ( )-( ))- , ( ) ( )-), ())( )-( )-( )( )( )( ) ( )( ) ( ), ( )-( ), (, ())( )( )-

ANALISIS KOMPLEKS( )2( ), (3)(() ( )(, (, ( )( ) ( )(( ), ((( )-)( )-) ( )) ( )) ( )-( ), (( ))- , ( )) ( )( ))( )-, ()( )-, ( )( )( ), ( )-6. Jika( )( ) di mana( ) maka( )Dengan cara yang sama, jika( ), maka* ( ) ( )( )( ) di mana( ) danAturan pendiferensialan seperti ini dinamakan aturan rantai8. Jika( ); dan( ), maka7. Jikadandihubungkan oleh ( ) di mana adalah parameter, maka ( ) ( )( ) danAturan L’HospitalMisalkan ( ) dan ( ) analitik dalam suatu daerah yang memuat titikdan( )andaikan ( ), tetapi( ). Maka aturan L’Hospitalmenyatakan bahwa( )( )( )( )Contoh1. Tunjukkan bahwaBukti().(25 Anny Sovia/)()

ANALISIS KOMPLEKS()2. Tentukan turunan setiap fungsi berikut ini. /a.2. /3. /(b.*. /)) (()()()c.()* () (3. Tentukan turunan kedua dariPenyelesaian( )()()( )()4. Tentukan)()jikaPenyelesaian(()) 5. HitunglahPenyelesaianLatihan1. Gunakan aturan pendiferensialan untuk menentukan turunan dari fungsiberikuta.*b.*c.*26 Anny Sovia() (() )

ANALISIS KOMPLEKS2. (Buku Shaum, halaman 99 nomor 74, 77b, 78, dan 79)Pengintegralan Fungsi Kompleks,Jika- dan,-kontinu pada , Jika,( )-, maka:ada- diketahui terdapatkontinu bagian demi bagian pada ,dengan,-, makaterintegralkan pada- dan ( )( ) ( ) ( )Integral Tentu Fungsi KompleksMisalkan ( )berarti:( )( ), untuk ( ) dan ( ) fungsi kontinu pada ,( ) dan ( )sehingga ( ) ( ) ( )Sifat-sifat Integral Tentu:1.2 ( )3 * ( ) ( )2.2 ( )3 * ( ) ( )3. ( )4. ( )5. ( )( ) , adalah konstanta kompleks ( ) ( ) ContohTentukan2 (Penyelesaian27 Anny Sovia)3 dan2 ()3-,

ANALISIS KOMPLEKSKarena ( )()()( )} ()}Maka){ ()dan{ ( Teorema Dasar KalkulusJika ( )mempunyai anti turunan, misalkan( ) dan ( ) kontinu pada ,-, maka: ( )( ) ( ) dengan kata lain( )* ( ) ( )Teorema Dasar Kalkulus untuk Fungsi Bernilai KompleksMisalkanuntuk,( )( )( ) kontinu pada. Jika- sehingga* ( ) ( ) dan* ( ) ( )maka ( )( )( ) ( ) ( ), ( )ContohHitunglaha. b. (kerjakan sebagai latihan)28 Anny Sovia( ) ( )-* ( ) ( )

ANALISIS KOMPLEKSPenyelesaiana. MisalkanBatas integral : , . /Kontur/ LintasanDefinisi (busur)( )Jika( ) untuk, dimana ( ) dan ( ) fungsi kontinu-. Maka himpunan titik-titikpada ,() atau( ( ) ( )) dalambidang kompleks dinamakan busur.Perhatikan tabel berikut( )( )( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )Misalkan, maka, makaMaka29 Anny Sovia( )( )( ) sehingga (( ) sehingga ())( ( ) ( ))( ( ) ( ))