Bilangan Kompleks Anwar Mutaqin
Bilangan KompleksAnwar MutaqinProgram Studi Pendidikan Matematika UNTIRTA
DAFTAR ISI1 BILANGAN KOMPLEKS1.1 Eksistensi Bilangan Kompleks . .1.2 Operasi Aritmatika . . . . . . . .1.3 Sifat Aljabar . . . . . . . . . . . .1.4 Kojugate dan Modulus . . . . . .1.5 Bentuk Polar dan Rumus Euler .1.6 Akar Bilangan Kompleks . . . . .1.7 Eksponen dan Logaritma Natural1.8 Pangkat Bilangan Kompleks . . .113458911132 FUNGSI KOMPLEKS2.1 Daerah pada Bidang Kompleks2.2 De nisi Fungsi . . . . . . . . .2.3 Limit Fungsi . . . . . . . . . . .2.4 Fungsi Kontinu . . . . . . . . .14141720233 FUNGSI ANALITIK3.1 Turunan Fungsi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2 Persamaan Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3 Fungsi Analitik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24242628i.
BAB 1BILANGAN KOMPLEKS1.1Eksistensi Bilangan KompleksPerhatikan persamaan kuadrat berikutx2 1 0!Persamaan kuadrat tersebuttidak memilikisolusi bilangan real. Dalam hal inippsolusinya adalah x 1. Jelas1 bukan bilangan real karena tidak adabilangan real yang kuadratnya sama dengan 1. Serupa dengan hal tersebut,persamaan kuadrat ax2 bx c 0 dengan a 6 0, tidak memiliki solusi bilanganreal jika D b2 4ac 1. Sebagai contoh x2 2x 5 0, dengan rumus abcseperti yang telah dipelajari sejak SMA, solusinya adalahpp2b2 4ac16b x1;2 2a2Dalam hal ini, persamaan kuadrat tersebut tidak memiliki solusi dalam sistembilangan real.Agar setiap persamaan kuadrat memiliki solusi, kita perlu memperluas sistembilangan. Sistem bilangan yang dimaksud adalah sistem bilangan kompleks. Lihat kembali solusi persamaan kuadrat di atas! Dalam solusi tersebut terdapatakar bilangan negatif (jelas, akar bilangan negatif bukan bilangan real). Setiapbilangan yang bukan bilangan real disebut bilangan imajiner dengan notasi Rc(komplemen dari R). Anggota bilangan imajiner adalah semua akar bilangan realnegatif bersama negatifnya.p1. e nisikani p pppppp16 161 4i. Dengan cara serupa,20 2 5i,27 3 3i,dan lain-lain. Dengan demikian, bilangan imajiner adalah bilangan yang dapatditulis sebagai bi dengan 0 6 b 2 R.Selain bilangan real, kita telah memiliki jenis bilangan lain, yaitu bilangan imajiner. Gabungan bilangan real dan bilangan imajiner membentuk bilangan kompleks dengan notasi C. Himpunan bilangan kompleks ditulisC fa bi : a; b 2 Rg ;dengan a adalah bagian real dan b bagian imajiner. Hubungan antar himpunanbilangan dapat pada bagan 1 .1
2HimpunanBilangan KompleksHimpunanBilangan RealHimpunanBilangan IrasionalHimpunanBilangan ImajinerHimpunanBilangan RasionalHimpunanBilangan BulatHimpunan BilanganBulat NegatifHimpunanBilangan PecahanHimpunanBilangan CacahHimpunanBilangan AsliBilangan 0Bagan 1Bilangan kompleks dinyatakan dalam bentuk z x yi atau dapat dipandangsebagai pasangan terurut (x; y) 2 R2 . Jika bilangan real dapat ditempatkan padagaris lurus, maka bilangan kompleks ditempatkan pada bidang R2 atau dalam halini disebut bidang kompleks (lihat gra k 2).Im zz(x,y)Re zGra k 2Untuk selanjutnya, penyajian bilangan kompleks dalam bidang kompleks dapatdipandang sebagai vektor di R2 (Lihat Gra k 3). Hal ini mempermudah dalaminterpretasi secara geometris.
3Im zz x yiyzθRe zxGra k 3Lihat kembali persamaan kuadrat di atas, solusi x2 1 0 adalah f i; ig dansolusi x2 2x 5 0 adalah f1 2i; 1 2ig. Secara umum, kita selalu dapatmencari solusi persamaan polinoman z n an 1 z n1 a0 0dengan an ; : : : ; a0 2 C dan an 6 0. Pernyataan tersebut dikenal sebagai TeoremaDasar Aljabar yang dibuktikan pertama kali oleh Gauss.Soal-Soal1. Tentukan solusi dari persamaan kuadrat berikut:a. x2b. x24x 8 0x 7 02. Ubahlah akar bilangan negatif berikut dalam bentuk yi dengan y bilanganreal!p27a.pb.12p64c.3. Apakah bilangan imajiner memenuhi sifat lapangan? Jelaskan!1.2Operasi AritmatikaSebagaimana halnya pada sistem bilangan real, perlu dide nisikan operasi aritmatika bilangan kompleks. Misalkan z x yi dan w u vi, penjumlahandan pengurangan bilangan kompleks dide nisikan sebagaizw (xu) (yv) i:Penjumlahan dua bilangan kompleks serupa dengan penjumlahan dua buah vektor. Secara gra k
4Im zz wwzGra k 4Perkalian bilangan kompleks sebagai berikutz:w (x yi) : (u vi)xu xvi yiu yvi2xu xvi uyi ( 1) yv(xu yv) (xv uy) i:Pembagian dua buah bilangan kompleks seperti merasionalkan penyebutzx yi u vi wu vi u vi(xu yv) (xv uy) i u2 v 2(xu yv) ( xv uy) i:u2 v 2u2 v 2Dalam bentuk pasangan terurut, penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian adalah berturut-turutz1.3w z:w z w(x; y) (u; v)(x u; y v)(x; y) : (u; v)(xu yv; xv uy)(x; y)(u; v)xu yv ( xv uy) ;u2 v 2u2 v 2:Sifat AljabarDengan de nisi operasi aritmatika seperti di atas, bilangan kompleks membentuklapangan (Field). Sifat Lapangan bilangan kompleks adalah sebagai berikut:
5Teorema 1.1 (Sifat Lapangan Bilangan Kompleks)Misalkan z1 ; z2 ; dan z3 2 C, maka1. z1 z2 2 C2. z1 z2 z2 z13. (z1 z2 ) z3 z1 (z2 z3 )4. Terdapat 0 2 C sehingga z 0 z untuk setiap z 2 C.5. Untuk setiap z 2 C terdapatz sehingga z ( z) 06. z1 :z2 2 C7. z1 :z2 z2 :z18. (z1 :z2 ) :z3 z1 : (z2 :z3 )9. Terdapat 1 2 C sehingga z:1 z untuk setiap z 2 C.10. Untuk setiap 0 6 z 2 C terdapat zz 1 z1 )1sehingga zz1 0 (dalam hal ini11. z1 (z2 z3 ) z1 z2 z1 z3 :Bukti. diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.Dalam bilangan kompleks tidak berlaku sifat urutan. Dua buah bilangan kompleks tidak dapat dibandingkan dengan tanda pertidaksamaan. Secara umumtanda pertidaksamaan ( ; ; ; dan ) tidak memiliki arti. Sifat kelengkapandide nisikan dengan kekonvergenan bilangan Cauchy di bidang kompleks.Soal-SoalBuktikan sifat lapangan bilangan kompleks!1.4Kojugate dan ModulusSalah satu komponen yang penting dalam bilangan kompleks adalah konjugate(sekawan). Konjugate bilangan kompleks z x yi adalah z x yi. Konjugatez tidak lain adalah pencerminan z terhadap sumbu Re z. Secara gra k dapatdilihat sebagai berikut
6Im zzRe zzGra k 5Beberapa sifat dasar tentang Konjugate adalah sebagai berikutz zzw zw,zw zw,danzw zwz zz z, dan Im z 22iPembaca dapat membuktikan sifat-sifat dasar tersebut sebagai latihan. Bilanganreal z dalam C dapat dikenali dengan sifat z z. Sebuah bilangan imajiner(murni) berarti Re z 0, atau tepatnya z z.pModulus jzj dari z x yi dide nisikan sebagai jzj x2 y 2 . Buku lainmenggunakan istilah magnitude atau nilai mutlak. Sebagai contoh, j 3 4ij 5.Jelaslah jzj memberikan arti panjang vektor yang berkorespondensi dengan z(lihat kembali gra k 3). Secara umum, jz wj adalah jarak antara dua titikyang merepresentasikan z dan w di bidang. Sifat-sifat modulus terangkum dalamteorema berikut.Re z Teorema 1.2Misalkan z; w 2 C, makaa. jzj jzj dan zz jzj2 ;b. jzwj jzj jwj danc. jRe zjzwjzj dan jIm zjd. jzwjjzj jwj ;e. jzwjjjzj jzj;jwjjzj ;jwjj :Bukti. Hanya akan disajikan bukti untuk bagian b dan d, sisanya diserahkankepada pembaca sebagai latihan. Berdasarkan bagian a dan sifat konjugate,jzwj2 (zw) (zw) (zw) (zw) (zz) (ww) jzj2 jwj2 :
7Jadi jzwj jzj jwj. Selanjutnya untuk bagian d (d dan e dikenal juga sebagaiketaksamaan segitiga)jz wj2 (z w) (z w) (z w) (z w)zz zw zw wwjzj2 zw zw jwj2jzj2 2 Re (zw) jwj2jzj2 2 jzj jwj jwj2 (jzj jwj)2 :Jadi,Selanjutnya, jzjz wjwj jz ( w)jjzj jwj :jzj j wj jzj jwj.Perhatikan bahwa jika z 6 0, makaz1 z:jzj2Secara Khusus, z 1 z jika jzj 1. Hal ini memberikan perbandingan secaragra s antara z 1 dan z. Gra k berikut menunjukkan z 1 dalam arah z dan1.memiliki modulus jzjIm zzRe z1zz 1zGra k 6Soal-Soal1. Buktikan teorema 1.2!2. Gambarkan dalam gra k secara vektor bilangan kompleks berikut!(a) 2i(b) 3 4i(c) 2 i3. Tunjukkan dengan menggunakan sifat konjugat dan modulus!a. 43i
81.5Bentuk Polar dan Rumus EulerSelanjutnya bilangan kompleks z 6 0 dapat ditulis dalam bentuk polarz jzj (cos i sin ) ;atau disingkat z jzj cis ,dengan adalah bilangan real. Jika z x yi, kitadapat memilih sebarang yang memenuhiyxdan sin :cos jzjjzjSebagai contoh 1 i dapat ditulis dalam bentuk polarp1 i 2 cos i sin:44Contoh-contoh lain:pp3 3i 3 2 cos i sin 3 2 cos444p22 i sin;1 3i 2 cos33i sin4dan lain-lain.Setiap bilangan real yang memenuhi z jzj (cos i sin ) disebut argumen.Secara geometris, (dalam radian) adalah besarnya sudut dari sumbu Re z positifdalam arah berlawanan jarum jam sampai dengan vektor (yang berkorepondensidengan) z dalam bidang kompleks. Notasi arg z digunakan untuk menyatakanhimpunan semua argumen z. Sedangkan Arg z menyatakan argumen utama z.Dalam buku ini digunakan argumen utama Arg z(Beberapa bukumenggunakan argumen utama 0 Arg z 2 ).Contoh 1.11. arg (1 i) 41 2k : k 2 Z , sedangkan Arg (1 i) 4 .pp2. arg 3 3 3i 11 2k:k2Z,sedangkanArg33 3i 616.Dalam bentuk polar, perkalian bilangan kompleks tak nol menjadi lebih mudah.Misalkan z jzj (cos i sin ) dan w jwj (cos i sin ), makazw jzj (cos i sin ) jwj (cos i sin )jzj jwj (cos i sin ) (cos i sin )jzj jwj [cos cos ' sin sin ' (cos sin ' cos sin ') i]jzj jwj [cos ( ) i sin ( )] :Jadi, zw adalah bilangan kompleks dengan modulus jzj jwj dansalah satu argumennya.Selanjutnya pembagian bilangan kompleks menjadizjzj (cos i sin ) wjwj (cos i sin )jzj [cos () i sin (jwj)] : sebagai
9Sebagai implikasi dari perkalian bilangan kompleks, maka z 2 jzj2 [cos (2 ) i sin (2 )].Bagaimana halnya dengan z n untuk sebarang n bilangan bulat? Dengan memanfaatkan rumus de Moivre(cos i sin )n cos (n ) i sin (n )untuk setiap bilangan real dan sebarang n bilangan bulat, maka dengan mudahkita dapatkanz n jzjn [cos (n ) i sin (n )]untuk sebarang n bilangan bulat.Selain bentuk polar, bilangan kompleks dapat ditulis dalam rumus Euler. Ingatkembali pada mata kuliah kalkulus ekspansi deret Taylor11 2 1 3t t tn 2!3!n!1 3 1 51 7t tt 3!5!7!1 2 1 41 6t tt 2!4!6!et 1 t sin t tcos t 1untuk sebarang bilangan real t. Jika kita substitusi t dengan i, maka akan kitadapatkanei11( i)2 ( i)3 2!3!1 211 41 1 ii 3 i2!3!4!5!1 2 1 4 1 i2!4! cos i sin : 1 i 1( i)n n!513!3 15!517!7 Ini berartiz jzj (cos i sin ) jzj edengan jzj adalah modulus dari z dani arg z. Sebagai contoh, 1 i p12e 4 i .Serupa dengan bentuk polar,zw jzj jwj e( zjzj ( )i ewjwjz n jzjn en i :1.6)iAkar Bilangan KompleksSebagai akibat dari penyajian bilangan kompleks dalam bentuk polar/euler tidaktunggal, kita dapat mende nisikan akar pangkat-n dari bilangan kompleks. Berbeda
10dengan bilangan real, akar pangkat-n bilangan kompleks tidak tunggal yaitu sebanyak n. Akar pangkat-n dari bilangan kompleks z adalahpnz atau dalam rumus Eulerp 2 k 2 kn i sinjzj cosnnpnpnz 2 kinjzjedengan k 0; 1 : : : ; n 1. Secara geometris, akar pangkat-ndari z adalah himpnpunan n titik di sepanjang lingkaran dengan jari-jari jzj dan berpusat di (0; 0)dan membagilingkaran tersebut menjadi n bagian yang sama. Berikut ini iluspp4trasi dari 8 8 3iy321-3-2-112-13x-2-3Gra k 7Akar pangkat-n bilangan kompleksyang diperoleh dari k 0 disebut akar pangkatpn utama. Dalam buku ini, n z berarti akar pangkat-n utama dari z, yaitupnz atau dalam rumus Eulerpnjzj cospnz Arg zArg z i sinnnpnjzjeArg zindengan k 0; 1 : : : ; n 1.pp4Contoh. Hitunglah 8 8 3i!Jawab. cos 13 i sin 13 , 2 cos 56 i sin 56 , 2 cos 61pppSetelah dihitung, maka didapat 1 i 3,3 1, 3p3Contoh. Hitung27i!ppJawab. 3i, 32 3 32 i, dan 23 3 32 iContoh. Tentukan Solusi persamaan kuadrat z 2Jawab. f1 i; 2 ig.i sin 16 , dan 2 cos 32pi, dan 13i.3z 3 i 0!i sin 23.
111.7Eksponen dan Logaritma NaturalTujuan sub bab ini adalah mende nisikan ez dan ln z untuk z 2 C dan sifat-sifatyang diturunkannya. Kita tulis z x yi dan hasil dari ekspansi deret Tayloruntuk eiy cos y i sin y. Salah satu sifat eksponen natural untuk bilangan realadalah es t es et . Sifat ini kita anggap berlaku untuk bilangan kompleks yaitu,ez ex yi ex eyi . Jadi,ez ex (cos y i sin y) :Notasi lain untuk ez adalah exp(z), khususnya jika e dipangkatkan dengan f (z),1. Berikut ini beberapa contoh menghitung ez :seperti expz2e0 1e i cos i sin 1e2 4i e2 (cos 4 i sin 4)e1 i e (cos 1 i sin 1) :Berdasarkan de nisi, jelas ez 6 0 untuk setiap z 2 C. Sifat-sifat lain yangditurunkan dari de nisi adalahjez j eRe z , arg ez Im z.Lebih lanjut, berdasarkan hukum De Moivre didapat(ez )n enzuntuk setiap bilangan bulat n. Khususnya,(ez )1 e z:Seperti halnya eksponen bilangan real, dalam bilangan kompleks berlaku sifatez ew ex (cos x i sin y) eu (cos v i sin v) ex u [cos (y v) i sin (y v)] ez w :Begitu jugaez:ewSifat-sifat lainnya diserahkan kepada pembaca untuk dieksplorasi.ezw 2Selanjutnya, bagaimana menentukan solusi ez z ez 8 ? Untuk menjawab persoalan tersebut atau persamaan eksponen secara umum, kita harus mulai denganmencari nilai-nilai z yang memenuhi ez 1. Jika kita tulis z x yi, makaez ex (cos y i sin y) 1:
12Ini berarti ex 1, cos y 1, dan sin y 0. Hal tersebut akan dipenuhi untukx 0 dan y 2 k untuk setiap k 2 Z. Jadi solusi untuk ez 1 adalahfz 2 ki : k 2 Zg :Berdasarkan hasil tersebut kita dapat mencari solusi persamaan eksponen. Jadi,persoalan persamaan eksponen di atas dapat disederhanakan menjadiezez22z2z 8 ez 8 1:Dan, solusinya didapat dengan menyelesaikan persamaanz 2 2z 8 2 kippuntuk setiap k 2 Z, yaitu 1 9 2 ki; 19 2 ki untuk setiap k 2 Z.Solusi persamaan eksponen ez 1 ternyata tidak tunggal, yaitu terdapat takhingga banyak solusi. Demikian pula dengan persamaan ew z. Solusi persamaan ew z disebut logaritma natural z (ditulis ln z w). Hal ini berartinilai ln z tak hingga banyak. Perhatikan bahwaew z jzj ei arg z elnjzj ei arg z elnjzj i arg z :Jadi,ln z ln jzj i arg z:Logaritma utama (principal logarithm) z didapat dengan mengambil argumenutama, yaituLn z ln jzj i Arg z:Agar lebih jelas, perhatikan contoh-contoh berikut:Ln (1 i) ln j1 1j i Arg j1 1j ln 2 LnLn ( 4) ln 4 ip15 5 3i ln 10i:3Sedangkanln (1 i) ln 2 2 k i4ln ( 4) ln 4 ( 2 k) ip1ln 5 5 3i ln 10 2 k i3untuk setiap k 2 Z.4i
131.8Pangkat Bilangan KompleksCara yang baku untuk mende nisikan xy dengan x bilangan real positif dan ysebarang bilangan real adalah dengan rumus xy ey ln x . Jika rumus ini kitabawa ke bilangan kompleks, maka z w ew ln z . Tetapi, nilai ln z ada tak hinggabanyak, oleh karena itu kita dapat mengambil nilai logaritma utama (principallogarithm) untuk mendapatkan nilai utama (principal value) dari z w , yaituz w ew:Ln z :Berikut beberapa contoh menghitung nilai utama z w :2i2 ) ei2 i e2 i:Ln i e2 i:(ln 1 p3( 1 i)i ei:Ln( 1 i) ei(ln 2 4 i) e34 i lnp2:Perhatikan bahwa jika w bilangan bulat, maka akan kembali ke pembahasan disub bab 1.5 tentang perpangkatan bilangan kompleks dengan bilangan bulat.
BAB 2FUNGSI KOMPLEKS2.1Daerah pada Bidang KompleksPada bab ini akan dibahas fungsi bernilai kompleks dengan variabel kompleks.Tetapi sebelumnya terlebih dahulu dibahas beberapa konsep topologi bilangankompleks. Pembahasan topologi bilangan kompleks hanya menyangkut istilahdan ilustrasi geometris, tanpa analisis lebih dalam. Beberapa hal yang akandibahas adalah: titik interior, titik eksterior dan titik batas suatu himpunan dibidang kompleks, cakram, himpunan buka, himpunan tutup, closure, himpunanterhubung, dan domain.Setelah membaca sub bab ini, pembaca diharapkan dapat menyebutkan de nisidan menunjukkan secara geometris istilah-istilah di atas. Kajian lebih mendalamtentang topologi bilangan kompleks dapat dibaca di daftar pustaka [1] atau bukuElements of Real Analysis yang ditulis oleh Bartle.Jika z0 suatu titik di bidang kompleks dan 0 r 1, maka4 (z0 ; r)4 (z0 ; r)4 (z0 ; r)K (z0 ; r) fzfzfzfz: jz: jz: jz: jzz0 j rgz0 j rgz0 j rgz0 j rgfz0 gmasing-masing disebut cakram buka, cakram buka terhapus, dan cakram tutupdan lingkaran. Titik z0 disebut pusat dan r adalah jari-jari. Lihat gra k dibawah,rrz0z0Cakram BukaCakram Buka14
15rrz0z0Cakram TutupLingkaranCakram buka digunakan untuk mende nisikan titik interior, titik eksterior dantitik batas himpunan.De nisi 2.1Misalkan ; 6 AC.1. Titik z0 2 A disebut titik interior A jika terdapat r 0 sehingga 4 (z0 ; r)A. Himpunan semua titik interior A ditulis int (A).2. Titik z0 2 C disebut titik eksterior A jika terdapat r 0 sehingga 4 (z0 ; r)\A ;. Himpunan semua titik interior A ditulis ext (A).3. Titik z0 2 C disebut titik batas A jika setiap r 0, 4 (z0 ; r) \ A 6 ; dan4 (z0 ; r) \ Ac 6 ;. Himpunan semua titik batas A ditulis (A).Suatu himpunan AC disebut himpunan buka jika setiap titiknya adalahtitik interior A. Berikut ini adalah contoh beberapa himpunan buka: 4 (z0 ; r),4 (z0 ; r), fz : jz z0 j rg, fz : Re z 0g, fz : jz 2j jz 2j 6g, dan lainlain. Selanjutnya AC disebut himpunan tutup jika CnA adalah himpunanbuka. Beberapa contoh himpunan tutup adalah 4 (z0 ; r), fz : Im z 3g, danlain-lain. Perhatikan contoh-contoh himpunan buka dan himpunan tutup tersebut, batas-batas masing-masing himpunan adalah sebagai berikut: (fz : Re z 0g) Rc , (fz : jz z0 j rg) (fz : jz z0 j rg) K (z0 ; r), dan lain-lain. Closure suatu himpunan A adalah A A [ (A). Perhatikan gambar di bawah
16Himpunan Buka TerhubungHimpunan TutupHimpunan Tidak Buka danTidak TutupHimpunan Buka TidakTerhubungTeorema 2.2Gabungan sebarang koleksi himpunan buka adalah himpunan buka. Irisan koleksiberhingga himpunan buka adalah himpunan bukaTeorema 2.3Irisan sebarang koleksi himpunan tutup adalah himpunan tutup. Gabungankoleksi berhingga himpunan tutup adalah himpunan tutup.Teorema 2.4A dan (A) adalah himpunan tutupTeorema 2.5Himpunan A tutup jika dan hanya jika A A.Himpunan A C disebut tidak terhubung (disconnected) jika terdapat himpunanbuka U dan V sedemikian sehingga: (i) U \ V ;, (ii) A \ U 6 ; dan A \ V 6 ;, dan (iii) AU [ V . Jika A tidak memenuhi syarat tersebut, maka A
17disebut himpunan terhubung. Sedangkan domain adalah himpunan buka yangterhubung.2.2De nisi FungsiPada bagian ini dibahas fungsi bernilai kompleks dengan variabel kompleks (selanjutnya cukup disebut fungsi kompleks). Simbol untuk variabel kompleksadalah z, untuk membedakan dengan fungsi bernilai real dengan simbol variabel x. Sebuah fungsi kompleks f adalah aturan yang mengaitkan setiap anggotahimpunan A dengan anggota himpunan B (notasi : f : A ! B). HimpunanA disebut domain fungsi (ingat domain adalah himpunan buka dan terhubung),himpunan B disebut kodomain dan f (A) disebut range. Peta dari z oleh f adalahf (z) (disebut juga nilai fungsi). Dalam hal ini, fungsi yang akan dibahas adalahfungsi dengan domain A C dan kodomain C. Fungsi kompleksf : A!C: z 7 ! z2biasanya hanya ditulis f (z) z 2 .Misalkan diketahui fungsi f : A ! C dan g : B ! C dan c 2 C, maka(cf ) (z) cf (z)(f g) (z) f (z) g (z)(f:g) (z) f (z) :g (z)dan jika g (z) 6 0, makaf (z)f(z) :gg (z)Domain untuk fungsi-fungsi tersebut adalah A \ B. Selain itu, fungsi kompleksdapat dikomposisikan, yaitu(fasalkan g (B)g) (z) f (g (z))A.Selain dalam variabel bebas z, fungsi kompleks dapat ditulis dalam bentukf (z) u (x; y) v (x; y) idengan u; v : R2 ! R. Berdasarkan hal tersebut, fungsi kompleks dapat dipandang sebagai pemetaan dari R2 ke R2 , yaituf (x; y) (u (x; y) ; v (x; y)) :Sebagai contoh, fungsi f (z) z 2 dapat ditulis sebagaif (z) (x yi)2 x2 y 2 2xyi
18atau sebagai pemetaan dari R2 ke R2 , yaituf (x; y) x2y 2 ; 2xy :Gra k fungsi kompleks tidak dapat digambar secara utuh dalam sistem koordinat. Hal ini karen
dide–nisikan dengan kekonvergenan bilangan Cauchy di bidang kompleks. Soal-Soal Buktikan sifat lapangan bilangan kompleks! 1.4 Kojugate dan Modulus Salah satu komponen yang penting dalam bilangan kompleks adalah konjugate (sekawan). Konjugate bilangan kompleks z x yi adalah z x yi.
Bilangan Bulat 1. Pemahaman Konsep Bilangan Bulat Bilangan bulat terdiri atas: a) Bilangan asli atau bilangan bulat positif b) Bilangan nol, dan c) Lawan bilangan asli atau bilangan bulat negatif Bilangan bulat dituliskan atau dinotasikan dengan B { , -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, } 2. Menyatakan Bilangan Bulat dari Kehidupan Sehari-hari
1. Tentukan apakah bilangan-bilangan berikut merupakan bilangan prima atau majemuk. a).157 b).221 Jawab: a). Bilangan-bilangan prima yang adalah 2, 3, 5, 7, 11. Karena tidak ada diantara bilangan-bilangan tersebut yang dapat membagi 157 maka157 merupakan bilangan prima.
pangkat. Karena pangkatnya bilangan bulat, maka disebut bilangan berpangkat bilangan bulat. 1. Bilangan Berpangkat Sederhana Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menemui perkalian bilangan-bilangan dengan faktor-faktor yang sama. Misalkan kita temui perkalian bilangan-bilangan sebagai berikut. 2 2 2 3 3 3 3 3 6 6 6 6 6 6
Bilangan bulat dan bilangan riil 3. Pertidaksamaan 4. Harga mutlak 5. Induksi lengkap TIK : M ah siw m eng l f bil ngke d mh pu Mahasiswa memahami skema . Perpangkatan bilangan kompleks 4. Akar bilangan kompleks TIK: Mahasiswa mengenal bilangan kompleks dan komponen-komponennya.
Q menyatakan himpunan semua bilangan rasional, R menyatakan himpunan semua bilangan real, C menyatakan himpunan semua bilangan kompleks. Perlu diingat kembali bahwa bilangan kompleks didefinisikan sebagai bilangan berbentuk a b i dengan a dan b adalah bilangan real dan i 1. Demikian juga suatu
Pada bagian ini, kita akan melakukan operasi hitung bilangan bulat termasuk penggunaan sifat-sifatnya, pembulatan, dan penaksiran. 1. Bilangan Bulat Perhatikan garis bilangan di bawah ini! Di kelas 4, kita telah mempelajari tentang bilangan bulat. Bilangan bulat meliputi bilangan bulat positif, bilangan bulat negatif, dan bilangan 0 (nol .
dikatakan bilangan kompleks secara geometri dapat disajikan sebagai titik pada bidang kompleks (bidang xy) dengan sumbu x sumbu riil dan sumbu y sumbu imajiner. Bilangan kompleks z x iy x y , disajikan sebagai vektor pada bidang kompleks dengan titik asal dan ujung vektor .
ANSI A300 (Part 6)-2005 Transplanting, ANSI Z60.1- 2004 critical root zone: The minimum volume of roots necessary for maintenance of tree health and stability. ANSI A300 (Part 5)-2005 Management . development impacts: Site development and building construction related actions that damage trees directly, such as severing roots and branches or indirectly, such as soil compaction. ANSI A300 (Part .
