Diktat Fungsi Kompleks - Uinsu
DIKTATFUNGSI KOMPLEKSOleh:HENDRA CIPTA, S.Pd.I, M.SiNIDN: 2002078902PROGRAM STUDI MATEMATIKAFAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGIUNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUMATERA UTARAMEDAN2020
SURAT REKOMENDASISaya yang bertanda tangan di bawah iniNama:Dr. Rina Filia Sari, M.SiNIP.:197703012005012002Pangkat/ Gol.:Lektor (III/d)Unit Kerja:FakultasSainsDanTeknologiUniversitas Islam Negeri SumateraUtaramenyatakan bahwa diktat saudaraNama:Hendra Cipta, S.Pd.I, M.SiNIDN:2002078902Pangkat/ Gol.:Penata Muda Tk. I / III bUnit Kerja:Program Studi MatematikaFakultasSainsDanTeknologiUniversitas Islam Negeri SumateraUtaraJudul Diktat:Fungsi KompleksTelah memenuhi syarat sebagai suatu karya ilmiah (Diktat) dalam mata kuliahFungsi Kompleks pada Program Studi Matematika Fakultas Sains Dan TeknologiUniversitas Islam Negeri Sumatera Utara Medan.Demikianlah rekomendasi ini diberikan untuk dapat dipergunakan seperlunya.Medan, Agustus 2020Yang Menyatakan,Dr. Rina Filia Sari, M.SiNIP. 197703012005012002
KATA PENGANTAR ميحرلا نمحرلا هللا بسم Alhamdulillah segala puji hanya milik Allah Tuhan sekalian alam. Atasberkat rahmat dan karuniaNya, saya dapat menyelesaikan penulisan diktat inidengan judul “Fungsi Kompleks”. Shalawat dan salam senantiasa tercurah kepadaMuhammad SAW beserta kerabat, sahabat, para pengikutnya sampai akhir zaman,adalah sosok yang telah membawa manusia dan seisi alam dari kegelapan kecahaya sehingga kita menjadi manusia beriman, berilmu, dan tetap beramal shalehagar menjadi manusia yang berakhlak mulia.Penulisan diktat ini bertujuan untuk melengkapi persyaratan pengusulankenaikan pangkat di Program Studi Matematika Fakultas Sains Dan TeknologiUniversitas Islam Negeri Sumatera Utara Medan. Diktat ini juga diharapkan dapatmenambah wawasan ilmu pengetahuan, khususnya matematika dalam instalasinilai-nilai Islam yang terpadu dalam proses pembelajaran di lingkunganUniversitas Islam Negeri Sumatera Utara Medan.Dalam penulisan diktat ini, saya sangat menyadari bahwa masih banyakkekurangan yang perlu perbaikan di sana sini, sumbangan pemikiran yangmembangun sangat penulis harapkan dari rekan-rekan sejawat terutama daridosen-dosen senior yang terhimpun dalam mata kuliah serumpun. Juga usulandari para pengguna bahan ajar ini terutama mahasiswa program studi matematika,semoga konten pembelajaran matematika dapat diperkaya melalui evaluasi terusmenerus. Atas segala budi baik yang telah penulis terima dari semua pihak untukitu saya ucapkan ribuan terima kasih. Semoga Allah SWT membalas kebaikanseluruh rekan sekalian dengan ganjaran yang berlipat ganda, Amiin.Medan, Agustus 2020PenulisHendra Cipta, S.Pd.I, M.SiNIDN. 2002078902i
DAFTAR ISIKATA PENGANTAR .DAFTAR ISI .BABIiiiBilangan KompleksA. Konsep Dasar Bilangan Kompleks .B. Operasi Dasar dan Sifat Bilangan Kompleks .C. Modulus dan Bilangan Konjuget .D. Bentuk Kutub (Polar) Bilangan Kompleks .E. Teorema De’Moivre .F. Rumus Euler .G. Akar Bilangan Kompleks .H. Persamaan Suku Banyak (Polinomial) .1235681012Fungsi KompleksA. Konsep Fungsi Kompleks .B. Operasi Pada Fungsi Kompleks .C. Fungsi Elementer .171920Transformasi ElementerA. Transformasi Linear .B. Transformasi Kebalikan .C. Transformasi Bilinear.303438Fungsi AnalitikA. Topologi Dalam Bidang Kompleks .B. Limit Fungsi Kompleks .C. Turunan Fungsi Kompleks .D. Aturan Rantai .E. Persamaan Cauchy Riemann .4754606364Pengintegralan KompleksA. Fungsi Kompleks Dari Variabel Riil .B. Lintasan .C. Integral Garis .D. Integral Fungsi Kompleks .E. Integral Tak Tentu Dan Tentu .F. Integral Cauchy .747577788283DAFTAR PUSTAKA .91BAB IIBAB IIIBAB IVBAB Vii
BAB IBILANGAN KOMPLEKSA. Konsep Dasar Bilangan KompleksSistem bilangan yang riil adalah suatu sistem bilangan yang telah dikenalsebelumnya, didalam sistem bilangan yang riil masih tidak cukup untukmemecahkan sebuah bentuk persamaan. Oleh karena itu, suatu jenis baru bilanganbaru yang dikatakan bilangan kompleks. Bilangan riil perlu untuk ditambahkandengan suatu jenis baru. Bilangan ini dikatakan suatu bilangan khayal atau nomorjumlah kompleks.1Untuk x, y maka bentuk umum bilangan kompleks adalah z x iydengan y 0 , i dinamakan satuan khayal (imaginary unit) yang bersifat i 2 1 .x dinamakan bilangan real dari z dan y dikatakan bagian khayal dari z yangdinyatakan masing-masing dengan Re z dan Im z .Beberapa hal yang perlu sebagai syarat dalam bilangan kompleks yaitu:21. C himpunan bilangan kompleks C z z x iy, x, y , i 2 12. Jika Re z 0 dan Im z 0 maka z dinamakan bilangan imajinermurni.3. Jika Re z 0 dan Im z 0 maka z dinamakan bilangan real.4. Terdapat kesamaan bilangan kompleks.Pasangan berurut x, y dikatakan bilangan kompleks secara geometridapat disajikan sebagai titik x, y pada bidang kompleks (bidang xy ) dengansumbu x sumbu riil dan sumbu y sumbu imajiner. Bilangan kompleksz x iy x, y disajikan sebagai vektor pada bidang kompleks dengan titikasal dan ujung vektor x, y .1Ravi P, Agarwal, et.al, 2010, An Introduction to Complex Analysis. Springer New YorkDordrecht Heidelberg London.2B. Choudry, 1983, The Element of Complex Analysis. New Delhi: Wiley Eastern Limited.1
y (sumbu imajiner)z x, y x iyx (sumbu riil)Bidang KompleksB. Operasi Dasar dan Sifat Bilangan KompleksOperasi dasar pada bilangan kompleks antara lain:3Misalkan z1 x1 iy1 dan z2 x2 iy2 , maka z1 z2 jika dan hanya jikax1 x2 dan y1 y2 .a. Penjumlahanz1 z2 x1 x2 i y1 y2 b. Penguranganz1 z2 x1 x2 i y1 y2 c. Perkalianz1 z2 x1 iy1 x2 iy2 z1 z2 x1 x2 y1 y2 i x1 y2 x2 y1 d. Pembagianz1 x1 iy1 z2 x2 iy2 z1 x1 x2 y1 y2x y x y i 2 21 12 2 , z2 022z2x2 y 2x2 y 2Dengan persyaratan: z (negatif z ), jika z x iy maka z x iy z 1 31(invers z )zRavi P, Agarwal, et.al, 2010, An Introduction to Complex Analysis. Springer New YorkDordrecht Heidelberg London.2
Jika z x iy maka z 1 xy i 22x yx y22e. Hukum komutatifz1 z2 z2 z1z1 z2 z2 z1f. Hukum asosiatif z1 z2 z3 z1 z2 z3 z1 z2 z3 z1 z2 z3 g. Hukum distributifz1 z2 z3 z1 z2 z1 z3h. Elemen netral dalam penjumlahan 0 0 0i z 0 0 z zi. Eleman netral dalam perkalian 1 1 0i z.1 1.z zC. Modulus dan Bilangan KonjugetDefinisi 1.1Modulus (nilai mutlak) z x iy dikatakan sebagai jarak antara z dan sumbukoordinat yang ditulis sebagai Modulus z z x 2 y 2 .Sedangkan bilangan kompleks sekawan dari z x iy dikatakan sebagaiz x iy .44Saff, E.B. & A.D. Snider, 2003, Fundamentals Of Complex Analysis, With Applications, 3 ndEdition, Prentice Hall. Inc.3
Contoh:a) Jika z 1 i, maka z b) Jika z 1 1 22 22 3i1, maka z 261 i2Sifat-sifat modulus dan bilangan kompleks sekawan (konjuget):a.z z zb.z1 z2 z1 z2c. Re w Re w wd. Im w Im w we.zz1 1z2z2f. Peridaksamaan segitiga w1 w2 w1 w2g.w1 w2 w1 w2h.z1 z2 z1 z2i.z1 z2 . zn z1 z2 . znj.z zk.z zl.z1 z2 z1 z2m. z1 z2 z1 z2 z zn. 1 1 z2 z2o. zz z2p. zz Re z Im z 2q. Re z z z2Im z z z2ir.24
D. Bentuk Kutub (Polar) Bilangan KompleksPerhatikan gambar berikut:P(x,y)rxOθyxAndaikan z x iy merupakan suatu titik x, y pada bidang kompleks,x r cos dan y r sin dimana r x 2 y 2ditulisr mod z , dan dinamakan argumen dari z ditulis arg z arc tanyyangxberdasarkan gambarmenyatakan suatu sudut antara garis OP dengan sumbu x positif.5Sehingga mengakibatkan z x iy r cos ir sin r cos i sin yang dinamakan bentuk kutub (polar) bilangan kompleks, r dan ntukz x iy r cos i sin r cis .Contoh:1. Diketahui z1 1 i, z2 1 i ,a. Gambarkan kedua bilangan kompleks dalam bidang kompleksyz21x1-1-15z1Thomas, George. B, Ross L. Finney, 1998, Calculus and Analytic Geometry 9th Edition,Massachasetts Institute of Technology: Addison-Wesley Publishing Company.5
b. Carilah modulus dan argumenModulus :z1 r1 2 atau mod z1 2z2 r2 2 atau mod z2 2Argumen : 1 11 1 31501 1 1 2 1350Arg z1 3150Arg z2 1350tan 1 tan 2 c. Bentuk kutub (polar)z r cos i sin z1 2 cos 3150 i sin 3150 1 1 z1 2 2 i2 2 2 z1 1 i z2 2 cos1350 i sin1350 1 1 z2 2 2 i2 2 2 z 2 1 iE. Teorema De’MoivrePerkalian geometri antara z1 dengan z2 ditunjukkan dengan:6z r cis r cos i sin z1 z2 r1 cis 1 r2 cis 2 r1r2 cos 1 i sin 1 cos 2 i sin 2 r1r2 cos 1 cos 2 cos 1 i sin 2 i sin 1 cos 2 sin 1 sin 2 r1r2 cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 i sin 1 cos 2 cos 1 sin 2 r1r2 cos 1 2 i sin 1 2 6Agarwal, Ravi P, et.al, 2010, An Introduction to Complex Analysis. Springer New YorkDordrecht Heidelberg London.6
Jika z1 z2 z3 z4 . zn maka secara induksi matematika diperoleh:z1 z2 z3 .zn r1 r2 r3 .rn cos 1 2 3 . n i sin 1 2 3 . n z n r n cos n i sin n dinamakan Teorema De 'MoivreContoh:Buktikan dengan Teorema De’Moivre bahwa:a) cos 2 1 2sin 2 b) cos 2 2 cos 2 1Penyelesaian:z n r n cos n i sin n z 2 r 2 cos 2 i sin 2 z2 cos 2 i sin 2 r2r 2 cos 2 i sin 2 cos 2 i sin 2 r2cos 2 r 2 cos 2 i sin 2 i sin 2 r2cos 2 cos 2 cos cos cos sin sin cos 2 sin 2 1 sin 2 sin 2 cos 2 1 2sin 2 cos 2 cos 2 sin 2 cos 2 1 cos 2 2 cos 2 17
F. Rumus EulerIngat kembali Deret Taylor:Misalkan fungsi f dan semua turunannya f ' , f " , f ''' ,. berada pada interval a, b .Misalkan x0 a, b maka nilai x disekitar x0 adalah:f x f x0 x x0 f ' 1! x0 x x0 f " 2! x0 mx x0 . f m m! x0 .Sedangkan deret Mac Laurin merupakan bentuk deret yang diperoleh saat x0 0pada deret Taylor:x 'x2 "xm m f x f 0 f 0 f 0 . f 0 .1!2!m!x 2 x31menyebabkan f x e 1 x . x n .2! 3!n!x 1 x 2n .x2 x4 x6cos x 1 . 2! 4! 6! 2n !n 1 x 2 n 1 .x3 x5 x 7sin x x . 3! 5! 7! 2n 1 !nMisalkan e x ei , maka:x 2 x31e 1 x . x n .2! 3!n!111111234567ei 1 i i i i i i i .2!3!4!5!6!7!111111 1 i 2 i 3 4 i 5 6 i 7 .2!3!4!5!6!7!11111 1 1 2 4 6 . i 3 5 7 . 4!6!3!5!7! 2! xei cos i sin dinamakan Rumus Eulerdengan komponen ei cos i sin dan e i cos i sin Sehingga bentuk kutub (polar) pada Rumus Euler dapat ditulis:z r cis z r cos i sin z rei 8
Komponen Rumus Eulera. Untuk sin ei e i sin i sin sin i sin ei e i 2i sin sin ei e i 2ib. Untuk cos ei cos i sin e i cos i sin ei e i cos i sin cos i sin ei e i 2 cos ei e i cos 2c. Untuk tan sin cos ei e i 2 i 2ie e i ei e i i ei e i tan Contoh:1) Buktikan dengan rumus Euler bahwa sin 2 1 cos 2 ?sin 2 sin 2 ei e i sin 2i 221 e 2i e 2i 2 211 cos 2 222 1 cos 1 29
2) Buktikan dengan rumus Euler bahwa sin 3 3sin 4sin 3 ?sin 3 3sin 4sin 3 3 ei e i 3 2i ei e i 4 2i ei e i 3 2i e3i 3ei 3e i e 3i 4 8i ei e i e3i 3ei 3e i e 3i 3 2i2i 3i 3i e e 2i sin 3 G. Akar Bilangan KompleksTeorema 1.1Diberikan z , w dengan w r cos i sin .Jika untuk setiap n , n 2 dan z n w maka: 2 k 2 k 7zk r n cos i sin dengan k 0,1, 2,., n 1 .nn 1Bukti:Andaikan z p cos q i sin q dan w r cos i sin diperoleh:zn wp n cos nq i sin nq r cos i sin pn r1p rn7Churchil, R.V, 2009, Complex Variable & Application 8th Edition, Mc Graw-Hill.10
nq 2k dengan k z makaq 2 k ,k nsehingga z p cos q i sin q 2 k 2 k zk r cos i sin nn dengan k 0,1, 2,3,., n 1 (terbukti)1nContoh:13Carilah akar-akar persamaan bilangan kompleks dari z i ?Penyelesaian:sin 1, 900z3 iz ir 13cos 0, 900 0 1 22 11 2 k 2 k zk r n cos i sin nn 2 k 2 k zk 13 cos i sin nn 1Dengan dengan k 0,1, 2,3,., n 1 900 900 k1 0, z1 cos isin 3 3 z1 cos 300 i sin 300113 i22 4500 4500 k2 1, z2 cos i sin 3 3 z1 z2 cos1500 i sin1500z2 113 i22 8100 8100 k3 3, z3 cos i sin 3 3 z3 cos 2700 i sin 2700z3 i11
sehingga diperoleh akar-akarnya:z1 11113 i, z2 3 i dan z3 i2222H. Persamaan Suku Banyak (Polinomial)Definisi 1.2Persamaan suku banyak (polinomial) berbentuk:a0 z n a1 z n 1 a2 z n 2 . an 1 z an 0dimana a0 0, a1 ,., an merupakan bilangan kompleks dan n merupakan sebuahbilangan bulat positif. Persamaan suku banyak memiliki n akar kompleks.Jikaz1 , z2 ,., znadalahnbuahjmlahdariakar-akarnya,makaa0 z z1 z z2 . z zn 0 dikatakan pemfaktoran bentuk suku banyak(polinomial).8Contoh:Selesaikan persamaan suku banyak dari z 5 2 z 4 z 3 6 z 4 0 agar diperolehakar-akar persamaannya?Penyelesaian:z5 2z 4 z3 6z 4 0a an 4 4, 2, 1a0 1a 1, 2, 4,1, 2, 48Saff, E.B. & A.D. Snider, 1993, Complex Analysis for Mathematics, Science, andEngineering, 2nd edition, Prentice Hall, Inc.12
Dengan menggunakan metode Horner diperoleh:z5 2z 4 z3 6z 4 01 2 106 41 1 2 24 1 2 24022010 24122 4220112111 4Maka: z 1 z 1 z 2 z 2 2 z 2 0Sehingga diperoleh akar-akar persamaannya:p1 1, p2 1, p3 2, p4 1 i, dan p5 1 i13
Latihan:1. Selesaikan operasi yang diberikan:a. z 3 1 4i 2 4 i b. z 3 1 4i 4 i 2 3i c. i123 4i 9 4ii 4 i 9 i16d.2 i 5 i10 i15 1 i 1 i z 2 3 1 i 1 i 2e.32. Tunjukkan apakah:a. z i 1 maka z 2 2 z 2 01b. z i 2 maka 2z 2 z 2 024. Jika diketahui z 1 3i ,a. Gambarkan z dalam bidang kompleksb. Tentukan modulus dan argument dari zc. Tentukan bentuk kutub (polar)5. Carilah nilai z sehingga z 2 dan Arg z 3 ?46. Jika z1 14 i dan z2 3 i dan z2 3 2ia. mod z1 z2 dan Arg z1 z2 ?b. Bentuk kutub (polar) z1 z2c. Bentuk kutub (polar)z1z28. Dengan teorema De’Moivre buktikanlah:a. cos 3 cos3 3cos sin 2 cos 3 4 cos3 3cos b. sin 3 3cos 2 sin sin 3 14
sin 3 2sin 4sin 3 c. tan 3 3 tan tan 3 1 3 tan 2 3cos 2 sin 2 tan 3 tan 22 cos sin 31d. sin 3 sin sin 3 44sin 3 331sin cos 2 sin 3 4449. Dengan Teorema De’Moivre buktikan apakahcos cos 2 cos 3 1 dengan ?2710. Jika diketahui z1 rei 1 , z2 rei 2 dan z3 rei 3 . Tentukanlah:a.z1 z2b. z1 z2 z3c.z1 z 2z3d. Bentuk kutub (polar) z1 z2 dan z1 z2 z311. Tunjukkan bahwa:a. tan 2 2 tan 1 tan 2 b.sin 4 8cos3 4sin c.sin 4 2 cos 3 6 cos 4sin 12. Tentukan akar-akar bilangan kompleks dari:a. 2 z 3 2i 0 b. z 2 2i 3 215
c.z6 1 i3 i13. Tentukan semua akar-akar polinomial dari:1a.z 256 4b. z 4 81 0 ?14. Tentukan semua akar-akar polinomial dari z 4 7 z 3 5 z 2 31z 30 0 ?15. Jika persamaan polinomialz 4 2 z 3 7 z 2 8 z k 0 , jika salah satufaktornya adalah z 1 . Tentukan:a. Faktor-faktor yang lainnyab. Semua akar-akar persamaannya16. Jikapersamaanpolinomialp2 z3 7 z 2 bz 3 0 dibagi dengansama.Tentukan:a. Nilai a dan bb. Semua akar-akar persamaannya16p1 3z3 az 2 5z 1 0 z 1 dandan memberikan sisa yang
BAB IIFUNGSI KOMPLEKSA. Konsep Fungsi KompleksSuatu fungsi kompleks dengan variable kompleks z dinyatakan olehw f z dengan w f z dengan z x iy sebagai domain dari w dan fungsikompleks terdiri dari bilangan riil dan imaginer sehingga fungsi kompleks dapatdinyatakan:9w z u z v z i atau w z u x, y v x, y idimana u x, y adalah bilangan riil dan v x, y adalah bilangan imaginer. r , Dalam bentuk koordinat kutub (polar)dapat juga dinyatakandengan mengganti x dan y yaitu:w z u iv f z f x iy r cos ir sin sehinggaf z u r , iv r , yyA’xxABidang xyBidang wContoh:1) Jika f z 4 x 2 iy . Tentukan fungsi kompleks dalam z ?Penyelesaian:Terlebih dahulu kita mencari nilai x dan y untuk fungsi kompleks.9Spiegel, M.R. 1994. Peubah Kompleks dengan Pengenalan Pemetaan Konvormal danPenerapannya. Terjemahan Koko Martono. Erlangga, Jakarta.17
z z 2 Re z x iy x iy 2 Re z x Re z x z z2z z 2i Im z x iy x iy 2i Im z y Im z y z z2imaka:f z 4 x 2 iy z z z z 4 i 2 2i 2 z 2 zz z 2 z z 4 4 2 f z z 2 2 zz z2) Jika diketahui f z x iy x iyx2 y 2a. Nyatakan fungsi tersebut dalam bentuk zz z z z i z z z z 22i f z i 222 2i z z z z 2 2i 1 z zb. Tentukan nilai u dan vf z x iy x iyx2 y 2x 3 xy 2 xx2 y y3 yf z ix2 y 2x2 y 2diperoleh :u x 3 xy 2 xx2 y y3 ydanv x2 y 2x2 y 218
c. Tentukan f 1 2i f z z 1z11 2i 1 2i 1 2i 1 1 2i 1 2i4i 2 1 2i 1 2i 1 2i6 8 i5 5B. Operasi Pada Fungsi KompeksAntara lain:a) f g z f z g z b) f g z f z g z c) f g z f z g z f z f d) z g z g Contoh:Diberikan f z 2 z i dan g z z 2 2 z . Tentukanlah:a. f g z f z g z 2z i z2 2z z2 4z ib. f g z f z g z 2z i z 2 2z 2z3 4z 2 i z 2 2z 19
f z f d. z g z g 2z i 2z 2z2 z 3 4 z 2 z 2i 2 zi z 4 2z3C. Fungsi ElementerMacam-macam fungsi elementer akan dibicarakan pada bagian ini.101. Fungsi EksponensialDefisi 2.1Didefinisikan w e z dengan z x iy sehinggaw e x iy e x eiy e x cos y i sin y .Teorema 2.1Diberikan z w C . Sifat-sifat eksponensial bilangan kompleks adalah:1) e z 0Bukti:Ambil z x iy sebarang, akan ditunjukkan e z 0 .Andaikan e z 0 maka e x cos y ie x sin y 0.Berdasarkan persamaan bilangan kompleks diperolehe x cos y 0 danie x sin y 0 . e x tidak nol, maka cos y 0 dan sin y 0 . dan setiap nilai ydimana e z 0 untuk semua z.2) e0 1Bukti:e0 e0 cos 0 i sin 0 e0 1 1 0 e0 110Wunsch, A. D., 1994, Complex Variables With Applications, 2nd Edition. Addison-Wesley.20
3) Misalkan z x iy maka z x iye z e x iy e x cos y i sin y e x cos y i sin y ez4) e z w e z e wBukti:Misalkan z x iy dan w a ibe z w e x a i y b e x a cos y b i sin y b e x a cos y cos b sin y sin b i sin y cos b cos y sin b e x e a cos y cos b sin y cos b i cos y sin b sin y sin b e x cos y i sin y e a cos b i sin b e z ew5) ez wez we6) Jika z x iy maka e z e x 7) Jika z x iy maka arg e z yContoh:Carilah nilai z dari setiap persamaan dengan fungsi eksponensial:1) e z 3ie z 3ie x cos y i sin y 3ie x cos y ie x sin y 0 3idiperoleh:e x cos y 0cos y 0y Arc cos 0y 900y 2 k , k Z21
ie x sin y 3ie x sin y 3 e x 3ex 3x ln 3maka z x iyz ln 3 i 2 k , k Z2) e z 1 ie x cos y i sin y 1 ie x cos y ie x sin y 1 idiperoleh:e x cos y 1 ie x sin y ie x sin y 1 excos y 1 e x sin y 1 22e 2 x cos 2 y 1 e 2 x sin 2 y 1e 2 x cos 2 y e 2 x sin 2 y 1 1e 2 x cos 2 y sin 2 y 2e2 x 2e 2 x eln 22 x ln 21ln 22substitusikan nilai x kepersamaan:x 22
e x cos y 11e2ln 2cos y 12 cos y 1cos y 122 2 k , k Z4maka z x iyy z 1 ln 2 i 2k , k Z2 4 2. Fungsi TrigonometriIngat kembali rumus Euler yakni eix cos x i sin x untuk setiap x eix e ix 2i sin x dan eix e ix 2cos x11 2.1 Dari (2.1) diatas, maka fungsi sinus dan cosinus dengan perubah kompleksdidefinisikan:eiz e izeiz e izsin z dan cos z 2i2 2.2 Ditunjukkan bahwa sin z sin z dan cos z cos z .Dari (2.2) , bahwa sin z dan cos z adalah kombinasi linear fungsi utuheiz dan e iz . Dari (2.2) memberikan:d sin z dz cos z dand cos z dz sin z 2.3 Diberikan fungsi sinus dan cosinus hiperbolik yakni:sinh y untuk setiap y e y e ye y e ydan sinh y 2i2. Berdasarkan persamaan (2.4) ditunjukkan:sin iy i sinh y dan cos iy cosh y11 2.4 2.5 R. Courant, 1950, Differential and Integral Calculus New York: Interscience Publishers,Inc.23
Identitas-identitas trigonometri juga berlaku untuk peubah kompleks. Maka akanditunjukkan:2 sin z1 cos z2 sin z1 z2 sin z1 z2 2.6 sin z1 z2 sin z1 cos z2 cos z1 sin z2 2.7 cos z1 z2 cos z1 cos z2 sin z1 sin z2 2.8 Misalkan sebarang z x iy . Apabila pada (2.7) dan (2.8) diambil z1 x danz2 hy , diperoleh:sin z sin z1 cos z2 cos z1 sin z2sin z sin x cos iy cos x sin iysin z sin x cosh y i cos x sinh y 2.9 cos z cos z1 cos z2 sin z1 sin z2cos z cos x cos iy sin x sin iycos z cos x cosh y i sin x sinh yContoh:Selesaikan sin z i dengan fungsi trigonometri?sin z isin z sin x cosh y i cos x sinh ysin x cosh y i cos x sinh y 0 isin x cosh y 0 i cos x sinh y icos x sinh y 1sin x cosh y 0sin x 0x Arc sin 0x 00x 2k atau x 2k 1 24 3.0
cos x sinh y 1sinh y 1e y e y 12e y e y 2 0e 2 y e0 2e y 0e 2 y 2e y 1 0 ey 2 1 2e y 1 2ey 1 2 y ln 1 2 Maka z x iy z 2k i ln 1 2 3. Fungsi HiperbolikDefinisi dari fungsi hiperbolik diberikan:12sinh z e z e ze z e zdan cosh z 22 3.1 Kedua fungsi diatas merupakan fungsi lengkap dan diberikan:d sinh z dz cosh z dand cosh z dz sinh z 3.2 Dari definisi sin z dan cos z pada fungsi trigonometri, maka diperoleh:sin iz i sin z dan cos iz cos zsin iz i sinh z dan cos iz cosh z 3.3 3.4 Menggunakan identitas-identitas pada (3.3) dan (3.4), diperlihatkan rumusidentitas12R. Courant, 1950, Differential and Integral Calculus New York: Interscience Publishers,Inc.25
sinh z sinh z dan cos z cosh zcosh 2 z sinh 2 z 1sinh z1 z2 sinh z1 cosh z2 cosh z1 sinh z2sinh z1 z2 cosh z1 cosh z2 sinh z1 sinh z2 3.5 3.6 3.7 3.8 Dan jika z x iy , maka persamaan (3.7) dan (3.8) dihasilkan:sinh z sinh x cos y i cosh x sin ycosh z cosh x cos y i sinh x sin y 3.9 4.0 Akibatnya, 4.1 4.2 2sinh z sinh 2 x sin 2 y2cosh z sinh 2 x cos 2 yContoh:Diberikan cosh z i , maka akar-akar persamaannya adalah?cosh z icosh z cosh x cos y i sinh x sin ycosh x cos y i sinh x sin y 0 icosh x cos y 0 i sinh x sin y isinh x sin y 1cosh x cos y 0cos y 0y Arc cos 0y 900 2 k 23 y 2 k 2y 1 26
sinh x sin y 1sinh x 1e x e x 12e 2 x 2e x 1 0 ex 2 1 2ex 1 2 x ln 1 2y 2 3 2k maka sin y 1. Maka sinh x sin y 1 adalah:2sinh x 1e x e x 12e 2 x 2e x 1 0 ex 2 1 2ex 1 2 x ln 1 2 3 Persamaan (1), (2), dan (3) diperoleh:z x iy z ln 1 2 i 2k , k atau 2 3 z ln 1 2 i 2 k , k 2 27
Latihan:1. Jika f z z 2 . Tentukan pemetaan dari bidang xy ke w jika:a. i 2b. 1 3ic. 1 3i 2 2i2. Jika f z z 3 . Tentukan pemetaan dari bidang xy ke w jika:a. i 3b. 1 3ic. 2 3i 2 2i3. Jika diberikan z 1 2i . Tentukanlah:a.f z x iy1 zb.f z 12zc.f z z2z4. Jika f z a.z 2. Tentukanlah:2z 1f 0 , f i , dan f 1 i b. Nilai z sehingga f z i, dan f z 2 3ic. Nilai z sehingga f z 2i 3, dan f z 2 3i5. Carilah semua nilai z yang persamaan dengan fungsi eksponensial?a. e z 3ib. e z 2 2ic. e z 1 i 3d. e1 2 z 2e. e z 2 1 e z28
5. Selesaikan persamaan berikut dengan fungsi trigonometri:a. cos w 2ib. sin w 3ic. tan z 26. Buktikan bahwa:a. sinh 2z 2sinh z cosh zb. sinh x cosh z cosh x7. Dengan fungsi hiperbolik, tentukanlah:a.d coth z dz .8. Dengan fungsi hiperbolik, hitunglah:a. cosh z 2b. sinh z 2ic. tan z i29
BAB IIITRANSFORMASI ELEMENTERBab ini membicarakan definisi dari geometri fungsi kompleks. Suatufungsi dikatakan sebagai suatu proses sebagian dalam bidang Z yang dipetakankebidang W. Hal ini memberikan pernyataan bahwa transformasi sebagai suatufungsi f memetakan z 0 ke w0 dengan w0 adalah peta z 0 dibawah f dan z 0 adalahprapeta dari w0 .A. Transformasi LinearTransformasiyangw f ( z ) az b, a, b Cberbentukdikatakantransformasi linear. Sebelum membicarakan lebih jauh mengenai transformasilinear, perhatikan beberapa syarat-syarat berikut.13(1)Misalkan f ( z ) iz dengan z x iy , makaf (z ) iz i ( x iy ) y ix, i 1 dan Arg i 2Fungsi f ( z ) iz , jika dituliskan dalam bentuk pengaitannya diperolehz izx iy u iv y ixHalinimemperlihatkanbahwasetiaptitik( x, y )ditransformasikan oleh f ( z ) iz ke bidang W dititikdibidang y, x ,Zdiperoleh dengan rotasi 0, 2 (2) Misalkan f ( z ) 2iz dengan z x iy , makaf ( z ) 2iz 2i( x iy) 2 y 2ix 2( y ix), 2i 2 dan Arg (2i ) 2Fungsi f ( z ) 2iz bila ditulis dalam bentuk pengaitannya diperolehz 2izx iy u iv 2( y ix)13Andrilli, Stephen and David Hecker. 2010. Elementary Linear Algebra Fourth Edition.Canada: Elsevier.30
Halinimemperlihatkanditransformasikan olehbahwasetiaptitik( x, y )dibidangZf ( z ) 2iz ke bidang W di titik ( 2 y ,2 x) diperoleh dengan rotasi 0, di dilatasi oleh faktor 2. 2 Secara umum fungsi w f ( z ) az, a 0 mentransformasikan z ke bidangW dengan cara:(1) Merotasikan z sebesar Arg a , dan(2) Didilatasi oleh faktor aFaktor dilatasi a menentukan jenis transformasi z ke bidang W yaitu:(1) Jikaa 1, maka z ditransformasikan ke bidang W dengan rotasi 0, Arg a (2) Jikaa 1, maka z ditransformasikan ke bidang W dengan rotasi 0, Arg a (3) Jikakemudian didilatasi ( diperbesar ) oleh faktor a 1a 1 , maka z ditransformasikan ke bidang W dengan rotasi 0, Arg a kemudian didilatasi (diperkecil ) oleh faktor a 1Transformasi w az b sebagai dua transformasi berurutan yaitu :s az dan w s bJadi transformasi linear w az b; a, b C mentransformasikan z ke bidang Wdengan cara :(1) Merotasikan z sebesar 0, Arg a (2) Dilatasi oleh faktor a(3) Translasi sejauh b b1 , b2 Transformasi linear w az b; a, b C, bila dituliskan dalam bentukpengaitannya diperoleh seperti berikut: 1 2 z az az btranslasis sejauh b b ,brotasi (0, Arg a ) dan dilatasi oleh faktor a31
Contoh:Tentukan peta dari kurva y x 2 oleh transformasi linear w 2iz 1 i ?Penyelesaian:Cara 1Arg (2i ) arc cot 0 2dan 2i 2. Transformasi linear w 2iz (1 i ) biladitulis dalam bentuk pengaitannya, diperoleh R 0, 2 translasi sejauh (1 i )dilatasi oleh faktor 2 2iz (1 i)z iz 2iz Kurva y x 2 bila ditulis dalam bilangan kompleks z x ix 2 diperoleh R 0, 2 w x iy(1) z x ix 2 x ' cos 2 ' y sin 2 sin 2 x 2 cos x 2 0 1 x 2 1 0 x x2 x Jadi, z x ix 2w x 2 ix y 2 iyDengan demikian kurva y x 2 dirotasi sejauh 0, petanya adalah 2 x y2(2) Kurva x y 2 didilatasi oleh faktor 2, diperolehz x 2 ix w 2 x 2 ix 1 2y iy2Jadi, kurva x y 2 didilatasi oleh faktor 2, petanya adalah x 321 2y2
(3) Kurva x 1 2y ditranslasi oleh vector (1, -1 ) diperoleh2 z 2 x 2 2 xi w 2 x 2 1 i 2 x 1 2 1 y 1 1 iy 2 Jadi, kurva x x 1 2y ditranslasi oleh vector ( 1, -1 ) petanya adalah21 y 1 2 12Dari (1), (2) dan (3) diperoleh peta dari kurva y x 2 oleh
dikatakan bilangan kompleks secara geometri dapat disajikan sebagai titik pada bidang kompleks (bidang xy) dengan sumbu x sumbu riil dan sumbu y sumbu imajiner. Bilangan kompleks z x iy x y , disajikan sebagai vektor pada bidang kompleks dengan titik asal dan ujung vektor .
dide–nisikan dengan kekonvergenan bilangan Cauchy di bidang kompleks. Soal-Soal Buktikan sifat lapangan bilangan kompleks! 1.4 Kojugate dan Modulus Salah satu komponen yang penting dalam bilangan kompleks adalah konjugate (sekawan). Konjugate bilangan kompleks z x yi adalah z x yi.
Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah 1.2 Kompetensi Dasar Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan tri-gonometri 1.3 Indikator 1.Menjelaskan pengertian limit fungsi melalui perhitungan nilai-nilai fungsi
1. Menghitung limit fungsi aljabar sederhana di suatu titik 2. Menggunakan sifat limit fungsi untuk menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar Konsep turunan fungsi sangat berguna membantu memecahkan masalah ekonomi, namun demikian konsep turunan fungsi didasarkan atas konsep limit fungsi.
Fungsi kuadrat merupakan merupakan fungsi polinom berderajat dua bentuk umum persamaan fungsi kuadrat adalah : y a bx cx2 atau y cx2 bx a dimana cz0. Contoh fungsi kuadrat dalam bentuk grafik di gambarkan sebagai berikut : y y x2 x 3.1.1 Penyelesaian Persamaan Kuadratik Penyelesaian persamaan kuadratik merukan pencarian akar-akar dari persamaan .
Fungsi kuadrat tersebut merupakan fungsi kuadrat dalam peubah x. Grafik fungsi kuadrat ditulis dengan notasi y f(x) ax 2 bx c, dan grafik fungsi kuadrat dise but parabola. Langkah -langkah menggambar sketsa grafik fungsi kuadrat yang sederhana: Langkah 1: Tentukan beberapa anggota fungsi f, yaitu koordinat titik -titik yang
ANALISIS KOMPLEKS 1 Anny Sovia Pendahuluan Sistem Bilangan Kompleks Untuk maka bentuk umum bilangan kompleks adalah dengan , dinamakan satuan khayal (imaginary unit) bersifat .dinamakan bagian riil dari dan dinamakan bagian khayal dari yang berturut-
D. MENENTUKAN BENTUK FUNGSI KUADRAT Keterangan-keterangan yang diketahui pada sketsa grafik fungsi kuadrat seringkali mempunyai ciri-ciri tertentu. Ciri-ciri itu diantaranya adalah sebagai berikut : 1. Grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x di A(x 1, 0) dan B(x 2, 0), serta melalui sebuah titik tertentu. Persamaan fungsi
2.1 ASTM --Standards:3 C125 Terminology Relating to Concrete and Concrete Ag- ates - ,, ,, , ,, greg- C138/C138M Test Method for Density (Unit Weight), Yield, and Air Content (Gravimetric) of Concrete C143/C143M Test Method for Slump of Hydraulic-Cement Concrete C172/C172M Practice for Sampling Freshly Mixed Con- ,, ,, , , , , , ,--crete C173/C173M Test Method for Air Content of .
