INTRODUÇÃO À GEOMETRIA PROJETIVA
Antonio Carlos T. de C. AuffingerFábio Júlio da Silva ValentimINTRODUÇÃO ÀGEOMETRIA PROJETIVAUniversidade Federal do Espírito SantoDepartamento de MatemáticaVitória, Setembro de 2003
Introdução à Geometria ProjetivaAntonio Carlos Theodoro de C Auffinger Fábio Júlio da Silva Valentim 30 de setembro de 2003 Alunos do Curso de Graduação em Matemática da UFES
Teorema de Brianchon
PrefácioEstas notas nasceram de um Projeto de Ensino, sob minha responsabilidade,iniciado em Agosto/2001 com Os Três Mosqueteiros Cleres, Fábio e Tuca, alunosdo curso de Matemática da UFES. O projeto consistia em estudar os elementosda geometria projetiva clássica, sintética, e de divulgá-la pelo menos no âmbitoda UFES. A bibliografia inicial foi sugerida, muito acertadamente, pelo Prof.Valmecir Bayer, que nos emprestou seu exemplar pessoal do excelente livroProjective Geometry, de H. S. M. Coxeter. Começamos o trabalho e logo nosempolgamos com a simplicidade, a simetria e a beleza da geometria projetiva.Foram dois anos de reuniões semanais onde discutı́amos os fundamentos dageometria e resolvı́amos problemas, mas também jogávamos muita conversafora. Era só alegria. como dizia o Fábio. Muito legal, sem dúvida o projetode ensino mais bem sucedido que já conduzi.Inicialmente o Projeto estava vinculado ao programa PET, mas no ano seguinte foi incluı́do no Projeto Milênio. Nesta época, o Cleres resolveu estudarcurvas algébricas com o Prof. Valmecir e deixou o grupo. Foi chato, estávamosemocionalmente envolvidos neste projeto e o Cleres fez falta. Mas continuamos,apenas com o Fábio e o Tuca. Quando começamos o estudo das cônicas, quebeleza, o ritmo dos estudos se intensificou muito e rapidamente concluı́mos orestante do material.Resolvemos então escrever umas notas introdutórias para que elas pudessemservir de estı́mulo, ou ponto de partida, para outros alunos que venham a seinteressar por esta área tão bela da matemática elementar e que tem estado tãoausente nos currı́culos atuais dos cursos de Matemática. Esperamos que elassejam úteis de alguma maneira.Finalmente, quero deixar claro que tudo o que aqui está é de autoria exclusiva do Fábio e do Tuca, baseados na bibliografia no final do texto. A minhaparticipação se limitou a fazer algumas poucas considerações e sugestões.Luiz Fernando C. CamargoV i t ó r ia – E SDezembro, 2003
AgradecimentosNão haveria conquistas se não houvesse obstáculos a superar e a parte maisgratificante é poder contar com aliados nos melhores e piores momentos paraobter essas conquistas.Para a realização deste, sinceros agradecimentos principalmente a Deus, porter nos dado força em todos os momentos, ao professor orientador e amigo LuizFernando Cassiani Camargo, pelo seu total apoio.Este trabalho é resultado de um projeto de Iniciação Cientı́fica financiadopelo Instituto do Milênio - Avanço Global e Integrado da Matemática Brasileira(IM-AGIMB).Bolsistas:Antonio Carlos Theodoro de C. AuffingerFábio Júlio da Silva Valentim
ConteúdoPrefácioiiiAgradecimentosiv1 Introdução1.1 Aspectos gerais . . . . . . . . . .1.2 Primeiras noções . . . . . . . . .1.3 Notações e definições . . . . . . .1.4 Projetividades e perspectividadesExercı́cios . . . . . . . . . . . . . . .2 Fundamentos2.1 Axiomas . . .2.2 O Teorema de2.3 Modelos . . .Exercı́cios . . . .113458.10101416173 O Princı́pio da dualidade3.1 O Princı́pio da dualidade . . . . . . . .3.2 Conjuntos quadrangulares e harmônicos3.3 O Teorema Fundamental . . . . . . . . .3.4 O Teorema de Pappus . . . . . . . . . .Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1919202325264 Projetividades4.1 Pontos invariantes . . . . . . .4.2 Projetividades parabólicas . . .4.3 Involuções . . . . . . . . . . . .4.4 Projetividades bi-dimensionais4.5 Colineações perspectivas . . . .4.6 Polaridades . . . . . . . . . . .28282930313335. . . . . .Desargues. . . . . . . . . . .v.
viCONTEÚDOExercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 Cônicas5.1 Aspectos históricos . . . .5.2 A definição de von Staudt5.3 A definição de Steiner . .5.4 Os teoremas de Brianchon5.5 A involução de DesarguesExercı́cios . . . . . . . . . . .e. . . . . . . . . .Pascal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3840404043454649Referências51Índice alfabético52Lista de Figuras54
Capı́tulo1IntroduçãoNeste capı́tulo procuramos motivar o estudo da geometria projetiva, dandoênfase a alguns aspectos históricos relevantes. Fixamos a notação a ser utilizadano texto e introduzimos as noções fundamentais de projetividade e perspectividade.1.1Aspectos geraisA história da geometria projetiva começa na Itália do século XV, junto como Renascimento. Os artistas, buscando mais realismo para suas obras, introduziram os conceitos de ponto de fuga e perspectividade. Porém, demorou cerca dedois séculos para que essas idéias pudessem ser formuladas matematicamente.Foi apenas em 1639, com o célebre e pioneiro trabalho sobre a teoria geométricadas cônicas, o Broullion Projet, que Girard Desargues (1591-1661) formalizouesses conceitos. Contudo, talvez pela própria maneira como tinham sido escritos, em uma linguagem um tanto peculiar, o trabalho e as idéias de Desarguesnão foram bem aceitos na época. Somente no inı́cio do século XIX, Jean VictorPoncelet (1788-1867) pôde resgatá-los.Poncelet, aluno da École Polytechnique e da Academia Militar de Metz, foipreso durante a campanha napoleônica contra a Rússia e nos dois anos que passou na prisão, sem livros, desenvolveu idéias que revolucionariam a geometriada época. Seus trabalhos, encabeçados pelo clássico Traité des Propriétés Projectives des Figures de 1822, deram-lhe o mérito de ser conhecido como o paida geometria projetiva.Após Poncelet, outros grandes nomes surgiram na geometria projetiva, comoMichel Chasles (1798-1867), Jacob Steiner (1796-1863), Karl Christian e VonStaudt (1798-1867). Enfim, no final do século XIX, a geometria projetiva estavadefinitivamente solidificada.Mas, afinal, a geometria projetiva se preocupa com o quê exatamente? Émais fácil responder essa pergunta fazendo uma pequena analogia com a geo1
2CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃOmetria que conhecemos desde o primário, a euclidiana: Enquanto a geometriaeuclidiana se preocupa com o mundo em que vivemos, a geometria projetivalida com o mundo que vemos. Na prática, os trilhos de trem não são retas paralelas, mas retas que se encontram no horizonte, no infinito. Essa é uma dascaracterı́sticas marcantes da geometria projetiva, duas retas quaisquer semprese intersectam.Observaremos também que, ao contrário da geometria euclidiana, todo odesenvolvimento da geometria projetiva pode ser feito usando-se apenas umarégua não graduada. Daremos outro exemplo essa distinção entre a geometriaeuclidiana e a projetivaUma figura Σ em um plano α é dita uma projeção central de uma figuraΩ contida em outro plano β, se existe uma correspondência biunı́voca entre ospontos de Σ e os pontos de Ω, de modo que as retas ligando pontos correspondentes são concorrentes em um mesmo ponto P do espaço, denominado ocentro da projeção. Observe que se os planos α e beta são paralelos então Σ e Ωserão figuras semelhantes. No caso de β e α não paralelos, considere α0 o planoparalelo a α passando por P e a reta r como a intersecção dos planos β comα0 . Assim, r tem sua imagem no infinito, visto que para todo ponto X sobrer a reta P X é paralela a α, não possuindo dessa forma uma imagem ordinária.Percebe-se que retas concorrentes em pontos não incidentes a r são projetadasem retas concorrentes. E as retas que são concorrentes em pontos sobre r, estasterão como imagem um par de retas paralelas. Olhemos agora para a imagemde vários cı́rculos sobre β. Um cı́rculo que não toca a reta r terá imagem umaelipse, cı́rculos em que a reta r é tangente terão imagem uma parábola e porúltimo, cı́rculos em que a reta r é secante terão imagem uma hipérbole, comose observa na figura 1.1. Estaremos estudando essencialmente as figuras invariantes por este tipo de projeção, ressaltando que no nosso plano não haverádistinção entre parábolas, elipses e hipérboles. Existem outros indı́cios que noslevam ao estudo da geometria projetiva. Figura 1.1: Projeção central
1.2. PRIMEIRAS NOÇÕES1.23Primeiras noçõesDe fato, a existência de teoremas básicos com enunciados ‘retalhados’ nageometria euclidiano nos sugere que a geometria desenvolvida por Euclides nãoé de natureza apropriada para certos resultados. Por exemplo, um enunciadocuidadoso do Teorema de Pascal na geometria euclidiana seria:Teorema 1.2.1. Seja ABCDEF um hexágono inscrito sobre uma cônica entãovale uma das três afirmações:(i) Se AB é paralelo a DE e BC é paralelo a EF tem-se AF paralelo a CD(ii) Se existem P e Q pontos tais que P AB · DE e Q BC · EF e, alémdisso, AF é paralelo a CD, então P Q é paralelo a AF(iii) Se existem P , Q e R pontos, P e Q como acima, e R AF · CD entãoP , Q e R são colineares.Essencialmente, uma e apenas uma das três condições acimas ocorre. Repareque as diversas possibilidade de que os lados opostos do hexágono no Teoremade Pascal sejam paralelos aumenta, de fato, o números de casos a analisarmos.O próprio Pascal contornou este obstáculo enunciando-o engenhosamente emseu trabalho Essay pour les coniques (1640) conforme abaixo:Teorema 1.2.2. Se no plano M SQ, são traçadas duas retas M K e M V apartir de M , duas retas SK e SV a partir de S e se um cı́rculo por K e Vintersecta as quatro retas M V , M K, SV , SK em pontos distintos O, P , Q eN , respectivamente, então as três retas M S, N O e P Q são concorrentes.Através desses e de outros indı́cios, surge a idéia de realizarmos uma novageometria. Uma geometria sem retas paralelas, onde poderı́amos encontrar umamelhor acomodação para resultados como o Teorema de Pascal. Mas comodesenvolvê-la? Uma primeira tentativa seria a de estendermos o plano euclidianoda seguinte forma:Considere a relação entre as retas de um plano euclidiano α tal que, se le r são retas do plano α, l r l é paralela a r. Claramente, é uma relaçãode equivalência, ou seja, é reflexiva, simétrica e transitiva. Portanto, podemosconsiderar o conjunto quociente α / das classes de equivalência [x], onde x éuma reta de α. Assim, [l], por exemplo, representa o conjunto de todas as retasdo plano α que são paralelas à reta l, chamado um feixe de paralelas de α.Assim, a partir desta relação, podemos associar a cada classe [x] um pontoX chamado ponto ideal , tal que, se r, s pertencem a [x] então r · s X.Com certeza, neste momento, duas retas quaisquer no nosso plano sempre seintersectam (em um ponto ideal, ou em um ponto ordinário). Porém, dadosdois pontos ideais seria conveniente ter um reta incidente a ambos. Para isto,consideramos uma nova reta em nosso plano, a reta no infinito, aquela quecontém todos os pontos ideais. Veremos no próximo capı́tulo, que este nossoplano, assim obtido, satisfaz a todos axiomas da geometria projetiva plana eportanto é um modelo de plano projetivo
4CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃOVoltemos agora ao Teorema de Pascal. Em nosso plano euclidiano estendido,seu enunciado seria extremamente mais simples:Teorema 1.2.3. Os lados opostos de um hexágono inscrito em uma cônicaintersectam-se em pontos colineares.Cabe ressaltar, neste momento, que a geometria a ser desenvolvida pelo conjunto de axiomas propostos no capı́tulo 2 não é categórica, ou seja, existemmodelos não isomorfos onde todos os axiomas (e portanto todas as proposições)são válidos. Na verdade, verificaremos que existem modelos finitos para a geometria projetiva, modelos onde cada reta possui um número finito n de pontose por cada ponto passam exatamente n retas. Outra observação interessante aser feita para o leitor é que não se deve tratar com diferença os pontos ideais eordinários (além da nomenclatura), nem a reta do infinito e as outras retas doplano afim. No final do capı́tulo seguinte, teremos uma visão mais clara dessaúltima afirmação.1.3Notações e definiçõesÉ conveniente olharmos retas e pontos como entes geométricos distintos ligados apenas por uma relação, a de incidência. Quando um ponto é incidente comuma reta, ou vice versa, diremos que o primeiro está sobre (ou passa pelo) segundo. Da mesma forma, relacionaremos retas com planos e pontos com planos.Neste texto, usaremos letras maiúsculas para pontos, minúsculas para retas eletras gregas para planos. Quando as retas l e m passarem pelo ponto P , usaremos o sı́mbolo P l · m e diremos que l e m se intersectam em P , ou queP é ponto comum a elas. Quando os pontos Q e R estiverem sobre a reta n,usaremos a notação n QR e diremos que n é a reta que liga Q e R ou que ospontos Q e R estão sobre n. Analogamente, se α é um plano que passa pelasretas l e m, não são incidentes a P , escrevemosα lm ml lP P lRepare a importância do ‘ponto’ na notação; enquanto lm representa um plano,l ·m denota um ponto. Com a notação fixada, estabeleceremos agora os alicercespara as nossas definições, os conceitos primitivos.Em qualquer idioma, qualquer definição de uma palavra, com certeza, necessita de outras palavras, que, por sua vez, precisam de definições. Chegamos,facilmente, a um cı́rculo vicioso, que ilustra a necessidade de estabelecermospalavras, de preferência as mais simples e claras, que ficarão obviamente semdefinição. Num sistema formal, essas palavras, as geradoras de todas as outras,são chamadas de conceitos primitivos.Para a geometria projetiva realizada neste texto, adotaremos o ponto, a retae a relação de incidência como conceitos primitivos. Portanto, como plano nãoé um termo indefinido somos obrigados a enunciar:
1.4. PROJETIVIDADES E PERSPECTIVIDADES5Definição 1.3.1. Dados um ponto P e uma reta l não incidentes definimos oplano P l como sendo o conjunto de todos os pontos que estão sobre retas queunem P a pontos de l e todas as retas que são união de pares de pontos assimconstruı́dos.1.4Projetividades e perspectividadesDados uma reta l e um ponto P quaisquer chamaremos, respectivamente, defileira de pontos e feixe de retas, todos os pontos incidentes a l e todas as retaspassando por P . Assim, fica claro que a intersecção de um feixe de retas porP com uma reta r não incidente a este ponto é a fileira de pontos sobre r. Aofazermos esta intersecção, estamos estabelecendo uma relação biunı́voca entreos elementos dos feixes baseada na relação de incidência. Dizemos então que afileira de pontos é uma secção do feixe de retas e o feixe de retas projeta o feixede pontos. Como notação para esta correspondência elementar escrevemosABC . . . Z abc . . . ,onde A,B,C,. . . são pontos do feixe e a, b, c,. . . as retas correspondentes. A figura1.2 mostram uma correspondência elementar entre o feixe de pontos da reta ocom o feixe de retas do ponto O. Chamamos de projetividade uma combinação Figura 1.2: Correspondência elementarfinita de correspondências elementares. Assim, uma projetividade relaciona feixede pontos (ou retas) com feixe de retas (ou pontos). Usaremos a mesma notaçãoda correspondência elementar, ou seja, olhando a figura 1.3 abaixo temos,X Z x Z X1 Z x1 Z X2 Z . . . Z Xn Z xnou simplesmente,X Z xn
6CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃOoux Z xn ,x Z Xn ,X Z XnUm tipo de projetividade será tratado de uma maneira mais cuidadosa, por ser Figura 1.3: Seqüencia de correspondências elementaresde extrema importância.O produto de duas correspondências elementares é chamado de perspectividade e é indicado pelo sı́mbolo [. Portanto, uma perspectividade relaciona duasfileiras de pontos ou dois feixes de retas. Assim, dizemos:Duas fileiras de pontos estão relacionadas por uma perspectividadede centro O se são secções do feixe deretas por O (todas as retas incidentes a O) por duas retas distintas o eo1 , isto é, se as retas XX1 de pontoscorrespondentes passam todas peloponto O. Em sı́mbolos:Dois feixes de retas estão relacionados por uma perspectividade deeixo o se eles projetam o feixe depontos em o (todos os pontos incidentes a o) por dois pontos distintosO e O1 . Isto é, se as intersecções x·x1de retas correspondentes estão sobrea reta o. Em sı́mbolos:OX [ X1oou X [ X1x [ x1ou x [ x1Na figura abaixo, nós temos as perspectividadesOABC [ A0 B 0 C 0 ,oabc [ a0 b0 c0que podem ser vistas como o produto das correspondências elementaresABC Z abc Z A0 B 0 C 0 ,abc Z A0 B 0 C 0 Z a0 b0 c0Agora, vamos proceder uma construção que será muito útil nos próximoscapı́tulos. Dados três pontos distintos A, B e C em uma reta e três pontosdistintos A00 , B 00 , C 00 em outra reta, podemos estabelecer duas perspectividadescujo produto satisfaz:ABC Z A00 B 00 C 00
1.4. PROJETIVIDADES E PERSPECTIVIDADES Figura 1.4: Perspectividades 7 Figura 1.5: ABC Z A00 B 00 C 0De fato, tomando os pontos B 0 AB 00 ·BA00 , C 0 AC 00 ·CA00 e A0 AA00 ·B 0 C 0conforme a figura 1.5 abaixo, temos:A00AABC [ A0 B 0 C 0 [ A00 B 00 C 00Se trocarmos pontos por retas na construção acima, obteremos uma construçãoanáloga para a projetividade abc Z a00 b00 c00 onde a, b e c são retas concorrenteseu um ponto e a00 , b00 e c00 são retas concorrentes em outro ponto.Teorema 1.4.1. A projetividade ABCD Z BADC existe para quaisquer pontosdistintos A, B, C, D de uma reta.Demonstração. Para mostrar tal fato, vamos elaborar a seguinte construção,conforme a Figura 1.6. Por um ponto S não incidente com l AB projeteABCD em A0 B 0 C 0 D0 sobre uma reta l0 6 l incidente a A. De D projete
8CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO Figura 1.6A0 B 0 C 0 D0 na reta SB. Os últimos 4 pontos obtidos serão projetados em BADCpor C 0 , ou seja,S000D000C0ABCD [ AB C D [ BB C S [ BADCExercı́cios1. Se α P l e Q, m pertencem a α com Q não incidente a m, então α Qm.2. Obtenha uma definição para plano a partir de duas retas concorrentes.3. Dados A, B, C sobre uma reta r e A0 , B 0 , C 0 sobre r0 , todos distintos.Estabeleça duas perspectividades de forma a ter ABC Z B 0 A0 C 0 .4. Dados a, b, c retas concorrentes em O e a0 , b0 , b0 concorrentes em O0 , todasdistintas. Estabeleça duas perspectividades de forma a ter abc Z b0 a0 c0 .5. De um exemplo de uma projetividade ABC Z A0 B 0 C 0 , onde A, B, C, A0 , B 0e C 0 são pontos colineares e distintos, que possa ser expressa como produtode duas perspectividades.6. Dados A, B, C pontos colineares e a, b, c retas concorrentes. Estabeleçapor meio de cinco perspectividades de forma a ter ABC Z abc.7. Estabeleça por meio de três perspectividades uma projetividade que tenhao efeito ABCD ZDCBA, onde A, B, C, D são pontos colineares e distintos.
1.4. PROJETIVIDADES E PERSPECTIVIDADESp98. Considere uma perspectividade abc [ a0 b0 c0 , onde a, b, c e a0 , b0 , c0 sãoretas distintas de feixes distintos. Sobre p considere o ponto S, distinto deA p · a, B p · b, C p · c e a reta s, distinta de p e não pertencente anenhum dos feixes acima. Considere os pontos A0 s·a, B 0 s·b, C 0 s·c,A00 s · a0 , B 00 s · b0 e C 00 s · c0 . Mostre que A0 B 0 C 0 Z A00 B 00 C 00 .
Capı́tulo2FundamentosTodo sistema formal necessita de conceitos primitivos e de fatos
De fato, a existˆencia de teoremas b asicos com enunciados ‘retalhados’ na geometria euclidiano nos sugere que a geometria desenvolvida por Euclides n ao e de natureza apropriada para certos resultados. Por exemplo, um enunciado cuidadoso do Teorema de Pascal na ge
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2 Bibliografía Curso de geometría métrica. tomo 1 y 2. Fundamentos PUIG ADAM, P., Euler ed. 16ª ed., Madrid, 1986. Geometría. Curso superior.
physiquement un additif alimentaire sans modifier sa fonction technologique (et sans avoir elles-mêmes de rôle technologique) afin de faciliter son maniement, son application ou son utilisation . Exemples . Conclusion Les additifs alimentaires sont présents partout dans notre alimentation . Attention à ne pas minimiser leurs impacts sur la santé . Title: Les Additifs Alimentaires Author .
