Geometría De La Música - Andrés Villaveces
Geometría de la músicaUn camino por las superficies tonalesAndrés VillavecesDepartamento de Matemáticas - Universidad Nacional - Bogotá23 Encuentro de geometríaUniversidad Pedagógica NacionalBogotá - 22 de Junio de 2017
Contenido1 ¿Matemática de la música?Algunos caminos en falso¿Geometría de los acordes musicales?La hipótesis de Tymoczko2 Álgebra de la música - transformacionesEspacio tonal linealGrupos en música: T /I , PLR, dualidades estructuralesT /I , PLR y dualidades estructurales en música3 Geometría de la música - superficies tonalesGrupos neo-Riemannianos, y su acción sobre torosEspacio tonal
Música, mente, cuerpo, matemática.La música es el placer que experimenta la mentehumana al contar sin darse cuenta de que estácontando.Gottfried LeibnizLa ventaja principal de la música sobre la matemáticaes la conexión física de nuestro cuerpo con el sonido deuna composición.Marcus Du Sautoy
Música, mente, cuerpo, matemática.Música CuerpollMatemática Mente
¿Matemática para la música?Pregunta (ingenua): Aunque la matemática está presente en Ondas sonoras Tecnología para grabar CDs o archivos digitales Tecnologías de compresión a mp3, &c. .¿existe una “ecuación” matemática que describa una piezamusical?¿existe una “ecuación” matemática que prediga lacontinuación, el desenlace, de una pieza musical?Claramente, .¡¡¡NO!!!
¿Matemática para la música?Pregunta (ingenua): Aunque la matemática está presente en Ondas sonoras Tecnología para grabar CDs o archivos digitales Tecnologías de compresión a mp3, &c. .¿existe una “ecuación” matemática que describa una piezamusical?¿existe una “ecuación” matemática que prediga lacontinuación, el desenlace, de una pieza musical?Claramente, .¡¡¡NO!!!
¿Matemática para la música?Pregunta (ingenua): Aunque la matemática está presente en Ondas sonoras Tecnología para grabar CDs o archivos digitales Tecnologías de compresión a mp3, &c. .¿existe una “ecuación” matemática que describa una piezamusical?¿existe una “ecuación” matemática que prediga lacontinuación, el desenlace, de una pieza musical?Claramente, .¡¡¡NO!!!
Estructura matemáticaNo nos interesa directamente extraer ecuaciones que “predigan” odescriban piezan musicales.Nos interesa la estructura musical. “Estructura” es un tema pesado.Vale la pena el texto del lógico matemático Roman Kossak sobreEstructura Matemática, si le interesan aspectos filosóficos(fenomenológicos) sobre el tema.Aquí tendremos ejemplos de estructura matemática en música.
Estructura matemáticaNo nos interesa directamente extraer ecuaciones que “predigan” odescriban piezan musicales.Nos interesa la estructura musical. “Estructura” es un tema pesado.Vale la pena el texto del lógico matemático Roman Kossak sobreEstructura Matemática, si le interesan aspectos filosóficos(fenomenológicos) sobre el tema.Aquí tendremos ejemplos de estructura matemática en música.
Estructura matemáticaNo nos interesa directamente extraer ecuaciones que “predigan” odescriban piezan musicales.Nos interesa la estructura musical. “Estructura” es un tema pesado.Vale la pena el texto del lógico matemático Roman Kossak sobreEstructura Matemática, si le interesan aspectos filosóficos(fenomenológicos) sobre el tema.Aquí tendremos ejemplos de estructura matemática en música.
Énfasis contemporáneo en esta charlaAunque la historia de los lazos entre Música y Matemática es tanantigua como la historia de las culturas, hago énfasis en enfoquesrelativamente contemporáneos para preguntas antiguas.Pregunta ¿Qué hace que suene bien la música? ¿Cómo podemos visualizar la música - la evolución de las voces matemáticamente?ContextoTrabajos de autores recientes, basados en líneas abiertas por Riemann en el siglo XIX. Dmitri Tymoczko (Princeton) - A Geometry of Music - Oxford University Press- 2011 artículo en Science de 2007. Thomas Fiore (Michigan) - varios trabajos en topología y música. David Lewin, Guerino Mazzola, &c.
Énfasis contemporáneo en esta charlaAunque la historia de los lazos entre Música y Matemática es tanantigua como la historia de las culturas, hago énfasis en enfoquesrelativamente contemporáneos para preguntas antiguas.Pregunta ¿Qué hace que suene bien la música? ¿Cómo podemos visualizar la música - la evolución de las voces matemáticamente?ContextoTrabajos de autores recientes, basados en líneas abiertas por Riemann en el siglo XIX. Dmitri Tymoczko (Princeton) - A Geometry of Music - Oxford University Press- 2011 artículo en Science de 2007. Thomas Fiore (Michigan) - varios trabajos en topología y música. David Lewin, Guerino Mazzola, &c.
Énfasis contemporáneo en esta charlaAunque la historia de los lazos entre Música y Matemática es tanantigua como la historia de las culturas, hago énfasis en enfoquesrelativamente contemporáneos para preguntas antiguas.Pregunta ¿Qué hace que suene bien la música? ¿Cómo podemos visualizar la música - la evolución de las voces matemáticamente?ContextoTrabajos de autores recientes, basados en líneas abiertas por Riemann en el siglo XIX. Dmitri Tymoczko (Princeton) - A Geometry of Music - Oxford University Press- 2011 artículo en Science de 2007. Thomas Fiore (Michigan) - varios trabajos en topología y música. David Lewin, Guerino Mazzola, &c.
Objetos matemáticos y categoríasconceptualesLa teoría musical busca dar buenas herramientas para escuchar lamúsica y generar comunicación sobre lo que se escucha.Contexto (Ramificación en matemática y música) Sistemas numéricos. . . , 2, 1, 0, 1, 2, 3, . . . - notas del piano,niveles (“pitches”) Combinatoria - taxonomías, clasificaciones Teoría de grupos - Transformaciones entreclases de notas Topología de superficies - Representaciónde la dinámica musical.
Objetos matemáticos y categoríasconceptualesLa teoría musical busca dar buenas herramientas para escuchar lamúsica y generar comunicación sobre lo que se escucha.Contexto (Ramificación en matemática y música) Sistemas numéricos. . . , 2, 1, 0, 1, 2, 3, . . . - notas del piano,niveles (“pitches”) Combinatoria - taxonomías, clasificaciones Teoría de grupos - Transformaciones entreclases de notas Topología de superficies - Representaciónde la dinámica musical.
Objetos matemáticos y categoríasconceptualesLa teoría musical busca dar buenas herramientas para escuchar lamúsica y generar comunicación sobre lo que se escucha.Contexto (Ramificación en matemática y música) Sistemas numéricos. . . , 2, 1, 0, 1, 2, 3, . . . - notas del piano,niveles (“pitches”) Combinatoria - taxonomías, clasificaciones Teoría de grupos - Transformaciones entreclases de notas Topología de superficies - Representaciónde la dinámica musical.
Objetos matemáticos y categoríasconceptualesLa teoría musical busca dar buenas herramientas para escuchar lamúsica y generar comunicación sobre lo que se escucha.Contexto (Ramificación en matemática y música) Sistemas numéricos. . . , 2, 1, 0, 1, 2, 3, . . . - notas del piano,niveles (“pitches”) Combinatoria - taxonomías, clasificaciones Teoría de grupos - Transformaciones entreclases de notas Topología de superficies - Representaciónde la dinámica musical.
Hacia la geometría de acordes musicales(Tymoczko)No euclídea: ¿cuál?Acorde Punto en un orbifoldProgresión de acordes Geodésica en el orbifoldConducción de voces Camino a trozos?Camino generalizado (homotopía)Los caminos CORTOS (¿en qué sentido “cortos”) corresponden a loque han preferido compositores (eficiencia) en muchos estilosmusicales.
Hacia la geometría de acordes musicales(Tymoczko)No euclídea: ¿cuál?Acorde Punto en un orbifoldProgresión de acordes Geodésica en el orbifoldConducción de voces Camino a trozos?Camino generalizado (homotopía)Los caminos CORTOS (¿en qué sentido “cortos”) corresponden a loque han preferido compositores (eficiencia) en muchos estilosmusicales.
Criterios métricos¿Cuándo existen esos caminos cortos, esas “geodésicas musicales”?Idea clave: SIMETRÍA de los acordesbajo traslación (“transposición”) reflexión (“inversión”) permutación
Criterios métricos¿Cuándo existen esos caminos cortos, esas “geodésicas musicales”?Idea clave: SIMETRÍA de los acordesbajo traslación (“transposición”) reflexión (“inversión”) permutación
Las dos columnas - y la tensiónCONSonancia y DISonancia corresponden a distintos tipos decuasi-simetría.La música en “occidente” está en la confluencia de dos nociones entensión:ARMONÍAharmottonacordes aceptablesverticalsucesión de acordesCONTRAPUNTOcontra-punctusconducción de voceshorizontalconectar lo horizontal (voces)de manera eficaz, independiente, separable
Las dos columnas - y la tensiónCONSonancia y DISonancia corresponden a distintos tipos decuasi-simetría.La música en “occidente” está en la confluencia de dos nociones entensión:ARMONÍAharmottonacordes aceptablesverticalsucesión de acordesCONTRAPUNTOcontra-punctusconducción de voceshorizontalconectar lo horizontal (voces)de manera eficaz, independiente, separable
¿Cómo se articulan hARM y CONTRPct?Algo de historia brevísima: Círculo de quintas (barroco): conducción de voces eficaz en 12escalas mayores. Euler: Tonnetz (red tonal) - cond. de voces eficaz en 24 tríadasmayores y menores.
Otra visión del Tonnetz de Euler(En realidad, dual geométrico)
La hipótesis de Tymoczko “meta-tonalidad”Aún así, falta una teoría de CUÁNDO y POR QUÉ es posible laconducción eficaz de voces.Los siguientes cinco rasgos están en lamayoría de géneros musicales,occidentales o no, pasados y presentes:1 Movimiento melódico conjunto2 Consonancia acústica3 Consistencia armónica4 Macroarmonía limitada5 CentricidadDmitri Tymoczko - Profesor decomposición y teoría musical enla Universidad de Princeton.
La hipótesis de Tymoczko “meta-tonalidad”Aún así, falta una teoría de CUÁNDO y POR QUÉ es posible laconducción eficaz de voces.Los siguientes cinco rasgos están en lamayoría de géneros musicales,occidentales o no, pasados y presentes:1 Movimiento melódico conjunto2 Consonancia acústica3 Consistencia armónica4 Macroarmonía limitada5 CentricidadDmitri Tymoczko - Profesor decomposición y teoría musical enla Universidad de Princeton.
Tymoczko 51Movimiento melódico conjunto - las melodías tienden amoverse distancias cortas de nota a nota2Consonancia acústica - se prefieren en general armoníasconsonantes a armonías disonantes, y suelen ser usadas enpuntos estables3Consistencia armónica - las armonías en un pasaje musical,tienden a ser estructuralmente similares entre sí4Macroarmonía limitada - la música tonal suele usarmacroarmonías relativamente pequeñas (5 a 8 notas)5Centricidad - en lapsos de tiempo moderados una nota sueleser prominente - y sirve como objetivo emocional musical
Sistemas numéricos y tecladoEl teclado del piano (y la notaciónmusical “usual” correspondiente)a DO-RE-MI-FA-SOL-LA-SI-DO-.(C-D-E-F-G-A-B-C-.) se puedenmodelar de manera natural sobrelos enterosZ {. . . , 3, 2, 1, 0, 1, 2, . . . }o incluso sobre los reales R,llevando las cosas al extremo. Elorden natural de Z, Q, R, . . . escrucial aquí.
Espacio tonal linealSonido: pequeñas fluctuaciones en la presión del aire.Si el período es t, la frecuenciafundamental es 1/t R. Si un músicono tiene oído absoluto, la melodía(f , g, h, . . . ) puede ser cantada en otromomento (αf , αg, αh, . . . ) donde α esun real cercano a 1.¡razones, no valores absolutos!Conveniente: tomar logaritmos(log(xy) log(x) log(y))para “convertir productos en sumas”.
Espacio tonal lineal (II)Renombramos los tonos:p c1 c2 log2 (f /440).Lo importante es que ahora la transposición de las notas es de(p, q, r, . . . ) a (p x, q x, r x, . . . ). La distancia entre tonosahora es p q en lugar de f /g.Contexto (El más usual)Si tomamos c1 69 y c2 12 obtenemos los tonos de las notas delteclado en los enteros: DO central es 60, LA es 69.
Espacio tonal lineal (III)En este contexto, las notas usuales son números enteros, peroperfectamente podemos ubicar notas en cualquier número realintermedio: DO4 es 60, DO]4 es 61 . pero podemos pensar en lanota 60, 33 por ejemplo.
Aritmética modularEl espacio de tonos circular seconstruye “dividiendo” el espacio detonos lineal por la relación deequivalencia “ser equivalentemod 12”
Transposición/traslación Inversión/reflexiónLo que los músicos llaman transposiciones se llama “traslación” enmatemáticas. La transposición por 2 T2 es una funciónT2 : Z/12 Z/12x 7 x 2( mod 12).Así, T2 (0) 2 · · · T2 (6) 8 · · · T2 (10) 0, T2 (11) 1.Otra función importante es la inversión I0 : Z/12 Z/12 dada porI0 (x) x( mod 12). Así: I0 (3) 9, I0 (9) 3, I0 (6) 6. Note queI0 I0 T0 .
Transposición/traslación Inversión/reflexiónLo que los músicos llaman transposiciones se llama “traslación” enmatemáticas. La transposición por 2 T2 es una funciónT2 : Z/12 Z/12x 7 x 2( mod 12).Así, T2 (0) 2 · · · T2 (6) 8 · · · T2 (10) 0, T2 (11) 1.Otra función importante es la inversión I0 : Z/12 Z/12 dada porI0 (x) x( mod 12). Así: I0 (3) 9, I0 (9) 3, I0 (6) 6. Note queI0 I0 T0 .
Transposición - InversiónEn general, la transposición por n (n un entero mod 12) es lafunciónTn : Z/12 Z/12 : x 7 x n mod 12y la inversión n esIn : Z/12 Z/12 : x 7 x n mod 12.Así, por ejemploI7 (3) 3 7 4 mod 12, I5 (8) 8 5 3 9 mod 12.In gráficamente es la reflexión de R alrededor de n2 .
Transposición - InversiónEn general, la transposición por n (n un entero mod 12) es lafunciónTn : Z/12 Z/12 : x 7 x n mod 12y la inversión n esIn : Z/12 Z/12 : x 7 x n mod 12.Así, por ejemploI7 (3) 3 7 4 mod 12, I5 (8) 8 5 3 9 mod 12.In gráficamente es la reflexión de R alrededor de n2 .
Transposición - InversiónEn general, la transposición por n (n un entero mod 12) es lafunciónTn : Z/12 Z/12 : x 7 x n mod 12y la inversión n esIn : Z/12 Z/12 : x 7 x n mod 12.Así, por ejemploI7 (3) 3 7 4 mod 12, I5 (8) 8 5 3 9 mod 12.In gráficamente es la reflexión de R alrededor de n2 .
TransposicionesTransposiciones en espaciotonal lineal, en espaciotonal circular y en notaciónmusical “clásica”.
InversionesInversiones en espacio tonal lineal, circular y ennotación musical “clásica”.
Transponer/Invertir acordes o melodíasCon esta notación, los acordes (llamados “pcsets” en teoría musical)o las melodías (“pcsegs” en t. mus.) se pueden transponer e invertir:Con la convención DO 0, DO] 1, . . . , SI 11, el acorde de DOmayor (DO-MI-SOL) es {0, 4, 7} y si aplicamos T7 lo transponemos aSOL mayor (SOL-SI-RE):T7 {0, 4, 7} {T7 (0), T7 (4), T7 (7)} {0 7, 4 7, 7 7} {7, 11, 2}.I0 h0, 0, 4, 4, 7, 7, 4, 5, 5, 2, 2, 11, 11, 7i h0, 0, 8, 8, 5, 5, 8, 7, 7, 10, 10, 1, 1, 5i(Tema de la Sinfonía Sorpresa de Haydn. Ejemplos de Thomas Fiore.)
Transponer/Invertir acordes o melodíasCon esta notación, los acordes (llamados “pcsets” en teoría musical)o las melodías (“pcsegs” en t. mus.) se pueden transponer e invertir:Con la convención DO 0, DO] 1, . . . , SI 11, el acorde de DOmayor (DO-MI-SOL) es {0, 4, 7} y si aplicamos T7 lo transponemos aSOL mayor (SOL-SI-RE):T7 {0, 4, 7} {T7 (0), T7 (4), T7 (7)} {0 7, 4 7, 7 7} {7, 11, 2}.I0 h0, 0, 4, 4, 7, 7, 4, 5, 5, 2, 2, 11, 11, 7i h0, 0, 8, 8, 5, 5, 8, 7, 7, 10, 10, 1, 1, 5i(Tema de la Sinfonía Sorpresa de Haydn. Ejemplos de Thomas Fiore.)
Transponer/Invertir acordes o melodíasCon esta notación, los acordes (llamados “pcsets” en teoría musical)o las melodías (“pcsegs” en t. mus.) se pueden transponer e invertir:Con la convención DO 0, DO] 1, . . . , SI 11, el acorde de DOmayor (DO-MI-SOL) es {0, 4, 7} y si aplicamos T7 lo transponemos aSOL mayor (SOL-SI-RE):T7 {0, 4, 7} {T7 (0), T7 (4), T7 (7)} {0 7, 4 7, 7 7} {7, 11, 2}.I0 h0, 0, 4, 4, 7, 7, 4, 5, 5, 2, 2, 11, 11, 7i h0, 0, 8, 8, 5, 5, 8, 7, 7, 10, 10, 1, 1, 5i(Tema de la Sinfonía Sorpresa de Haydn. Ejemplos de Thomas Fiore.)
Más transformaciones: OPTICEn teoría musical, dos objetos pertenecen a la misma clase (set class)si están relacionados por alguna de las cinco simetrías “OPTIC”(cambio de octava (O), permutación (P), transposición (T), inversión(I), cambio de cardinal ersiónCardinalAcciónMover cualquier nota a otra octava.Reordenar el objeto, cambio de voces.Transponer todo el objeto.Invertir el objeto completo.Agregar una voz duplicante de una nota.
Transformaciones OPTIC
Grupos musicalesEn teoría musical, los grupos son objetos matemáticos cruciales: losteóricos musicales usan los grupos como categorías conceptualespara hacer más tangible la estructura de la música.¿Cómo interactúan las transposiciones y las inversiones?Forman un grupo, llamado el “grupo T /I ”. Otro grupo, esencialmenteinventado por Hugo Riemann en el siglo XIX, el grupo PLR oneo-Riemanniano ayuda a entender muchas obras musicales.
Grupos musicalesEn teoría musical, los grupos son objetos matemáticos cruciales: losteóricos musicales usan los grupos como categorías conceptualespara hacer más tangible la estructura de la música.¿Cómo interactúan las transposiciones y las inversiones?Forman un grupo, llamado el “grupo T /I ”. Otro grupo, esencialmenteinventado por Hugo Riemann en el siglo XIX, el grupo PLR oneo-Riemanniano ayuda a entender muchas obras musicales.
El grupo T /ISea S el conjunto de todas las formas transpuestas e invertidas delacorde de DO mayor h0, 4, 7i - formas primas y formas invertidas.Formas primasC h0, 4, 7iC] D[ h1, 5, 8iD h2, 6, 9iD] E[ h3, 7, 10iE h4, 8, 11iF h5, 9, 0iF] G[ h6, 10, 1iG h7, 11, 2iG] A[ h8, 0, 3iA h9, 1, 4iA] B[ h10, 2, 5iB h11, 3, 6iFormas invertidash0, 8, 5i fh1, 9, 6i f ] g[h2, 10, 7i gh3, 11, 8i g] a[h4, 0, 9i ah5, 1, 10i a] b[h6, 2, 11i bh7, 3, 0i ch8, 4, 1i c] d[h9, 5, 2i dh10, 6, 3i d] e[h11, 7, 4i e
El grupo T /ILo anterior en música corresponde a los 24 acordes mayores ymenores. Las transposiciones e inversiones inducen funcionesTn : S S e In : S S para n 0, . . . , 11, aplicando la función acada entrada del pcseg correspondiente.El grupo T /I consta de las 24 funciones T0 , . . . , T11 , I0 , . . . , I11 .
El grupo T /ILo anterior en música corresponde a los 24 acordes mayores ymenores. Las transposiciones e inversiones inducen funcionesTn : S S e In : S S para n 0, . . . , 11, aplicando la función acada entrada del pcseg correspondiente.El grupo T /I consta de las 24 funciones T0 , . . . , T11 , I0 , . . . , I11 .
El grupo T /ILa composición en T /I obedece:Tm Tn Tm nTm In Im nIm Tn Im nIm In Tm ny corresponde (es isomorfo) a lo que en matemática se llama elgrupo diedro de orden 24.
Otro grupo musical: el PLRÉste (con menos detalles) es un grupo de funciones S S comoantes - “generado” por tres transformaciones musicales básicas P, L yR: Ph0, 4, 7i h7, 3, 0i: intercambia primera y tercera nota, y cambio el tipo deacorde (de primo a invertido). L es como P, pero intercambiando segunda y tercera nota:Lh0, 4, 7i h11, 7, 4i. R es como P, pero intercambiando primera y segunda nota:Rh0, 4, 7i h4, 0, 9i.Al componer estas funciones obtenemos objetos L R, R R, &c.En música, P lleva un acorde a su paralelo mayor o menor; convierteDO mayor en do menor y viceversa. L intercambia dominante:convierte DO mayor en mi menor, por ejemplo. R convierte unacorde en su relativo mayor o menor; convierte DO mayor en lamenor, o la menor en DO mayor, por ejemplo.
Otro grupo musical: el PLRÉste (con menos detalles) es un grupo de funciones S S comoantes - “generado” por tres transformaciones musicales básicas P, L yR: Ph0, 4, 7i h7, 3, 0i: intercambia primera y tercera nota, y cambio el tipo deacorde (de primo a invertido). L es como P, pero intercambiando segunda y tercera nota:Lh0, 4, 7i
1 ¿Matemática de la música? Algunos caminos en falso ¿Geometría de los acordes musicales? La hipótesis de Tymoczko 2 Álgebra de la música - transformaciones Espacio tonal lineal Grupos en música: T I, PLR, dualidades estructurales T I, PLR y dualidades estructurales en música 3 Geometría de la música - super cies tonales
de los expositores (ASV) r apidamente ech o mano de la monograf a ( aun inconclusa!) Panoramas de la Teor a de grupos de Lie aplicada a las ecuaciones diferenciales de la geometr a y de la f sica, que hab a estado preparando desde hace algun tiempo con uno de los otros dos autores (RBZ). De hecho, a base de una
Geometr a Anal tica I Tarea I 1.Demuestra las siguientes identidades trigonom etricas: a)sen2 2 1 cos 2 b)cos2 2
Geometr a Anal tica I Tarea I 1.Demuestra las siguientes identidades trigonom etricas: a)sen2 2 1 cos 2 b)cos2 2
The geometr y of the sphere and the plane are familia r; hyp erb olic ge-ometr y is the geometry of the third case. Hyp erb olic space has man y interesting featur es; some are simila r to tho se of Euclidean geometr y but some are quite di!eren t. In pa rtic-ular it ha s a very rich group of isometries, allo wing a huge variet y of
akuntansi musyarakah (sak no 106) Ayat tentang Musyarakah (Q.S. 39; 29) لًََّز ãَ åِاَ óِ îَخظَْ ó Þَْ ë Þٍجُزَِ ß ا äًَّ àَط لًَّجُرَ íَ åَ îظُِ Ûاَش
Collectively make tawbah to Allāh S so that you may acquire falāḥ [of this world and the Hereafter]. (24:31) The one who repents also becomes the beloved of Allāh S, Âَْ Èِﺑاﻮَّﺘﻟاَّﺐُّ ßُِ çﻪَّٰﻠﻟانَّاِ Verily, Allāh S loves those who are most repenting. (2:22
Usando el teorema de Pit agoras tendremos 602 a2 b 2, de donde b 602 45 ′96 38 57. Por tanto el bote ha recorrido 45′96 millas hacia el Norte y 38′57 hacia el Este. (b) Encontrar la altura de un arbol si se sabe que el angulo de elevaci on disminuye desde 45o hasta 30o cuando nos alejamos 10 metros. Vemos en la .
para Ciencias e Ingenierías” los estudiantes sean capaces de: Definir y utilizar distintos sistemas de coordenadas. Hallar y estudiar lugares geométricos. Calcular ángulos, distancias y proyecciones en el plano y en el espacio
