Mécanique Du Point - Unitheque

HENRY.book Page 7 Mercredi, 19. février 2014 2:35 141.2 Repères7Encart 1.1 Définition d’un angleSoit un cercle de rayon R, de centre O et un angle α de sommet Oexprimé en radian. La mesure s de la longueur de l’arc de cercleintercepté par cet angle est donnée par : s Rα. L’angle α apparaîtcomme le rapport de 2 longueurs et est donc sans dimension.Mesure s de l’arc de cercle :s RαRα α sRsOFigure 1.6 Définition d’un angle exprimé en radian. Pour exprimer le vecteur position OM il est commode d’intro-duire une nouvelle base orthonormée directe ( u ρ, u θ ) naturellement associée à ce système de coordonnées et définie de la façonsuivante (voir figure 1.5) : u ρ est le vecteur unitaire suivant la direction et le sens de O vers M.c’est le vecteur radial (suivant le rayon) ; u θ est le vecteur unitaire perpendiculaire au vecteur u ρ . Il estπobtenu en effectuant une rotation d’un angle de --- à partir du vecteur2u ρ . C’est le vecteur orthoradial (perpendiculaire au rayon).Le vecteur position s’écrit alors :OM OM u ρ ρ u ρ(1.2)(ρ,θ) sont les coordonnées polaires du point M mais ne correspondent pas auxcomposantes du vecteur position OM (contrairement à ce qu’on obtient en coordonnées cartésiennes). Les composantes de ce vecteur position sont (ρ,0) : il n’y a pas decomposante suivant u θ mais uniquement une composante ρ suivant u ρ .

HENRY.book Page 8 Mercredi, 19. février 2014 2:35 148Chapitre 1 Cinématique du pointEncart 1.2 Le produit scalaire Le produit scalaire est une opération entre deux vecteurs :Le résultat est un scalaire :a b b cos ( a , b ) abcosαaavec α l’angle que fait le vecteur b avec le vecteur a .Si le vecteur b est unitaire ( b 1 ) alors le produit scalairereprésente la projection du vecteur a sur la direction de b . Vyb uyαO VβθOa VxuxFigure encart : Produit scalaire et projection d’un vecteur. Projection d’un vecteursur la direction u x (vecteurVunitaire) :V ux V Projection d’un vecteuru x cosθ Vcosθ V xsur la direction u y (vecteurVunitaire) :V uy Vπu y cosβ Vcos --- – θ Vsinθ V y 2 Expression du produit scalaire en fonction des composantes :a b ( xa u x ya u y za u z ) ( xb u x yb u y zb u z )a b xa xb ya yb za zb Produit scalaire et norme :a a a2 a22222 a xa ya zaa bab Angle entre deux vecteurs : cosα ------------ Propriétés : a b 0 si a est perpendiculaire à b

HENRY.book Page 9 Mercredi, 19. février 2014 2:35 141.2 Repères9e) Liens entre les systèmes de coordonnées polaires etcartésiennes Avec les notations de la figure 1.5 (a) nous pouvons écrire en utili-sant le triangle rectangle (OPM) :OP xcosθ --------- --- x ρcosθOM ρ(1.3)PMOQ ysinθ --------- --------- --- y ρsinθOMρρ(1.4)sinθytanθ ----------- -cosθx En appliquant le théorème de Pythagore on a :OM ρ 2x y2(1.5)(1.6)On en déduit alors les expressions suivantes :xxcosθ --- -------------------ρ22x y(1.7)yysinθ --- -------------------ρ22x y(1.8)Si les coordonnées polaires (ρ,θ) sont connues on obtient les coordonnées cartésiennes en utilisant les relations (1.3) et (1.4).Si les coordonnées cartésiennes (x,y) sont connues on obtient les coordonnéespolaires en utilisant les relations (1.5), (1.6) (1.7) et (1.8). De même il est possible de passer d’une base d’un système decoordonnées à l’autre. En s’aidant de la figure 1.5 (b) les composantes des vecteurs unitaires u ρ et u θ dans la base cartésiennesont :u ρ ( cosθ ) u x ( sinθ ) u y(1.9)u θ ( – sinθ ) u x ( cosθ ) u y(1.10)De même, en inversant les relations précédentes on peut écrire :u x ( cosθ ) u ρ – ( sinθ ) u θ(1.11)u y ( sinθ ) u ρ ( cosθ ) u θ(1.12)

HENRY.book Page 10 Mercredi, 19. février 2014 2:35 1410Chapitre 1 Cinématique du pointUn moyen simple de retrouver rapidement les composantes d’un vecteur sur unebase est d’utiliser les propriétés du produit scalaire (voir encart 1.2). En effet onpeut écrire par exemple :Composante de u ρ sur u x : u ρ u x u ρ u x cosθ cosθπComposante de u ρ sur u y : u ρ u y cos --- – θ sinθ 2 On retrouve ainsi la relation (1.9).Avec ses relations, il est toujours possible de passer d’un systèmede coordonnées à l’autre.Si l’étude est effectuée en coordonnées cartésiennes seules doivent apparaître lesgrandeurs ( x, y, u x, u y ) . En coordonnées polaires n’apparaîtront que les grandeurs( ρ, θ, u ρ, u θ ) . Il ne faut en aucun cas conserver des expressions comportant unmélange de ses grandeurs.f) Le système de coordonnées cylindriquesSi le point doit être repéré dans l’espace il est possible d’utiliser lescoordonnées cylindriques. Il suffit de compléter le système de coordonnées polaires par un troisième axe : l’axe Oz avec sa coordonnéecartésienne z (appelée la cote).La projection P du point M dans le plan (O, x, y) est repérée encoordonnées polaires (ρ,θ). La projection de M sur l’axe Oz donne lacote z (voir figure 1.7).La base associée est composée de la base polaire et du vecteurunitaire u z suivant l’axe Oz.Le vecteur position OM s’obtient en utilisant la relation deChasles :OM OP PM ρ u ρ z u zOM2ρ z OM 22(1.13)2(1.14)2OM x y zLes coordonnées cylindriques de M sont donc (ρ,θ,z). Les composantes du vecteur position OM sont (ρ,0,z) dans la base cylindrique( u ρ, u θ, u z ) .Le point M est situé sur un cylindre d’axe Oz, de rayon ρ d’où le terme coordonnéescylindriques. Pour positionner un point sur le cylindre il suffit de préciser la cote zet la coordonnée angulaire θ.

HENRY.book Page 11 Mercredi, 19. février 2014 2:35 141.2 Repères11z ρz uθMuz uρu yOuxuz uzyρθ uθx PuρFigure 1.7 Le système de coordonnées cylindriques.g) Base fixe et base mobile dans le référentiel d’étudeDans le repère choisi du référentiel d’étude il est possible d’utiliserdifférentes bases. La base du système de coordonnées cartésiennes ( u x, u y, u z ) estune base dite « fixe » c’est-à-dire que ces vecteurs gardent la mêmenorme unitaire, la même direction et le même sens au cours dutemps.y uθ 2M2Trajectoire du point Mu ρ 2 uθInstant t 2 uρInstant tM ( ρ, θ)u yu θOu ρρθ uxu θ1u ρ1xM1Instant t 1Figure 1.8 Représentation de la base polaire ( u θ, u ρ ) à différents instantsau cours du mouvement d’un point M dans le plan. La base ( u ρ, u θ ) associée aux coordonnées polaires est dite« mobile ». Au cours du déplacement du point M dans le plan, levecteur unitaire u ρ suivant OM change de direction ainsi que u θ(voir figure 1.8). Ces vecteurs, définis à partir du point M, peuvent

HENRY.book Page 12 Mercredi, 19. février 2014 2:35 1412Chapitre 1 Cinématique du pointêtre représentés en n’importe quel point du plan. Par habitude oucommodité ils sont en général représentés en M ou bien en O. Celasignifie aussi que ces vecteurs ne peuvent subir que des rotations aucours du temps.La figure 1.8 représente la trajectoire d’un point M dans le plan. Àl’instant t, il se trouve au point de coordonnées polaires (ρ,θ). À l’instant t1, M est en M1 sur l’axe Ox, de coordonnées cartésiennes (x,y) (x1,0) et polaires (ρ,θ) (ρ1,θ1) (x1,0). À l’instant t2, M est en M2 sur l’axe Oy, de coordonnées cartéπsiennes (x,y) (0,y2) et polaires (ρ,θ) (ρ2,θ2) y 2 , --- . 2 La base polaire ( u ρ, u θ ) est représentée à ces différents instants t,t1 et t2. On constate alors qu’à l’instant t1, les vecteurs de base( u ρ1, u θ1 ) se confondent avec la base cartésienne ( u x, u y ) . Àl’instant t2, le vecteur u ρ u ρ2 correspond au vecteur u y alors quele vecteur u θ u θ2 u π correspond au vecteur (– u x ).--2En représentant ces vecteurs en un même point (voir figure 1.9), onconstate bien la rotation des vecteurs de la base polaire. En considérant les expressions (1.9) et (1.10) ces vecteurs apparaissent biencomme une fonction de l’angle θ.t2t u ρ 2 u ytu ρu ρ1 u xt1 t1t2 u θ1 u yu θ uθ 2 uxFigure 1.9 Rotation des vecteurs de la base polaire : représentation à diffé-rents instants définis sur la figure 1.8.h) Choix du système de coordonnéesLe choix du système de coordonnées dépendra du type de mouvement du pointmobile. Dans le cas d’un mouvement rectiligne il est évident que le système decoordonnées cartésiennes est le mieux adapté. Ce ne sera plus le cas pour desmouvements curvilignes pour lesquels le système de coordonnées polaires oucylindriques sera le plus souvent utilisé.

HENRY.book Page 13 Mercredi, 19. février 2014 2:35 141.3 Vecteur vitesse d’un point13Exemple : trajectoire circulaireOn peut donner comme exemple le cas d’un mouvement circulaire. L’équationd’un cercle de centre O et de rayon R s’écrit en cartésienne :x2 y2 R2 et x [–R,R] ; y [–R,R]En coordonnées polaires le même cercle se définit simplement par :ρ RCet exemple simple montre l’intérêt d’utiliser le système de coordonnées polaires.1.3VECTEUR VITESSE D’UN POINTa) Vitesse moyenneyM (t1 )M (t2 )xOFigure 1.10 Variation de la position dans le temps : vitesse moyenne. Le même déplacement d’un point M entre 2 positions peut se fairependant des durées différentes. Pour caractériser un mouvement ilpeut être intéressant de connaître la distance parcourue par unité detemps c’est-à-dire la vitesse moyenne. Si la position du pointmobile M à l’instant t1 correspond au point M(t1) M1 et à l’instantt2 au point M(t2) M2 le vecteur vitesse moyenne se définit par :M1 M2OM 2 – OM 1V m --------------- ------------------------------- tt2 – t1(1.15)Ce vecteur a pour direction et sens ceux du mouvement (de M1 vers M2). La normerenseigne sur la distance parcourue en moyenne par unité de temps.Une vitesse s’exprime, dans le système international, en mètre/seconde, symbole : m s–1.

HENRY.book Page 14 Mercredi, 19. février 2014 2:35 1414Chapitre 1 Cinématique du pointb) Vecteur vitesse instantanéeLa vitesse instantanée (vitesse à un instant t, celle par exemple quiapparaît sur le compteur de vitesse d’un véhicule) peut se définircomme une vitesse moyenne entre la position M1 M(t) du pointmobile à la date t et la position M2 M(t t) de ce même point àla date t t où t représente une durée très faible. Cette vitessemoyenne tend d’autant plus vers la vitesse instantanée à la date tque la durée t tend vers zéro. Le vecteur positionOM OM ( t ) est une fonction du temps et la vitesse instantanéecorrespond alors à la dérivée par rapport au temps du vecteurposition :OM ( t t ) – OM ( t )V ( t ) lim --- t t 0(1.16)Lorsqu’on considère une durée élémentaire dt « infiniment petite »le point mobile passe d’une position M à une position M ' « infinimentproche » de M. Le déplacement élémentaire correspondant peuts’écrire : MM ' OM ' – OM d OM . La durée élémentaire estchoisie suffisamment petite pour que la vitesse moyenne sur le déplacement élémentaire coïncide avec la vitesse instantanée. Avec cesnotations, le vecteur vitesse V ( t ) , dérivée du vecteur position OM ,s’écrit :d OM(1.17)V ( t ) -------------dtLorsque le point M ' tend vers le point M, la corde M M ' tend versla tangente à la trajectoire au point M. Le vecteur vitesse est unvecteur tangent à la trajectoire au point considéré.yM (t)M (t 1) V (t )M (t2 )OTrajectoire dupoint MxFigure 1.11 Vecteur vitesse V ( t ) tangent à la trajectoire au point M(t)considéré.

HENRY.book Page 15 Mercredi, 19. février 2014 2:35 141.3 Vecteur vitesse d’un point15La durée élémentaire dt correspond à la différence entre 2 dates infiniment proches et s’appelle aussi la différentielle de la variable t.De même, le vecteur d OM , noté aussi d OM d l est le résultatde la différence entre 2 vecteurs position infiniment proches ets’appelle la différentielle du vecteur position. Il correspond aussi à cequ’on nomme un déplacement élémentaire (infiniment petit ou aussipetit que nécessaire). À partir de la définition (1.17) du vecteur vitesseinstantanée le déplacement élémentaire s’écrit :d OM V ( t ) dt d l(1.18)c) Expression en coordonnées cartésiennesÀ partir de l’expression (1.1) du vecteur position OM et de la définition (1.17) du vecteur vitesse V on obtient :d[x u x y u y z u z]d OMV ( t ) -------------- .19a)dtdtEn appliquant la règle de dérivation d’une somme l’expressiondevient :d(x u x) d(y u y) d(z u z)(1.19b)V ( t ) ----------------- ------------------ ----------------dtdtdtLes vecteurs de la base cartésienne sont des vecteurs indépendantsdu temps. Si le point M est mobile, seules les composantes x, y et zsont des fonctions du temps : x x(t) ; y y(t) ; z z(t). L’expressiondevient :dydzdxV ( t ) ------ u x ------ u y ----- u z(1.19c)dtdtdtPar convention et pour alléger les expressions, la « dérivation d’une variable X parrapport au temps t » est notée par la variable surmontée d’un point pour la dérivéepremière, de 2 points pour la dérivée seconde etc.2d XdX------- Ẋ ; --------2- X dtdt(1.20)Avec cette convention, le vecteur vitesse s’écrit en cartésienne :V ( t ) x u x y u y z u z(1.21a)V ( V x x , V y y , V z z )(1.21b)

Le point M est parfaitement repéré si on connaît la distance OM ρ et l'angle θ que fait le segment OM avec l'axe Ox (voir figure 1.5 (a)). Figure 1.5 Les coordonnées polaires (ρ,θ) et la base associée . Le point origine O correspond au « pôle » d'où le terme coor-donnée polaire. La longueur du segment OM correspond à sa .