7 Geometría Del Plano. Movimientos - Ies La Basílica Matemáticas

Geometría del plano. Movimientos7Sugerencias didácticas7La presentación de la unidad podría hacerse recordando lasposiciones relativas entre rectas y reconociendo los elementos y las propiedades de las figuras planas.GEOMETRÍADEL PLANO.MOVIMIENTOSSIDEAS PREVIAtivas de dos Posiciones relarectas.de los Clasificaciónsus ladostriángulos porulos.ángy por susde los Clasificacióncuadriláteros.de los Propiedadess.paralelogramoLas actividades propuestas en la unidad deberán ser el hiloconductor del aprendizaje de los alumnos. En ellas también se presentan estrategias y herramientas tecnológicasbásicas.La presencia de los polígonos y las figuras circulares en lanaturaleza ha sido objeto de estudio desde la antigüedad.Científicos y matemáticos se preguntaron durante siglos porqué las abejas conocen y utilizan los hexágonos para construirsus panales y cómo son capaces de crear la forma que mejoraprovecha el plano con el menor coste energético posible.Es importante que los alumnos adquieran la destreza demanejar regla, el compás y el transportador de ángulos,así como utilizar el lenguaje geométrico y algebraico adecuado.Los pitagóricos lograron relacionar la superficie de cualquierpolígono con la del cuadrado y plantearon uno de los problemasmás famosos de la historia de las matemáticas: la cuadraturadel círculo. Este problema consiste en obtener un cuadradoque tenga la misma superficie que un círculo dado.REPASA LO QUE SABES1. Determina si son secantes, paralelas o coincidentes. b) 6 x 5 y 1 4 x 3 y 7 a) 3 x 5 y 4 3x 5y 2 c) 2 x 3 y 4 4 x 6 y 8 Contenido WEB. DESCUBRIENDO LA GEOMETRÍA2. Indica cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas.En la sección Matemáticas en el día a día se introduce un recurso TIC para complementar la página de inicio con informaciónrelativa a la unidad. En este caso se explica cómo se desarrolla lapercepción de la geometría desde que somos niños. Puede utilizarse para motivar a los alumnos antes de comenzar a trabajar launidad o como ampliación para aquellos alumnos que muestrenun interés especial.a) En un triángulo isósceles, los tres lados son desiguales.b) Un triángulo equilátero es acutángulo.c) En un triángulo obtusángulo, los tres ángulos son obtusos.3. Dibuja estos cuadriláteros.a) Rectángulo.b) Romboide.c) Trapecio isósceles.4. ¿Cuál de estas propiedades es falsa?a) El rombo tiene los lados iguales, pero los ángulos no.b) El cuadrado es un rectángulo con los lados iguales.c) Las diagonales de un paralelogramo forman un ángulo de 90º.[Matemáticas en el día a díamac3e23]A partir de los dos años, un niño es capaz de distinguir lasfiguras geométricas planas básicas, aunque no conozca susnombres ni sus propiedades; la geometría nos rodea desdeque somos pequeños en nuestras actividades diarias.121Repasa lo que sabesSoluciones de las actividades1. Determina si son secantes, paralelas o coincidentes.a) 3 x 5 y 4 b) 6 x 5 y 1 c) 2 x 3 y 4 3 x 5 y 2 4 x 3 y 7 4 x 6 y 8 a) Como los coeficientes de x e y son iguales y los términos independientes son distintos, son rectas paralelas.b) Los coeficientes de x e y son diferentes; por tanto, son rectas secantes.c) Los coeficientes de la segunda ecuación son proporcionales a los de la primera, luego son rectas coincidentes.2. Indica cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas.a) En un triángulo isósceles, los tres lados son desiguales.b) Un triángulo equilátero es acutángulo.c) En un triángulo obtusángulo, los tres ángulos son obtusos.a) Falsa. Un triángulo isósceles tiene dos lados iguales y uno desigual.b) Verdadera. Los tres ángulos en un triángulo equilátero son iguales y miden 60º.c) Falsa. Solo un ángulo puede ser obtuso.3. Dibuja estos cuadriláteros.a) Rectángulo.b) Romboide.c) Trapecio isósceles.Comprobar que los alumnos dibujan un rectángulo, un romboide y un trapecio cuyos lados no paralelos son iguales.4. ¿Cuál de estas propiedades es falsa?a) El rombo tiene los lados iguales, pero los ángulos no.b) El cuadrado es un rectángulo con lados iguales.c) Las diagonales de un paralelogramo forman un ángulo de 90º.Es falsa la propiedad del apartado c).Unidades didácticas197Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO

7Geometría del plano. Movimientos1. Lugares geométricos71. LUGARES GEOMÉTRICOSAprenderás a EJERCICIO RESUELTOTres pueblos situados en una llanura han decidido mejorar sus instalaciones.Reconocer un lugargeométrico en el plano.} El pueblo A quiere construir una carretera de circunvalación de forma que la distanciade cualquier punto de la carretera al centro de la localidad sea de 1 km.Definir como lugaresgeométricos figuras planasconocidas.Dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos que equidistan de dosrectas secantes, r y s.Solución Los vecinos de los pueblos A y B han acordado la construcción de un cortafuegos enla zona forestal que comparten. Deberá cumplir la normativa de que cada punto delmismo ha de distar del pueblo A lo mismo que del pueblo B.El lugar geométrico delos puntos que equidistande r y de s son dos rectasperpendiculares entre sí.r Una compañía de electricidad va a modificar el tendido eléctrico. Para ello, debesituar un nuevo cable que parta del centro del pueblo A y la distancia del tendido alas carreteras AB y AC ha de ser la misma en cada punto.RecuerdaY1COA1Las mejoras de las instalaciones estarán formadas por conjuntos de puntos quecumplen una misma propiedad. Diremos que son lugares geométricos.X1Dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes a dosrectas que se cortan formando un ángulo recto.2Halla y representa el lugar geométrico del plano cuyos puntos se encuentran a lamisma distancia de la recta 2x y 4.3Determina el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes a dos rectasparalelas.4Traza una circunferencia de 4 cm de radio y, a continuación, dibuja y describe ellugar geométrico de los puntos del plano que están a una distancia de 1 cm deella.5Dibuja el segmento determinado por los puntos A(2, 1) y B(2, 3) y traza su mediatriz.6Si A y B son dos puntos del plano, dibuja y describe el lugar geométrico de lospuntos del plano, P, que cumplen que el triángulo ABP es isósceles.Se llama lugar geométrico en el plano al conjunto de todos los puntos delplano que verifican una determinada propiedad.A(1, 1) B( 3, 2) C( 2, 1) En el caso del pueblo A tenemos que trazar unacircunferencia con centro en el pueblo A y 1 km deradio, para que todos los puntos de este lugar geométricose encuentren a la misma distancia.PrrrAPddd’d’A La dirección de la recta que la compañía eléctrica debeseguir es la de la bisectriz del ángulo BAC que formanlas carreteras BA y AC.Dados dos puntos, A y B, dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos delplano, P, que verifican que el triángulo ABP es rectángulo.8Dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan deestos segmentos.a)b)BQBd’QdP d d’A7cM Para encontrar un lugar que se sitúe a la misma distanciay diseñar así el cortafuegos, debemos trazar la mediatrizdel segmento de extremos A y B, esto es, la rectaperpendicular al segmento AB, y que pasa por su puntomedio.QRecuerdaLa bisectriz de un ángulo lodivide en dos ángulos iguales.Se trata de las bisectrices delos ángulos determinadospor las rectas r y s.sPara representar un punto enel plano cartesiano es necesarioconocer la abscisa (valoren el eje X) y la ordenada(valor en el eje Y), esto es, suscoordenadas. Por ejemplo:B7ActividadesGeometría del plano. MovimientosRecuerdaLa mediatriz de un segmentoes la recta perpendicular a élque pasa por su punto medio.mbC Una circunferencia de centro C y radio r es el lugar geométrico de los puntos, P,del plano cuya distancia al centro es igual a r.Investigad(P, C) r La mediatriz de un segmento AB es el lugar geométrico de los puntos, P, delplano que equidistan de A y de B, es decir, que están a la misma distancia de losextremos del segmento.d(P, A) d(P, B)9Une los extremos de un trozo de hilo a dos chinchetas y pincha estas sobre una cartulina. Con la ayuda de unrotulador, tensa el hilo y dibuja el rastro que permita la longitud del hilo elegida.a) ¿Cómo se llama la figura dibujada?b) Cita algunos objetos o fenómenos en los que aparezcan figuras como la que has dibujado. La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos, P, del plano queequidistan de las rectas r y s que forman dicho ángulo.c) ¿Qué figura obtienes si unes los extremos del hilo a una sola chincheta y dibujas el rastro que deja elrotulador con el hilo tenso?d(P, r) d(P, s)122123Sugerencias didácticasPara profundizar, conviene presentar actividades gráficassencillas donde tengan que averiguar el lugar geométricoque generan dos rectas paralelas, el que generan dos segmentos y el lugar geométrico de los puntos que distan dedos puntos fijos (para ello utilizarán un hilo o cordón y doschinchetas).Para que los alumnos comprendan el concepto de lugargeométrico, es recomendable que se propongan actividades en las que tengan que utilizar la regla y el compás.Les será fácil reconocer la circunferencia como lugar geométrico.Es fundamental que reconozcan las propiedades que cumplen los puntos de la mediatriz de un segmento y de labisectriz de un ángulo.Soluciones de las actividades1Dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes a dos rectas que se cortan formando un ángulo recto.El lugar geométrico de los puntos equidistantes a las rectas perpendiculares r y s es la bisectriz del ángulo recto.Comprobar que los alumnos dibujan dos rectas perpendiculares y que hallan las bisectrices de los ángulos rectos.2Halla y representa el lugar geométrico del plano cuyos puntos se encuentran a la misma distancia de la recta 2x y 4.Los puntos de cualquier recta paralela a 2x y 4 equidistan de ella.Y2x y 4El lugar geométrico es 2x y k, siendo k cualquier número real.1O31XDetermina el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes a dos rectas paralelas.El lugar geométrico es otra recta paralela a ellas que equidista de ambas.Unidades didácticas198Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO

Geometría del plano. Movimientos47Traza una circunferencia de 4 cm de radio y, a continuación, dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos del planoque están a una distancia de 1 cm de ella.El lugar geométrico son dos circunferencias con el mismo centro que la de radio 4 cm, de 3 cm y 5 cm de radio, respectivamente.Comprobar que los alumnos dibujan una circunferencia de 4 cm de radio y que después trazan dos circunferencia con elmismo centro que la anterior, de 3 cm y 5 cm de radio, respectivamente.5Dibuja el segmento determinado por los puntos A(2, 1) y B(2, 3) y traza su mediatriz.Y B1O6X BDados dos puntos A y B, dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos del plano, P, que verifican que el triánguloABP es rectángulo. El lugar geométrico de los puntos P es la circunferencia de centro el punto medio del segmentoPAB y diámetro la distancia del punto A al punto B.A 81Si A y B son dos puntos del plano, dibuja y describe el lugar geométrico de los puntos del plano, P, que cumplen que eltriángulo ABP es isósceles.El lugar geométrico de los puntos P es la mediatriz del lado AB. P A7 A BDibuja y describe el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de estos segmentos. a) A b) B B A En cada caso, el lugar geométrico está formado por los puntos del segmento AB.Investiga9Une los extremos de un trozo de hilo a dos chinchetas y pínchalas sobre una cartulina. Con la ayuda de un rotulador, tensael hilo y dibuja el rastro que permita la longitud del hilo elegida.a) ¿Cómo se llama la figura dibujada?b) Cita algunos objetos o fenómenos en los que aparezcan figuras como la que has dibujado.c) ¿Qué figura obtienes si unes los extremos del hilo a una sola chincheta y dibujas el rastro que deja el rotulador con elhilo tenso?a) La figura dibujada se llama elipse.b) Respuesta abierta, por ejemplo: Al cortar un cono con un plano inclinado que no pase por el vértice se obtiene unaelipse; el movimiento de la Tierra alrededor del Sol describe una elipse.c) Obtengo una circunferencia.Unidades didácticas199Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO

7Geometría del plano. Movimientos2. Relaciones entre ángulos72. RELACIONES ENTRE ÁNGULOSAprenderás a Diego se ha fijado en las vigas de unanueva construcción. Para estudiar laestructura, considera cada viga comouna recta.Reconocer los ángulos que seobtienen cuando se cortandos rectas.Relacionar los ángulosdefinidos por dos rectasparalelas cortadas por unasecante.7ActividadesGeometría del plano. Movimientos¿Cómo son los ángulos que determinandos rectas secantes? ¿Qué relaciónexiste entre los ángulos determinadospor rectas paralelas y una que las corta?Dos rectas que se cortan en un puntoforman cuatro ángulos.10Calcula el ángulo complementario del que abarca un arco de 32º y el suplementariodel que abarca uno de 10º.11Si el suplementario de un ángulo tiene una amplitud de 102º, ¿cuál es la amplitudde este ángulo?12Dibuja dos ángulos adyacentes sabiendo que la amplitud de uno es de 45º.13Dos ángulos son adyacentes y uno de ellos abarca un arco de 30º. ¿Cuál es laamplitud del otro?14Si dos ángulos opuestos por el vértice tienen una amplitud de 60º, determina laamplitud de sus adyacentes. y B Observamos que los ángulos Atienen un lado común, es decir, sonángulos consecutivos y, también,suplementarios:BCEJERCICIO RESUELTO} B 180ºAA y B sonDecimos que los ángulos Aadyacentes.DEn la figura aparecen los ángulosdeterminados por dos rectasparalelas cortadas por una rectasecante. Determina la amplitud delos ángulos desconocidos sabiendoAB30ºCEF 30 .que DAl ser ángulos opuestos por el vértice, sabemos que: B 30º y C son opuestos por el vértice, ya que los lados de C sonLos ángulos A . Estos ángulos tienen la misma amplitud: A C .prolongación de los lados de A y B son adyacentes:Como A Del mismo modo, observamos que: B D y C son opuestos por el vértice; por tanto: C 150ºTambién A B 180º A 150ºASi dos rectas paralelas se cortan con otrarecta, determinan ocho ángulos.BADFEGH y H son correspondientes a los anteriores. Luego:Los ángulos E , F , G y E tienen la mismaLos ángulos Aamplitud, puesto que están formadospor la misma recta secante y las dosrectas paralelas; se trata de ángulos E correspondientes, es decir: AAnálogamente, son correspondientes . y H , y C y Glos ángulos B y F , D E 150ºAB F 30º 150ºC G H 30ºD15La amplitud de uno de los ángulos determinados por dos rectas paralelas y unarecta que las corta es de 115º. Indica la relación entre todos los ángulos formadosy determina la amplitud de los ángulos desconocidos.16Halla la amplitud de los ángulos determinados por estas rectas.a)b) y B son adyacentes: A B 180ºComo ASabemos que: E AB 60ºCB F E B 180º F 180ºA 180ºY, del mismo modo: C H 180º GDAsí, tenemos que:HGSoluciónTambién son adyacentes los ángulos , y D y A .B y C , C y DCRecuerdaDecimos que dos ángulos soncomplementarios si su sumaes 90º.150ºCDFG Dos ángulos son adyacentes si están formados por dos rectas que se cortan enun punto y son consecutivos y suplementarios. Dos ángulos son opuestos por el vértice si están determinados por dos rectassecantes y los lados de uno son prolongación de los del otro. Estos ángulos tienenla misma amplitud.DAEHDESAFÍO17 Dos ángulos son correspondientes si están formados por una recta secanteque corta a dos rectas paralelas y se encuentran situados en el mismo lado conrespecto a estas. Estos ángulos tienen la misma amplitud.La calle Verde es cruzada por dos calles, la calle Azul y la calle Amarilla, que son paralelas entre sí. Por otrolado, la calle Verde forma un ángulo de 130º con la calle Amarilla.Dibuja un plano de la zona en la que se encuentran estas calles e indica la amplitud de todos los ángulos queforman.124125Sugerencias didácticasEs aconsejable presentar estos conceptos mediante dibujosadecuados para facilitar la comprensión de los alumnos.Antes de comenzar el epígrafe, conviene repasar los conceptos de ángulo complementario y suplementario mediante ejemplos gráficos y numéricos.Puede resultarles difícil la memorización de estos nombres.Para ayudarles, deben realizar las actividades que se proponen, asegurándonos de que manejan el lenguaje matemático con destreza.Será necesario que los alumnos reconozcan qué son ángulos adyacentes, opuestos por el vértice y correspondientes.Soluciones de las actividades10 Calcula el ángulo complementario del que abarca un arco de 32º y el suplementario del que abarca uno de 10º.El complementario al ángulo de 32º es 90º 32º 58º.El ángulo suplementario al ángulo de 10º es 180º 10º 170º.11 Si el suplementario de un ángulo tiene una amplitud de 102º, ¿cuál es la amplitud de este ángulo?La amplitud de este ángulo es 180º 102º 78º.12 Dibuja dos ángulos adyacentes sabiendo que la amplitud de uno es 45º.180º 45º 135º135º 45º13 Dos ángulos son adyacentes y uno de ellos abarca un arco de 30º. ¿Cuál es la amplitud del otro?Si son adyacentes, su suma es 180º. El otro ángulo mide 180º 30º 150º.Unidades didácticas200Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO

Geometría del plano. Movimientos714 Si dos ángulos opuestos por el vértice tienen una amplitud de 60º, determina la amplitud de sus adyacentes.Sus adyacentes tienen una amplitud de 180º 60º 120º.15 La amplitud de uno de los ángulos determinados por dos rectas paralelas y una recta que las corta es de 115º. Indica larelación entre todos los ángulos formados y determina la amplitud de los ángulos desconocidos.A 115º y B son adyacentes; por tanto B 180º 115º 65º.A C y B D por ser opuestos por el vértice.A yH son correspondientes a A , B , C , D , respectivamente.E , F , GBDCEFHG 115º y B D 65º. C E G F HPor tanto, A16 Halla la amplitud de los ángulos determinados por estas rectas.a)b)B 60ºC150ºCDADFGEH 150ºa) D C 180º 150º 30ºAb) C 60º 180º 60º 120ºB D y H son correspondientes a 60º, B , C , D 60º y , respectivamente. Entonces, E 60º, F 120º, GE , F , G 120º.HDesafío17 La calle Verde es cruzada por dos calles, la calle Azul y la calle Amarilla, que son paralelas entre sí. Por otro lado, la calleVerde forma un ángulo de 130º con la calle Amarilla.Dibuja un plano de la zona en la que se encuentran estas calles e indica la amplitud de todos los ángulos que forman.EHA 130ºDUnidades didácticasFC E B D 130ºG F 180º 130º 50ºHGBC201Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO

7Geometría del plano. Movimientos3. Teorema de Pitágoras. Aplicaciones73. TEOREMA DE PITÁGORAS. APLICACIONESAprenderás a Aunque en la India y en Mesopotamia ya se conocía larelación entre los lados de un triángulo rectángulo y en elantiguo Egipto se utilizaba para distribuir los terrenos olevantar obras arquitectónicas, es el nombre de Pitágorasde Samos (ca. 580-500 a.C.) el que finalmente ha quedadoligado a este famoso teorema.Relacionar las longitudesde los lados de un triángulorectángulo mediante elteorema de Pitágoras.Aplicar el teorema dePitágoras para resolverproblemas.Los lados de un triángulo rectángulo que forman el ángulorecto se llaman catetos, mientras que el lado opuesto alángulo recto se denomina hipotenusa.18Bacbd)2719Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 cm y 7 cm, respectivamente,calcula la longitud de la hipotenusa.20Calcula la longitud de un cateto de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide20 m si el otro cateto tiene 9 m.21Determina cuántos metros se desplazaun niño al bajar por el tobogánacuático.22Una parcela tiene forma de triángulo rectángulo, y sus catetos miden 9 m y 12 m,respectivamente. Halla los metros de valla necesarios para cercarla.23Comprueba cuáles de las siguientes ternas forman un triángulo rectángulo.a) 3 m, 4 m y 5mb) 9 cm, 12 cm y 15 cmc) 5 mm, 6 mm y 7 mmd) 10 m, 24 m y 26 mmac3e24EJERCICIOS RESUELTOSOlga participa en una carrera. Al llegar al punto C delcircuito, algunos corredores se confunden y toman elcamino PC; ¿qué distancia recorren hasta P?SoluciónLa distancia mínima para nadar del punto D al punto B esla diagonal del rectángulo. Esta diagonal es la hipotenusadel triángulo rectángulo que forman dos de sus ladoscontiguos.El segmento PC coincide con la altura h del triánguloequilátero ABC y divide la base por la mitad. La alturadel triángulo es un cateto del triángulo rectángulo cuyahipotenusa es el lado AC y cuyo cateto es la mitad de AB.h 3 125 55,9 m24Halla la longitud de la diagonal de un patio cuadrado cuyo lado mide 6 m.25Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 4 cm, determina la longitud de lahipotenusa.26Calcula la altura de un triángulo equilátero sabiendo que sus lados tienen unamedida de 8 dm.27Si un muro de 5 m de altura se apuntala con dos mad

7 Geometría del plano. Movimientos 194 Unidades didácticas Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas 3.º ESO E n esta unidad se introducen tres conceptos nuevos y básicos en el estudio de la geometría: lugares geométricos, vectores y movimientos en el plano. Es fundamental que los alumnos identifiquen el estudio de la unidad .