Geometri Transformasi - Web UPI Official
Geometri TransformasiSejak zaman Euclid ( 300 SM) sampai abad 17 M, geometri dipelajari dari perspektifsyntesis, sebagai suatu ilmu. Selama abad 17 sejumlah ide baru dalam matematikadikembangkan dan diterapkan dalam mempelajari geometri, dengan efek yang bersifatrevolusi. Misalnya dengan menerapkan notasi-notasi dan konsep aljabar ke feometri.Fermat ( 1601 – 16650 dan Rene Descartes (1596 – 1650) menciptakan geometrianalitik. Diferensial geometri dikembangkan sebagai suatu konsep dan menggunakannotasi dari kalkulus yang dikembangkan oleh Newton dan Leibniz diaplikasikan padagwomwtri. Alam abad 18 dan 19 , sejumolah geometri non Euclid dikebangkan,mengakibatkan beberapa orang menjadi ragu apakah geometri akan terpisah sesuaidengan teori-teorei yang bersaing satu dengan yang lain. Di tahun 1782, seorang ahlimatematika berusia 23 tahun, Felix Klein ( 1849 – 1925) mengusulkan suatu prinsippemersatu untuk mengklasifikasikan berbagai geometri dan menjelaskan hubunganhubungan diantara mereka. Inti dari gagasan atau konsep Klein itu adalah GeometriTransformasi.Geometri transformasi adalah pemetaan satu- satu, dengan menggunakan hinpunan titiktitik sebagai input dan returning points sebagai output. Untuk sederhananya, hinpunanhimpunan input dinamakan obyek dan outputnya yang bersesuaian dinamakan image.Tergantung dari konteks, transformasi-transformasi dapat dipandang sebagai diterapkanpada obyek-obyek geomeri yang umum dikenal, misalnya garis, polygon, atau polihedraataupun pada ruang dimana obyek-obyek itu ada.Geometri Transformasi menawarkan pandangan yang dalam terhadap hakekat daribanyak topic tradisional, termasuk kongruensi, kesebangunan, dan symetri. Geometritransformasi juga berfungsi sebagai basis bagi banyak aplikasi kontemporer dalam seni,arsitek, engenering, film dan televisi.Yang lebih berarti lagi adalah bagaimana FelixKlein memberi definisi tentang suatu geometri: “Suatu geometry adalah suatu studitentang sifat-sifat dari suatu himpunan S yang tetap tidak berubah bilamana elementelemen S ditransformasikan oleh sekelompok transformasi. Definisi ini menetapkangeometri transformasi sebagai suatu cara memahami hubungan-hubungan diantarasemua geometri, Euclid dan non Euclid.
Suatu Model analitik dari Bidang EuclidMenyajikan titik dan garisUntuk membahas model analitik dari bidang Euclid, harus dipilih beberapa bidangdi Ruang berdimensi 3. Banyak siswa telah terbiasa dengan bidang x-y, atau z 0.Tetapi masih ada pilihan yang lebih baik, yaitu bidang z 1.ZZ 1(0, 0, 1).*(x, y ,1)YOXSetiap titik di bidang ini mempunyai koordinat (x, y, 1).Garis pada bidang Euclid disaikan dalam bentuk slope – intercept pada bidang Eucliddisajikan dalam bentuk slope – intercepty mx b atau dalam bentuk umum adalah ax by cBentuk ini dapat disajikan dengan menggunakan notasi matrix (oleh Arthur Cayley, 1821– 1895).Dalam notasi matrix suatu bentuk persamaan aljabar : u1 x u2 y u3 0 ditulissebagai vektor-vektor baris[u1 u2 u3 ]Titik-titik ditulis sebagai vektor kolomxy1
Dengan mengkombinasi kedua notasi ini, kita peroleh suatu bentuk persamaan matrixxu1 u2u3 y1Jika entri-entri yang berkorespondensi pada baris dan kolom dikalikan dan hasilnyadijumlahkan, maka diperoleh suatu bentuk aljabar. Sebagai contoh, persamaan matriksx1 3 2 y 01adalah ekivalen dengan persamaan 1x 3y 2 0. Persamaan-persamaan seperti inisering digunakan untuk menjawab pertanyaan “titik-titik apa pada bidang yang terletakpada garis ini?”Luas dan kolinerBagaimana luas daerah yang ditentukan oleh tiga titik yang tidak koliner?Sb y(x2, y2)(x3, y3)III(x1, y1)I(x1,0)II(x2,0)(x3,0)sb x
Luas daerah segitiga dapat dinyatakan dalam bentuk luas tiga daerah trapesiumTitik-titik trapesium 1: (x1, 0, 1), (x1, y1, 1), (x2, y2, 1) , (x2, 0, 1)Titik-titik trapesium 2: (x2, 0, 1), (x2, y2, 1), (x3, y3, 1) , (x3, 0, 1)Titik-titik trapesium 3: (x1, 0, 1), (x1, y1, 1), (x3, y3, 1) , (x3, 0, 1)Luas segitiga adalah [ luas trapesium 1] [luas trapesium] 2 – [Luas trapesium 3] ½[(x2 – x1)( y1 y2) (x3 – x2)( y2 y3) – ( x3 – x1)( y1 y3)] ½ [ x2y1- x1y2 x3y2 – x2 y3 –x3y1 x1y3]Dengan menggunakan pendekatan matriks, koordinat-koordinat dari titik-titik padasegitiga dapat ditulis sebagai vektor-vektor kolom dalam matriks berikut:x1x2x3y1y2y3111Determinan dari matriks ini ditulis sebagaix1x2x3y1y2y3111Determinan ini diekspansikan dan menghasilkan bentuk
[x1 y2 x3 y1 x2 y3 – x3y2 – x2 y1 – x1y3]Yang dapat disusun kembali sebagai berikut:[– x2 y1 x1 y2 – x3y2 x2 y3 x3 y1– x1y3]Dengan membandingkan hasil ini dengan luas daerah segitiga, ternyata luas daerahsegitiga tadi dapat ditulis sebagai berikut:x1x2x3Luas (1/2) abs y1y2y3111Teorema 4.3.1:Jika diketahui tiga titik yang non koliner pada bidang, maka luas daerah dari segitigaditentukan oleh ketiga titik itu dinyatakan dengan rumusx1x2x3Luas (1/2) abs y1y2y3111Persamaan garisGambar 1 dan teorema 1 memberi ide yang bermanfaat untuk melihat pada masalah yangada hubungannya, yaitu menemukan persamaan suatu garis melalui dua titik yangdiketahui di bidang Euclid. Gambar 1 mengemukakan bahwa luas daerah segitigaberkaitan dengan tiga titik yang koliner akan sama dengan nol. Kedua, Teorema 1mengemukakan bahwa, dalam keadaan tertentu determinanx1x2x3y1y2y3111
juga dapat sama dengan nol. Dengan demikian, jika diketaui dua titikx2x1y1y2dan1x, maka semua titik lainnya1y1yang koliner dengan kedua titik yang diketahui itu harus memenuhi persamaan matriks:x1y1x2y2x3y3111 0Contoh: Tentukan persamaan suatu garis yang memuat titik-titik ( 2, 4, 1) dan (3, 1, 1).Jawab: Dengan menuliskan titik-titik tadi sebagai vektor kolom – vektor kolom, dandengan menambahkan suatu kolom ketiga yang mewakili semua titik yang kolinerdengan titik-titik yang diketahui tadi, kita peroleh suatu persamaan matrixx 2 3y 4 1 01 1 1Selanjutnya determinan kita expansikan dan sederhanakan, dan akan diperoleh
x2 3y 4 1 4x 3y 2 – x – 2y – 12 3x y – 10 0, atau1 1 1x3 1Teorema 4.1.210 y 01Jika diketahui dua titikx1y dan1x2y21maka persamaan garis yang memuat kedua titik ini ditentukan oleh persamaan matrixxx1x2yy111y2 01
Perpotongan dua garisCara matrix dapat digunakan untuk menemukan titik persekutuan dua garis yangberpotongan pada bidang. Diketahui persamaan-persamaan garis u1 x u2 y u3 0dan v1 x v2 y v3 0. Koordinat-koordinat dari titik persekutuan dapat ditentukandengan menggunakan kombinasi linear atau substitusi dan selanjutnya dinyatakan dalamnotasi matrix sebagai berikut:u2x u2v3 u3v2u1v2 u2v1u3u2v2 v3u v uvdan y 3 1 1 3u1 u2u1v2 u2v1v1 v2u3v2 v 3u1 u2v1v2Suatu kekurangan dari pendekatan ini adalah bahwa dua persamaan ini harus diingat dandievaluasi secara benar. Suatu pendekatan yang lebih baik akan memerlukan hanya satupersamaan untuk menyajikan kedua koordinat dari titik potong. Dengan menuliskanparameter-parameter garis sebagai elemen-elemen baris dalam persamaan matrixu1 u2u3v1v2abv3 0cakan menghadirkan suatu penyajian/representasi yang lebih mudah. Dengan melakukanekspansi menurut baris terakhir, maka persamaan ini dapat ditulis sebagaiau2 u3v2 v3bu1 u3v1 v3cuu2v1 v20Dengan membagi oleh determinan pada suku terakhir, diperoleh persamaan berikut:u2au3v2 v 3u1 u2v1v2u1 u3bv1 v3u1 u2v1v2u1 u2cv1 v2u1 u2v1v20*
u2u3v2 v3dan yu1 u2Ingat bahwa xu 2 u3v2 v 3, maka persamaan diatas dapat disederhanakanu1 u2v1 v2v1 v2sebagai ax by c 0 , dan ditulis dalam bentuk matrixxa b c y01Dalam hal ini, bentuk ini lebih daripada bentuk matrix umum untuk persamaan suatugaris, karena parameter-parameter garis [a b c] adalah sembarang, x dan y adalahkoordinat-koordinat titik potong dari garis-garis yang diketahui u1 x u2 y u3 0dan v1 x v2 y v3 0. Hasil ini diformalkan dalam teorema berikut dan sekaliguscontohnya.TeoremaJika diketahui persamaan-persamaan garis u1 x u2 y u3 0 dan v1 x v2 y v3 0, maka titik potong inixy1Ditentukan oleh persamaanxa b c y01Yang diperoleh dengan mengekspansi dan menyederhanakan persamaan
u1 u2u3v1v2abv3 0cContoh: Tentukanlah koordinat dari titik potong dari 1x 1y 1 0 dan 1x 1y 2 0 .Persamaan matrixnya adalah :11a111 1 0bcDengan mengexpansikan serta menyederhanakan, maka diperoleh1111 2 3a b 2c 0, dan ini dapat dituliskan sebagaib ca131 02a b c3Karena vektor kolom1 bukan menyatakan titik pada bidang euclid z 1, maka tiap2elemen dalam vektor ini dibagi 2, akan menghasilkan titik pada bidang euclid32121Selanjutnya, setiap garis yang memuat titik ini harus memenuhi persamaan matrix
321a b c 021Jadi, oleh karena 1x 1y 1 0 dan 1x 1y 2 0 melalui titik ini, maka demikian jugasemua garis lain a b c akan memenuhi persamaan matrx ini juga.Suatu perbedaan penting sekarang dapat dibuat antara penggunaan notasi berbentukxa b c y011. Bila nilai-nilai yang direpresentasikan oleh vektor baris a b c diketahui, dan nilai-xnilai yang direpresentasikan oleh vektor kolom y tidak diketahui, misalnya1x12 5 y01Maka notasi ini disamakan ”suatu persamaan garis” dan biasanya digunakan untukmenjawab pertanyaan ” Titik-titik manakah yang terletak pada aris ini?”2. Bila situasinya dibalik dan nilai-nilai direpresentasikan oleh vektor baris a b cTidak diketahui sedangkan nilai-nilai yang direpresentasikan oleh vektor kolomxy diketahui, misalnya11a b c 30 , maka notasi ini disebut ”suatu persamaan dari titik” dan biasanya1digunakan untuk menjawab pertanyaan ”Garis-garis manakah yang melalui titik ini?”
Expresi-expresi yang simetris ini diperoleh dengan mengganti istilah-istilah titikgaris dikenal dengan nama dualitas.danMenyajikan Transformasi-transformasi Lineardi Dimensi 2 dengan matrixDari semua transformasi dalam geometri, isometri adalah paling mendasar. Isometriartinya berukuran sama. Jika suatu isometri diterapkan ke suatu obyek, maka obyektersebut berserta bayangannya mempunyai ukuran linear dan ukuran sudut yang sama.Transformasi dikatakan mengawetkan sifat-sifat ini, dan sifat-sifat itu dikatakan invariantdi bawah transformasi itu. Mengawetkan ukuran linear dan ukuran sudut menjaminbahwa keliling dan jumlah sudut dan luas juga diawetkan. Akibatnya, obyek danimagenya dalam isometri ini adalah identik atau kongruen.Isometri dalam geometri Euclid terdiri dari 3 kategori dan komposisinya: translasi,rotasi, dan refleksi. Dari semua isometri, translasi adalah yang paling mudah untukdipahami. Dengan adanya operasi translasi setiap titik yang terdapat pada obyek akanberpindah pada jarak yang sama dan dalam arah yang sama sesuai dengan vektor. Dibawah operasi rotasi, setiap titik dipindahkan melalui suatu sudut putar relatif terhadappusat perputaran. Refleksi memetakan setiap titik ke seberang garis refleksi sejauh suatujarak yang sama terhadap jarak titik itu ke garis refleksi.Definisi:Misalkan A dan B adalah himpunan-himpunan. Suatu pemetaan atau fungsi dari A keB adalah suatu aturan yang memasangkan setiap x A tepat satu y B dan ditulisy f(x).Definisi: Suatu pemetaan dari A ke B adalah onto jika untuk tiap ysedikit satu x A sedemikian sehingga y f(x).B , terdapat palingDefinisi: Suatu pemetaan dari A ke B adalah satu – satu jika bilamana x, f ( x) f ( y )yA adalah InversDefinisi: Jika f: A B adalah suatu pemetaan satu-satu, maka f 1 : B11dari f, jika ( f * f )( x) x untuk semua x A dan ( f * f )( y ) y untuk semua y B .Definisi: Bidang Euclid terdiri dari semua himpunan dari semua titik X sedemikianx1 , x2 ,1 dimana xi merupakan anggota dari himpunan bilangan real,sehingga Xditulis xi.Definisi:Misalkan V adalah suatu Ruang vektor pada dan T adalah fungsi dari V ke V.T adalah suatu transformasi linear dari V, jika T (u v) T (u) T (v) untuk semua vector.u V dan v V dan T (ku) kT(u) untuk semua vektor u V dan skalar k
Representasi Transformasi Linear dengan MatrixDefinisi: Suatu Transformasi Linear T(X) yang dapat dibalik (invertible) pada bidangEuclid adalah suatu pemetaan satu-satu, onto dari titik-titik dari bidang Euclid ontobidang Euclid. T(X) A*X, dimana A titi 0 dana11Aa12a13a21 a22a31a23 dimana aija3233Oleh adanya suatu transformasi linear, setiap titik pada bidang (yang memuat) imagediasosiasikan dengan satu titik tunggal pada bidang (yang memuat) obyek.Tidak adasatu titikpun yang diabaikan, tidak ada satu titikpun yang dihilangkan. Bidang Euclidtetap lengkap sebelum dan setelah transformasi. Misalnya, gambar berikut inimenunjukkan suatu suatu system koordinat tegaklurus pada bidang Euclid sebelum dansetelah transformasi. Tentu saja, ketika transformasi linear seperti ini diterapkan padabidang, semua titik yang ada pada bidang akan mengalami transformasi yang sama.Transformasi-transformasi linear dapat dikomposisikan, satu menyusul yang lain,dalam suatu sekwens (urutan). Sebagai contoh suatu translasi T dapat diikuti oleh suaturotasi R. Dalam notasi fungsi, komposisi yang sama dituliskan sebagaixRT y1Teorema:Komposisi dari dua transformasi limear pada suatu bidang adalah suatutransformasi linear juga pada bidang itu.Menurut definisi tentang ruang vektor, T adalah suatu transformasi linear pada bidangjika T u v T (u ) T (v) dan T (ku) kT(u) untuk semua titiku1uu2 ,1v1vv21dan k adalah bilangan real.
5O'O-55-5Kita definisikan dua transformasi linear T1 dan T2 sebagai berikut:T1a1b1e1a2b2e2c1d1c2d2f200f1 dan T21001Komposisi T1T2 dapat dihitung sebagai10
T1a1b1e1a2b2e2xc1d1f1c2d2f2y0010011a1a2b1c2a1b2b1d 2a1e2b1 f 2e1 c1a2d1c2c1b2d1d 2c e2d1 f 2f1001Masing-masing yang menunjukkan perkalian dan jumlah adalah sebuah bilangan real,tidaka ada yang sama. Karena penjumlahan dan perkalian dalam bilangan real adalahtertutup, maka masing-masing entri ini adalah bilangan real, jika dihitung. JadikomposisixT1T2 y dapat ditulis kembali sebagai1abexcdf001y , dimana1a, b, c, d , e, fJika kita misalkanAabecdf001satu-satunya syarat yang harus dipenuhi adalah Ahal ini diperlukan manipulasi sejumlah symbol.0 . Untuk menunjukkan kebenaranPengalaman-pengalaman dengan transformasi linear dalam dunia nyatamenyarankan bahwa paling sedikit beberapa transformasi linear dapat dibalik. Misalnya,orang dapat menggeser atau memutarkan suatu obyek, kemudian mengembalikannya keposisi semula. Dalam matematika, pengertian pengembalian ini (reversibility) ekivalendengan invers dari suatu fungsi f dan ditulis f 1 .Jika
Aabecdf001adalah suatu transformasi linear, A 1 ditulisac0bd0ef11Teorema:Diketahui suatu transformasi linear T , terdapat suatu transformasi invers yangberkorespondensi dengan T, yaitu T-1 sedemikian sehingga TT-1 T-1T I, dimana Iadalah transformasi identitas.Dalam Aljabar linear kita tahu bahwa suatu matrix A mempunyai suatu invers jika A.0Bayangan suatu titik oleh suatu transformasi linear.Dengan menggunakan notasi matrix, bayangan dari suatu titik dikarenakan suatutransformasi linear yang diketahui didefinisikan sebagai berikut.Definisi: Diketahui suatu transformasi linearAabecdf001bayangan dari titikxX y1oleh transformasi A disajikan sebagai
abecdfxax by ey cx dy0 0 1 11Contoh: Persamaan matrixx'f y'1abexx'cdfy'001y 11Digunakan untuk menemukan bayangan dari suatu titik dikarenakan suatu transformasilinear. Persamaan ini juga ditulis sebagai AX X’. Misalnya, bayangan dari titik131Oleh transformasi linear1 0 11 0 10 1 2 dihitung sebagai 0 1 20 0 10 0 1A12A 3 511Teorema:Diketahui suatu transformasi linearTabecdf001Dan suatu titik123 5 dan ditulis sebagai11
xX y1Invers dari operasi T dinyatakan olehdTac01bd0ef11ad bcc ad bc0bad bcaad bc0bf dead bcaf cead bc1Dengan melakukan perkalian, diperoleh TT-1 T-1T I.Contoh: Diketahui Transformasi linearT1 100100011-1Dengan menggunakan rumus (*) pada teorema diperoleh T 001 1-1TT 00011 0100101001 0 00 0 1 00 0 11Bayangan suatu garis oleh suatu transformasi linear.1 01001
Menemukan bayangan dari suatu garis pada suatu transformasi linear memerlukanpertimbangan tambahan dan menimbulkan hasil yang menarik.Teorema 4.2.4Bayangan dari garis uu1 u2Au3 oleh transformasi linearabecdf001Diberikan oleh persamaan uA1ku'Suatu garis u dapat disajikan dalam bentuk matrix sebagaixu1 u2u3 y01Bayangan dari garis u u1 u2 u3 oleh transformasi linear S dapat direpresentasikansebagai uS u’. Karena S adalah transformasi linear, ia harus mempunyai bentuk umumyang sama seperti matrix transformasi untuk titik-titikAabecdf001Argumentasi berikut ini adalah mengenai menurunkan S, matrix transformasi garis, yangdinyatakan dalam A (matrix transformasi titik).1. Karena u dan u’ adalah garis-garis, uX 0 dan u’X’ 02. Karena itu uX u’X’3. Karena X’ adalah bayangan dari X (oleh A), maka AX X’
4. Subsitusi 3 ke 2, akan menghasilkan u(X) u’(AX) (u) X (u' A) X5. Karena itu u u' A6. Kalikan kedua ruas persamaan dari sebelah kanan oleh A-1 menghasilkanuA 1 ku' , k, himpunan bilangan real.7. Jadi, matrix transformasi garis S, adalah invers dari matrix transformasi titik, A(transformasi terhadap garis transformasi terhadap tiap titik pada garis itu)Contoh: Diketahui transformasi linearT1 10010001dan suatu garis u 1 2 1 , tentukanlah bayangan u di bawah tansformasi linear ini.Menurut teorema, bayangan dari u oleh transformasi ini ditentukan oleh11 2 1 001 01001k1 1 1Dengan kata lain, garis dengan persamaan x 2y 1 0 dipetakan onto menjadi garisdengan persamaan x y 1 0 , atau suatu perkalian darinya.
10Equation(Line CE): 0.50x 1.00y -0.50Equation(Line F'E'): x 1.00y -1.005-15-10-5D5C'CE'EF'F-5Isometri-isometri Langsung: Translasi dan RotasiMerepresentasi TranslasiPersamaan matrix untuk translasi terhadap sebuah titik adalah:1 0exx exex'0 1fyyyfy'0 011111f1Gambar 4.3.1 memperlihatkan dua daerah dari matrix translasi. Masing-masing daerahmenyajikan makna berbeda mengenai hakekat transformasi yang dibahas dan detaildetail yang khusus mengenai gerakan/perpindahan yang diakibatkan. Dalam hal inimatrix identitas 2 2 di bagian pojok kiri atas menunjukkan bahwa pergerakan itu samasekali tidak mengubah bentuk atau orientasi dari obyek-obyek di bidang. Unsur-unsurdalam kolom yang diarsir diasosiasikan dengan perpindahan dari koordinat x dankoordinat y dari titik-titik pada bidang. Seperti yang terlihat pada vektor
x eyf1Koordinat-x dari setiap titik digeserkan sejauh e unit dan koordinat y digeser sejauh f unit.Inilah yang orang harapkan pada suatu transformasi translasi.1 0exx'0 1fyy'0 0111Gambar 4.3.1Secara konseptual, invers dari translasi yang direpresentasikan sebagaix eyf1adalah translasix eyf1yaitu lawan dari menggusur sebuah obyek sejauh dan dalam arah tertentu haruslah sebuahgusuran yang berlawanan arah dengan jarak yang sama. Hal ini menyimpulkan bahwa1000101ef11 0e01f001Teorema 4.3.1Diketahui suatu translasi1 0eT 0 10 0f1Transformasi inversnya adalah:
10eT 001f01-1Contoh: 4.3.1 Diketahui matrix translasi107T 001301Invers dari translasinya adalah:107T-1 001301Matrix-matrix ini jika dikalikan, akan menghasilkan matrix identitas100100710710030130101001001Invarians pada TranslasiPengalaman-pengalaman dalam keseharian memperlihatkan bahwa ukuran-ukuranpanjang, keliling, sudut, dan luas tidak berobah oleh adanya translasi (invarian). Sifatsifat lainnya tidak demikian. Misalnya, jika anda menggusur sebuah obyek di atas meja,anda menggusur keseluruhan obyek. Jika suatu titik pada obyek itu tetap (invarian),dengan memindahkan sisa lain dari obyek itu akan mengakibatkan apakah benda itusobek atau melar. Analisis geometri menyimpulkan bahwa translasi tidak memiliki satutitik invarian pun. Pendekatan analitis yang didasarkan pada aljabar matrix punmemberikan hasil yang sama.Teorema 4.3.2.Translasi-translasi yang bukan identitas tidak memiliki titik invarian.Berdasarkan definisi, titik invarian tidak bergerak dalam suatu transformasi. Dengan katalain,
xx'y y'11Dalam pengertian translasi, hal ini berarti10exx01f001y y11Dengan ekspansi dan menyederhanakan suku-suku, kita peroleh x e x dany f y , dan ini berarti e 0 dan f 0 . Akibatnya, translasi yang bukan identitastidak memiliki titik invariant.Pada beberapa transformasi linear, garis-garis dipetakan pada dirinya sendiri.Dalam hal ini dikatakan bahwa garis-garis itu invariant pada transformasi. Misalnya,suatu transformasi dapat menggusur titik-titik sepanjang suatu garis yang diketahuidengan jarak tertentu. Titik-titik tersebut tidak invariant, namun garis yang ditentukanoleh titik-titik itu invariant. Pada gambar berikut, image dari ABC pada translasi yangditetapkan oleh panah adalah A' B' C' . Garis putus-garis putus yang diperoleh dengancara menghubungkan setiap titik dengan bayangannya adalah invariant dalam translasiini, sama seperti semua garis yang paralel dengan panah.A'AB'C'EBCDGambar 4.3.2.Manakala suatu transformasi linear telah benar-benar dipahami, pendekatan secarageometris biasanya lebih mudah serta cepat dalam mengidentifikasikan garis-garisinvariant. Bila transformasi tidak dipahami dengan baik, diperlukan pendekatan analitisuntuk mengidentifikasikan garis-garis invariant. Teorema berikut ini menetapkan suatu
metode untuk mengidentifikasikan garis-garis invarian yang berasosiasi dengan suatutransformasi linear.Teorema 4.3.3:Setiap translasi mempunyai garis-garis invariantGaris-garis invariant tidak berpindah dalam suatu transformasi, karena itu u1 u2u3 k u1 ' u2 ' u3 ' , dimana kuntuk memungkinkan ada bentuk-bentuk ekivalen bagigaris yang sama. Teorema 4.2.4 dan contoh 4.3.1 menyimpulkan bahwau1 u21 0eu3 0 1f0 01k u1 u2u3Jika bentuk ini diexpansikan kemudian disederhanakan suku-sukunya, maka diperoleh:1. u1 ku12. u2 ku23. u1 e u2 ( f ) u3 ku3Jika k 1, observasi 3 dapat disederhanakan menjadi u2 fu2efu1e , atauu1Hasil ini membawa kita pada bentuk solusi berikutu1efu1 u3Bentuk ini ditulis kembali sebagai berikutu1xeu1y u3f0Dan ditulis lagi dalam bentuk kemiringan, dan titik potong sumbu y, sebagai:ffyxu3eu1e
ini menjadi jelas bahwa semua garis invariant mempunyai kemiringan yang sama dengankemiringan dari panah. Pilihan u 3 adalah independen terhadap u1 , yang mengarah padatak hingga titik-titik potong sb y dalam bentukfu3ue1Dengan demikian panah dan semua garis yang sejajar dengannya invariant pada translasi.Catatan: Untuk menunjukkan bahwa translasi selalu mempunyai garis-garis invarianPeriksalah gradiennya.Contoh. Diketahui matrix translasi1 0T0 10 0731Tentukanlah semua garis invariant pada transformasi ini. Dengan menggunakan Teorema4.3.21 0u1 u27u3 0 130 01k u1 u2u3Setelah expansi dan menyederhanakan suku-suku, diperolehu1 u27u1 3u2u3ku1ku2ku3Dengan memilih k 1, diperoleh hubunganu27u13Dan ini menghasilkan garis-garis dalam bentuku17u1 u33Dengan menggunakan bentuk aljabar dan untuk u1 1, persamaan garis adalah:
x7y u333x70 atau y3u37Dengan demikian semua garis yang paralel terhadap panah (slide arrow) adalah invariant.5Coordinate(Point A): (-7.0, 3.0)A-10O-55-5Sejumlah sifat-sifat geometri yang lain dari titik dan garis juga diawetkan dalam suatutransformasi linear, termasuk jarak antara titik-titik, luas daerah poligon. Inilah yangdiharapkan dalam suatu translasi.Teorema 4.3.4Jarak invariant dalam translasiJarak antara dua titik pada bidang Euclid x1 , y1 dan x2 , y2 dinyatakan dalamdx2x12y2y12Dengan menghitung jarak antara bayangan-bayangan dari titik-titik ini,x2 ' , y2 ' maka akan diperolehx1 ' , y1 ' dan
d[ x2e] [ x1 e2[ y2f ] [ y1f]2Jika persamaan ini disederhanakan, maka akan diperolehdx2x12y2y12Dengan demikian, jarak diawetkan dalam transformasiTeorema 4.3.5Luas invariant dalam translasiBerdasarkan Teorema 4.1.1. luas daerah yang ditentukan oleh tiga titik sembarang yangtidak segaris pada bidang, x1 , y1 , x2 , y2 , x3 , y3 adalahLuas (1/2) absx1y1x2y2x3y3111Setelah translasi, luas daerah yang ditentukan oleh bayangan dari ketiga titik ini adalah:( x1 e) ( x2 e ( x3 e)Luas (1/2) abs ( y1 f ) ( y2 f ) ( y3 f )111Ternyata kedua luas ini ekivalen.Contoh: Diketahui matrix translasi1 0T0 10 0731
Dan titik-titik (1,1), (2,5) dan (6,2). Tunjukkanlah bahwa luas yang ditentukan oleh titiktitik ini tidak berubah oleh adanya translasi T. Berdasarkan persamaan 4.1.1, luas daerahyang ditentukan oleh ketiga titik ini adalah1 2 61abs 1 5 29.521 1 1Bayangan dari titik-titik yang diketahui oleh T diperoleh dari1 00 10 071 2 63 1 5 211 1 189 132 21111Luas daerah segitiga yang ditentukan oleh ketiga titik ini adalah1abs28 9 132 21119.5 Jadi luas daerah kedua segitiga itu sama.1Merepresentasi RotasiPersamaan matrix untuk rotasi terhadap sebuah titik dengan pusat titik asal dan melaluisuatu sudut adalaha b 0 xcossin0 xx'cd0 ysincos0 yy'00 1 1001 11Dimana sudut putar yang berlawanan dengan arah jarum jam adalah positif. Matrix 2 2pada pojok kiri atas berikut ini akan mereorientasikan obyek di bidang. Kolom ketigapada matrix itu menyatakan titik pusat rotasi, yaitu titik asal koordinat.a b 0 xcossin0 xx'cd0 ysincos0 yy'00 1 1001 11
Teorema 4.3.6Diketahui rotasi pada titik asalRcossin0sincos0001Invers dari R adalahR1cossin0sincos00011cos()sin(sin()cos(0) 0)0cossin00sincos01001Contoh:Tentukan bayangan dari titik (1,3) oleh rotasi 300 berlawanan dengan putaran jarum jamberpusat di titik asal. Rotasi ditentukan olehcossin0sincos00010sin 3000001cos30sin 3000cos300321201023020 1Bayangan dari titik yang diketahui adalah321201232001013132321 3 3221Operasi invers dapat diaplikasikan pada bayangan dari titik untuk mengembalikannyapada lokasi semula adalah sebagai berikut.
3212012320323211 3 3 32211001Invariant pada suatu rotasiSecara geometri paling sedikit ada satu titik invariant dalam suatu rotasi, yaitu titik pusatrotasi. Karena tiap titik lainnya mengalami perubahan posisi yang ditentukan oleh jarakdari titik pusat perputaran dan sudut putar, tidak ada lagi titik-titik lain yang invariant.Fakta ini secara mudah dapat diperlihatkan secara analitis.Teorema 4.3.7.Titik pusat koordinat sebagai pusat rotasi adalah invariant terhadap rotasiRcossin0sincos0001Bayangan dari titik asal (0,0) dalam rotasi disajikan olehcossin0 00sincos0 00001 11Untuk menunjukkan bahwa titik asal adalah satu-satunya titik invariant ( bilasuatu kelipatan , expansikan persamaan matrixcossin0 xxsincos0 yy001 11y sinxx sinSehingga diperoleh x cosdanmenyelesaikan kedua persamaan ini untuk memperoleh y,yx cossin1 x sincos 1y cosy.bukanDengan
Dengan menyamakan kedua persamaan ini dan melakukan perkalian menyilang akan221) 2x(sin ) 2 .diperoleh persamaan x(cosKarena cos 1 dan sinduaduanya positif, satu-satunya nilai x yang memenuhi persamaan adalah x 0.Substitusikan nilai ini ke dalam persamaan untuk memperoleh y, ditemukan bahwa y 0.Jadi satu-satunya titik invariant adalah titik asal koordinat.Secara geometri. Setiap garis di bidang direorientasikan dalam suatu rotasi, sehinggatidak akan pernah ada garis invariant selain dari perputaran dengan sudut putar adalahkelipatan 1800. Hal ini dipertegas dalam teorema berikut.Teorema 4.3.8Rotasi-rotasi ( dimanabukanlah kelipatan) tidak mempunyai garis invariant.Sendainya ada garis invariant, maka garis ini tidak berpindah dalam suatu transformasi,karena itu harus berlaku u1 u2 u3 k u '1 u2 ' u3 ' , kagar memungkinkanbentuk-bentuk eqivalen bagi garis yang sama. Teorema 4.3. 6 menyimpulkan bahwacossin0u1 u2 u3 sincos0 k u '1 u2 ' u3 '001Dengan expansi dan penyederhanaan terhadap suku-suku, diperoleh hasil-hasil berikut:u2 sinku11. u1 cosu2 cosku22. u1 sin3. u3 ku3Jika u3u20, kcossin1 . Maka hasil 1 dapat disederhanakan menjadi1u1 , dengannDengan demikian diperoleh solusi-solusi berbentuku1cos 1u1 u3sinKoefisien suku kedua jelas bukan suatu konstanta, sehingga obyek yang digambarkan inibukanlah suatu garis. Jadi tidak ada garis yang diawetkan dalam suatu tranformasi yangmerupakan rotasi.
Rotasi-rotasi adalah transformasi-transformasi yang umum dalam kehidupankeseharian. Pengalaman kami menyarankan bahwa jarak dan luas diawetkan juga dalamrotasi. Teorema-teorema berikut ini memformalkan kesan-kesan tersebut.Teorema 4.3.9Jarak adalah invariant pada rotasiContoh:Tentukan jarak antara titik (1,0) dan (0,1) dan bayanganya pada suatu rotasi 90 0 searahdengan perputaran jarum jam. Dengan menggunakan rumus jarak, jarak antara (1,0) dan(0,1) adalah 2 . Bayangan dari titik-titik ini oleh rotasi ditentukan sebagai berikut.01 0 1 001100 0 110001 1 111Dengan menggunakan rumus jarak terhadap titik-titik ini juga akan menghasilkanJadi jarak antara titi-titik sebelum dan sesudah rotasi tetap sama.2.Teorema 4.3.10Luas adalah invariant terhadap rotasi.Contoh: Diketahui matrix rotasi0R 101 00001dan titik (1,1), (2, 5) dan (6, 2). Periksalah apakah luas daerah yang ditentukan olehketiga titik ini awet oleh adanya rotasi oleh R. Berdasarkan persamaan 4.1, daerah yangditentukan oleh titik-titik ini ditentukan oleh1 2 61abs 1 5 221 1 19.5Bayangan dari titik-titik yang diketahui oleh adanya rotasi R, ditentukan oleh:
01 01 2 61521001 5 21260011 1 1111Luas daerah segitiga yang ditentukan oleh titik-titik ini adalah11abs 1215226119 .5Jadi daerah yang ditentukan oleh kedua segitiga ini adalah sama.Isometri-isometri tidak langsungMerepresentasi refleksi100 0 x1 0 yx'y'0011 1Matriks refleksiPersamaan matrix untuk refleksi sebuah titik terhadap sumbu x ditentukan oleh:100 0 x1 0 yxyx'y'00111 1Dengan adanya transformasi ini, setiap titik dipetakan onto ke titik yang mempunyaikoordinat x yang sama, tetapi koordinat y nya berlawanan tanda. Akibatnya, setiap titik
di atas sumbu x dipetakan ke titik yang berkorespondensi di bawah sumbu x, dansebaliknya.Contoh: Tentukan bayangan dari titik (1, 3) oleh refleksi terhadap sumbu x. Persamaanmatriks nya adalah:10000 111 0 3031 11Secara geometri, oleh refleksi, sebuah obyek dan bayangannya akan kongruen.Akan tetapi ada suatu orientasi yang terbalik. Dimulai dari A, bergerak keliling obyeksearah dengan putaran jarum jam, urutan titik-titik sudut adalah A-B-C. Dimulai dari A’,dan mengulangi prosedur, urutan titik-titik sudut adalah : A’-C’-B’. Tidak ada kombinasidari translasi yang dapat mengakibatkan hasil ini.mA'AB'BCC'Gambarlah sebuah segitiga kedua yang dipotong oleh sumbu refleksi. Tentukanlahbayangan obyek ini oleh transformas
Geometri Transformasi menawarkan pandangan yang dalam terhadap hakekat dari banyak topic tradisional, termasuk kongruensi, kesebangunan, dan symetri. Geometri transformasi juga berfungsi sebagai basis bagi banyak aplikasi kontemporer dalam seni, arsitek, engenering, film dan televisi.Yang lebih berarti lagi adalah bagaimana Felix
Geometri transformasi merupakan ilmu geometri yang mempelajari tentang jenis-jenis transformasi. Transformasi yang dimaksud adalah suatu fungsi bijektif yang memetakan titik pada ruang ke titik lainnya pada ruang itu juga, atau biasa disebut transformasi geometri. Pada ruang berdimensi tiga, geometri transformasi merupakan ilmu .
Geometri transformasi adalah bagian dari geometri yang memberikan pembahasan tentang geometri dengan pendekatan transformasi. Eccles (2003: 3) menyebutkan bahwa geometri transformasi sebagai kajian geometri yang mendalami kekongruenan, kesebangunan, dan konsep dasar fungsi, khususnya fungsi satu-satu dari titik-titik pada bidang .
BUKU AJAR MATAKULIAH GEOMETRI TRANSFORMASI TINJAUAN MATAKULIAH A. Deskripsi Singkat Mata Kuliah Mata kuliah ini membahas tentang geometri dari sudut pandang grup transformasi, konsep-konsep grup sebagai unsur dari struktur aljabar diterapkan melalui operasi pada transformasi atas bangun geometri di bidang datar.
Kompetensi : Menggunakan transformasi geometri yang dapat dinyatakan dengan matriks dalam pemecahan masalah. Sub Kompetensi :1. Mendefinisikan arti geometri dari suatu transformasi di bidang melalui pengamatan dan kajian pustaka 2. Menentukan hasil transformasi geometri dari sebuah titik dan bangun 3. Menentukan operasi aljabar dari .
transformasi geometri di dalam kehidupan sehari-hari. Dengan adanya materi ajar ini, kita akan dipandu melalui penanaman konsep dasar, latihan terbimbing, forum diskusi, dan permasalahan kontekstual yang berkaitan dengan transformasi geometri. 2. Relevansi Materi Transformasi Geometri sangat erat kaitannya dengan kehidupan
sebagai tugas kelompok mata kuliah Geometri Transformasi. Makalah Geometri Transformasi ini membahas materi Transformasi Balikan. Di dalamnya sedikit memberikan pembahasan tentang ketentuan dan sifat-sifat serta teorema-teorema dalam transformasi balikan, di antaranya diambil dari buku dan internet.
Transformasi Geometri, Aplikasi Maple 13, Motif Batik Sekar Jagad 1. PENDAHULUAN Geometri adalah salah satu cabang dari ilmu matematika yang memuat konsep-konsep abstrak dan tidak mudah dipahami. Dalam geometri dipelajari hubungan antara titik-titik, garis-garis, sudut-sudut, bidang-bidang, serta bangun .
Materials Science and Engineering, Mechanical Engineering, Production Engineering, Chemical Engineering, Textile Engineering, Nuclear Engineering, Electrical Engineering, Civil Engineering, other related Engineering discipline Energy Resources Engineering (ERE) The students’ academic background should be: Mechanical Power Engineering, Energy .
