Ejercicios Resueltos De Selectividad Matemáticas II .
Ejercicios resueltos de selectividadMatemáticas IIUniversidad de Extremadura2000-2006Vicente González ValleI.E.S. Zurbarán (Badajoz)Abril 2007
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PrólogoEste libro se ha hecho para uso y disfrute de los alumnos de segundo de bachillerato de laopción cientí co-tecnológica. Se trata de la segunda versión, por lo que espero tengáis la bondadde perdonar los errores que he cometido al hacerlo. También agradezco de corazón la colaboraciónde algunos compañeros y compañeras que tuvieron conocimiento de la primera versión gracias a laSociedad Extremeña de Educación Matemática Ventura Reyes Prósper , la cual no sólo comunicóla primera edición, sino que además me permitió obtener los enunciados de todos los años y asíayudarme a clasi carlos.Si quieres hacer algún comentario, comunicar algún error o decir algo que se te ocurra, puedesponerte en contacto conmigo en vgonzalezster@gmail.com.Este libro se irá actualizando con los exámenes que cada año vaya poniendo la universidad,pudiendo obtenerse la versión actualizada en la a/examenes.html.AEste trabajo se ha hecho utilizando L TEXy su frontend para linux Kile. Para los grá cos se hausado el software de Geogebra. Gracias a todos los que han hecho posible estos programas y loshan compartido gratuitamente con los demás.He hecho una clasi cación de los ejercicios por temas, esperando que la clasi cación realizadasea del agrado de todos.Se trata de un trabajo que ofrezco a la comunidad educativa, pero es conveniente saber que seemite bajo una licencia Creative Commons en la que tienes que tener presente que:Tu eres libre de:copiar, distribuir, comunicar y ejecutar públicamente la obra.hacer obras derivadas.Bajo la siguientes condiciones:AtribuciónDebes reconocer y citar la obra de la forma especi cada por el autor o el licenciante.No ComercialNo puedes utilizar esta obra para nes comerciales.Licenciar IgualSi alteras o transformas esta obra, o generas una obra derivada, sólo puedesdistribuir la obra generada bajo una licencia idéntica a ésta.Al reutilizar o distribuir la obra, tienes que dejar bien claro los términos de la licencia de estaobra.Alguna de estas condiciones puede no aplicarse si se obtiene el permiso del titular de losderechos de autor.iii
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va Teresa,ay a mis hijos Ana M , Isabel y Vicente.A mi mujer MA los tios Manolo, Chencho, Pepi, Gonzalo y Modesto,y, como no, al abuelo Paco,los últimos que nos dejaron siendo testigos del amor.Gracias a todos.
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Índice general1. Análisis1.1.1.2.1.3.1Funciones y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.1.1.Septiembre 00 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.1.2.Junio 01 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21.1.3.Septiembre 01 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31.1.4.Junio 03 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41.1.5.Septiembre 04 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4Derivada y sus aplicaciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51.2.1.Junio 00 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51.2.2.Junio 00 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61.2.3.Septiembre 00 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61.2.4.Junio 01 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61.2.5.Septiembre 01 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71.2.6.Junio 02 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81.2.7.Junio 02 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81.2.8.Septiembre 02 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91.2.9.Septiembre 02 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101.2.10. Junio 03 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101.2.11. Junio 03 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111.2.12. Septiembre 03 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121.2.13. Septiembre 03 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121.2.14. Junio 04 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131.2.15. Junio 04 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .141.2.16. Septiembre 04 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .151.2.17. Septiembre 04 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161.2.18. Junio 05 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161.2.19. Junio 05 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .161.2.20. Septiembre 05 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171.2.21. Septiembre 05 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .171.2.22. Junio 06 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181.2.23. Junio 06 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181.2.24. Septiembre 06 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .181.2.25. Septiembre 06 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18Integral. Cálculo de áreas y volúmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .201.3.1.Junio 00 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .201.3.2.Junio 00 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .201.3.3.Septiembre 00 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .221.3.4.Septiembre 00 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22vii
ÍNDICE GENERALviii1.3.5.Junio 01 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .221.3.6.Junio 01 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .231.3.7.Septiembre 01 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .241.3.8.Septiembre 01 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .251.3.9.Junio 02 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .251.3.10. Junio 02 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .261.3.11. Septiembre 02 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .261.3.12. Septiembre 02 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .271.3.13. Junio 03 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .281.3.14. Junio 03 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .281.3.15. Septiembre 03 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .291.3.16. Septiembre 03 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .291.3.17. Junio 04 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .301.3.18. Junio 04 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .311.3.19. Septiembre 04 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .311.3.20. Septiembre 04 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .321.3.21. Junio 05 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .321.3.22. Junio 05 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .331.3.23. Septiembre 05 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .341.3.24. Septiembre 05 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .341.3.25. Junio 06 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .351.3.26. Junio 06 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .351.3.27. Septiembre 06 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .361.3.28. Septiembre 06 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .362. Álgebra2.1.2.2.39Matrices y determinantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .392.1.1.Septiembre 00 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .392.1.2.Septiembre 01 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .392.1.3.Septiembre 01 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .402.1.4.Junio 02 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .402.1.5.Junio 03 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .412.1.6.Septiembre 03 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .412.1.7.Junio 04 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .422.1.8.Junio 04 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .422.1.9.Septiembre 04 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .432.1.10. Septiembre 04 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .432.1.11. Junio 06 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .442.1.12. Septiembre 06 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44Sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .452.2.1.Junio 00 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .452.2.2.Junio 00 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .452.2.3.Septiembre 00 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .452.2.4.Junio 01 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .462.2.5.Junio 02 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .472.2.6.Septiembre 02 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .492.2.7.Septiembre 02 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .492.2.8.Junio 03 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .502.2.9.Septiembre 03 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .51
ÍNDICE GENERAL2.2.10. Junio 05 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .512.2.11. Junio 05 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .522.2.12. Septiembre 05 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .532.2.13. Septiembre 05 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .532.2.14. Junio 06 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .542.2.15. Septiembre 06 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .553. Geometría3.1.3.2.ix57Vectores, puntos, rectas y planos en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .573.1.1.Septiembre 00 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .573.1.2.Septiembre 00 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .583.1.3.Junio 01 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .583.1.4.Junio 01 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .593.1.5.Septiembre 01 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .593.1.6.Septiembre 01 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .603.1.7.Junio 02 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .613.1.8.Junio 02 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .613.1.9.Septiembre 02 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .623.1.10. Septiembre 03 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .633.1.11. Septiembre 03 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .633.1.12. Junio 04 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .643.1.13. Septiembre 04 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .643.1.14. Septiembre 05 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .653.1.15. Junio 06 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .653.1.16. Junio 06 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .663.1.17. Septiembre 06 - Ejercicio 1 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66Problemas métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .683.2.1.Junio 00 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .683.2.2.Junio 00 - Ejercicio 2 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .683.2.3.Junio 01 - Ejercicio 1 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .683.2.4.Septiembre 02 - Ejercicio 3 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .693.2.5.Junio 03 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .703.2.6.Junio 04 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .703.2.7.Junio 05 - Ejercicio 4 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .713.2.8.Junio 05 - Ejercicio 4 - Repertorio B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .713.2.9.Septiembre 05 - Ejercicio 3 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .723.2.10. Septiembre 06 - Ejercicio 2 - Repertorio A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72
xÍNDICE GENERAL
Capítulo 1Análisis1.1.Funciones y continuidad1.1.1.Representar grá camente la funciónf (x) 2x3 x25 x 227¾Cuántas raíces reales positivas tiene este polinomio?(Septiembre 00)- Solución:Para poder representarla vamos a estudiar su derivada. Tenemos quef 0 (x) 6x2 x 1Igualando a cero resulta:6x2 x 1 0 x 1 16 122 1 241 5 1212 4 1123Construimos una tabla para estudiar el signo de la derivada y conocer así donde crece y dondedecrece y sus máximos y mínimos. 6x2 x 1 %&13En consecuencia: ---- 1 1 ,3 2 , 11Crece , , 32 1 1Decrece ,3 2 1 7Máximo ,3 18 141Mínimo , 2 2161 1, 2 %
21. Análisislı́m f (x) y que lı́m f (x) x x Podemos hacer una tabla de valores para a nar la representación, pero aquí no la pondremos.También es obvio queLa grá ca resultante podemos verla en la gura 1.1Figura 1.1: Representación grá ca de la funciónf (x) 2x3 x25 x 227Para ver la última parte del ejercicio usaremos el Teorema de Bolzano. Sabemos que como muchotendrá tres raices reales (pues es un polinomio de grado 3) y por los datos recabados con anterioridad y mirando la grá ca las raices estarán en los intervalos1 , 3 ,1 1 ,3 2 y1, 2 . Esevidente que hay una positiva garantizada (la contenida en el último intervalo) y otra negativa(en el primero). Veamos que ocurre con la otra. Nos basaremos en el teorema de Bolzano para irtanteando y comprobando donde está.Tenemos que intervalo0,12f (0) 5 027yf 141 0.2216Por tanto la tercera raiz se encuentra en el y es positiva.Representa la grá ca del polinomio1.1.2.f (x) 2x3 3x2 00 2¾Cuántas raíces reales negativas tiene este polinomio? ¾y cuántas positivas?(Junio 01)- Solución:Vamos a hacer un breve estudio del polinomio para su representación:-Domf R - Simetría - Continuidad- AsíntotasComo en todos los polinomios.No tiene. Continua en todoR.No tiene, como le ocurre a todos los polinomios.- Corte con los ejes: Eje X: Al ser un polinomio de grado 3 puede cortar al Eje X en un máximo de trespuntos. Vamos a orientarnos donde estarán usando el teorema de Bolzano. f ( 2) 16 12 00 2 0 f ( 1) 2 3 00 2 0
31.1. Funciones y continuidad f (0) 00 2 0 f (1) 2 3 00 2 0Por tanto corta en un punto entre Eje Y:( 2, 1),en otro entre( 1, 0)y en otro entre(0, 1).(0, 00 2)- Vamos a estudiar la derivada:f 0 (x) 6x2 6xEsta derivada se anula enx 0y enx 1.Por tanto:( , 1) ( 1, 0) (0, )26x 6x %&%De aquí deducimos que: Crece ( , 1) (0, ) Decrece ( 1, 0) Máximo ( 1, 00 8) Mínimo (0, 00 2)Su representación grá ca podemos verla en la gura 1.2Figura 1.2: Representación grá ca de la funciónf (x) 2x3 3x2 00 2La respuesta a las preguntas nales ya la hemos hecho cuando realizamos el estudio del cortecon el Eje X, es decir, hay dos raices negativas y una positiva.1.1.3.Enunciar el teorema de Bolzano. Calcular, con un error menor que una décima, una raíz positiva del polinomio x3 x 1(Septiembre 01)- Solución:La parte de teoría podemos encontrarla en cualquier libro.Para buscar la raiz positiva que nos piden vamos a tantear utilizando el teorema de Bolzano.Nuestra función esf (x) x3 x 1y es fácil observar que la función es continua en todotanto, lo es en cualquier intervalo que cojamos. También se cumple que:f (0) 1yf (1) 1Vamos a comenzar a tantear para acorralar la raiz.R,y por
41. Análisisf (00 5) 00 375 0 f (00 7) 00 043 0 La raiz está en el intervaloLa raiz está en el intervalof (00 6) 00 184 0 (00 5, 00 7).La raiz está en el intervaloLa raiz, con un error menor que00 1(00 5, 1).(00 6, 00 7).pero parece que por el valor que toma la función en él podíamos1.1.4.(00 6, 00 7).0tomar 0 7.está contenida en el intervaloValdría cualquiera,Enunciar el teorema de Bolzano y determinar si el polinomio x4 4x2 1 tienealguna raiz real negativa.(Junio 03)- Solución:El teorema podemos encontrarlo en cualquier libro.Vamos a aplicar el mismo para comprobar que la función tiene, al menos, una raiz negativa.Este hecho es evidente, pues basta con comprobar que la función toma valores de distinto signoen 5y0.-f ( 5) 625 100 1 0.-f (0) 1 0.Luego, según el teorema de Bolzano, comocontrario en1.1.5. 5y0,entonces existe unfc ( 5, 0)es continua en[ 5, 0]y toma valores de signof (c) 0.en el queEnunciar el teorema de Bolzano y usarlo para probar que la ecuación x cosxtiene solución positiva.(Septiembre 04)- Solución:El teorema de Bolzano puede encontrarse en cualquier libro.Pasamos a la segunda parte.Consideramos la funciónf (x) cosx x.Evidentemente su dominio es todoRy es tambiéncontinua en todo su dominio. Además:f (0) 1 0 1 0f (1) cos1 1 00 999847 1 0Por tanto, esta función cumple las hipótesis del teorema de Bolzano, y según el mismo, tieneque tener una raiz en el intervalo(0, 1),y por tanto positiva.Si no queremos apurar tanto podemos tomarestá comprendido entre 1y1,al restarle laxx 2, 3, · · ·en lugar deelegida dará negativo.x 1, pues como el coseno
51.2. Derivada y sus aplicaciones1.2.1.2.1.Derivada y sus aplicacionesDeterminar el dominio de de nición de la función f (x) x ln x2 1 y representar su grá ca, calculando los intervalos de crecimiento y los extremos(máximos y mínimos relativos). (Junio 00)- Solución:La función no existirá en los puntos en los quex2 1 0.Vamos a ver donde ocurre. Para ellovamos a hacer una tabla con los puntos de corte.x2 1 0 x 1La tabla queda:( , 1) ( 1, 1) (1, )2x 1Luego el dominio de la función es Domf ( , 1)S(1, ).Vamos a estudiar su derivada:f 0 (x) 1 x2 1 2xx2 2x 12x x2 1x2 1x2 1Vamos a estudiar su signo. Para ello vamos a igualar la derivada a cero y tendremos en cuentael dominio antes calculado y construiremos una tabla. 2 4 42 8x2 2x 1 0 x 1 22x 122La tabla quedaría:( , 1)( 1, 1) No existex2 2x 1x2 1%1, 1 - Crece ( , 1)- Decrece 1, 1 S 21 2, 1 2, &%Figura 1.3: Representación grá ca de la funciónLuego la función: 2 f (x) x ln x2 1
61. AnálisisHay un mínimo en1 2, 0.84 . Para aproximar más es bueno hacer una tabla de valores, queaquí no haremos. También es evidente que enx 1y enx 1hay asíntotas verticales, pues lastiene el logaritmo.-x 1 lı́m f (x) -x 1 (Por la izquierda no existe).x 1 lı́m f (x) x 1 (Por la derecha
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