PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2017

PROBLEMAS RESUELTOSSELECTIVIDAD ANDALUCÍA2017MATEMÁTICAS IITEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio 1, Opción A Junio, Ejercicio 1, Opción B Reserva 1, Ejercicio 1, Opción A Reserva 1, Ejercicio 1, Opción B Reserva 2, Ejercicio 1, Opción A Reserva 2, Ejercicio 1, Opción B Reserva 3, Ejercicio 1, Opción A Reserva 3, Ejercicio 1, Opción B Reserva 4, Ejercicio 1, Opción A Reserva 4, Ejercicio 1, Opción B Septiembre, Ejercicio 1, Opción A Septiembre, Ejercicio 1, Opción Bwww.emestrada.net

Se quiere hacer una puerta rectangular coronada por un semicírculo como el de la figura. Elhueco de la puerta tiene que tener 16 metros cuadrados. Si es posible, determina la base x paraque el perímetro sea mínimo.hxMATEMÁTICAS II. 2017. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.R E S O L U C I Ó Na) Función que queremos que sea mínimo: Pmin x 2h x 2h 1 x2 2 2 x x 2128 x 22 b) Relación entre las variables: 16 x h 16 x h h 288xc) Expresamos la función que queremos que sea máximo con una sola variable.128 4 x128 x 2 128 x 2 Pmin 2h 1 x 2 1 x 1 x 8x4x4x 2 2 2 2d) Derivamos e igualamos a ceroP ' min 2 ( 4) x 4 x 4 128 4 x 2 16 x 2 4 ( 4) x 2 512 ( 4) x 2 128128 0 x 2216 x4x( 4) 128 64 2x 3 x 3e) Calculamos la segunda derivada:P '' 2 ( 4) x 4 x 2 8 x 4 x 2 128 16 x4 128 P '' x 0 Mínimo( 4) Luego, el valor de la base es: x 128 4 '23 m( 4)www.emestrada.net

x2para x 1x 1a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f.b) Estudia y determina los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento de f.Calcula los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan)MATEMÁTICAS II. 2017. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.Considera la función f definida por f ( x ) R E S O L U C I Ó Na) Asíntotas Verticales: La recta x 1 es una asíntota vertical ya que lim f ( x) x 1Asíntota horizontal: limx x2 2x lim No tiene.x 1 x 1Asíntota oblicua: y x 1x2x2 2x 2m lim x 1 lim 2 lim lim 1x x x x xx x 2x 1 2222 x x x x x 1 n lim x lim lim lim 1 x x 1 x x 1 x x 1 x 1 b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero:2 x ( x 1) 1 x 2 x 2 2 xy ' 0 x 0 ; x 2( x 1)2( x 1)2( , 0)(0, 2)(2, )Signo y ' ― FunciónCDC Máximo 0, 0 mínimo (2, 4)Creciente: ( , 0) (2, )Decreciente: (0, 2)Máximo 0, 0 mínimo (2, 4)www.emestrada.net

Se sabe que la función f : dada porsi x 0 3 x 2 2f ( x ) x 2a cos( x ) si 0 x 2si x ax bes continua.a) Determina a y b.b) Estudia la derivabilidad de f.MATEMÁTICAS II. 2017. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.R E S O L U C I Ó Na) La función 3x 2 , es continua y derivable en. La función x 2 2a cos x , es continua yderivable en . La función ax 2 b es continua y derivable encontinuidad y derivabilidad en x 0 y x . Por lo tanto, sólo estudiamos laEstudiamos la continuidad en x 0 :lim 3x 2 2 f ( x) f (0) 2a 2 a 1 lim f ( x) xlim2 0 lim x 2a cos x 2a x 0 x 0 Estudiamos la continuidad en x :x 0lim x 2 2a cos x 2 2 x f ( x) lim f ( x) f ( ) 2 2 2 b b 2 xlim 22 x lim ax b b x b)3 Calculamos la función derivada: f '( x) 2 x 2 sen x 2x si x 0si 0 x si x Estudiamos la derivabilidad en x 0 : f '(0 ) 3 f '(0 ) f '(0 ) No derivable f '(0 ) 0 Estudiamos la derivabilidad en x :f '( ) 2 f '(0 ) f '(0 ) 2 derivable f '( ) 2 Luego, la función es derivable en 0 www.emestrada.net

1 cos x Calcula lim x 0 x sen x MATEMÁTICAS II. 2017. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.R E S O L U C I Ó N 1 cos x sen x x cos x 0cos x cos x x sen x 0lim lim lim x 0x 0x sen xsen x x cos x0 x sen x 0 x 0 sen x sen x sen x x cos x 0 lim 0x 0cos x cos x x sen x2www.emestrada.net

3x 2 2para x 1 .x 1a) Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de f.b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.MATEMÁTICAS II. 2017. RESERVA 2. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.Se considera la función f dada por f ( x ) R E S O L U C I Ó Na) Asíntotas Verticales: La recta x 1 es una asíntota vertical ya que lim f ( x) x 1Asíntota horizontal: limx 3x 2 2 6x lim No tiene.x 1 x 1Asíntota oblicua: y 3x 3 3x 2 22x 1 lim 3x 2 lim 6 x lim 6 3m limx x x 2 xx x 2x 1 x 222 3x 2 3x 2 3x 2 3x 3x 2 3 n lim 3x lim lim lim 3 x x x x x 1 x 1 1 x 1 b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero:y ' 33 6 x ( x 1) 1 ( 3x 2 2) 3x 2 6 x 2 0 x 1 ; x 1 22( x 1)( x 1)33 3 ,1 3 3 ,1 1 3 3 1,1 3 3, 1 3 Signo y ' FunciónDCCD 3 3 ,1 1,1 Creciente: 1 33 3 3Decreciente: ,1 1 , 3 3 Máximo: 1'57, 9'46 Mínimo: (0 ' 42, 2 '53)www.emestrada.net

Una cuerda de un metro de longitud se divide en dos trozos con los que se construyen uncuadrado y una circunferencia respectivamente.Determina, si es posible, las longitudes de los trozos para que la suma de las áreas sea mínima.MATEMÁTICAS II. 2017. RESERVA 2. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.R E S O L U C I Ó Na) Función que queremos que sea mínimo: S min b) Derivamos e igualamos a ceroS min Lado del cuadradox2(1 x)2 x 2 4 4 x 2 8 x 164 216 2 x 8 x 84 0 x 16 4 x1 4 4 Radio de la circunferencia1 x 2 1 44 12 8 2 Luego, el lado del cuadrado es el doble del radio de la circunferencia.Las longitudes de los trozos son: x 4 ; 1 x 4 4 www.emestrada.net

Se necesita construir un depósito cilíndrico, con tapas inferior y superior, con capacidad de20 m 3 . El material para las tapas cuesta 10 euros cada m 2 y el material para el resto delcilindro 8 euros cada m 2 . Calcula, si existe, el radio de las tapas y la altura del cilindro quehace que el coste total sea mínimo.MATEMÁTICAS II. 2017. RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.R E S O L U C I Ó Na) Función que queremos que sea mínimo es: C min 2 r 2 10 2 r h 8 20 r 2 16 r hb) Relación entre las variables: V r 2 h 20 h 20 20 2 r 2rc) Expresamos la función que queremos que sea máximo con una sola variable.C min 20 r 2 16 r 20320 20 r 2 2rrd) Derivamos e igualamos a ceroC ' min 40 r 320 40 r 3 320 0 r r2r238 2 me) Comprobamos que corresponde a un mínimo:120 r 4 2r (40 r 3 320 ) 40 r 3 640 C '' min r4r3C '' min (r 2) 40 (2) 3 640 0 Mínimo(2) 3Luego, las dimensiones del depósito son: r 2 m y h 5 mwww.emestrada.net

Considera la función f : dada por f ( x ) ax 3 bx 2 cx d . Calcula a; b; c y dsabiendo que f tiene un extremo relativo en (0,1) y su gráfica un punto de inflexión en (1, 1) .MATEMÁTICAS II. 2017. RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.R E S O L U C I Ó NCalculamos su derivada primera y segunda:f '( x) 3ax 2 2bx c ; f ''( x) 6ax 2b Pasa por (0,1) a 0 3 b 0 2 c 0 d 1 d 1- Extremo relativo en (0,1) f '(0) 0 3a 0 2b 0 c 0 c 0 Pasa por (1, 1) a 13 b 1 2 c d 1 a b 2- Punto de inflexión en (1, 1) f ''(1) 0 6a 1 2b 0 6a 2b 0Resolviendo el sistema resulta: a 1 ; b 3Luego: a 1 ; b 3 ; c 0 ; d 1 f ( x) x 3 3x 2 1www.emestrada.net

Calcula la función polinómica, de grado 3, de la que se sabe que tiene un extremo relativo en elpunto (0, 2) y que la tangente a su gráfica en el punto de abscisa x 1 es la recta x y 3 .MATEMÁTICAS II. 2017. RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.R E S O L U C I Ó NLa función será: f ( x) ax 3 bx 2 cx d . Calculamos su derivada primera y segunda:f '( x) 3ax 2 2bx c ; f ''( x) 6ax 2b Pasa por (0, 2) a 0 3 b 0 2 c 0 d 2 d 2- Extremo relativo en (0, 2) f '(0) 0 3a 0 2b 0 c 0 c 0- Pasa por (1, 2) f (1) 2 a b c d 2 a b 0 2 2 a b 0- La tangente en x 1 tiene de pendiente 1 f '(1) 1 3a 1 2 2b 1 c 1 3a 2b 0 1 3a 2b 1Resolviendo el sistema resulta: a 1 ; b 1Luego: a 1 ; b 1 ; c 0 ; d 2 f ( x) x 3 x 2 2www.emestrada.net

4para x 0 .x2a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f.b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremosrelativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).c) Esboza la gráfica de f.MATEMÁTICAS II. 2017. RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.Considera la función definida por f ( x ) x R E S O L U C I Ó Na) Asíntotas Verticales: La recta x 0 es una asíntota vertical ya que lim f ( x) x 0 x 4 3x 6 x lim lim No tiene.2x x 2x x 23Asíntota horizontal: limx 2Asíntota oblicua: y x x3 432x 2 lim x 4 lim 3 x lim 6 x lim 6 1m limx x xx3 x 3x 2 x 6 x x 6 x3 4 x3 4 x3 4 n lim x lim lim 2 0 22x x x x x x b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero: 3x 2 x 2 2 x( x 3 4) x 3 8y ' 0 x 2x4x3( , 2)( 2, 0)(0, )Signo y ' FunciónDCDCreciente: ( 2, 0)Decreciente: ( , 2) (0, )Mínimo: ( 2,3)c)www.emestrada.net

Una imprenta recibe un encargo para realizar una tarjeta rectangular con las siguientescaracterísticas: la superficie rectangular que debe ocupar la zona impresa debe ser de 100 cm 2, el margen superior tiene que ser de 2 cm, el inferior de 3 cm y los laterales de 5 cm cada uno.Calcula, si es posible, las dimensiones que debe tener la tarjeta de forma que se utilice la menorcantidad de papel posible.MATEMÁTICAS II. 2017. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.R E S O L U C I Ó N2 cm100 cm25 cm5 cmy3 cmxPaso 1: Escribimos la función que queremos que sea mínima: S min x yPaso 2: Escribimos la relación entre las variables: 100 ( x 10) ( y 5) y Paso 3: Sustituimos: S min x y x 50 5 xx 1050 5 x 50 x 5 x 2 x 10x 10Paso 4: Derivamos e igualamos a cero:5 x 2 100 x 500S' 0 5 x 2 100 x 500 0 x 24'14 ; x 4'142( x 10)Como es una longitud, el valor es: x 24'14Paso 5: Calculamos la 2ª derivada y comprobamos que corresponde a un mínimo.S '' 2000 S ''( x 24 '14) 0 '70 mínimo( x 10)3Luego las dimensiones de la tarjeta son: x 24 '14 cm ; y 12 '07 cmwww.emestrada.net

e x e x2a) Estudia y determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. Calcula losextremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).b) Halla la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x 0 .MATEMÁTICAS II. 2017. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.Considera la función f : definida por f ( x ) R E S O L U C I Ó Na) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero:e x e xy ' 0 e x e x 0 x 02( , 0)(0, )Signo y '― FunciónDC mínimo (0,1)La función es decreciente en ( , 0) y creciente en (0, ) . Tiene un mínimo relativo en (0,1)b) Calculamos f (0) 1 y f '(0) 0La recta normal en x 0 es: y f (0) 11 ( x 0) y 1 ( x 0) x 0f '(0)0www.emestrada.net

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2017 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio 1, Opción A . Una cuerda de un metro de longitud se divide en dos trozos con los que se construyen un cuadrado y una circunferencia respectivamente. Determina, si es posible, las longitudes de los troz