PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012

PROBLEMAS RESUELTOSSELECTIVIDAD ANDALUCÍA2012MATEMÁTICAS IITEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio 1, Opción A Junio, Ejercicio 1, Opción B Reserva 1, Ejercicio 1, Opción A Reserva 1, Ejercicio 1, Opción B Reserva 2, Ejercicio 1, Opción A Reserva 2, Ejercicio 1, Opción B Reserva 3, Ejercicio 1, Opción A Reserva 3, Ejercicio 1, Opción B Reserva 4, Ejercicio 1, Opción A Reserva 4, Ejercicio 1, Opción B Septiembre, Ejercicio 1, Opción A Septiembre, Ejercicio 1, Opción Bwww.emestrada.net

Sea la función f : definida por f ( x ) e x ( x 2) .a) Calcula las asíntotas de f.b) Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y los valores que se alcanzan) y losintervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.c) Determina, si existen, los puntos de inflexión de f.MATEMÁTICAS II. 2012. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.R E S O L U C I Ó Na)Asíntota vertical: No tiene, ya que el dominio de la función esAsíntota horizontal: lim e x ( x 2) No tiene.x x 2 11 lim 0 y 0 x xx e e Asíntota oblicua: No tiene, ya que tiene horizontallim e x ( x 2) 0 ( ) limx x b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero:f '( x) e x ( x 2)e x e x ( x 1) 0 x 1 ,1 1, Signo f '― FunciónDC mínimo 1, e c) Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero: f ''( x) e x ( x 1) e x e x x 0 x 0 , 0 0, Signo f ''― FunciónCnCx P.I. 0, 2 El dibujo de la función sería:www.emestrada.net

a sen x x e xes finito, calcula el valor de a y el de dicho limite.x 0x2MATEMÁTICAS II. 2012. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.Sabiendo que limR E S O L U C I Ó NAplicamos la regla de L’Hôpitallimx 0a sen x x e x 0a cos x e x x e x a 1 lim x20 x 02x0Como el limite es finito, se tiene que cumplir que: a 1 0 a 1 , para que vuelva a salir0y0podamos seguir aplicando L’Hôpital1 sen x x e x 01 cos x e x x e x 0 sen x e x e x x e x 2lim lim lim 1x 0x20 x 02x0 x 022www.emestrada.net

Sea la función f : (0, ) definida por f ( x ) 1 ln x , donde ln denota la funciónxlogaritmo neperiano.a) Halla los extremos absolutos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) en el 1 intervalo , e . e b) Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x e .MATEMÁTICAS II. 2012. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN AR E S O L U C I Ó Na) Los extremos absolutos pueden estar en:- Las soluciones de f '( x) 0 . Calculamos la derivada y la igualamos a cero:f '( x) 1 1 x 1 2 0 x 1 y 1x2 xx- En los puntos donde no es continua o no es derivable. En nuestro caso como es continua yderivable, no hay ningún punto. 1 - En los extremos del intervalo , e . Calculamos los valores de la función en los e extremos del intervalo.1 1 f e 1 ; f e 1e e 1 Luego, el máximo absoluto está en , e 1 y el mínimo absoluto en 1 , 1 e b) La ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa x e es:y f (e) f '(e) ( x e)Calculamos:11f (e) ln e 1eef '( x) 1 11 1 e 1 f '(e) 2 22xxeee1e 1Sustituyendo, tenemos: y f (e) f '(e) ( x e) y 1 2 ( x e)eewww.emestrada.net

2x 2para x 1 y x 2( x 1)( x 2)a) Estudia y calcula las asíntotas de la gráfica de fb) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de fc) Calcula, si existe, algún punto de la gráfica de f donde ésta corta a la asíntota horizontal.MATEMÁTICAS II. 2012. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN BSea f la función definida por f ( x ) R E S O L U C I Ó Na)Asíntota vertical: Son los valores que anulan al denominador, es decir, x 1 y x 2 .2x 2 2 2 y 2x x 2 x 2 1Asíntota oblicua: No tiene, ya que tiene horizontalAsíntota horizontal: limb) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero:4 x ( x 2 x 2) (2 x 1) 2 x 2 2 x 2 8xf '( x) 2 0 x 0 ; x 4( x 2 x 2) 2( x x 2) 2 , 4 4, 1 1, 0 0, 2 2, Signo f '― ――FunciónDCCDDCreciente: 4, 1 ( 1, 0)Decreciente: , 4 (0, 2) (2, )c) Calculamos si existe punto de corte de la función con la asíntota horizontal.2x 2 2x 2 2 2x 4 0 x 2x2 x 2 2x x 2 y 2 y Luego, el punto de corte es el ( 2, 2)www.emestrada.net

Sea la función f : 1, e definida por: f ( x ) x 2 8 ln( x ) donde ln denota la funciónlogaritmo neperiano.a) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.b) Calcula los extremos absolutos y relativos de la función f (abscisas donde se obtienen y valoresque se alcanzan).c) Estudia los intervalos de concavidad y convexidad.MATEMÁTICAS II. 2012. RESERVA 2. EJERCICIO 1. OPCIÓN AR E S O L U C I Ó Na y b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero:y ' 2x 8 0 x 2 ; x 2x 1, 2 2, e Signo y ' FunciónDC mínimo 2, 4 8ln 2 La función tiene un mínimo relativo en 2, 1'54 .Los extremos absolutos pueden estar en los extremos del intervalo, es decir, en x 1 y x e .Calculamos los valores de la función en estos puntos.f (1) 1f (e) e 2 8ln e 0'61Luego, el máximo absoluto está en el punto (1,1) y el mínimo absoluto en el punto (2, 1'54)c) Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero:y '' 2 8 0 No tiene soluciónx2 1,e Signo y '' FunciónCxLuego, la función es convexa en el intervalo 1,e .www.emestrada.net

Sea la función f : definida por: f ( x ) e x ( x 2 x 1) .a) Calcula: lim f ( x ) y lim f ( x )x x b) Halla los extremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y los valores que se alcanzan,determinando si son máximos o mínimos).c) Determina las abscisas de los puntos de inflexión de la gráfica de f.MATEMÁTICAS II. 2012. RESERVA 2. EJERCICIO 1. OPCIÓN BR E S O L U C I Ó Na)x 2 x 1 2x 1 22 lim lim x 0 x xx x x e e e lim e x ( x 2 x 1) 0 limx lim e x ( x 2 x 1) x b) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero:y ' e x ( x 2 x 1) (2 x 1) e x e x x 2 x 0 x 0 ; x 1 , 1 1, 0 0, Signo y ' ― FunciónCDC 3 Máximo 1, e mínimo 0,1 c) Calculamos la segunda derivada y la igualamos a cero:y '' e x ( x 2 x) (2 x 1) e x e x x 2 3x 1 0 x 3 52 3 5 , 2 3 5 3 5 , 22 3 5 , 2 Signo y '' ― FunciónCxCnCx P.I.Luego, en los puntos x P.I. 3 5, hay puntos de inflexión, ya que cambia la curvatura.2www.emestrada.net

Un alambre de longitud 2 metros se divide en dos trozos. Con el primero se forma unrectángulo cuya base es el doble de la altura y con el segundo trozo se forma un cuadrado.Calcula las longitudes de dichos trozos para que la suma de las áreas del rectángulo y elcuadrado resultante sea mínima.MATEMÁTICAS II. 2012. RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.R E S O L U C I Ó N 2 x 2a) Función que queremos que sea mínima: S min 2y 4 2b) Relación entre las variables: x 2 y 2 y y y 6 y y x6c) Expresamos la función que queremos que sea mínima con una sola variable.2 2 x x 17 x 36 x 36 2 144 4 6 2S mind) Derivamos e igualamos a ceroS' 234 x 3636 18 0 x 14434 17e) Comprobamos que corresponde a un mínimoS '' Luego, las dimensiones son: x 36 0 mínimo1441816m ; 2 x m1717www.emestrada.net

Sea la función f : definida por: f ( x ) ln( x 2 3 x 3) x donde ln denota la funciónlogaritmo neperiano.a) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (abscisasdonde se obtienen y valores que se alcanzan).b) Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x 2 .MATEMÁTICAS II. 2012. RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCIÓN BR E S O L U C I Ó Na) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero:2x 3 x2 xy' 2 1 2 0 x 0 ; x 1x 3x 3x 3x 3 , 1 1, 0 0, Signo y ' FunciónDCD mínimo 1,1 Máximo 0, ln 3 b) La recta normal en x 2 es y f ( 2) 1 ( x 2)f '( 2)f ( 2) 2f '( x) x x 4 2 f '( 2) 22x 3x 34 6 321x 6Sustituyendo en la ecuación, tenemos, y 2 ( x 2) y 22www.emestrada.net

Se considera la función derivable f : a 1 x 2 definida por f ( x ) b a xsix 1six 1Calcula los valores de a y b.MATEMÁTICAS II. 2012. RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.R E S O L U C I Ó NSi la función es derivable, primero tiene que ser continua en el punto x 1 , luego:a 1 a x 1x 2 1 a a b 2a b 1blim a a b x 1 x lim 1 a ( x 2) 2 Calculamos la función derivada: f '( x) b 2 x xsi x 1si x 1a a b 1Como es derivable en x 1 , se cumple que: a b 2ab2 f '(1 ) 2 f '(1 ) Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones, tenemos que: a 11; b 42www.emestrada.net

De entre todos los triángulos rectángulos de hipotenusa 10 unidades, determina las dimensionesdel de área máxima.MATEMÁTICAS II. 2012. RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.R E S O L U C I Ó Na) Función que queremos que sea máximo: S max x y2b) Relación entre las variables: x 2 y 2 100 y 100 x 2c) Expresamos la función que queremos que sea máximo con una sola variable.S max 2x y x 100 x 22100 x 2 x 42d) Derivamos e igualamos a cero200 x 4 x 3S ' max 2 100 x 2 x 450 x 2 0 x 2100 x 250e) Comprobamos que corresponde a un máximo 2 x 100 x 2 2x2 100 x 100 x 2S '' 2 50 100 50 S ''( x 50) Luego, las dimensiones son: x 100 5050 ; y 502 2 x 100 x 2 x100 x 2100 x 250100 50 100 1 0 Máximo50www.emestrada.net

x k si x 0 definida por f ( x ) e x 2 1.six 0 x2 Sea la función continua f :a) Calcula el valor de k.b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa x 1 .MATEMÁTICAS II. 2012. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.R E S O L U C I Ó Na) Como la función es continua se cumple que los límites laterales en x 0 son iguales, luego:lim x k kx 0 2e x 1 02x e xlim lim lim e x2 x 0x 0x0 x 02x22 k 1 1 b) La ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa x 1 es:y f (1) f '(1) ( x 1)Calculamos:f (1) e1 1 e 112 x e x x 2 2 x (e x 1) 2 e x x 2 2 (e x 1)f '( x ) f '(1) 2e 2e 2 2x4x32222Sustituyendo, tenemos:y f (1) f '(1) ( x 1) y (e 1) 2( x 1) y 2 x 2 e 1 2 x e 3www.emestrada.net

e xpara x 1 .1 xa) Estudia las asíntotas de la gráfica de la función f.b) Halla los extremos relativos (abscisas donde se obtienen y los valores que alcanzan) y losintervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.MATEMÁTICAS II. 2012. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.Sea la función f definida por f ( x ) R E S O L U C I Ó Na)Asíntota vertical: Son los valores que anulan al denominador, es decir, x 1 .e x0 0 y 0Asíntota horizontal: limx 1 x e x 1 e x lim NOx 1 x x 1Asíntota oblicua: No tiene, ya que tiene horizontallimb) Calculamos la primera derivada y la igualamos a cero:f '( x) 1 e x (1 x) ( 1) e xx e x 0 x 0(1 x) 2(1 x) 2 , 0 0,1 1, Signo f '― FunciónDCCCreciente: 0,1 (1, )Decreciente: , 0 Mínimo: 0,1 www.emestrada.net

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio 1, Opción A Junio, Ejercicio 1, Opción B . Un alambre de longitud 2 metros se divide en dos trozos. Con el primero se forma un rectángulo cuya base es el doble de l