UTS TEORI BILANGAN
Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. HamkaPendidikan Matematika Kelas 3 GUTS TEORI BILANGANIBNU EDIYUONO (0901125091)KELAS 3G, PEND. MATEMATIKAUNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF.DR.HAMKACopyright@ibnuediyuono 2010
Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. HamkaPendidikan Matematika Kelas 3 GLAMBANG BILANGAN&SISTEM NUMERISASICopyright@ibnuediyuono 2010
Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. HamkaPendidikan Matematika Kelas 3 GSEJARAH BILANGANBilangan pada awalnya hanya dipergunakan untuk mengingat jumlah, namun dalamperkembangannya setelah para pakar matematika menambahkan perbendaharaan simbol dankata- kata yang tepat untuk mendefenisikan bilangan maka matematika menjadi hal yangsangat penting bagi kehidupan dan tak bisa kita pungkiri bahwa dalam kehidupan kesehariankita akan selalu bertemu dengan yang namanya bilangan, karena bilangan selalu dibutuhkanbaik dalam teknologi, sains, ekonomi ataupun dalam dunia musik, filosofi dan hiburan sertabanyak aspek kehidupan lainnya.Dulu perhitungan dengan bilangan dimulai dengan perbandingan, misalnya "milik siini lebih sedikit dari milik si itu" atau "milik si itu lebih banyak dari milik si ini" kemudianseiring waktu cara perhitungan bilangan berkembang lagi, manusia tidak lagi menggunakancara perbandingan untuk menentukan jumlah sesuatu, tetapi mereka menggunakan kerikil,simpul pada tali, jari-jemari atau menggunakan ranting untuk menentukan jumlah sesuatudengan tepat, misalnya jumlah ternak atau jumlah anggota keluarga yang tinggal bersamanya.Inilah dasar pemahaman tentang konsep bilangan dan ketika seseorang berpikir tentangbilangan dua maka dalam benaknya sudah tertanam pengertian terdapat benda sebanyak duabuah. Misalnya "dua buah kelapa" atau "dua ekor sapi".Karena menyatakan bilangan dengan menggunakan kerikil, ranting atau jemaridirasakan tidak praktis, maka orang mulai berpikir untuk menggantikan bilangan itu dengansimbol dan masing suku ataupun bangsa memiliki cara tersendiri untuk mengambarkanbilangan dalam bentuk simbol-simbol yang unik seperti yang terlihat dalam gambar-gambarberikut:Copyright@ibnuediyuono 2010
Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. HamkaPendidikan Matematika Kelas 3 GA.SISTEM BILANGANSystem bilangan (number system) adalah suatu cara untuk mewakili besaran darisuatu item fisik. Sistem bilanan yang banyak dipergunakan oleh manusia adalah systembiilangan desimal, yaitu sisitem bilangan yang menggunakan 10 macam symbol untukmewakili suatu besaran.Sistem ini banyak digunakan karena manusia mempunyai sepuluhjari untuk dapat membantu perhitungan. Lain halnya dengan komputer, logika di komputerdiwakili oleh bentuk elemen dua keadaan yaitu off (tidak ada arus) dan on (ada arus). Konsepinilah yang dipakai dalam sistem bilangan binary yang mempunyai dua macam nilai untukmewakili suatu besaran nilai.Dahulu perhitungan dengan bilangan dimulai dengan perbandingan, misalnya "miliksi ini lebih sedikit dari milik si itu" atau "milik si itu lebih banyak dari milik si ini" kemudianseiring waktu cara perhitungan bilangan berkembang lagi, manusia tidak lagi menggunakancara perbandingan untuk menentukan jumlah sesuatu, tetapi mereka menggunakan kerikil,simpul pada tali, jari-jemari atau menggunakan ranting untuk menentukan jumlah sesuatudengan tepat, misalnya jumlah ternak atau jumlah anggota keluarga yang tinggal bersamanya.Inilah dasar pemahaman tentang konsep bilangan dan ketika seseorang berpikir tentangbilangan dua maka dalam benaknya sudah tertanam pengertian terdapat benda sebanyak duabuah. Misalnya "dua buah kelapa" atau "dua ekor sapi".Karena menyatakan bilangan dengan menggunakan kerikil, ranting atau jemaridirasakan tidak praktis, maka orang mulai berpikir untuk menggantikan bilangan itu dengansimbol dan masing suku ataupun bangsa memiliki cara tersendiri untuk mengambarkanbilangan dalam bentuk simbol-simbol yang unik seperti yang terlihat dalam gambar-gambarberikut:Simbol Bilangan BabiloniaSimbol bilangan bangsa Babylonia Lambang bilangan sudah dikenal manusia sejaktahun 5000 SM yang disebut Cuneiform ditemukan sekitar sungai Eufrat dan Tigris (sekarangIrak). Lambang ini digunakan oleh bangsa BabiloniaCopyright@ibnuediyuono 2010
Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. HamkaPendidikan Matematika Kelas 3 GSimbol bilangan bangsa Maya di Amerika pada tahun 500 SMSimbol bilangan menggunakan huruf Hieroglif yang dibuat bangsa Mesir Kuno:Simbol bilangan bangsa Arab yang dibuat pada abad ke-11Copyright@ibnuediyuono 2010
Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. HamkaPendidikan Matematika Kelas 3 GSimbol bilangan bangsa Yunani KunoSimbol bilangan bangsa RomawiAngka Romawi atau Bilangan Romawi adalah sistem penomoran yang berasal dariRomawi kuno. Sistem penomoran ini memakai huruf alfabet untuk melambangkan angkanumerik 00CKetentuan dalam menulis lambang bilangan Romawi1. Lambang yang sama hanya boleh ditulis berurutan sebanyak 3 kali.Contoh :3 III30 XXX40 tidak boleh ditulis XXXXCopyright@ibnuediyuono 2010
Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. HamkaPendidikan Matematika Kelas 3 G2. Nilai dari lambang yang di sebelah kanan lebih kecil dari lambang yang di sebelahkiri berarti penjumlahan.Contoh :VIII artinya5 3 8XV artinya10 5 15LVII artinya50 5 2 57CXXV artinya100 20 5 1253. Nilai lambang yang di sebelah kiri lebih kecil dari lambang yang di sebelah kananberarti pengurangan.Contoh :IV artinya5–1 4IX artinya10 - 1 9XL artinya50 - 10 404. V dan X hanya boleh dikurangi oleh I satu kali.Contoh :IV artinya5–1IX artinya10 – 1 9 4Tidak boleh ditulis IIV atau IIX5. L hanya dapat dikurangi oleh X satu kali.ContohXL artinya50 - 10 40Tidak boleh ditulis XXL atau XXXLCopyright@ibnuediyuono 2010
Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. HamkaPendidikan Matematika Kelas 3 GSimbol bilangan oleh bangsa Hindu-Arab KunoAwal mula lambang bilangan hinduKebudayaan Hindu terletak di tengah beberapa pusat kebudayaan kuno yang telahmencapai peradaban yang cukup tinggi, pad saat itu disana terjadi pertukaran budaya.Pertukaran kebudayaan itu mengakibatkan pengetahuan dari berbagai pusat kebudayaanberpadu dan terjalin. Salah satu pengetahuan berhitung yang telah dipertahankan dandisebarkan adalah lambang bilangan. Lambang bilangan hindu – arab kuno, Tahun 775wilayah kekuasaan Arab terpecah dua yaitu: Kalifat Arab timur berpusat di Bagdad, KalifatArab barat berpusat di Cordoba. Lambang bilangan Arab timur kemudian menjelma menjadilambang bilangan Arab sekarang ini lambang bilangan Arab barat dikenal dengan namalambang bilangan Gobar. Penerimaan lambang bilangan Hindu-Arab di Eropa tidak berjalanlancar. Setelah abad kedua belas dan ketiga belas lambang bilangan Hindu-Arab mulaidipergunakan di Eropa dan menyebar ke seluruh dunia.HIEROGLYPHICKata “hieroglyphic” berarti “pahatan suci”. Sebenarnya, itu bukanlah nama yang tepatbagi tulisan kuno Mesir. Namanya seperti itu karena ketika orang Yunani pertama kalimelihat tulisan itu, mereka yakin bahwa itu ditulis oleh pendeta untuk maksud yang suci.Hieroglyphic Mesir merupakan salah satu sistem penulisan yang paling tua yang dikenalmanusia. Beberapa dari tulisan itu berasal dari tahun 3000 sebelum Masehi, dan hieroglyphicmenjadi tulisan Mesir selama lebih dari 3000 tahun. Mulanya, orang Mesir menggunakanbentuk gambar tulisan yang kasar, seperti yang digunakan oleh suku-suku primitif di seluruhdunia. Hieroglyphic adalah gambar, masing-masing mewakili obyek alamiah. Mataharidigambarkan sebagai piringan, bulan oleh bulan sabit, air oleh garis bergelombang, orangdengan bentuk orang dan seterusnya. Tapi tulisan gambar ini tidak dapat mewakili bendabenda yang tidak dapat dilihat oleh mata seperti pikiran, cahaya dan hari. Jadi lambat launhieroglyphic lebih menjadi simbol ide daripada gambar obyek. Piringan dapat juga berartiCopyright@ibnuediyuono 2010
Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. HamkaPendidikan Matematika Kelas 3 G“hari” dan bukan hanya matahari. Simbol lain berarti “berbalik”. Ide-ide ini disebut“ideogram”.Hieroglyphic berkembang dengan menggunakan gambar untuk mewakili bunyidaripada untuk obyek sesungguhnya. Misalnya, gambar lebah bisa bukan berarti serangga,tetapi kata “lebah”. Daun dapat berarti kata “percaya”. Hieroglyphic yang digunakan sebagaibunyi dikenal dengan nama “fonogram”. Belakangan, orang Mesir dapat menulis kata apasaja yang mereka kenal, baik kata itu berarti sesuatu yang dapat mereka gambarkan atautidak. dari fonogram tersebut mereka kembangkan satu seri tanda, masing-masing mewakilisatu huruf. Dalam penulisan, orang Mesir hanya menggunakan konsonan (huruf mati). OrangMesir juga terus menggunakan tanda-tanda lama dalam penulisan mereka seperti ideogram,fonogram dan picturegram yang semuanya digabungkan. Lambat laun, tulisannya menjadisangat rumit sehingga sulit dimengerti oleh orang awam.PERKEMBANGAN BILANGAN DARI JAMAN HINDU-BUDHA INDIAEROPACopyright@ibnuediyuono 2010SAMPAI
Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. HamkaPendidikan Matematika Kelas 3 GSISTEM NUMERISASISistem bilangan numerisaso adalah sebuah simbol atau kumpulan dari simbol yangmerepresentasikan sebuah angka. Numerisasi berbeda dengan angka. Simbol "11", "sebelas"and "XI" adalah numerisasi yang berbeda, tetapi merepresentasikan angka yang sama yaitusebelas. Secara garis besar terdapat dua sistem numerisasi, yaitu sistem numerisasiberdasarkan penambahan dan sistem numerik berdasarkan posisi.Sistem Numerisasi Berdasarkan PenambahanSistem numerisasi yang paling sederhana adalah Sistem numerisasi. Sistem ini seringdipakai untuk melakukan pemilihan pada suatu voting. Kerugiann penggunaan dari sistemnumerik adalah sistem ini membutuhkan tempat yang besar.Selain sistem numerisasi, contoh lain dari sistem numerisasi berdasarkan penambahanadalah :I1D 500V5M 1000X10L50C100Angka Romawi dituliskan dengan simbol dari angka yang tersedia kemudianditambahkan atau dikurangkan. Sebagai contoh adalah '''1970''' disimbolkan dalam angkaromawi dengan '''MCMLXX'''. Simbol '''M''' merepresentasikan angka '''1000'''. Simbol '''CM'''merepresentasikan '''900''', hal ini dikarenakan oleh peraturan dalam penulisan angka romawi,yang tidak diperkenakan pengulangan suatu simbol lebih dari tiga kali. Jadi apabila '''900'''dituliskan dengan simbol '''DCCCC''' maka penulisan tersebut salah. Simbol '''C''' disebelahkiri atau sebelum '''M''' merupakan angka pengurang dari angka sesudahnya, jadi '''CM''' '''1000-100 900'''. Simbol selanjutnya adalah '''LXX''' yang melambangkan angka 70. AngkaRomawi ini digunakan di Eropa sampai dengan abad ke 15. Kekurangan dari sistem iniadalah tidak adanya angka Nol.Copyright@ibnuediyuono 2010
Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. HamkaPendidikan Matematika Kelas 3 GSistem Numerisasi Berdasarkan PosisiDi dalam sistem numerisasi , penulisan angka berdasarkan posisi dan basis. Posisisuatu angka dalam sistem ini menentukan nilai dari bilangan yang diwakilinya. Maka notasiyang digunakan disebut notasi posisional. Sistem numerisasi berdasarkan posisi yang sangatterkenal dan dipakai paling luas adalah sistem bilangan desimal. Sistem desimal inimerupakan sistem numerisasi berdasarkan posisi yang berbasis 10. Simbol 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, 8, 9 adalah bagian dari sistem desimal. Sebagai contoh 612, angka ini berarti:2 100 2 1 21 101 1 10 106 102 6 100 600Basis eksponenSelain sistem desimal yang digunakan sehari-hari, terdapat pula sistem lainnya, yaitu: Sistem biner, berbasis 2, Sistem oktal, berbasis 8, Sistem heksadesimal, berbasis 16, Sistem seksagesimal, berbasis 60, dan sistem numerik berbasis lainnya.Seluruh sistem di atas menggunakan eksponen. Berarti setiap angka pada posisitertentu, nilainya adalah sebesar angka tersebut dikalikan basisnya dipangkatkan posisinya.Copyright@ibnuediyuono 2010
Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. HamkaPendidikan Matematika Kelas 3 GPENYAJIANBILANGAN KOMPLEKSCopyright@ibnuediyuono 2010
Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. HamkaPendidikan Matematika Kelas 3 GA.SEJARAH BILANGAN KOMPLEKSBilangan kompleks muncul pertama kali dalam mencoba untuk upaya memahamipengertian formula CARDAN-TARTAGLIA untuk memecahkan masalah isi (volume)dalam kubik. Sebagai contoh, CARDAN (1501-1576) untuk mengetahui (untuk alasan lain)bahwa hanya satu jawaban positif untuk persamaan x3 15 x 4 dan bahwa 4 ini dikerjakandengan secara langsung mensubsitusikan [64 64 atau 43 15.(4) 4]. Bagaimanapun,formula itu dikerjakan dengan baik untuk mendapatkan banyak persamaan, didapatkan x 32 121 3 2 121 sebagai satujawaban positif.Sejarahnya,Greeks kunomemberikan ingkarannya (menyangkal negasi) dari bilangan negatif (negative number)secara eksistensi. Oleh Cardan’s pada waktu itu, bilangan negatif itu tidak cukup kuatalasannya, lebih masuk akal dibuat lebih dahulu dengan garis bilangan. Cardan’smenggunakan bilangan negatif yang dinyatakan oleh mereka dengan “numeri ficti bilangankhayal/imaginer)”. Akar dari bilangan negatif merupakan satuan imaginer atau“unimaginable”. Beberapa tahun kemudian, ahli aljabar dari Italia yaitu RAFAELBOMBELLI (1526 – 1573) menyebutnya “wild idea idea yang gila” dan menuliskanjawaban adalah32 11 1 3 2 11 1 , dan kemudian dia dapat memperlihatkan bahwa2 –1 2 – –1 4. Bagaimanapun, –1 merupakan bentuk anggapan sebagai imagineruntuk dua abad selanjutnya. Pada tahun 1797, CASPAR WESSEL (1745 – 1818)menciptakan / menemukan rancangan bidang kompleks (Complex plane). Ini berjalan tanpanotasi sampai 30 tahun terakhir di mana penggunaan secara ekstensif dengan CARLFRIEDRICH GAUSS (1777 – 1855). Dalam interprestasi geometri memberikan rancangantentang akar dari suatu bilangan negatif, tapi digunakan kata yang cocok adalah “Imaginary Imaginer”.B.Pengertian Bilangan KompleksHimpunan bilangan yang terbesar di dalam matematika adalah himpunan bilangankomleks. Himpunan bilangan riil yang kita pakai sehari-hari merupakan himpunan bagiandari himpunan bilangan kompleks ini.Secara umum bilangan kompleks terdiri dari dua bagian : bagian riil dan bagianimajener (khayal). Bagian khayal bercirikan hadirnya bilangan khayal i yang didefinisikansebagai :Copyright@ibnuediyuono 2010
Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. HamkaPendidikan Matematika Kelas 3 G .(1)System bilangan kompleks merupakan perluasan dari system bilangan riil. Misalkan,saat kita memerlukan solusi dari persamaan x2 - 25, tak ada bilangan riil yang memenuhipersamaan tersebut. Oleh karena itu, kita perlu mendefinisikan bilangan kompleks. Bilangankompleks ditulis sebagai pasangan terurut dua bilangan riil, z x i y, dimana x Re z(bagian riil dari bilangan kompleks), y Im z (bagian imajener dari bilangan kompleks).Timbulnya bilangan kompleks dapat diikuti dari proses matematika yang sederhana,yaitu dari persamaan kuadrat .(2)Dimana cara penyelesaiannya dengan menggunakan rumus abc, yang menghasilkandua akar sekaligus .(3) .(4)Untuk nilai diskriminan D 0, tidak ada masalah, karena akar-akar persamaannyabersifat riil menurut persamaan (3). Untuk kasus D 0, didalam matematika dasar dikatakanbahwa persamaan kuadrat (2) tidak memiliki akar riil. Implikasi selanjutnya adalah bahwaakar persamaannya termasuk bilangan kompleks. Bilangan diskriminana negative dituliskanD - d2, maka akar kompleksnya adalah : .(5)Copyright@ibnuediyuono 2010
Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. HamkaPendidikan Matematika Kelas 3 GDalam himpunan bilangan kompleks, x1, x2 dikatkan sebagai conjugat (sekawan) satuterhadap yang lain, karena perkalian antara mereka akan menghasilkan bilangan riil.Setiap bilangan kompleks memiliki konjugat. Hasil kali antara suatu bilangankompleks dengan konjugatnya dinamakan modulus. Misalkan, konjugat dari z x iy diberikan olehz x iy maka modulus dari z adalah : .(6)Untuk setiap bilangan kompleks z 0 maka modulus z adalah positif.Suatu bilangan kompleks z memiliki konjugat z* yang didefinisikan dan ditulissebagai : .(7)Sehingga perkaliannya dengan z menghasilkan bilangan riil .(8)Sifaf ini dimanfaatkan untuk meriilkan penyebut dalam pecahan bilangan kompleks :Copyright@ibnuediyuono 2010
Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. HamkaPendidikan Matematika Kelas 3 G (9)Sifat lain bilangan konjugat ini adalah distribusi terhadap penjumlahan maupunperkalian : (10)Tentukan modulus dari z 3 4i ?i 2Misalkan z1 dan z2 merupakan bilangan kompleks, berlaku : .(11)Misalakan z1, z2 dan z3 merupakan bilangan kompleks, beberapa sifat aritmatika daribilangan kompleks tersebut adalah sebagai berikut :Copyright@ibnuediyuono 2010
Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. HamkaPendidikan Matematika Kelas 3 GC.ALJABAR BILANGAN KOMPLEKSDengan menggunakan aturan bahwa bilangan imajener satuan i diperlakukan sebagaisuatu variabel riil, kita dapat membangun aturan aljabar bilangan kompleks, yakni :penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian.Misalkan z1 x1 iy1 dan z2 x2 iy2 dua bilangan kompleks, maka operasialjabar antara kedua bilangan kompleks ini didefinisikan memberikan pula suatu bilangankompleks baru z x iy.1. Penjumlahan/penguranganz1 z2 (x1 iy1) (x2 iy2) (x1 x2) i (y1 y2) Jika z1 a1 b1i dan z2 a2 b2i, dua bilangan kompleks, maka jumlah keduanyaadalah;z1 z1 (a1 b1i) (a2 b2i). (a1 a2) (b1 b2)i.Bagian dari jumlah dua bilangan kompleks sama dengan jumlah dari bagian real masingmasing bilangan kompleks. Bagian imajiner dari jumlah dua bilangan kompleks sama denganjumlah dari bagian imajiner masing-masing bilangan kompleks. (Gambar di ataspenjumlahan)2. Perlakianz1.z2 x1x2 ix1y2 iy1x2 i2 y1y2 (x1x2 – y1y2) i (x1y2 x2y1) .Jika z1 a1 b1i dan z2 a2 b2i, dua bilangan kompleks, maka perkalian keduanyaadalah z1 . z1 (a1 b1i) . (a2 b2i) a1.a2 i.a1.b2 i.a2.b1 b1.b2.i2 a1.a2 i.a1.b2 i.a2.b1 – b1.b2 (karena i2 –1) (a1.a2 – b1.b2) i.(a1.b2 a2.b1)Copyright@ibnuediyuono 2010
Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. HamkaPendidikan Matematika Kelas 3 GUntuk perkalian, kita gambar beberapa kasus. Anda dapat menguji bahwa:a). (4 3i).2 (4 3i)(2 0i) 8 6ib). (4 3i).(2i) (4 3i)(0 2i) –6 8iz1 . z1 2.z1 8 6iz1 . z1 2i.z1 –6 8iz1 4 3iz1 4 3iz2 2iGambar perkalian dua bilangan kompleks (z1.z2)Perhatikan bahwa himpunan bilangan real dapat disisipkan pada bilangan kompleks.Bilangan real a dikenal sebagai a 0i. Oleh karena itu kita sekarang akan selidiki sifat yangada di bilangan real apakah juga dapat didefinisikan pada bilangan kompleks.Sebagai pengganti harga mutlak, pada bilangan kompleks modulus. Modulus daribilangan kompleks z a bi adalah bilangan real: z a2 b2, yaitu menyatakan panjanggaris yang menghubungkan titik (0, 0) ke titik (a, b). Khususnya jika z a bilangan real,maka z a2 a yaitu harga mutlak dari bilangan real itu sendiri.Andaikan pada bilangan kompleks dapat didefinisikan urutan sehingga pada bilanganreal urutan ini sesuai dengan urutan yang telah kita kenal.Kemudian, andaikan bahwa(1). i 0 (positif), maka i2 0, tetapi i2 –1 yang tidak mungkin lebih besar dari nol.(2). i 0 (negatif), maka i2 0 atau –1 0. Sekali lagi ini bertentang dengan kenyataan yangada. Jadi, pada bilangan kompleks tak ada urutan.Copyright@ibnuediyuono 2010
Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. HamkaPendidikan Matematika Kelas 3 G3. Pembagianz1 ( x1 iy1)( x2 iy 2) .z 2 ( x2 iy 2)( x2 iy 2) ( x1x2 y1y 2) ( x1y 2 y1x 2) i .( x22 y 22 )( x22 y 22 )4. Perkalian dan pembagian dalam bentuk polar Contoh :1. (2 5i) (3 – 2i) 5 3i2. (4 – 7i) – (2 3i) 2 – 10i3. (1 3i)(5 – 4i) 5 – (-4i) 15i – 12 i2 17 11i, i2 -14.(17 11i) (17 11i) (1 3i) . 5 4i(1 3i)(1 3i) (1 3i)Copyright@ibnuediyuono 2010
Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. HamkaPendidikan Matematika Kelas 3 GD.PENYAJIAN BILANGAN KOMPLEKS1. Bentuk rectangularZ x iyX
bilangan dalam bentuk simbol-simbol yang unik seperti yang terlihat dalam gambar-gambar berikut: Simbol Bilangan Babilonia Simbol bilangan bangsa Babylonia Lambang bilangan sudah dikenal manusia sejak tahun 5000 SM yang disebut Cuneiform ditemukan sekitar sungai Eufrat dan Tigris (se
Bilangan Bulat 1. Pemahaman Konsep Bilangan Bulat Bilangan bulat terdiri atas: a) Bilangan asli atau bilangan bulat positif b) Bilangan nol, dan c) Lawan bilangan asli atau bilangan bulat negatif Bilangan bulat dituliskan atau dinotasikan dengan B { , -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, } 2. Menyatakan Bilangan Bulat dari Kehidupan Sehari-hari
1. Tentukan apakah bilangan-bilangan berikut merupakan bilangan prima atau majemuk. a).157 b).221 Jawab: a). Bilangan-bilangan prima yang adalah 2, 3, 5, 7, 11. Karena tidak ada diantara bilangan-bilangan tersebut yang dapat membagi 157 maka157 merupakan bilangan prima.
pangkat. Karena pangkatnya bilangan bulat, maka disebut bilangan berpangkat bilangan bulat. 1. Bilangan Berpangkat Sederhana Dalam kehidupan sehari-hari kita sering menemui perkalian bilangan-bilangan dengan faktor-faktor yang sama. Misalkan kita temui perkalian bilangan-bilangan sebagai berikut. 2 2 2 3 3 3 3 3 6 6 6 6 6 6
Bilangan Bulat Teori bilangan adalah cabang matematika murni yang ditujukan untuk mempelajari bilangan bulat (integer) atau fungsi bernilai bilangan bulat. Bilangan bulat (integer) adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0 B
Pada bagian ini, kita akan melakukan operasi hitung bilangan bulat termasuk penggunaan sifat-sifatnya, pembulatan, dan penaksiran. 1. Bilangan Bulat Perhatikan garis bilangan di bawah ini! Di kelas 4, kita telah mempelajari tentang bilangan bulat. Bilangan bulat meliputi bilangan bulat positif, bilangan bulat negatif, dan bilangan 0 (nol .
Bilangan real yang bukan bilangan rasional disebut bilangan irrasional.Salahsatu bilangan irrasional yang sangat dikenal adalah p 2. Berdasarkan beberapa definisi tersebut maka kita dapat menyajikan komposisi himpunan bilangan real pada Gam-bar 1.1. Teori bilangan adalah cab
tentang teori-teori hukum yang berkembang dalam sejarah perkembangan hukum misalnya : Teori Hukum Positif, Teori Hukum Alam, Teori Mazhab Sejarah, Teori Sosiologi Hukum, Teori Hukum Progresif, Teori Hukum Bebas dan teori-teori yang berekembang pada abad modern. Dengan diterbitkannya modul ini diharapkan dapat dijadikan pedoman oleh para
Bilangan riil termasuk semua bilangan rasional, seperti bilangan bulat 5 dan pecahan 4/3, dan semua Bilangan irasional, seperti 2 (1,41421356., akar kuadrat dari 2, bilangan aljabar irasional). Termasuk dalam irasional adalah bilangan Transendental, seperti π (3,14159265.), bilangan natural atau euler
