Signaux Al Eatoires Cours 1 Introduction Et Rappels De .
Signaux aléatoiresCours 1Introduction et rappels de probabilitésINSATroisième année
Organisation du cours2Enseignant Denis Arzelier : chargé de recherche au LAAS-CNRSContacts Tel : 05 61 33 64 76 - email : arzelier@laas.frWeb-page http://www.laas.fr/ arzelierOrganisation du cours➊ 5 Cours 1h15 : 6h15 Support de cours polycopié Transparents téléchargeables sur site internet➋ 5 travaux dirigés 1h15 : 6h15 Exercices analytiques sur papier➌ 1 ExamenDurée totale : 12h30Signaux aléatoiresINSA
Pré-requis3- Mathématiques :* Théorie et calcul des probabilités(variables aléatoires, densité de probabilité, moments.)* Analyse complexe(calcul opérationnel de Heaviside, fonctions complexes rationnelles, transformées deFourier, en Z et de Laplace)- Théorie du signal déterministe :* Représentation temporelle des signaux continus* Représentation fréquentielle des signaux continus* Analyse spectrale des signaux- Automatique :* Modèles linéaires temps-invariant (LTI)* Analyse fréquentielle et temporelle des systèmes LTI(convolution, réponse fréquentielle.)Signaux aléatoiresINSA
Objectifs du cours4- Introduction à la théorie des processus stochastiques :* Maı̂trise du vocabulaire* Maı̂trise de la modélisation des signaux aléatoires* Compréhension des principaux concepts (ergodicité.)- Maı̂trise des outils mathématiques associés :* Théorie des probabilités* Théorie des transformations- Fournir les bases pour :* Cours de traitement du signal* Cours de théorie de l’estimation* Cours d’Automatique (observateurs et commande robuste)Signaux aléatoiresINSA
Motivations5 Notion de signal déterministe insuffisante :- Aucun modèle mathématique ne peut représenter exactement la réalité- Tout signal naturel est plus ou moins imprévisible(signal correspondant à la prononciation d’un mot)- Possibilités de perturbations non prévisibles de manière déterministe- Tous les systèmes technologiques délivrent des signaux bruitéesBruit : signal aléatoire de contenant pas d’information utile Axiome de base de la théorie de l’information”Seuls les signaux ayant certaines caractéristiques aléatoires peuvent transmettre del’information” Disposer du cadre de travail mathématique de la théorie axiomatique des probabilitésSignaux aléatoiresINSA
Motivation : exemple6Opération de mesureExpériencealéatoireε (Ω,B, P)ωXxyEntrée capteurv(mesurable)VbruitSignaux aléatoiresYINSA
Classification des signaux7 Définition 1 :Un signal est une fonction scalaire ou vectorielle d’une ou plusieurs variables servant desupport à la transmission d’une commande ou d’une information- Signaux temporels ou spatio-temporels- Signaux analogiques ou numériques- Signaux continus ou discrets- Signaux réels ou complexes- Signaux aléatoires ou déterministes- Signaux périodiques ou apériodiques- Signaux transitoires (à énergie finie) ou permanents (à puissance finie)Signaux aléatoiresINSA
Rappels de probabilités8- Espace probabiliste :(Ω, B, P ) structure de σ-algèbreAxiomes de Kolmogorov- Variable aléatoire :x(ω) assigne une valeur numérique réelle au résultat d’une expérience aléatoire- Fonction de répartition de la v.a. :Fx (α) P [{ω Ω x(ω) α , α R}]- Fonction densité de probabilité :fx (α) contient toute l’information a priori concernant x pour un nombre infini d’essais α Fx (α) fx (ξ)dξfx (ξ)dξ 1 Signaux aléatoiresINSA
Rappels de probabilitésΩ9ωjBAx( . ) mesurableωiFx ( . )PR01α0AΩBP[ . ]P[A] Fx (α)B { A, B, 0, Ω}Signaux aléatoiresINSA
Rappels de probabilités : caractérisations statistiques10- Opérateur espérance mathématique : E[x] αfx (α)dα- Moments et moments centrés d’ordre k :mk E[xk ]µk E[(x E[x])k ]- Moyenne, variance et écart-type :var(x) σ 2 E[x2 ] E 2 [x]M m1 E[x]- Covariance et coefficient de corrélation :cov(x, y) E[(x E[x])(y E[y])]Signaux aléatoirescov(x, y)ρ(x, y) σx σyINSA
Rappels de probabilités : la loi normale11 Définition 2 : A. De Moivre 1733Une v.a. x est dite normale ou (gaussienne) si sa densité de probabilité et sa fonction derépartition s’écrivent :1fx (α) σ 2π(α m)2 2σ 2e1Fx (α) σ 2π α(v m)2 2σ 2 dve Nota : x N (m, σ)- m : moyenne et σ écart-type- Une v.a. normale x est dite réduite six N (0, 1)Φ(α) F (α) x N (0,1)1 2π αv2 e 2 dv Signaux aléatoiresINSA
Rappels de probabilités : la loi normaleNota :La fonction de répartition est une fonction tabulée 0.5(1 erf(α/ 2)) α 0α mFx (α) Φ() Φ(α) 0.5(1 erf(α/ 2)) α 0σ2erf(α) π12 α v 2edv0Fonction densite de probabilite0.40.35Fx (α x β) Φ(Aire totale 10.3β mα m) Φ()σσp(t)0.25P [ x m σ] 2Φ(1) 0.68 (68%)0.20.15Φ( 2)P [ x m 2σ] 2Φ(2) 0.95 (95%)1 Φ(2)0.1P [ x m 3σ] 2Φ(3) 0.997 (99.7%)0.050 4 3 2 10t1234Signaux aléatoiresINSA
Rappels de probabilités : la loi normale13 Théorème 1 : limite centralePour n v.a. indépendantes x1 , · · · , xn de moyenne mi et de variance σi alors :n yn (xi mi )i 1 n 2 σin y N (0, 1) i 1Nota :L’hypothèse gaussienne est valide si le phénomène aléatoire considéré est du à un effetcumulatif d’un grand nombre de sources indépendantes d’incertitudes dont les effetsindividuels sont uniformément faibles et négligeablesSignaux aléatoiresINSA
Rappels de probabilités : la loi de Poisson14 Définition 3 : Loi de PoissonUne v.a. x est distribuée de manière poissonienne avec un paramètre a si sa distributionest donnée par :kapx (k) P [x k] e ak!k 0, 1, · · ·La densité de probabilité est alors donnée par :fx (α) P [x k]δ(α k) e ak 0 akk 0k!δ(α k)Nota :kP [x k 1] P [x k]aSignaux aléatoiresINSA
Rappels de probabilités : exemples de lois1NomRayleighexpression de la densité(ln(α) µ)21 exp[ ]2σα2σ 2αexp[ α2 /2]Maxwellα2 exp[ α2 /2]LognormalBetaGammaαb (1 α)cnα exp[ axwell0.50.2002461002461CauchyLaplaceexp[ α ]Cauchy11 α2Laplace0.50 100.5 5Signaux aléatoires05100 10 50510INSA
Rappels de probabilités : vecteurs aléatoires162Rα2x2 (ω)B1x (ω)- Vecteur aléatoire : X [x1 , · · · , xn ] α1x1(ω)Aω*Fx(α1 α 2),x ,1B2Ω2Fx(αα ) P[A], x1, 21201- Fonction densité de probabilité conjointe : fX (α) fx1 ,··· ,xn (α1 , α2 , · · · , αn )- Vecteur moyenne : MX E[X] R···Rα1 · · · αn fX (α)dα1 · · · dαn- Matrices de covariance et de corrélation :PX E[(X MX )(X MX ) ]CX E[XX ]Signaux aléatoires PX CX MX MXINSA
Rappels de probabilités conditionnellesαExpériencealéatoireε (Ω,B, P)XY17X(α) xy- Densité de probabilité conditionnelle :fX/Y (α/β) fY /X (β/α)fX (α)fX,Y (α, β) fY (β)fY (β)(Rêgle de Bayes)- Moments conditionnels et covariances conditionnelles : αfX/Y (α/β)dα cov(xi , xj /β) E[(xi mxi /y )(xj mxj /y )/β]MX/Y R- Indépendance décorrélation :fx,y (α, β) fx (α)fy (β)fX/Y (α/β) fX (α)Signaux aléatoiresINSA
Rappels de probabilités : vecteurs gaussiens18 Définition 4 : X Rn m conjointement gaussiens, alors Z est gaussien et est caractérisé parSoit Z Y(mZ , QZ ) :fZ (γ) (2π)(m n)/2 (det(QZ ))1/2 1(γ mZ ) Q 1Z (γ mZ ) 2eNotation :Z N (mZ , QZ ) Propriétés 1 :Si Z est gaussien alors X et Y sont également gaussiensSignaux aléatoiresINSA
Rappels de probabilités : vecteurs gaussiens19 Propriétés 2 :- Deux vecteurs gaussiens non corrélés sont indépendants- Si Z est gaussien, W CZ A est également gaussien tel que :W N [A CmZ , CQZ C ]- Si X N (mX , QX ) et Y N (mY , QY ) alors pX/Y est normale :- moyenne conditionnelleE[X/Y ] mX QXY Q 1Y (β mY )- covariance conditionnelleQX/Y QX QXY Q 1Y QY X- V X E[X/Y ] est un vecteur aléatoire gaussien indépendant de YSignaux aléatoiresINSA
Signaux aléatoiresCours 2Les processus stochastiques : définitions et caractérisationsINSATroisième année
Les signaux aléatoires21 Définition 5 :Un signal aléatoire (scalaire ou vectoriel) est une famille de variables ou vecteurs aléatoiresindexée par un ensemble de paramètres t T (le temps)La notation est{xt (ω) t T }T discret ou continuNota :- xt (ω) est une fonction de deux paramètres : le temps t et ω paramètre aléatoire lié aurésultat d’une expérience aléatoire- Si la variable (vecteur) aléatoire prend ses valeurs dans un espace discret : signalnumérique ou chaı̂ne en temps discret xt ou continu x(t)- Si la variable (vecteur) aléatoire prend ses valeurs dans un espace continu : signalanalogique ou processus stochastique en temps discret ou continuSignaux aléatoiresINSA
Les signaux aléatoires22- Pour chaque t, xt ( ) est une variable aléatoire égale à l’état du processus considéré àl’instant t- Pour ω fixé , x (ω) est une réalisation du processus qui est une fonction du temps- Pour t et ω fixés, xt (ω) est un nombrext (ω1)t2t1x t1 (ω1 )Ωx t2 (ω1 )txt (ω2)ω1t1 x t1 (ω2 )ω2t 2 x t2 (ω2 )tnωirésultat iωnxt (ωn)x t1 (ω n)t2t1x1Signaux aléatoiresx t2 (ωn )tx2INSA
Caractérisation probabiliste des signaux aléatoires23Soit le signal aléatoire {xt (ω) t T } où T est continu ou discret Définition 6 : loi de distributionPour toute partition {t1 , · · · , tn } de T , on définit la loi de distribution finie du signalaléatoire comme la loi de distribution conjointe des variables aléatoires xt1 , · · · , xtnLa caractérisation du signal aléatoire est donnée pour toutes les partitions {ti } de T par :- la fonction de répartition conjointe :Fxt1 ,··· ,xtn (α1 , · · · , αn )- la fonction densité de probabilité conjointe :fxt1 ,··· ,xtn (α1 , · · · , αn )Signaux aléatoiresINSA
Caractérisation probabiliste : exemple24Soit le signal aléatoire défini par x(t) a bt où a et b sont deux variables aléatoiresnormalement distribuées :b N (mb , σb )a N (ma , σa ) Théorème 2 :Z étant un vecteur gaussien, Z N (mZ , QZ ) alors W CZ A est gaussien,W N (A CmZ , CQZ C )Comme, X x(t1 ).x(tn ) 1.t1. a b1 tnle vecteur X est gaussien de moyenne et de covariance déduites de celles de a et bSignaux aléatoiresINSA
Processus stochastiques du second ordre25Soit un processus stochastique {xt (ω) t T }- Densité du premier ordre :fx(t) (α) p(α, t)- Densité du deuxième ordre :fx(t),x(τ ) (α, β) p(α, β, t, τ ) Définition 7 : processus du second ordreUn processus stochastique caractérisé entièrement par ses lois de distributions au premieret deuxième ordre est appelé processus du second ordreExemple :Le signal aléatoire défini par x(t) a bt où a et b sont deux variables aléatoiresnormalement distribuées :a N (ma , σa )b N (mb , σb )Signaux aléatoiresINSA
Caractéristiques statistiques des processus26 Définition 8 : moyenneSoit {xt (ω) t T } noté x(t), alors la moyenne de x(t) est définie par: mx (t) E[x(t)] αp(α, t)dα Définition 9 : matrice d’autocorrélation et d’autocovarianceOn peut définir la matrice d’autocorrélationR(t, τ ) E[x(t)x(τ ) ]dont les éléments sont : rij (t, τ ) αi βj p[α, t, β, τ ]dαi dβjet la matrice d’autocovariance :P (t, τ ) E[(x(t) mx (t))(x(τ ) mx (τ )) ]Signaux aléatoiresINSA
Caractéristiques statistiques : propriétés27 Propriétés 3 :- P (t, τ ) P (τ, t) t, τ- Q(t) P (t, t) 0- R(t, τ ) R(τ, t) t, τ- R(t, t) 0- P (t, τ ) R(t, τ ) mx (t)mx (τ ) t t t, τAuto Inter : {xt (ω) t Tx } et {yt (ω) t Ty }- Intercorrélation :Γxy (t, τ ) E[x(t)y(τ ) ]- Intercovariance :Cxy (t, τ ) E[(x(t) mx (t))(y(τ ) my (τ )) ]Signaux aléatoiresINSA
Caractéristiques statistiques28Exemple :Soit le processus stochastique :x(t) a bta v.a. N (ma , σa2 ) et b v.a. N (mb , σb2 )mx (t) E[a] tE[b] ma tmbr(t, τ ) E[a2 ] (t τ )E[ab] tτ E[b2 ] σa2 m2a (t τ )(ρ(a, b)σa σb ma mb ) tτ (σb2 m2b )p(t, τ ) var(a) cov(a, b)(t τ ) var(b)tτ σa2 (t τ )ρ(a, b)σa σb σb2 tτSignaux aléatoiresINSA
Stationnarité des processus stochastiques29 Définition 10 : stationnarité au sens strictx(t) est dit stationnaire au sens strict (SSS) sur T intervalle de définition, si pour toutepartition {t1 , t2 , · · · , tn } de T : n, θ, fx(t1 ),··· ,x(tn ) (α1 , · · · , αn ) fx(t1 θ),··· ,x(tn θ) (α1 , · · · , αn ) Définition 11 : stationnarité au sens largex(t) est un processus stochastique stationnaire au sens large (SSL) si m (t) m (indépendant du temps)xx P (t, τ ) P (t τ )Signaux aléatoiresINSA
Stationnarité des processus stochastiques30 Lemme 1 :Tout processus SSS est également SSL mais l’inverse n’est pas nécessairement vérifiéExemple :Soit le processusx(t) a cos ωt b sin ωtoù a, b sont des variables aléatoires non corrélées de moyenne nulle et de variance unitéet ω est une constantem(t) 0 r(t τ, t) cos(ωτ )Le processus est stationnaire au sens large (SSL)Signaux aléatoiresINSA
Moyennes temporelles31 Définition 12 :La moyenne temporelle d’un échantillon du processus stochastique x(t) est définie par : T1 x(t) x limx(t)dtT 2T TNota :- Moyenne quadratique12 x (t) limT 2T Tx2 (t)dt T- Moyenne temporelle de l’autocorrélation1Rx (τ ) x(t)x(t τ ) limT 2TSignaux aléatoires Tx(t)x(t τ )dt TINSA
Moyennes temporelles et ergodicité32Nota :- x et RX (τ ) sont des variables aléatoires- E[x] mx- E[RX (τ )] RX (τ ) Définition 13 :Un processus stochastique x(t) est ergodique si toutes les moyennes temporelles existentet ont même valeur pour tout échantillon1 f :limt1 t1 t0 t1f (x(t))dt E[f (x(t))]t0Nota : notion très difficile à vérifierSignaux aléatoiresINSA
Ergodicité (suite)33 Définition 14 :- Un processus est dit à moyenne ergodique six x(t) E[x(t)] mx- Un processus est dit à autocorrélation ergodique siRx (τ ) x(t)x(t τ ) Rx (τ )Exemple :x(t) A cos(ωt Θ) où A et ω sont des constantes et Θ est une v.a.uniformémentrépartie sur [ π , π]Signaux aléatoiresINSA
Puissance d’un processus stochastique SSL34 Définition 15 :La puissance moyenne d’un processus stochastique x(t) SSL est définie par :p E[x (t)x(t)] Propriétés 4 :p E[x (t)x(t)] trace(Rx (0))Exemple :x(t) r cos(ωt φ) où ω est constant et r, φ sont deux v.a. indépendantes et φ uniformesur [ π , π]p 1E[r2 ]2Signaux aléatoiresINSA
Terminologie35Soit x(t) un processus stochastique scalaire,- x x(t) est la composante continue du signal x(t)- [x]2 x(t) 2 est la puissance de la composante continue du signal x(t)- Rx (0) x2 (t) est la puissance moyenne totale du signal x(t)- σ 2x x2 (t) x(t) 2 est la puissance moyenne de la composante alternative- σ x est la valeur efficace du signal x(t)Exemple :x(t) r cos(ωt φ) où ω constant et r, φ sont deux v.a. indép. et φ uniforme sur [ π , π]- La composante continue x x(t) 0 et sa puissance x(t) 2 02rr2 - La puissance moyenne Rx (0) x (t) et σ x 22Signaux aléatoiresINSA
Densité spectrale de puissance36Soit x(t) un signal aléatoire SSL de matrice decorrélation Rx (τ ) Définition 16 : formules de Wiener-KhinchinLa densité spectrale de puissance ou spectre de puissance de x(t) notée Ψx (ω) est définiecomme la transformée de Fourier de la matrice de corrélation Rx (τ ) : Ψx (ω) e jωτ Rx (τ )dτRéciproquement,1Rx (τ ) 2π ejωτ Ψx (ω)dωSignaux aléatoiresINSA
Propriétés de la densité spectrale de puissance37 Propriétés 5 :- Ψx ( ω) Ψx (ω) ω 1Ψx (ω)dω Rx (0)2π - Ψ x (ω) Ψx (ω) ω- Ψx (ω) 0 ωExemple : le processus exponentiellement corrélé x(t) SSL défini par sa moyenne nulle et sa τ corrélation Rx (τ ) σ 2 e θ a une densité spectrale de puissance :10.90.80.70.6Ψ2σ 2 θΨx (ω) 2 2θ ω 10.50.40.30.20.10 20 15 10 50ωSignaux aléatoires5101520INSA
Interprétation de la densité spectrale de puissance38 Théorème 3 :Soit le processus stochastique x(t), alors pour toute matrice symétrique W (t) :E[x(t) W (t)x(t)] Trace[W (t)Rx (t, t)]Si, de plus, x(t) est stationnaire au sens large de moyenne nulle et W est constante alors : 1Trace[E[x(t) W x(t)] Trace[W Rx (0)] W Ψx (ω)dω]2π Nota :Ψx (ω) représente la répartition harmonique de la puissance moyenne p de x(t)Signaux aléatoiresINSA
Signaux aléatoiresCours 3Quelques processus stochastiques remarquablesINSATroisième année
Les signaux aléatoires : indépendance40 Définition 17 :Soient {x(t) , t Tx } et {y(t) , t Ty } 2 processus stochastiques.x(t) et y(t) sont indépendants si {x(t1 ), · · · , x(tn )} et {y(t1 ), · · · , y(tm )} sont desensembles de vecteurs aléatoires indépendants pour toutes les partitions{t1 , · · · , tn } Tx et {t1 , · · · , tm } TyNota : vecteurs aléatoires indépendantsFx,y (α, β) Fx (α)Fy (β)px,y (α, β) px (α)py (β)E[f (x)g(y)] E[f (x)]E[g(y)] px/y (α/β) px (α)Signaux aléatoiresINSA
Processus à incréments stationnairement indépendants41 Définition 18 :Un processus stochastique {x(t) , t T } est à incréments stationnairement indépendants(ISI) si pour tous les ensembles {ti T : ti ti 1 } :- Indépendance des incréments :x(t2 ) x(t1 ), · · · , x(tn ) x(tn 1 )sont des vecteurs aléatoires indépendants- Stationnarité :x(t h) x(τ h) a la même distribution que x(t) x(τ ) t τ T, h 0Signaux aléatoiresINSA
Processus gaussien42 Définition 19 : processus gaussienLe processus stochastique x(t) est gaussien si pour toute partition{t1 , t2 , · · · , tn } de T , le vecteur des variables aléatoires [x(t1 ), · · · , x(tn )] est gaussien Propriétés 6 :- Un processus gaussien est un processus du second ordre px (α, t, β, τ )dβpx (α, t) - Un processus gaussien SSL est SSSSignaux aléatoiresINSA
Processus gaussien43 Théorème 4 limite centraleSoient x1 , · · · , xn une suite de vecteurs aléatoires indépendants alors le vecteur aléatoirex x1 · · · xna une densité de probabilité qui tend vers une densité de probabilité gaussienne quandn Nota :Le processus gaussien est un bon modèle pour les bruits dans :- Transmetteurs et récepteurs radio- Radars- Systèmes de commandeSignaux aléatoiresINSA
Processus de Markov44 Définition 20 :Le processus stochastique {x(t) , t T } est markovien si {t1 , t2 , · · · , tn } de T :P [x(tn ) αn /x(tn 1 ), · · · , x(t1 )] P [x(tn ) αn /x(tn 1 )]Soit en termes de fonction densité de probabilité :px(tn )/x(tn 1 ),··· ,x(t1 ) (αn /αn 1 , · · · , α1 ) px(tn )/x(tn 1 ) (αn /αn 1 ) Définition 21 :px(tn )/x(tn 1 ) (αn /αn 1 ) est appelée fonction densité de probabilité de transitionSignaux aléatoiresINSA
Processus de Markov45 Propriétés 7 :- Toute l’information sur le passé est concentrée dans le dernier état ”observé”- Le processus de Markov généralise la propriété des équations différentielles ordinairesd’ordre 1x(t2 ) g(t2 , x(t1 ), t1 ) ẋ(t) f (x(t))- Le processus markovien est un processus du second ordrepx(tn ),x(tn 1 ),··· ,x(t1 ) (αn , αn 1 , · · · , α1 ) px(tn )/x(tn 1 ) (αn /αn 1 ) px(tn 1 )/x(tn 2 ) (αn 1 /αn 2 ) · · · px(t2 )/x(t1 ) (α2 /α1 )px(t1 ) (α1 )Exemple : wi N (µi , σi2 ) , x0 N (x0 , p2 ) et indépendance mutuellexn 1 xn wnn 0, 1, · · · ,Signaux aléatoiresINSA
La marche aléatoire46On lance une pièce non truquée toutes les T secondes et suivant que l’on obtient face ou pile, oneffectue un pas à droite ou à gauche de longueur sx(t) k fois pilen tirages n k fois facesT2Ttx(nt) ks (n k)s ms (2k n)sP [x(nT ) ms] Cnk2nm n2 Cn2nSignaux aléatoiresINSA
La marche aléatoire47En posant x(nT ) x1 x2 · · · xn où xi s v.a. taille du pas iE[xi ] 0 E[x2i ] s2Pour n grand et pour k dans un E[x(nT )] 0 E[x2 (nT )] ns2npq voisinage de npCnkFormule de DeMoivre Laplacek n kp q1 (k
* Cours de traitement du signal * Cours de th eorie de l’estimation * Cours d’Automatique (observateurs et commande robuste) Signaux al eatoires INSA. Motivations 5 Notion de signal d eterministe insuffisante: - Aucun mod ele math ematique ne peut repr esenter exactement la r ealit e
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