METODE NUMERIK STMIK AUBNEW - WordPress
Pengertian Metode anmemformulasikan masalah matematis agar dapat dipecahkanuntukdenganoperasi perhitunganMetode NumerikTujuan Metode NumerikSebelum komputer digunakan untuk penyelesaian komputasi, dilakukandengan berbagai metode yang memiliki kendala-kendala. Metode yangdigunakan antara lain : Metode Analitik, Solusi ini sangat berguna namun terbatas padamasalah sederhana. Sedangkan Masalah real yang komplek dan nonlinier tidak dapat diselesaikan. nyelesaian yang kompleks. Kendalanya bahwa metode ini Tidakakurat, sangat lama, dan banyak membutuhkan waktu. Kalkulator dan Slide Rules, Penyelesaian numerik secara manual.Cara ini cukup lama dan mungkin bisa terjadi kesalahan atmengatasiberbagaikelemahan-kelemahan metode yang ada sebelumnya. Dapat dipahami pulabawa pada umumnya permasalahan dalam sains dan teknologi digambarkan
dalam persamaan matematika. Persamaan ini sulit diselesaikan denganmodel analitik sehingga diperlukan penyelesaian pendekatan numerik.Dengan metode numerik, manusia terbebas dari hitung menghitung manualyang membosankan . Sehinggga waktu dapat lebih banyak digunakan untuktujuan yang lebih kreatif, seperti penekanan pada formulasi problem atauinterpretasi solusi dan tidak terjebak dalam rutinitas hitung menghitungManfaat Mempelajari Metode NumerikDengan mempelajari metode numerik diharapkan mahasiswa mampu : Mampu menangani sistem persamaanbesar, Ketaklinieran dangeometri yang rumit, yang dalam masalah rekayasa tidak mungkindipecahkan secara analitis. Mengetahuisecarasingkatdan jelas teori matematikayangmendasari paket program. Mampu merancang program sendiri sesuaipermasalahanyangdihadapi pada masalah rekayasa. Metode numerik cocok untuk menggambarkan ketangguhan danketerbatasan komputer dalam menangani masalah rekayasa yangtidak dapat ditangani secara analitis. Menangani galat (error) suatu nilaihampiran (aproksimasi) darimasalah rekayasa yang merupakan bagian dari paket programyang bersekala besar. akan matematika yang lebih tinggi menjadi operasioperasi matematika yang mendasarMetode Analitik versus Metode NumerikMetode Numerik - Penyelesaian Masalah
Metode analitik disebut juga metode sejati karena memberikan solusi sejati(exact solution) atau solusi yang sesungguhnya, yaitu solusi yang memilikigalat (error) sama dengan nol! Sayangnya, metode analitik hanya ungguluntuk sejumlah persoalan yang terbatas, yaitu persoalan yang memilikitafsiran geometri sederhana serta rendah. Padahal persoalan yang munculdalam dunia nyata seringkali melibatkan bentuk dan proses yang rumit.Akibatnya nilai praktis penyelesaian metode analitik menjadi terbatas.Bila metode analitik tidak dapat lagi diterapkan, maka solusi persoalansebenarnya masih dapat dicari dengan menggunakan metode numerik.Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk cahkandenganoperasiperhitungan/aritmetika biasa (tambah, kurang, kali, dan bagi). Metode artinyacara, sedangkan numerik artinya angka. Jadi metode numerik secara harafiahberarti cara berhitung dengan menggunakan angka-angka.Perbedaan utama antara metode numerik dengan metode analitik terletakpada dua hal. Pertama, solusi dengan menggunakan metode numerik selaluberbentuk angka. Bandingkan dengan metode analitik yang biasanyamenghasilkan solusi dalam bentuk fungsi matematik yang selanjutnya fungsimateamtik tersebut dapat dievaluasi untuk menghasilkan nilai dalam bentukangka.Kedua, dengan metode numerik, kita hanya memperoleh solusi yangmenghampiri atau mendekati solusi sejati sehingga solusi numerik dinamakanjuga solusi hampiran (approxomation) atau solusi pendekatan, namun solusihampiran dapat dibuat seteliti yang kita inginkan. Solusi hampiran jelas tidaktepat sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya.Selisih inilah yang disebut dengan galat (error).
Pemodelan Matematik dan Pemecahan Masalah nGambarantahapanpemrosesan masalah rekayasa yang secara analitis sulit diselesaikanselanjutnya dibawa ke bentuk model matematik dan diselesaikan secaramatematis, aljabar atau statistik dan ikprosesselanjutnyamengimplementasikan hasil matematis ke masalah rekayasa sbb:Metode Numerik - Penyelesaian masalah matematisDalam menangani masalah rekayasa(masalah riil) perlu melakukan : Membawapermasalahan(model matematika)rekayasakedalamteorimatematika
matematika yaitu digunakan komputasi, statistika dan matematikayang disebut dengan alat pemecah masalah. Hasil dari pemecah masalah masih berupa nilainumeris ataugrafik ublikasikan sesuai dengan permasalahan yang dimaksud.Tahap-Tahap Memecahkan Persoalan Secara Numerik yang dilakukan dalampemecahan persoalan dunia nyata dengan metode numerik, yaitu :1. Pendefinisian masalah (apa yang diketahui dan apa yang diminta).2. Pemodelan, Persoalan dunia nyata dimodelkan ke dalam persamaanmatematika3. Penyederhanaan model, Model matematika yang dihasilkan daritahap sebelumnya mungkin saja terlalu kompleks, yaitu memasukkanbanyak peubah (variable) atau parameter. Semakin kompleks modelmatematikanya, semakin rumit penyelesaiannya. Mungkin beberapaandaian dibuat sehingga beberapa parameter dapat diabaikan. Modelmatematika yang diperoleh dari penyederhanaan menjadi lebihsederhana sehingga solusinya akan lebih mudah diperoleh.4. Formulasi numerik, Setelah model matematika yang sederhanadiperoleh, tahap selanjutnya adalah memformulasikannya secaranumerik5. Pemrograman, Tahap selanjutnya adalah menerjemahkan algoritmake dalam program komputer dengan menggunakan salah satu bahasapemrograman yang dikuasai.6. Operasional, Pada tahap ini, program komputer dijalankan dengandata uji coba sebelum data yang sesungguhnya.7. Evaluasi, Bila program sudah selesai dijalankan dengan data yangsesungguhnya, maka hasil yang diperoleh diinterpretasi. Interpretasimeliputi analisis hasil run dan membandingkannya dengan prinsipdasar dan hasil-hasil empirik untuk menaksir kualitas solusi numerik,
dan keputusan untuk menjalankan kembali program dengan untukmemperoleh hasil yang lebih baik.Desain AlgoritmaAlgoritma adalah merupakan sederetan(sequence) langkah logika yangdiperlukan untuk melakukan suatu tugas tertentu seperti pemecahanmasalah.Algoritma yang baik mempunyai sejumlah kriteria berikut : Setiap langkah harus determinestik. Proses harus berakir setelah sejumlah berhingga langkah. Hasil akhir tidak boleh tergantung kepada siapa yang menjalanialgoritma tersebut. Suatu algoritma tidak boleh berakhir terbuka. Algoritma harus cukup umum untuk menangani keperluan apapun.Bagan alir ( flowchart)Bagan alir merupakan pernyataan visual atau grafis suatu algoritma. Baganalir menggunakan deretan blok dan anak panah, yang masing-masingmenyatakan operasi atau langkah tertentu dalam algoritma. Anak panahmenyatakan urutan bagaimana seharusnya operasi dijalankan.Manfaat bagan alir1. Dipakai untuk menyatakan dan mengkomunikasikan algoritma.2. Dapat membantu dalam perencanaan, menyelesaikan keruwetan.3. Mengkomunikasikan logika program.4. Merupakanbeberapawahanastrukturyangyangpemrograman diterapkandalam
Metode Numerik - FlowchartPeranan Komputer dalam Metode NumerikKomputer berperan besar dalam perkembangan bidang metode numerik. Halini mudah dimengerti karena perhitungan dengan metode numerik adalahberupaoperasi aritmetika seperti penjumlahan, perkalian, pembagian, plusmembuat perbandingan. Sayangnya, jumlah operasi aritmetika ini umumnyasangat banyak dan berulang, sehingga perhitungan secara manual seringmenjemukan. Manusia (yang melakukan perhitungan manual ini) dapatmembuat kesalahan dalam melakukannya. Dalam hal ini, komputerberperanan mempercepat proses perhitungan tanpa membuat ralainuntukmemprogram. Langkah-langkah metode numerik diformulasikan menjadiprogram komputer. Program ditulis dengan bahasa pemrograman tertentu,sepertiFORTRAN,PASCAL,C,C ,BASIC,dansebagainya.Sebenarnya, menulis program numerik tidak selalu diperlukan. Di pasaranterdapat banyak program aplikasi komersil yang langsung dapat digunakan.
Beberapa contoh aplikasi yang ada saat ini adalah MathLab, MathCad,Maple, Mathematica, Eureka, dan sebagainya. Selain itu, terdapat juga libraryyang berisi rutin-rutin yang siap digabung dengan program utama yang ditulispengguna, misalnya IMSL (International Mathematical and Statistical Library)Math/Libraryyang berisi ratusanrutin-rutinmetode numerik. Selainmempercepat perhitungan numerik, dengan komputer kita dapat mencobaberbagai kemungkinan solusi yang terjadi akibat perubahan beberapaparameter. Solusi yang diperoleh juga dapat ditingkatkan ketelitiannyadengan mengubahubah nilai gmetodenumerikberkembang secara dramatis. Tidak ada bidang matematika lain yangmengalami kemajuan penting secepat metode numerik. Tentu saja alasanutama penyebab kemajuan ini adalah perkembangan komputer itu sendiri,dari komputer mikro sampai komputer Cray, dan kita melihat perkembanganteknologi komputer tidak pernah berakhir. Tiap generasi baru komputermenghadirkan keunggulan seperti waktu, memori, ketelitian, dan kestabilanperhitungan. Hal ini membuat ruang penelitian semakin terbuka luas. Tujuanutama penelitian itu adalah pengembangan algoritma numerik yang lebih baikdengan memanfaatkan keunggulan komputer semaksimal mungkin. Banyakalgoritma baru lahir atau perbaikan algoritma yang lama didukung olehkomputer.Bagian mendasar dari perhitungan rekayasa yang dilakukan saat ini adalahperhitungan “waktu nyata” (real time computing), yaitu perhitungan keluaran(hasil) dari data yang diberikan dilakukan secara simultan dengan uhkandalammengendalikan proses kimia atau reaksi nuklir, memandu pesawat udara atauroket dan sebagainya. Karena itu, kecepatan perhitungan dan kebutuhanmemori komputer adalah pertimbangan yang sangat penting. Jelaslah bahwakecepatan tinggi, keandalan, dan fleksibilitas komputer memberikan aksesuntuk penyelesaian masalah praktek. Sebagai contoh, solusi sistempersamaan lanjar yang besar menjadi lebih mudah dan lebih cepatdiselesaikan dengan komputer. Perkembangan yang cepat dalam metode
numerik antara lain ialah penemuan metode baru, modifikasi metode yangsudah ada agar lebih mangkus, analisis teoritis dan praktis algoritma untukproses perhitungan baku, pengkajian galat, dan penghilangan jebakan yangada pada metode.Perbedaan Metode Numerik dengan Analisis NumerikUntuk persoalan tertentu tidaklah cukup kita hanya menggunakan metodeuntuk memperoleh hasil yang diinginkan; kita juga perlu mengetahui apakahmetode tersebut memang memberikan solusi hampiran, dan seberapa bagushampiran itu . Hal ini melahirkan kajian baru, yaitu analisis numerik.Metode numerik dan analisis numerik adalah dua hal yang berbeda. Metodeadalah algoritma, menyangkut langkah-langkah penyelesaian persoalansecara numerik, sedangkan analisis numerik adalah terapan matematikauntuk menganalisis metode. Dalam analisis numerik, hal utama yangditekankan adalah analisis galat dan kecepatan konvergensi sebuah metode.Teorema-teorema matematika banyak dipakai dalam menganalisis suatumetode. Di dalam perkuliahan ini, kita akan memasukkan beberapa materianalisis numerik seperti galat metode dan kekonvergenan metode. Tugaspara analis numerik ialah mengembangkan dan menganalisis metodenumerik. Termasuk didalamnyapembuktianapakahsuatu metodekonvergen, dan menganalisis batas-batas galat solusi numerik.Terdapatbanyak sumber galat, diantaranya tingkat ketelitian model matematika, sistemaritmetik komputer, dan kondisi yang digunakan untuk menghentikan prosespencarian solusi. Semua ini harus dipertimbangkan untuk menjamin ketelitiansolusi akhir yang dihitung.
PENYELESAIAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KARAKTERISTIKPersamaan karakteristik ini bias berupa persamaan Polinomial Tingkat Tinggi,Sinusioda, Eksponensial, Logaritmik, atau Kombinasi dari enyelesaikanpersamaan-persamaan tersebut diantaranya:1. Metode Tabulasi.2. Metode Biseksi.3. Metode Regula Falsi.4. Metode Iterasi bentuk x g(x).5. Metode Newton Rapshon.6. Metode Faktorisasi P3(x) 0.7. Metode Faktorisasi P4(x) 0.8. Metode Faktorisasi P5(x) 0.9. Metode Bairstow.10. Metode Quotient-Difference (QD).Dari metode diatas hanya akan kita bahas beberapa metode, diantaranya :1. Metode Tabulasi.Metode Tabulasi adalah metode penyelesaian persamaan nonlinear dengancara membuat tabel-tabel persamaan atau fungsi nonlinear di sekitar titikpenyelesaian.Contoh dan cara penyelesaian:Tentukan akar penyelesaian dari persamaan nonlinear dibawah ini denganmetode Tabulasi.3f(x) x -7x 1 0
PenyelesaianLangkah 1. Menentukan dua nilai f(x1) dan f(x2) dengan syarat :f(x1)*f(x2) 0, misal nilai x1 2.5 dan x2 2.6 maka :3F(x1) (2.5) -7(2.5) 1 -0.87503F(x2) (2.6) -7(2.6) 1 0.3760Di dapat F(x1)*f(x2) 0 maka titik penyelesaian berada di antara nilai x1 2.5dan x2 2.6.Langkah 2. Membuat tabel fungsi F(x) di sekitar f(x1) dan f(x2).Langkah 3. Membuat tabel di sekitar dua titik yang menyebabkan terjadinyaperubahan tanda fungsi F(x) pada tabel ke 1, yaitu terjadi pada baris ke 8 dan9. maka table ke-2 :
Langkah 4 dan setrusnya mengulangi langkah ke 3 yaitu membuat table disekitar dua titik yang menyebabkan terjadinya perubahan tanda pada f(x)pada table sebelumnya.Proses dihentikan jika didapatkan errornya relative kecil dan biasanya lebih-7kecil dari 10 .Makaakarpendekatanyaerrornya 9.5576979220*10adalahnilaix 2.57120143dengan-82. Metode BiseksiMetode biseksi disebut juga metode Pembagian Interval atau metode yang digunakan untukmencari akar-akar persamaan nonlinear melalui proses iterasi dengan persamaan sbb :Dimana nilai f(Xa) dan nilai f(Xb) harus memenuhio persyaratan f(Xa)*f(Xb) 0Contoh dan cara penyelesaian:Carilah penyelesaian dari persamaan nonlinear dibawah ini dengan metode Biseksi:32f(x) x x - 3x - 3 0Penyelesaian:Langkah 1: Menentukan dua titik nilai f(x) awal, f(x1) dan f(x2) dan harus memenuhihubungan f(x1)*f(x2) 0. misalkan nilai x1 1 dan x2 2.32f(x1) 1 1 - 3(1) – 3 -432f(x2) 2 2 - 3(2) – 3 3Di dapat F(x1)*f(x2) 0 maka titik penyelesaian berada di antara nilai x1 1 dan x2 2.
Langkah 2: mencari nilai x3.32Dan f(x3) 1.5 1.5 - 3(1.5) – 3 -1.875Langkah 3: Melakukan Iterasi dengan persamaan 2.0 pada hasil langkah 2 nilai f(x3) hasilnyanegative, dan untuk memnentukan nilai x4 harus f(xa)*f(xb) 0 maka yang memenuhi syaratnilai yang digunakan yaitu x1 dan x3 karena nilai f(x1)*f(x3) 0 maka :32Dan f(x4) 1.75 1.75 - 3(1.75) – 3 1.71875Iterasi selanjutnya mencari nilai x5 dan f(x5) dan begitu seterusnya sampai didapatkan nilai-7error lebih kecil dari 10 . Maka dari hasil perhitungan didapatkan nilai x 1.73205080.dengan nilai errornya f(x) 1.2165401131E-08
3. Metode Regula Falsi.Metode Regula Falsi disebut juga metode Interpolasi Linear yaitu metode yang digunakanuntuk mencari akar- akar persamaan nonlinear melalui proses iterasi dengan persamaan sbb:Contoh dan cara penyelesaianCarilah penyelesaian dari persamaan nonlinear di bawah ini dengan metode Regula Falsi:32f(x) x x - 3x - 3 0Penyelesaian:Langkah 1: Menentukan dua titik nilai f(x) awal, f(x1) dan f(x2) dan harus memenuhihubungan f(x1)*f(x2) 0. misalkan nilai x1 1 dan x2 2.32f(x1) 1 1 - 3(1) – 3 -432f(x2) 2 2 - 3(2) – 3 3Di dapat F(x1)*f(x2) 0 maka titik penyelesaian berada di antara nilai x1 1 dan x2 2.Langkah 2: mencari nilai x3 dengan persamaan sbb :32Dan f(x3) 1.57142 1.57142 - 3(1.57142) – 3 -1.3644314869Langkah 3: Melakukan Iterasi dengan persamaan 2.1 pada hasil langkah 2 nilai f(x3) hasilnyanegative, dan untuk memnentukan nilai x4 harus f(xa)*f(xb) 0 maka yang memenuhi syaratnilai yang digunakan yaitu x2 dan x3 karena nilai f(x2)*f(x3) 0 maka :32Dan f(x4) 1.70541 1.70541 - 3(1.70541) – 3 -0.247745Iterasi selanjutnya mencari nilai x5 dan f(x5) dan begitu seterusnya sampai didapatkan nilai-7error lebih kecil dari 10 . Maka dari hasil perhitungan didapatkan nilai x 1.7320508074.dengan nilai errornya f(x) 2.0008883439E-09
4. Metode Newton-RaphsonMetode ini paling banyak digunakan dalam mencari akar-akar persamaan,jika perkiraan awal dari akar adalah xi, maka suatu garis singgung dapatdibuat dari titik (xi, f (xi)). Titik dari garis singgung tersebut memotongsumbu-x, biasanya memberikan perkiraan yang lebih dekat dari nilai akar.Pada Gambar 4, nampak bahwa turunan pertama pada xi adalah ekivalendengan kemiringan, yaitu:f ' ( xi ) f (xi ) 0xi xi 1atauxi 1 xi f ( xi )f ' (xi )(1)Garis singgung di AGambar 4. Prosedur metode Newton-Raphson secara grafis
Contoh soal:1) Hitung salah satu akar dari persamaan berikut ini, dengan metodeNewton-Raphon.f (x) x3 x2 – 3x – 3 0.Penyelesaian:Turunan pertama dari persamaan tsb. adalah: f ′(x) 3x2 2x – 3,f (x i )Dengan menggunakan persamaan (1), yaitu: x i 1 x i f ' (x i )Pada awal hitungan ditentukan nilai xi sembarang, misalnya x1 1,maka:f (x1 1) (1)3 (1)2 – 3(1) – 3 – 4.f ′(x1 1) 3(1)2 2(1) – 3 2.x2 1 4 32Langkah berikutnya nilai x2 3, tersebut digunakan untuk hitunganpada iterasi berikutnya.f (x2 3) (3)3 (3)2 – 3(3) – 3 24.f ′(x2 3) 3(3)2 2(3) – 3 30.x3 3 24 2,230Hitungan dilanjutkan dengan menggunakan program komputer danhasilnya nampak pada Tabel 3.4, serta hasil hitungan didapat padaiterasi ke 6.Tabel 3.4. Hasil hitungan metode 51.737801.73207xi 13.000002.200001.830151.737801.732071.73205f (xi)- 4.000024.00005.888000.989000.054570.00021f (xi 1)24.000005.888000.989000.054570.000210.00000
pemrosesan masalah rekayasa yang secara analitis sulit diselesaikan selanjutnya dibawa ke bentuk model matematik dan diselesaikan secara matematis, aljabar atau statistik dan komputasi. Apabila telah diperoleh penyelesaian matematik proses selanjutnya mengimplementasikan hasil matematis ke masalah rekayasa sbb: Metode Numerik - Penyelesaian .
Langkah-langkah metode numerik diformulasikan menjadi program komputer. Metode numerik merupakan alat bantu pemecahan masalah matematika yang sangat ampuh. Metode numerik menyediakan sarana untuk memperkuat kembali pemahaman matematika. Tahapan memecahkan persoalan secara numerik yaitu pemodelan,
integrasi numerik transformasi Hankel menggunakan metode Simpson (Simpson rule) 1/3. 2) mendapatkan solusi integrasi numerik konduksi panas pada silinder menggunakan metode Simpson (Simpson rule) 1/3. Solusi integrasi numerik transformasi Hankel yaitu 0,217301164, 0,217312240,
PENELITIAN Metode penelitian yang digunakan dapat dipilih sesuai dengan masalah dan tujuan penelitian yang hendak dicapai. Secara umum, metode yang digunakan dalam penelitian yaitu (a) metode deskriptif, (b) metode eksperimen, (c) metode historis, (d) metode pengembangan, (e) metode tindakan, dan (f) metode kualitatif.
7. Metode Exstended Quadratic Interior Point (EQIP) Sama dengan metode Karmakar, metode EQIP merupakan salah satu metode untuk menyelesaikan masalah program linier. Metode EQIP adalah metode deterministik yang merupakan pengembangan metode Karmakar. Metode EQIP dikembangakan oleh James A. Momoh. Metode EQIP bisa digunakan untuk
7.6. Integral dengan Panjang Pias Tidak Sama 65 7.7. Metode Kwadratur 66 7.8. Soal-soal Latihan 72 BAB VIII PERSAMAAN DIFERENSIAL 8.1. Pendahuluan 73 8.2. Metode Euller 76 8.3. Metode Euller Yang Dimodifikasi 78 8.4. Metode Runge Kutta 80 8.5. Persamaan Differensial Parsiil 81 8.6. Beberapa Bentuk Persamaan Diferensial Parsiil 83 8.7.
Metode drill dan metode demonstrasi merupakan metode yang cocok digunakan untuk melatih kemandirian anak tunagrahita menjalankan ibadah mahdhah. Sebab mereka memiliki keterbatasan IQ, memori yang sangat pendek dan selalu bergantung dengan orang lain. Dan kedua metode tersebut bisa digabungkan dengan metode-metode yang
biasa digunakan dalam pembelajaran IPA diantaranya metode ceramah, demonstrasi, eksperimen dan diskusi. Selain itu ada metode-metode lain yang dapat dilakukan seperti metode proyek, brainstorming, bermain peran dan karyawisata. Pada pelaksanaannya setiap metode pembelajaran memiliki langkah-langkah yang berbeda.
black holes are fascinating objects where space and time become so warped that time practically stops in the vicinity of a black hole. Contrary to popular belief, there is a great deal of observational evidence for the existence of two types of black holes; those with masses of a typical star, and those with masses of a typical galaxy. The former type have measured masses ranging from 4 to 15 .
