PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR
BAB 4PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAANLINEARA. Latar BelakangPersoalan yang melibatkan model matematika banyak muncul dalam berbagai disiplinilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada persoalanrekayasa. Seringkali model matematika tersebut muncul dalam bentuk yang rumit yangterkadang tidak dapat diselesaikan dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku.Solusi SPL secara numeris umumnya selalu (harus) lebih efisien dan cepat dibandingkandengan metode-metode analitis, seperti metode Cramer. Namun demikian, solusi numerikini secara teknis adakalanya juga berkendala, karena:(1) ada beberapa persamaan yang mendekati kombinasi linier, akibat adanya “round offerror” dari mesin penghitung pada,(2) suatu tahap perhitungan adanya akumulasi “round off error” pada proses komputasiakan berakibat domain bilangan nyata (fixed point) dalam perhitungan akan terlampaui(overflow), biasanya akibat dari jumlah persamaan yang terlalu besar.Metode-metode solusi numerik yang banyak dipakai, dapat diklasifikasikan sebagai:1. Metode Langsunga. Metode Langsung Eliminasi Gauss (EGAUSS), prinsipnya: merupakan operasieliminasi dan substitusi variabel-variabelnya sedemikian rupa sehingga dapatterbentuk matriks segitiga atas, dan akhirnya solusinya diselesaikan menggunakanteknik substitusi balik (backsubstitution),b. Metode Eliminasi Gauss ini. Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ), prinsipnya: mirip sekalidengan metode EG, namun dalam metode ini jumlah operasi numerik yang dilakukanjauh lebih besar, karena matriks A mengalami inversi terlebih dahulu untukmendapatkan matriks identitas (I). Karena kendala tersebut, maka metode ini sangatjarang dipakai, namun sangat bermanfaat untuk menginversikan matriks,c. Dekomposisi LU (DECOLU), prinsipnya: melakukan dekomposisi matriks A terlebihdahulu sehingga dapat terbentuk matriks-matrik segitiga atas dan bawah, kemudiansecara mudah dapat melakukan substitusi balik (backsubstitution) untuk berbagaivektor VRK (vektor ruas kanan).d. Solusi sistem TRIDIAGONAL (S3DIAG), prinsipnya merupakan solusi SPL denganbentuk matrik pita (satu diagonal bawah, satu diagonal utama, dan satu diagonal atas)pada matriks A.2. MetodeTak-Langsung (Metode Iteratif)a. Metode Jacobi, prinsipnya: merupakan metode iteratif yang melakuakn perbaharuannilai x yang diperoleh tiap iterasi (mirip metode substitusi berurutan, successivesubstitution),b. Metode Gauss-Seidel, prinsipnya: mirip metode Jacobi, namun melibatkan perhitunganimplisit,
c. Metode Successive Over Relaxation (SOR), prinsipnya: merupakan perbaikan secaralangsung dari Metode Gauss- Seidel dengan cara menggunakan faktor relaksasi (faktorpembobot) pada setiap tahap/proses iterasi.Metode-metode tak-langsung seperti di atas pada umunya sangat tidak efisien dan „timeconsuming‟ (memerlukan CPU- time) yang jauh lebih besar dari metode langsung.Metode Eliminasi Gauss, metode Dekomposisi LU dan Metode Iterasi Jacobi merupakanmetode yang dapat dijadikan sebagai alternatif untuk menyelesaikan model matematika.Metode Eliminasi Gauss mereduksi matriks koefisien A ke dalam bentuk matriks segitiga, dannilai-nilai variabel diperoleh dengan teknik substitusi. Pada metode Dekomposisi LU, matriksA difaktorkan menjadi matriks L dan matriks U, dimana dimensi atau ukuran matriks L dan Uharus sama dengan dimensi matriks A.Pada metode iterasi Jacobi, penyelesaian dilakukan secara iterasi, dimana proses iterasidilakukan sampai dicapai suatu nilai yang konvergen dengan toleransi yang diberikan. Darihasil pengujian dapat diketahui bahwa metode Iterasi Jacobi memiliki hasil ketelitian yanglebih baik dan waktu komputasi yang lebih cepat dari metode Eliminasi Gauss dan metodeDekomposisi LU.Penggunaan pendekatan dengan pemrograman MATLAB, salah satu software komputeryang dapat digunakan untuk memberikan solusi komputasi numerik. Karena metode –metode numerik dengan bahasa pemrograman yang sederhana, namun dapatmenyelesaikan permasalahan yang dihadapi oleh mereka yang bergerak dalam bidangmatematika maupun aplikasi matematika.B.Rumusan MasalahDari uraian di atas, dapat dirumuskan permasalahannya.1. Apakah urutan persamaan di dalam suatu SPL berpengaruh terhadap penampilanmetode iterasi Jacobi?2. Apakah program MATLAB 7 dapat digunakan sebagai solusi pemrograman dalammetode numerik khususnya metode iterasiJacobi?C.Batasan MasalahDalam makalah ini akan membahas tentang penggunaan metode iterasi Jacobidalam penyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL) berukuran besar dengan persentaseelemen nol pada matriks koefisien besar dengan pemrograman MATLAB 7 for Windows.D. TujuanTujuan penulisan makalah sebagai berikut.1. Memberikan solusi dalam memperoleh urutan persamaan di dalam suatu SPLdengan menggunakan metode iterasi Jacobi.2. Penggunaan MATLAB 7 untuk membantu menyelesaikan pemrograman dalampenyelesaian Sistem Persamaan Linear (SPL) dengan metode iterasi Jacobi.E.ManfaatDapat diambil manfaatnya sebagia berikut.1. Dapat digunakan sebagai solusi dalam memperoleh urutan persamaan di dalamsuatu SPL berukuran besar dengan menggunakan metode iterasi Jacobi.
2. Memberi kemudahan dalam menyelesaikan Sistem Persamaan Linear (SPL)berukuran besar dengan metode iterasi Jacobi dengan pemrograman MATLAB 7 forWindows.PEMBAHASANA. Iterasi JacobiMetode ini merupakan suatu teknik penyelesaian SPL berukuran n x n, AX b, secaraiteratif. Proses penyelesaian dimulai dengan suatu hampiran awal terhadap penyelesaian, X0,kemudian membentuk suatu serangkaian vector X1, X2, yang konvergen ke X.Teknik iteratif jarang digunakan untuk menyelesaikan SPL berukuran kecil karenametode-metode langsung seperti metode eliminasi Gauss lebih efisien dari pada metodeiteratif. Akan tetapi, untuk SPL berukuran besar dengan persentase elemen nol pada matrikskoefisien besar, teknik iteratif lebih efisien daripada metode langsung dalam halpenggunaan memori komputer maupun waktu komputasi. Metode iterasi Jacobi, prinsipnya:merupakan metode iteratif yang melakuakn perbaharuan nilai x yang diperoleh tiap iterasi(mirip metode substitusi berurutan, successive substitution).B.Algoritma Iterasi JacobiUntuk menyelesaikan system persamaan linier AX b dengan A adalah matrikskoefisien n x n, b vector konstan n x 1, dan X vektor n x 1 yang perlu dicari.INPUT : n, A, b, dan Himpunan awal Y (y1 y2 y3 yn)T, batas toleransi T, dan maksimumiterasi N.OUTPUT: X (x1 x2 x3 .xn)T, atau pesan “ gagal “.LANGKAH – LANGKAH :1. set penghitung iterasi ke 12. WHILE k n DO(a) FOR i 1, 2, 3, ., n, hitung xi (b) Set X (x1 x2 x3 .xn)(c) IF X YTbi j i aij y jaii T THEN STOP(d) Tambahan penghitung iterasi, k k 1(e) FOR i 1, 2, 3, ., n, Set yi xi(f) set Y (y1 y2 y3 .yn)T3.STOP
C.Flow Chart Iterasi JacobiSTARTAX bInput A, b, X0, T, N[X, g, H] jacobi(A,b,X0,T,N)xi ( x1 x2 x3 xn)STOPD. Iterasi Jacobi dengan Menggunaan Matlab 7Jika x(k)menyatakan hampiran ke k penyelesaian SPL , AX b, dengan x(0)adalahhampiran awal, maka metode iterasi Jacobi dapat dinyatakan sebagai berikut :xi(k ) 1aii bi aij x j ( k 1) , i 1, 2, 3, ., n ; k 1, 2, 3, . j i Dalam bentuk matriks, rumus iterasi dapat dinyatakan sebagaiX(k) D-1(b-(L U)X(k-1)),Dengan A L D U ( L matriks segitiga bawah, D matriks diagonal, U Matriks segitigaatas).Berikut adalah gambaran bagaimana penggunaan metode iterasi Jacobi dengan sebuahcontoh. Misalkan kita ingin menyelesaikan SPL.10x1 – x2 2 x3 6-x1 11x2 – x3 3x4 252x1 – x2 10x3 – x4 - 113x2 – x3 8x4 15Mula – mulakita nyatakan setiap variabel dalam ketiga variabel yang lainnya1. Nyatakan x1 dari persamaan (P1) dalam x2, x3, dan x4,2. Nyatakan x2 dari persamaan (P2) dalam x1, x3, dan x4,3. Nyatakan x3 dari persamaan (P3) dalam x1, x3, dan x4,
4. Nyatakan x4 dari persamaan (P4) dalam x1, x2, dan x3.Hasilnya adalah SPLx 2 x3 3 10 5 5x x 3x25x2 1 3 4 11 11 11 11 x1 x2 x4 11x3 510 10 10 3x2 x3 15x4 88 8x1 Misalkan kita pilih hapiran penyelesaian awal (0 0 0 0)T, maka hampiran pertamaterhadap penyelesaian SPL tersebut adalah3 0.6 1525x2 2.2727 21111x3 1.1 -11015x4 1.8750 28x1 Sekarang dengan menggunakan nilai – nilai ini pada ruas kanan persamaan (P5) –(P8), kita dapat menghitung hampiran kedua. Proses ini dapat diulang-ulang sampaikeakuratan hampiran yang diinginkan tercapai. Berikut adalah hasil proses iterasidengan menggunakan .998888Setelah iterasi ke-8 diperoleh hampiran penyelesaianx (1.00063 1.99867 -0.999036 0.998888)Tbandingkan dengan penyelesaian eksaknya, yakni x (1 2 -1 1)T.Menyelesaikan contoh SPL berikut ini dengan menggunakan metode iterasiJacobi.2x1 – x2 10x3 -113x2 – x3 8x4 -1110x1 – x2 2x3 6-x1 11x2 – x3 3x4 25
E.Penulisan Logaritma dalam Layar Editor MATLAB 7function [X1,g,H] jacobi(A,b,X0,T,N)H X0';n length(b);X1 X0;for k 1:N,for i 1:n,S b(i)-A(i,[1:i-1,i 1:n])*X0([1:i-1,i 1:n]);X1(i) S/A(i,i);endg abs(X1-X0);err norm(g);relerr err/(norm(X1) eps);X0 X1;H [H;X0'];if (err T) (relerr T),break,endendLayar Editor MATLAB 7F.Hasil Output fungsi MATLAB 7Berikut adalah contoh pemakaian fungsi MATLAB 7 jacobi dan hasil keluaran dariyang diperoleh: A [2 -1 10 0;0 3 -1 8;10 -1 2 0;-1 11 -1 3]A 2 -1 10 00 3 -1 810 -1 2 0-1 11 -1 3 b [-11;-11;6;25]b
-11-11625 X0 [0;0;0;0]X0 0000 T .00001T 1.0000e-005 N 25N 25 [X,g,H] jacobi(A,b,X0,T,N)X 1.0e 017*-4.19500.56982.13800.0451g 1.0e 017*3.76990.54421.29650.1535H 1.0e 017*0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 00000 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 00000 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 00000 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 00000 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 00000 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 00000 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 00000 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 00000 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 00000 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 00000 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 00000 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 00000 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 00000 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 00000 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 00000 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 00000 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 00000 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 00000 . 0000 0 . 0000 0 . 0000 0 . 0000-0 . 0007 0 . 0000 0 . 0013 -0 . 0002-0 . 0066 0 . 0009 0 . 0036 0 . 0000-0 . 0173 0 . 0011 0 . 0333 -0 . 0042-0 . 1661 0 . 0224 0 . 0873 0 . 0013
-0 . 4251 0 . 0256 0 . 8415 -0 . 1085-4 . 0000 0 . 5698 2 . 1380 0 . 0451Dari hasil diatas, metode Jacobi belum konvergen setelah melakukan iterasi.Untuk mengetahui penyelesaian SPL kita, selanjutnya gunakan metode langsungdengan menggunakan invers matriks A. MATLAB memberikan penyelesaian sebagaiberikut. X inv(A)*bX 1.10392.9965-1.0211-2.6263Apakah metode jacobi tidak dapat menghasilkan penyelesaian tersebut? Denganmengubah susunan SPL, yakni persamaan pertama dan kedua dipindah menjadipersamaan ketiga dan keempat, metode Jacobi ternyata berhasil memberikanpenyelesaian tersebut, sebagaimana terlihat pada hasil keluaran MATLAB berikut. A [10 -1 2 0;-1 11 -1 3;2 -1 10 0;0 3 -1 8]A 10 -1 2 0-1 11 -1 32 -1 10 00 3 -1 8 b [6;25;-11;-11]b 625-11-11 X0 [-2;1;3;-1]X0 -213-1 [X,g,H] jacobi(A,b,X0,T,N)X 1.10392.9965-1.0211-2.6263g 0.07950.20040.07970.1511H -2 . 0000 1 . 00003 . 0000 -1 . 00001 . 1000 2 . 6364 -1 . 6000 -2 . 37501 . 9836 2 . 6023 -1 . 8564 -2 . 43861 . 0315 2 . 9494 -1 . 0365 -2 . 45791 . 1022 2 . 9426 -1 . 0114 -2 . 61061 . 1065 2 . 9930 -1 . 0262 -2 . 6049
1 . 1045 2 . 9895 -1 . 0200 -2 . 62561 . 1030 2 . 9965 -1 . 0220 -2 . 62361 . 1040 2 . 9856 -1 . 0209 -2 . 62641 . 1037 2 . 9966 -1 . 0212 -2 . 62601 . 1039 2 . 9964 -1 . 0211 -2 . 62641 . 1039 2 . 9965 -1 . 0211 -2 . 62631 . 1039 2 . 9965 -1 . 0211 -2 . 62631 . 1039 2 . 9965 -1 . 0211 -2 . 6263Iterasi Jacobi konvergen (dengan menggunakan batas toleransi 0.0001) setelahiterasi ke-13. Penyelesaian yang diberikan persis sama dengan yang dihasilkandengan metode langsung. Hampiran penyelesaian SPL kita adalah X (1.10392.9965 -1.0211 -2.6263)T.Layar MATLAB 7 (command suatuSPLsangatberpengaruh terhadap penampilan metode iterasi Jacobi. Kalau kita amati lebih lanjutcontoh di atas, kekonvergenan iterasi Jacobi pada strategi kedua dikarenakan kitatelah mengubah susunan SPL sedemikian hingga elemen-elemen aiimerupakanelemen-elemen terbesar pada setiap baris. Dengan kata lain, apabila matrikskoefisien A merupakan matriks dominan secara diagonal, maka metode iterasi Jacobiakan konvergen. Suatu matrik A berukuran n x n dikatakan dominansecaradiagonalapabila aii ai ,1 . ai ,i 1 ai ,i 1 . ai ,n untuk i 1, 2, 3, ., n.SIMPULANA. SimpulanDari pembahasan di atas kita dapat mengambil kesimpulan bahwa.1. Urutan persamaan di dalam suatu SPL sangat berpengaruh terhadap penampilanmetode iterasi Jacobi.
2. Dengan menggunakan pemrograman MATLAB 7 dapat membantu pemrogramandalam dalam metode numeric khususnya metode iterasiJacobiB. SaranDari hasil pembahasan disarankan untuk.1. Menggunakan metode iterasi Jacobi lebih efektif untuk memecahkan masalahnumerik dalam SPL berukuran besar.2. Menggunakan program MATLAB 7 for Windows dalam membantu pengolahanmetode iterasi Jacobi.
PERSAMAAN GAUSS SEIDELA. Tujuana. Memahami Persamaan Gauss Seidelb. Mampu Menentukan nilai akar persamaan dengan Gauss Seidelc. Mampu membuat program untuk menentukan nilai akar dengan Metode GaussSeidel dengan MatlabB. Perangkat dan Materia. Software Matlabb. Metode Iterasi Gauss SeidelC. Dasar TeoriMetode iterasi Gauss-Seidel untuk menyelesaikan sistem persamaan linearSuatu sistem persamaan linier terdiri atas sejumlah berhingga persamaan linear dalamsejumlah berhingga variabel. Menyelesaikan suatu sistem persamaan linier adalah mencarinilai-nilai variabel yang belum diketahui yang memenuhi semua persamaan linier yangdiberikan.Rumus iterasi untuk hampiran ke-k pada metode iterasi Gauss-Seidel adalah sebagai berikut.Untuk i 1, 2, , n dan k 1, 2, 3, ,Algoritma Iterasi Gauss-SeidelUntuk menyelesaikan sistem persamaan linier AX b dengan A adalah matriks koefisien n n , b vektor konstanta n 1 , dan X vektor n 1 yang perlu di cari.INPUT : n, A, b dan hampiran awal Y (y1 y2 y3 .yn)T, batas toleransi T dan maksimum iterasiN.OUTPUT : X (x1 x2 x3 .xn)T atau pesan "gagal".LANGKAH-LANGKAH :1. Set penghitung iterasi k 12. WHILE k N DO(a) FOR i 1, 2, 3, ., n, hitung :(b) Set X (x1 x2 x3 .xn)T(c) IF X - Y T THEN STOP(d) Tambah penghitung iterasi, k k 1(e) FOR i 1, 2, 3, ., n, Set yi xi(f) Set Y (y1 y2 y3 .yn)T3. Tulis pesan "metode gagal setelah N iterasi"
4. STOP.Implementasi dengan MATLABfunction [X1,g,H] seidel(A,b,X0,T,N)H X0';n length(b);X1 X0 ;for k 1:N,for i 1:n,S b(i)-A(i,1:i-1)*X1(1:i-1)-A(i,i 1:n)*X0(i 1:n);X1(i) S/A(i,i);endg abs(X1-X0);err norm(g);relerr err/(norm(X1) eps);X0 X1;H [H,X0'];if(err T) (relerr T),break,endendContohSebagai gambaran misalkan mencari penyelesaian SPL10x1 - x2 2x3 6-x1 11x2-x3 3x4 252x1-x2 10x3-x4 -113x2-x3 8x4 15Berikut pemakaian fungsi MATLAB seidel untuk penyelesaian soal di atas dan keluaran yangdiperoleh : A [10 -1 2 0;-1 11 -1 3;2 -1 10 -1;0 3 -1 8]A 10-120
-111-132-110-103-18 b [6;25;-11;15]b 625-1115 X0 [0;0;0;0]X0 0000 T 0.0001;N 25; [X,g,H] seidel(A,b,X0,T,N)X 1.00002.0000-1.00001.0000g 1.0e-004 *0.8292
0.20170.28400.1111H Columns 1 through 600000.60002.3273Columns 7 through 12-0.98730.87891.03022.0369 -1.01450.98430.99842.0003Columns 13 through 181.00662.0036 -1.00251.0009Columns 19 through 24-1.00030.99981.00012.0000 -1.00001.0000Columns 25 through 281.00002.0000 -1.00001.0000Proses iterasi dapat diulangi sampai tingkat keakuratan yang diinginkan tercapai,penyelesaian eksak contoh di atas adalah (1, 2, -1, 1).Soal tugas di rumah:Dikumpulkan (Buat LAPORAN PRAKTIKUM)Carilah akar-akar persamaan berikut dengan Metode Gauss-Seidel dengan Matlab :3x1 0.1x2 0.2 x3 7.850.1x1 7 x2 0.3x3 19.30.3x1 0.2 x2 10 x3 71.4Latihan di kelas :Carilah akar-akar persamaan berikut dengan Metode Gauss-Seidel dengan Matlab:x y 2z 92 x 4 y 3z 13x 6 y 5 z 0
4. Nyatakan x 4 dari persamaan (P4) dalam x 1, x 2, dan x 3. Hasilnya adalah SPL 5 3 10 5 2 3 1 x x 11 25 11 3 11 11 1 3 4 2 x x 10 11 5 10 10 1 2 4 3 x x 8 15 8 8 3 2 3 4 x x Misalkan kita pilih hapiran penyelesaian awal (0 0 0 0)T, maka hampiran pertama terhadap penyelesaian SPL tersebut adalah
sistem organ, kelainan dan penyakit. Sistem – sistem pada manusia dan hewan 1. Sistem pencernaan 2. Sistem ekskresi 3. Sistem pernapasan 4. Sistem peredaran darah 5. Sistem saraf dan indera 6. Sistem gerak 7. Sistem imun 8. Sistem reproduksi 9. Keterkaitan antar sistem organ dan homeostasis 10. Kelain
Bahan Ajar : Persamaan dan Fungsi Kuadrat PERSAMAAN KUADRAT Dalam kehidupan sehari-hari, seringkali kita jumpai persoalan atau perhitungan yang berkaitan dengan materi persamaan kuadrat.Agar kalian lebih memahami tentang bentuk umum persamaan kuadrat dalam persoalan matematika yang berkaitan dengan persamaan kuadrat tersebut.
Jika pada persamaan diferensial ada dua atau lebih variabel bebas dan memuat . Orde persamaan diferensial adalah tingkat dari turunan tertinggi yang termuat dalam persamaan tersebut. Persamaan diferensial (1 .3) dan (1 .4) adalah persamaan diferensial orde-n sebab turunan tertinggi yang terlibat dalam .
PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE DUA KOEFISIEN VARIABEL 1. Persamaan Diferensial Euler Cauchy Homogen 90 . BAB XI APLIKASI PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE 2 1. Rangkaian Arus Searah (RLC). 96 2. Latihan 11 . 99 DAFTAR PUSTAKA. 100 . 1 1. DEFINISI PERSAMAAN DIFERENSIAL Persamaan diferensial merupakan persamaan yang .
Fungsi kuadrat merupakan merupakan fungsi polinom berderajat dua bentuk umum persamaan fungsi kuadrat adalah : y a bx cx2 atau y cx2 bx a dimana cz0. Contoh fungsi kuadrat dalam bentuk grafik di gambarkan sebagai berikut : y y x2 x 3.1.1 Penyelesaian Persamaan Kuadratik Penyelesaian persamaan kuadratik merukan pencarian akar-akar dari persamaan .
UNIVERSITAS GUNADARMA Matematika Lanjut 2 Sistem Informasi Dr. Achmad Fahrurozi, S.Si, M.Si Solusi Persamaan Non-Linier Pada dasarnya, solusi suatu persamaan non-linear dengan satu variabel x (simbolkan saja f(x)) adalah akar (akar) dari persamaan non-linear tersebut.Secara matematis dituliskan :
1.4 Program Linear Kegiatan Belajar 1 Matriks dan Sistem Persamaan Linear ampir semua masalah program linear, setelah diterjemahkan melalui penggunaan model matematis terdapat pertidaksamaan linear sebagai kendala (pembatas) yang disajikan dalam bentuk baku sebagai sistem persamaan linear, m p
Tulang-tulang atau cadaver yang digunakan untuk mempelajari ilmu anatomi ini adalah bagian tubuh manusia , YANG TIDAK BOLEH DIPERMAINKAN. Previllage menggunakan cadaver dan tulang guna mempelajari ilmu anatomi hanya dapat dipertanggung jawabkan, jika kita menggunakan kesempatan itu dengan maksud dan tujuan yang suci. 2. Dalam mempelajari cadaver dan tulang kita harus selalu ingat bahwa .
